圆与扇形.题库教师版.doc
圆与扇形(经典题汇总)
圆与扇形之阳早格格创做——公式与割补实质提要本道主要道解与圆战扇形有闭的观念，及周少、里积公式等．底下咱们去道道那圆里的前提知识．圆是咱们正在死计中经罕睹到的图形，它也是最完好的仄里图形：有无数条通过圆心的对付称轴，绕圆心转动所有角度还脆持本状．而且，所有的仄里图形正在周少相共的情况下，圆的里积是最大的．咱们了解，圆的周少战直径的比值是一个牢固稳定的数，那正是圆周率，用π表示．其余，普遍把直径记做d，半径记做r，如图1所示．如图3，由组成圆心角的二条半径战圆心角所对付的弧所围成的图形喊扇形．它是圆的一部分，所以闭于扇形的百般估计不妨应用圆内里的论断．图1n°r图3扇形的圆心角为n°时，它的弧少战里积该当分别是圆周少战圆里积的360n．所以，扇形弧少咱们先去认识一下那些公式．训练：1.半径是2的圆的里积战周少分别是几？2.直径是5的圆的里积战周少分别是几？3.周少是10π的圆的里积是几？4.里积是9π的圆的周少是几？例题一、基础公式使用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则那个扇形的里积战周少各是几？（圆周率按3.14估计）例题2.已知扇形里积为18.84仄圆厘米，圆心角为60°，则那个扇形的半径战周少各是几？（圆周率按3.14估计）随堂训练：1.已知一个扇形的弧少为0.785厘米，圆心角为45，那个扇形的半径战周少各是几？2.扇形的里积是31.4仄圆厘米,它天圆圆的里积是157仄圆厘米,那个扇形的圆心角是几？60°3.如图，直角三角形ABC 的里积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径绘圆．已知图中阳影部分的里积是35.58．请问：角A 是几度？（π与3.14）二、圆中圆，圆中圆4.如图，左下图战左下图中的正圆形边少皆是2，那么大圆、小圆的里积分别为________、________．随堂训练：1.已知表里大圆的半径是4，内里小圆的里积是几？（问案用π表示）二、割补法5.供下列各图中阳影部分的里积（图中少度单位为厘米，圆周率按3.14估计）： （1）（2）随堂训练：供下图中阳影部分27的里积（图中少度单位为厘米，圆周率按3.14估计）：（1）（2）供下列各图中阳影部分的里积（图中少度单位为厘米，圆周率按3.14估计）：（1） （2）6.已知图中正圆形的边少为2，分别以其四个顶面为圆心的直角扇形恰佳接于正圆形核心，那么图中阳影部分的里积为________．（问案用π表示）7.根据图中所给数值，供底下图形的中周少战总里积分别是几？（π与3.14做业：1.半径为4厘米的圆的周少是________厘米，里积是________仄圆厘米；（25.12，50.24）2.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周少是________厘米，里积是________仄圆厘米．（π与3.14）（14.28，12.56）3.家里去客人了，淘气到超市购了4瓶啤酒，卖货员阿姨将4瓶啤酒捆扎正在所有（如下图所示），捆44圈起码要用绳子________厘米．（π与3.14，接洽处忽略不计）4.供下列各图中阳影部分的里积（图中少度单位为厘米，圆周率按3.14估计）：（1）（2）5.下列图形中的正圆形的边少为2，则下图中各个阳影部分里积的大小分别为______、______．（π与 3.14）（0.86；2）6.用一齐里积为36π仄圆厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个共样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总里积是几仄圆厘米？圆与扇形转动与沉叠知识归纳：教习怎么样利用割补法战包罗排除的思维估计图形中特定部分的里积；教会分解几许图形的疏通历程，并由此得出面的轨迹战图形扫过的天区．例题：一、沉叠问题1 1例题1.下图中甲天区比乙天区的里积大57仄圆厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的少度是几？（圆周率与3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，战一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阳影部分的里积为几仄圆厘米？（π与3.14）随堂训练1.如图17-13，以AB 为直径干半圆，三角形ABC 是直角三角形，阳影部分①比阳影部分②的里积小28仄圆厘米，AB 少40厘米．供BC 的少度．（与3.14．）例题3.如图，直角三角形的二条直角边分别为3战5，分别以三条边干了3个半圆（直角顶面正在以斜边为直径的半圆上），那么阳影部分的里积为______．（6）例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A543A C BDE甲乙AB②①面不动，把所有半圆顺时针转60°，此时B 面移动到C 面．请问：图中阳影部分的里积是几仄圆厘米？（π与 3.14）二、动背扫里积问题例题5.如图，正圆形ABCD 边少为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径绘出四个直角扇形，那么阳影部分的里积为________仄圆厘米．（π与3.14）例题6.如图所示，以等边三角形的B 、C 、A 三面分别为圆心，分别以AB 、CD 、AE 为半径绘弧，那样产死的直线ADEF 被称为正三角形ABC 的渐启线，如果正三角形ABC 的边少为3厘米，那么此渐启线的少度为几厘米，图中I 、II 、III三、疏通圆扫里积例题7.图中正圆形的边少是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正圆形无滑动天滑动一周又回到本去位子时，其扫过的里积有多大？D图1B图2（π与3.14）随堂训练1.图中少圆形的少是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正圆形无滑动天滑动一周又回到本去位子时，其扫过的里积有多大？（π与3.14）例题8.图中等边三角形的边少是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动天滑动一周又回到本去位子时，其扫过的里积有多大？（π与3.14）如图所示，一只小狗被拴正在一个边少为4米的正五边形的修筑物的一个顶面处，四里皆是空天．绳少刚刚佳够小狗走到修筑物中墙边的任一位子．小狗的活动范畴是几仄圆米？（修筑中墙不可逾越，小狗身少忽略不计，π与3）做业：狗1.图17-14由一个少圆形与二个90角的扇形形成，其中阳影部分的里积是_______仄圆厘米．（与3.14．）2.图中有一个矩形战二个半径分别为5战2的直角扇形，那么二个阳影部分的里积出进为_______．（π与3.14）3.如图，直角三角形的二条直角边少分别是10cm 战6cm ，分别以直角边为直径做出二个半圆，那二个半圆的接面恰佳降正在斜边上，那么阳影部分的里积是_______cm2．（与 3.14）（1730）4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 面不动，把所有半圆顺时针转60°，此时B 面移动到C 面．请问：图中阳影部分的里积是_______仄圆厘米（π与 3.14）5.图中正圆形的边少是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕图1AB C40图2C6cm 52图17-14正圆形无滑动天滑动一周又回到本去位子时，其扫过的里积有______．（π与3.14）6.图中等边三角形的边少是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滑动一周又回到本去位子时，扫过的里积有________．（π与3.14几许计数知识归纳：例题：一、罗列大概分类解题利用罗列法以及分类的要领举止几许计数，特天是对付于正圆形战三角形的计数问题．常常依照里积的大小大概者包罗基础图形的几去对付图形举止分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒晃成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一公有几个巧克力棒？（2）那些巧克力棒共形成了几个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中二端戴有箭头的小边），剩下的图形中另有几个三角形？随堂训练1. 图中公有_______例题2.如图，它是由18个大小相共的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形不妨拼成较大的正三角形．图中包罗“”的百般大小的正三角形一公有_______．例题3.如图，AB ，CD ，EF ，MN 互相仄止，则图中三角形个数是_______．例题4.图中有几个正圆形？二、 与排列拉拢有闭的计数利用排列拉拢的要领举止几许计数，特天是对付于矩形战四边形的计数问题B MAE FD N例题5.如图，线段AB，BC，CD，DE的少度皆是3厘米．请问：（1）图中一公有几条线段？（2）那些线段的少度之战是几厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米A B C D E随堂训练1.供图中一公有几条线段．例题6.供图中一公有几条线段．供图中一公有几个矩形．（15）随堂训练1.如图，四条边少度皆相等的四边形称为菱形．用16个共样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中公有几个菱形？例题7.左图是一个少为9，宽为4的少圆形网格，每一个小格皆是一个正圆形，那么：1）从中不妨数出_______个矩形．2）从中不妨数出_______个正圆形．3）从中不妨数出包罗_______个，正圆形有________个．（450）（80）（144、15）随堂训练（1）图中包罗★的少圆形有_______个．包罗的正圆形又有_______个．（2）图中共时包罗战★的少圆形有_______个．三、 与容斥本理有闭的几许计数例题8.图中一共包罗几个矩形？几个正圆形？（135，35） 随堂训练1. 图中有_______个矩形思索题用16个边少为1的等边三角形拼成一个边少为4的大等边三角形，那做业1. 数一数图中一公有几条线段？2. 图中公有_______【分解与解】按边少分类数，图中公有93113++=个三角形；仄止四边形公有333215⨯+⨯=个．3. 正在图中，包罗※的少圆形公有________个．★☺4. 图中有_______个矩形，_______个正圆形．【分解与解】图中公有718+=个正圆形，19个少圆形．那道题符合按大小分类数．5. 图中有三角形_______个，梯形_______个．【分解与解】三角形有()312318⨯++=个，梯形有()()1212318+⨯++=个．6. 图中有_______个正圆形，_______【分解与解】问案是38，144．少圆形有()()()()123123452123123144++⨯++++⨯-++⨯++=⎡⎤⎣⎦个，正圆形有()()352413294138⨯+⨯+⨯⨯-++=个（那里给出正圆形的供法比较巧妙，如果分歧适，请按正圆形的边少分类罗列）．路程知识归纳：本道沉面教习正在小降初中战各个杯赛中的较搀纯的路程问题，路程问题主要有三组共9个基础公式：（1） =⨯路程速度时间；=÷速度路程时间；=÷时间路程速度；（2） =⨯相遇路程速度和时间；=÷速度和相遇路程时间；=÷时间相遇路程速度和；（3） =⨯追及路程速度差时间；=÷速度差追及路程时间；=÷时间追及路程速度差．要会机动使用公式，通过已知的条件供出已知的路途、速度大概时间．此时，咱们还时常需要用到以下那三个基础倍数闭系：当疏通的速度相共时，时间的倍数闭系等于路途的倍数闭系；当疏通的时间相共时，速度的倍数闭系等于路途的倍数闭系；当疏通的路途相共时，时间的倍数闭系等于速度的倍数闭系，但是注意时间少的速度缓，时间短的速度快．例题1.（）甲、乙二天间的路途是600千米，上午8面客车以仄衡每小时60千米的速度从甲天启往乙天，货车以仄衡每小时50千米的速度从乙天启往甲天．要使二车正在齐程的中面相逢，货车必须正在上午几面出收？例题2.（）某书院构造教死去秋游，以2米/秒的速度前进，一名教死以4米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总少为几米？例题3.A乡正在一条河的上游，B乡正在那条河的下游．A、B二乡的火路距离为396千米．一艘正在静火中速度为每小时12千米的渔船从B乡往A乡启，一艘正在静火中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A乡往B乡启．已知河火的速度为每小时6千米，从A 流背B．二船正在距离A乡180千米的场合相逢．巡逻艇正在到达B乡后得到消息道他们刚刚才逢到的那艘渔船上有一名遁犯，于是巡逻艇坐刻返回去遁渔船．请问巡逻艇能不克不迭正在渔船到达A乡之前遁上渔船？如果能的话，请问巡逻艇正在距A乡多近的场合遁上渔船；如果不克不迭的话，请算出巡逻艇比渔船缓几小时到A乡．例题4.蜗牛沿着公路前进，对付里去了一只兔子，他问兔子：“后里有黑龟吗？”，兔子回问道：“10分钟前尔超出了一只黑龟”，接着蜗牛继承爬了10分钟，逢到了黑龟．已知黑龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是黑龟速度的________倍．例题5.甲、乙二人相距100米的直路上去回跑步,甲每秒钟跑,乙每秒钟跑.他们共时分别正在直路二端出收,当他们跑了30分钟时,那段时间内相逢了频频？例题6.甲乙二车共时从A、B二天出收相背而止，二车正在距离B天64千米的场合第一次相逢，相逢后二车继承本速前进，而且正在到达对付圆出收面之后，坐时沿本路返回，途中正在距离A面48千米处第二次相逢，问：二次相逢面距离是几千米？例题7.甲、乙二车分别从A、B二天出收，正在A、B之间不竭往返止驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，而且甲、乙二车第三次相逢（那里特指里对付里的相逢）的天面与第四次相逢的天面恰佳相距120千米，那么，A、B二天之间的距离等于_________ 千米．例题8.快、中、缓3辆车共时从共一天面出收，沿共一公路遁赶前里的一个骑车人．那3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟遁上骑车人．当前了解快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，缓车每小时走几千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙早出收10分钟，出收后40分钟遁上丙，甲比乙又早出收10分钟，出收后60分钟遁上丙，问，甲出收后几分钟不妨遁上乙？思索题一次越家赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚刚跑了1450米，今后二人分别以每秒a米战每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚刚遁上小明，200秒时小刚刚到达末面，300秒时小明到达末面，那次越家赛跑的齐程为几？做业1.现有二列火车共时共目标齐头前进，快车每秒止18米，缓车每秒止10米，止12秒后快车超出缓车．如果那二辆火车车尾相齐共时共目标前进，则9秒后快车超出缓车．那么快缓二车的车少分别是几米？2.一辆中巴车6面（24小时造）从A乡出收，以每小时40千米的速度背B乡驶去，3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出收到B．当小轿车到达B后，中巴车离B另有90千米．那么中巴车是几面几分到达B的？3.甲、乙二人从相距为46千米的A、B二天出收相背而止，甲比乙先出收一个小时．他们二人正在乙出收后4小时相逢，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时几千米？4.甲、乙二人分别从北北二天相对付而止．已知甲每分钟走50米，乙走实足程要30分钟．相对付而止10分钟后，甲、乙仍相距100米．那么还要过几秒钟，甲、乙第一次相逢？5.（第三届“走进好妙的数教花园”大众对付抗赛第22题）一个战尚每天早朝皆到河边去提一桶火，他提空桶时每秒走3米，提谦桶时每秒2米，去回一趟需10分钟.寺庙距河边有几米？6.(尾师大附中考题)甲，乙二人正在一条少100米的直路上去回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒.如果他们共时分别从直路的二端出收，当他们跑了10分钟以去，共相逢了频频？。
小学奥数 几何类 曲线图形 圆与扇形(一).题库版
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。
求月牙形例题精讲圆与扇形ADBEA （阴影部分）的面积。
D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2006年，第11届，华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。
(完整word版)圆与扇形(经典题汇总)
圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示．如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n ．我们先来熟悉一下这些公式．图1n °r 图3练习：1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是10π的圆的面积是多少？4.面积是9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？例题3.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）二、圆中方，方中圆例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．随堂练习：1.已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1）（2）例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1）（2）2472例题7.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用 表示）例题8.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）4随堂练习：1.根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）6例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率取3.14）思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；2.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（π取3.14）3.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14，接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14计算）：（1）（2）5.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）6.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？1 1圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、 重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）随堂练习1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度．（取3.14．）A C BDE甲乙ABC②①例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）二、 动态扫面积问题例题5.如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（π取3.14）图1B图25例题6.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？三、运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题8.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗作业：1.图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（取3.14．）25图17-142.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）3.如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm2．（取3.14）（1730）6cm4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）5. 图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）6. 图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）图1B 图2几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有_______个三角形；例题2.如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_______．例题3.如图，AB ，CD ，EF ，MN 互相平行，则图中三角形个数是_______．例题4.图中有多少个正方形？二、 与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图，线段AB ，BC ，CD ，DE 的长度都是3厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？随堂练习3厘米 3厘米3厘米3厘米ABCDEB MAE F D N1.求图中一共有多少条线段．例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1.如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？例题7.右图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个，正方形有________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有_______个．包含的正方形又有_______个．（2）图中同时包含和★的长方形有_______个．★☺三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_______个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1. 数一数图中一共有多少条线段？2. 图中共有_______个三角形．【分析与解】按边长分类数，图中共有93113++=个三角形；平行四边形共有333215⨯+⨯=个．3. 在图中，包含※的长方形共有________个．4. 图中有_______个矩形，_______个正方形．【分析与解】图中共有718+=个正方形，19个长方形．这道题适合按大小分类数．5. 图中有三角形_______个，梯形_______个．【分析与解】三角形有()312318⨯++=个，梯形有()()1212318+⨯++=个．6. 图中有_______个正方形，_______个长方形．【分析与解】答案是38，144．长方形有()()()()123123452123123144++⨯++++⨯-++⨯++=⎡⎤⎣⎦ 个，正方形有()()352413294138⨯+⨯+⨯⨯-++=个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）．行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式：（1） =⨯路程速度时间；=÷速度路程时间；=÷时间路程速度；（2） =⨯相遇路程速度和时间；=÷速度和相遇路程时间；=÷时间相遇路程速度和； （3） =⨯追及路程速度差时间；=÷速度差追及路程时间；=÷时间追及路程速度差．要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间． 此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系： 当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系； 当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快．例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例题2. （ ）某学校组织学生去春游，以2米/秒的速度前进，一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总长为多少米？例题3. A 城在一条河的上游，B 城在这条河的下游．A 、B 两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B 城往A 城开，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B 城开．已知河水的速度为每小时6千米，从A 流向B ．两船在距离A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A 城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A 城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A 城．例题4.蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的________倍．例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距离B地64千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续原速前进，并且在到达对方出发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点48千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于_________ 千米．例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B．当小轿车到达B后，中巴车离B还有90千米．那么中巴车是几点几分到达B的？3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50米，乙走完全程要30分钟．相对而行10分钟后，甲、乙仍相距100米．那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，他提空桶时每秒走3米，提满桶时每秒2米，来回一趟需10分钟。
(完整word版)4-3-3圆与扇形.题库教师版
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =⨯; 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素:①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢?关键是360n． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积—三角形面积．(除了半圆）③"弯角”：如图： 弯角的面积=正方形—扇形④”谷子”：如图:“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的） ②等积变形(割补、平移、旋转等） ③借来还去（加减法）④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？例题精圆与扇形【解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米?【解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【例 2】如图，在18⨯8的方格纸上，画有1，9，9,8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【解析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个,其中部分有6+6+8=20个，部分有6+6+8=20(个),而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74(个）完整小正方形，而整个方格纸包含8⨯18=144(个）完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的74144，即3772．【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6"字,阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？【解析】矩形纸板共28个小正方格,其中弧线都是14圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28－6－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的1928．【例 3】 （2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内,分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形,所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于21222⨯=平方厘米．【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 4428⨯÷=．【例 4】 （人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．（π取3.14)【解析】 把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个90︒的扇形的面积之和，所以,221444441π14π7.14S S S S S =⨯+⨯=⨯+=⨯+⨯=+=圆阴影圆．【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为11240.542⨯÷⨯=⨯=（）(平方厘米），所以阴影部分的总面积为248⨯=（平方厘米)．【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m ，阴影部分的面积是 ．或【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于222216m ⨯=（）（）．【例 6】 如右图,有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ （π取3)【解析】 本题直接计算不方便,可以利用分割移动凑成规则图形来求解．如右上图,连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出,与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个14圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为224π119+⨯=(平方厘米）．【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形,从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、【例 7】 如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆,面积为255 3.14239.25(cm )⨯⨯÷=【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ,那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【解析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，221π2S r r =-,所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【例 8】 计算图中阴影部分的面积（单位：分米)．A A【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ()5105275237.5+⨯÷=÷=（平方分米）．【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？224【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积,那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++⨯-+⨯=【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．310【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积,就是要求的面积了．=-要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积．半圆半圆103-=因此，所求的面积为210330cm ⨯=（）．法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形:如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移3cm 就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积．显然图中右侧延伸出了多少面积,左侧就会缩进多少面积．因此，所求的面积是210330cm ⨯=（）．【例 10】求图中阴影部分的面积．1212DC B A1212DCB A【解析】 如图,连接BD ，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为1112123622⨯⨯⨯=．【例 11】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)44【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒,则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=．【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置,这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=． 四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC 的面积为17724.52⨯⨯=，所以阴影部分的面积为38.524.514-=．【例 12】求下列各图中阴影部分的面积．(1)1010(2)ba【解析】 在图(1）中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10,高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得110102522S =⨯⨯=阴影；在图（2）中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ,宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得S a b ab =⨯=阴影．【巩固】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)：⑴3⑵4⑶111⑷2⑸2⑹【解析】 ⑴4.5 ⑵4 ⑶1 ⑷2 ⑸1.5 ⑹4.5【例 13】如图，ABCD 是正方形，且1FA AD D E ===，求阴影部分的面积．(取π3=）【解析】 方法一:两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑,可能会有新的发现． 由于对称性，我们可以发现,弓形BMF 的面积和弓形BND 的面积是相等的，因此,阴影部分面积就等于不规则图形BDWC 的面积．因为ABCD 是正方形，且FA =AD =DE =1，则有CD =DE ．那么四边形BDEC 为平行四边形，且∠E =45°．我们再在平行四边形BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形BDWC 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形,由此，我们可以知道阴影部分面积=平行四边形BDEC —扇形DEW 245511π13608=⨯-⨯⨯=．方法二：先看总的面积为14的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面积扣除一个等腰直角三角形，一个14圆，一个45︒的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45︒的扇形．面积为215113188⨯-⨯⨯=．【巩固】求图中阴影部分的面积（单位:cm ）．2【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积， 所以阴影部分面积为21(24)39cm 2⨯+⨯=．【例 14】如图,长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．（π 3.14=）【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径,所以右图的阴影部分的面积等于：()2882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=所以左图阴影部分的面积等于6.882 3.44÷=平方厘米．【例 15】(2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A 与其它部分面积B 之差（大减小)是 2cm ．【解析】 如图，将圆对称分割后,B 与A 中的部分区域能对应，B 仅比A 少了一块矩形,所以两部分的面积差为：()()222128cm ⨯⨯⨯=．【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块,乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元,问：甲应偿付给乙多少元？5cm 7.5cm3cm 2cm ④③②① ⅡⅠ2cm5cm 3cm ①②③④2cm 3cm7.5cm5cm【解析】 如右上图所示，④的面积与Ⅰ的面积相等，①的面积等于②与Ⅱ的面积之和．可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：2537.522 5.511cm -⨯-=⨯=（）（）（），而原本应是两人平分，所以甲应付给乙：11100055002⨯=（元)．【例 16】求右图中阴影部分的面积．(π取3)45︒45︒20cm【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积,因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC =10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为11010502⨯⨯=，所以阴影部分的面积为15050100-=(平方厘米）． （法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积． 所以阴影部分面积为21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=(平方厘米)．AB【例 17】(第四届走美决赛试题)如图,边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形,分别以B、C为圆心,BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．（π 3.14=)EE【解析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线,所以223218r=⨯=，如右图将左边的阴影翻转右边阴影下部，S S S=-阴影扇形柳叶1118π2(18π33)34=⨯-⨯-⨯183π8.58=-=板块二曲线型面积计算【例 18】如图,已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的34倍，则角CAB的度数是________．DCBA【解析】设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC的面积为2π360nr⨯,所以，22ππ23603n⨯⨯=，得到60n=,即角CAB的度数是60度．【例 19】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度（π3=)67CBA【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°，60A ∠=°.【例 20】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【例 21】有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒, 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径,由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【例 22】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少?（π 3.14=）【解析】 如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC ∆是正三角形,同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=,因此60210812ECA ∠=⨯-=,也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个,所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分,所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【例 24】如图,大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ,那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ,则222S r =，2212S r r π=-,所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【例 25】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=（平方厘米)．【例 26】 如图,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积（即13小圆面积），所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍,那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【例 27】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知,现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=（平方厘米），阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【例 28】 (09年第十四届华杯赛初赛）如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点,半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分【解析】如下图所示,连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点,M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【例 29】如图,两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．（π取3)O【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差,但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中,容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD∆与ACD∆的面积相等,所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【例 30】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少?(圆周率取3.14)AFEAFE【解析】 方法一:设小正方形的边长为a ,则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．（π取3)【解析】 (法1）观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=； 则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．（法2)观察可知AF 和BD 是平行的,于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【例 31】如图,ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14)DD【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ,则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积: 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=; 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【例 32】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心,边长为半径作一个扇形,按图中所给长度阴影部分面积为 ;(π 3.14=)A【解析】 连接小正方形AC ，有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【例 33】如图,图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问:涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少?【解析】 假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=,则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【例 34】(2008年西城实验考题）奥运会的会徽是五环图,一个五环图是由内圆直径为6厘米,外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π 3.14=）【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==（平方厘米）;⑵五个圆环的面积和为:21.985109.9⨯=（平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)；⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=（平方厘米）．【例 35】已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=）【解析】39.25【例 36】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3）DCBAaDCBAa【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形,不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．（π取3)DBADB【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二:连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【例 37】(2008年四中考题）已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =,求阴影部分的面积．【解析】 从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2cm ）．【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。
数学圆扇形圆环试题
数学圆扇形圆环试题1.同圆或等圆内，半径是直径的（）A. B.2倍 C.π倍【答案】A【解析】由条件“同圆或等圆内”，可知直径是半径的2倍．半径是直径的，判定即可．解：同圆或等圆内，半径是直径的．故答案为：A．点评：此题主要考查在同圆或等圆内，半径与直径的关系．2.在长方形中画一个最大的圆，圆的直径（）A.等于长B.等于宽C.大于长小于宽【答案】B【解析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；据此解答．解：因为剪成的圆直径和长方形的短边相等，所以在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；故选：B．点评：在一个长方形作最大圆，只能以短的那条边的长度为作为直径的长度．3.（2011•兴化市模拟）在同一个圆内，圆的周长是半径的（）倍．A．πB．2πC．3.14D．r【答案】B【解析】根据”圆的周长=2πr”可知：圆的周长÷r=2π；可知：圆的周长是它半径的2π倍；由此判断即可．解：在同一个圆内，圆的周长是半径的2π倍；故选：B．点评：解答此题应根据圆的半径、圆周率和圆的周长三者之间的关系．4.（2011•云阳县一模）圆内最长的线段有（）条．A.1B.4C.无数【答案】C【解析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段是直径，在圆内有无数条直径；据此解答．解：通过直径的定义可知：圆内最长的线段有无数条．故选：C．点评：在圆中，只有经过圆心并且两端在圆上的线段才是最长的．5.操作题：在如图的长方形里画一个最大的圆，使画的图形与长方形组成的组合图形有2条对称轴．【答案】如图【解析】由题意可知：所画的最大圆的直径应等于长方形的宽，再据轴对称图形的概念及特征，则圆心应和长方形的对角线的交点重合，从而可以作出符合要求的圆．解：如图所示，即为所要求画的圆：．点评：解答此题的关键是明白：所画的最大圆的直径应等于长方形的宽，圆心应和长方形的对角线的交点重合．6.画一个直径4.6厘米的圆，画出它的两条对称轴，使这两条对称轴互相垂直．【答案】如图【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4.6÷2=2.3厘米为半径画圆；（2）圆的对称轴有无数条，分别是经过圆心的直线，由此经过圆心画出两条互相垂直的直线即可．解：以点O为圆心，以4.6÷2=2.3厘米为半径画圆，并画出它的互相垂直的两条对称轴如图所示：点评：此题考查了利用圆的两大要素：圆心与半径画圆的方法，以及利用轴对称图形的定义确定圆的对称轴位置的方法的灵活应用．7.请你在如图方框内用圆规画一个直径是2厘米的圆，并标出圆心、半径和直径．【答案】如图【解析】先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为1厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆．解：先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为1厘米进行旋转一周，如下图所示：点评：此题考查了用圆规画圆的方法．8.按要求画圆．并用字母标出圆心、半径、直径．用圆规画一个半径是3cm的圆．【答案】如图【解析】根据“直径=半径×2”，代入数字，求出直径；圆心用字母“o”表示；半径用字母“r”表示；直径用字母“d”表示．解：直径=3×2=6（厘米）；作图如下：点评：此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出直径，然后根据半径即可画出圆．9.在正方形内画一个最大的圆，在梯形内画一个最大的圆．【答案】如图【解析】在正方形内画的最大的圆要以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半为圆的半径画圆；在梯形内画一个最大的圆要以通过上下底的中点的高的中点为圆心；梯形的高为直径画圆；据此解答即可解：如下图：点评：根据题意确定圆心和半径是画圆的关键．10.①画一个只有一条对称轴的图形．②画一个有无数条对称轴的图形．③以一条长3厘米的线段的两端为圆心，作半径分别是2厘米和1厘米的两个圆．【答案】如图【解析】①根据等腰三角形的特征，等腰三角形（非正三角形）只一条对称轴，就是过顶点与底边中点的连线所在的直线．②根据圆的特征，圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是圆的对称轴．③先画一条长3厘米的线段AB，再分别以这条线段的两个端点A、B为圆心，以2厘米、1厘米为半径画圆即可，这两圆外切．解：根据分析画图如下：故答案为：点评：本题主要是考查作轴对称图形、画圆．作轴对称图形时要根据轴对称图形的特征，沿某条直线对折，两边能完全重合；画圆时圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．11.连线．【答案】如图【解析】根据直径和半径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；由此可知：在同一个圆内，直径的长度都是半径长度的2倍，半径的长度是直径的一半；据此连线．解：根据分析连线如下：点评：此题主要考查在同一个圆中半径与直径的关系．12.在图形的下面，画出一样的图形并涂上颜色．【答案】如图【解析】先画一个圆，画出圆的一条直径，再以半径的中点为圆心在直径的上部画一个半圆，以另一条半径的中点为圆心，在直径的下部画一个半圆，据此即可得出这个图形．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题主要考查圆的画法，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．13.圆规两脚叉开的距离，就是圆的直径．．【答案】错误【解析】根据圆的画法：明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径；据此解答即可．解：用圆规画圆，两脚间的距离就是圆的半径，所以题干说法错误；故答案为：错误．点评：此题考查了圆的基础知识，平时应注意基础知识的积累．14.（1）量出右图线段的长是厘米．（取整厘米数）（2）在线段AB上取一点O，使AO=AB．（3）以O为圆心，以OB为半径画一个圆．（4）计算这个圆的面积．【答案】（1）3 （2）（3）如图，（4）4.5216平方厘米【解析】（1）经测量，右图线段的长是3厘米；（2）3×=1.8（厘米），从A点向右量1.8厘米即为O点，即AO=AB；（3）以OB为半径画圆，OB=3﹣1.8=1.2（厘米）；（4）据圆的面积公式：S=πR2可知，这个圆的面积为1.22×3.14．解：（1）经测量，右图线段的长是3厘米；（2）3×=1.8（厘米），从A点向右量1.8厘米即为O点，即AO=AB，如图：（3）以O为圆心，以OB为半径画的圆为：（4）OB=3﹣1.8=1.2（厘米），这个圆的面积为：1.22×3.14=4.5216（平方厘米）；故答案为：3．点评：完成本题要认真的进行实际测量．15.如图：（每个方格的边长表示1厘米）A点用数对（2，4）表示，B点用数对（10，3）表示．①请在图中找出C点（7，6）；②以C点为圆心，画一个半径为5厘米的圆；③在圆上有两点，D点（12，y），E点（x，6），则x= y=．【答案】如图，2；6【解析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可找出点C的位置；（2）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点C为圆心，以5厘米为半径画圆；（3）点D是画出的圆与第12列纵轴的切点，点E是与第6行横轴的切点，由此即可得出x、y 的值．解：（1）根据数对表示位置的方法可在平面图中标出点C的位置如图所示：（2）以点C为圆心，以5厘米为半径画圆，如上图所示；（3）观察图形可知，点D是画出的圆与第12列纵轴的切点，点E是与第6行横轴的切点，根据数对表示位置的方法可得：D的位置是（12，6），E的位置是（6，2），答：x=2，y=6，故答案为：（3）2；6．点评：此题考查了数对表示位置以及圆的画法的灵活应用．16.（1）在图中找出圆的圆心和半径并用字母标出来．（2）计算出这个圆的周长和面积．（取整厘米数）【答案】如图，周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米【解析】（1）依据圆的各部分的名称，即可进行标注；（2）量出圆的半径的长度，再据圆的周长和面积公式即可得解．解：（1）标注如下：（2）3.14×2×2=12.56（厘米），3.14×22=12.56（平方厘米）；答：圆的周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，是基础题目．17.动手画一画、算一算．在一个长为4cm，宽2cm的长方形（如图）中画一个最大的圆，并计算出它的周长与面积．【答案】如图，周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米【解析】（1）这个长方形内最大的圆，是以长方形的宽的长度为直径的圆，由此即可以长方形对角线的交点为圆心，以2厘米为直径画出这个圆；（2）利用圆的周长=πd、圆的面积=πr2，代入数据即可解答．解：（1）以长方形对角线的交点为圆心，以2厘米为直径画出这个圆；（2）圆的周长为：3.14×2=6.28（厘米），圆的面积为：3.14×=3.14（平方厘米），答：这个圆的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米．点评：此题考查了长方形内最大圆的画法以及圆的周长和面积公式的计算应用．18.（1）圆心的位置用数对表示是（2，2），在方格中标出圆心0，并根据圆心的位置画一个半径为1cm的圆．（2）画出该圆向上平移4格后的图形，这时圆心的位置用数对表示是（，）．【答案】（1）如图（2）如图，平移后圆心的位置用数对表示是（6，2）．（1）（2）【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点（2，2）为圆心，以1厘米为半径画圆；（2）向右平移加，向下平移减，依此可得平移后圆心的位置．解：（1）如下图所示：（2）如图：2+4=6，故平移后圆心的位置用数对表示是（6，2）．故答案为：6，2．点评：考查了画圆，同时考查了数对与位置，注意“左减右加，上加下减”，综合性较强．19.在右面正方形中画出一个最大的圆；测量出相关数据（标在图上），再求这个圆的周长．【答案】如图，周长是6.28厘米【解析】要在正方形中画一个最大的圆，可先测量出正方形的边长即圆的直径是多少，再连接正方形的两条对角线，以对角线的交点O为圆心、以测量的直径的一半为半径画圆即可；再据圆的周长C=πd，代入数据即可求解．解：连接正方形的两条对角线，以对角线的交点O为圆心、以测量的直径（2厘米）的一半（2÷2=1厘米）为半径画圆，如下图；，圆的周长为：3.14×2=6.28（厘米）；答：这个圆的周长是6.28厘米．点评：解答此题要注意两点：①以对角线的交点为圆心来画圆，②正方形的边长的一半等于圆的半径．20.（1）量出下图长方形的长是厘米，宽是厘米．（2）如果在长方形里画一个最大的半圆，半圆的直径是厘米．（3）请画出这个半圆．（4）请计算出这个半圆的周长和面积．【答案】（1）10，8，（2）10，（3）如图（4）半圆周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米【解析】（1）先测量出线段的长和宽；（2）在长方形中画最大的半圆时应以10厘米为直径．（3）用圆的周长公式与面积公式计算出这个半圆的周长和面积．解：（1）用直尺测量出长方形的长是10厘米，宽是8厘米；（2）半圆的直径是10厘米；（3）用圆规以10厘米长为直径画出半圆，（如图）：（4）周长：3.14×10÷2+10，=25.7（厘米）．面积：3.14×（10÷2）2÷2，=39.25（平方厘米）．故答案为：（1）10，8，（2）10，半圆周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米．点评：此题考查学生对线段的测量方法、作图能力以及半圆周长和面积的计算方法．21.先将三角形绕C点按顺时针方向旋转90°，再将旋转后的三角形向右平移四格．【答案】如图【解析】（1）此题应先根据题意先找出B点旋转90度后的B1点，然后找出A旋转后的点A1，连接B1A1，CA1即可；（2）然后找出向右平移四格后的各点，即B2，A2，C1，分别连接即可．解：作图如下图：点评：此题应结合题意，进行认真分析，然后根据平移和旋转的知识，先找出各点，然后连接即可．22.（2012•哈尔滨模拟）按要求画图：（1）把三角形ABC向右平移5格，新的三角形3个顶点分别用A1、B1和C1表示．（2）以A1为圆心，以A1C1半径，画一个圆．【答案】如图【解析】（1）找出三角形的三个顶点A、B、C，然后向右数出5格，表出三角形的三个顶点的对应点，然后连接画出平移的三角形，最后标上用A1、B1和C1；（2）找出顶点A1定位圆心，然后以以A1C1半径，画一个圆即可．解：画图如下：点评：本题主要考查图形的平移和画圆，注意平移要找出对应点和平移的格数，画圆要找准圆心和半径．23.请画个直径是4厘米的圆．请在圆外取一点，并用字母A表示，过A点．请你画这个圆的对称轴．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小，由此即可画圆；圆的对称轴有无数条，分别是经过圆心的直线．解：以点o为圆心，以4÷2=2（厘米）为半径画圆，并画出经过点A的对称轴如图所示：点评：此题考查了圆的画法以及确定圆的对称轴的方法．24.画一个直径是6厘米的圆．它的周长是．【答案】18.84厘米【解析】先画一条6厘米的线段，以这条线段的中点为圆心，以6÷2=3厘米为半径，即可画出符合要求的圆，再据圆的周长公式即可求解．解：先画一条6厘米的线段，以这条线段的中点为圆心，以6÷2=3厘米为半径，画圆如下：圆的周长为：3.14×6=18.84厘米；故答案为：18.84厘米．点评：此题主要考查圆的基本画法和圆的周长的计算方法．25.（2009•泸西县模拟）星期天，小刚用一根10米长的绳子牵马到地里去放，这块空地长20米，宽10米．（1）他要把马拴在这块空地的什么位置？绳子要放多长才能使马吃到草的面积最大．且吃不到隔壁王大伯家的小麦．（2）请选择适当的比例尺，把空地和马吃草的面积画出来，并用阴影表示出马吃草的面积．【答案】（1）绳子要放5米才能使马吃到草的面积最大．且吃不到隔壁王大伯家的小麦．（2）如图【解析】（1）马吃到草的最大面积应是以这块地的宽为直径的圆的面积，所以拴马的位置是以长方形的宽为直径的圆心，要放的绳子的长度就等于圆的半径，即等于长方形的宽的一半；（2）依据实际长度可以选择适当的比例尺，在图上将圆的面积用阴影表示出来即可．解：（1）要放的绳子的长度就等于圆的半径，即等于长方形的宽的一半，10÷2=5（米）；（2）10米=1000厘米，则1厘米：1000厘米=1：1000；20米=20000厘米，2000×=2厘米；所画图形下图所示：．答：绳子要放5米才能使马吃到草的面积最大．且吃不到隔壁王大伯家的小麦．点评：解答此题的关键是明白：马吃到草的最大面积应是以这块地的宽为直径的圆的面积，拴马的位置是以长方形的宽为直径的圆心，要放的绳子的长度就等于圆的半径．26.按要求完成下列各项操作．（每小格的边长是1厘米）（1）画出把图M按2：1的比放大后的图形．（2）画出把图M绕点B逆时针旋转90°后的图形．（3）在A点南偏东45°方向画一个直径为4厘米的圆．【答案】如图【解析】（1）画出把图M按2：1的比放大后的图形，就是把图M的各边的长度扩大到原来的2倍，然后以扩大后的边长为边长画出图N；（2）画出把图M绕点B逆时针旋转90°后的图形，点B的位置不变，把图M的各边均绕点B逆时针旋转90°，即可画出，如图M′；（3）在A点南偏东45°方向画一个直径为4厘米的圆，先在点A的东南（东偏南45°）方向上确定圆心O，然后以点O为圆心，以4厘米为直径画圆．解：画图如下：故答案为：点评：本题考查的知识点有：图形的放大与缩小、作旋转一定角度后的图形、根据方向和距离确定圆心、根据直径画圆等．27.在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是厘米．【答案】2，3【解析】由题意可知：长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽，即这个圆的半径是2厘米；根据长方形内最大的半圆的特点可知，这个半圆的直径是6厘米，由此可以求出这个半圆的半径．解：由分析可知：在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是：4÷2=2厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是：6÷2=3厘米；故答案为：2，3．点评：此题关键是根据长方形内最大圆和半圆的特点进行分析、解答．28.圆的半径决定圆的，圆心决定圆的．【答案】大小，位置【解析】根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”进行解答即可．解：圆半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置；故答案为：大小，位置．点评：此题考查了圆的基础知识的掌握情况，注意对基础知识的积累和理解．29.不通过圆心的任何线段都不是直径．．（判断对错）【答案】√【解析】通过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，题目中没说两端在圆上，所以根据此点可以进行判断．解：由直径的定义知：直径要过圆心，且两端都在圆上，所以题目中的说法正确；故答案为：√．点评：此题考查了直径的定义．30.半径或直径决定了圆的位置．．（判断对错，并改正）【答案】×【解析】根据画圆的方法，以定点为圆心，以定长为半径，旋转一周所画的图形就是圆．解：根据画圆的方法，以定点为圆心，也就是说圆心决定圆的位置，以定长为半径，即半径决定了圆的大小，所以，圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小．故答案为：×．点评：此题考查了圆的性质，要熟练掌握，灵活运用．31.圆周率是表示圆的周长与所在直径的比值，等于3.14．．（判断对错）【答案】×【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值叫做圆周率，圆周率用字母“π”表示，π≈3.14，圆周率π是一个无限不循环小数；进而解答即可．解：由圆周率的含义可知：圆的周长与直径的比值等于3.14，说法错误．故答案为：×．点评：此题应根据圆周率的含义进行分析、解答．32.在一个长1Ocm、宽6cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径长cm．【答案】6【解析】在这个长方形纸上画的最大圆的直径应等于长方形的宽，据此解答．解：由分析可知：在一个长1Ocm、宽6cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径长6厘米；故答案为：6．点评：解答此题的关键是明白：在这个长方形纸上画的最大圆的直径应等于长方形的宽．33.如果把一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么这个圆的直径就扩大到原来的倍．【答案】3【解析】根据圆的d=2r，一个圆的半径扩大到原来的n倍，这个圆的直径就扩大到原来的n倍．解：把一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么这个圆的直径就扩大到原来的3倍；故答案为：3．点评：本题考查了积的变化规律在圆的d=2r中的灵活应用，可以把它当作结论记住．34.所有的半径都相等，而且半径长度一定等于直径的．．（判断对错）【答案】√【解析】只有在同圆和等圆中，圆的半径都相等，根据“r=d÷2”半径的长度是直径长度的；因为没说明是不是同圆和等圆中，所以说法错误．解：只有在同圆和等圆中，所有的半径都相等，而且半径长度一定等于直径的，前提是：在同圆和等圆中；故答案为：√．点评：解答此题的关键：认真审题，明确此题成立的前提：是在同圆或等圆中．35.直径一定比半径长．．（判断对错）【答案】×【解析】必须在同一个圆或等圆中，直径才比半径长，不在同一个圆或等圆中，直径和半径是无法比较的．解：必须在同圆或等圆中，直径才比半径长．所以上面的说法是错误的．故答案为：×．点评：此题考查只有在同圆或等圆中，研究直径和半径长度的比较才有意义．36.用圆规画一个直径10厘米的圆，圆规两脚间的距离应是厘米．它的周长是．【答案】5，31.4厘米【解析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，直径已知，从而可以求出圆的半径，于是以任意一点为圆心，5厘米线段为半径即可画出符合要求的圆，进而利用圆的周长公式即可求其周长．解：如图所示，即为所要求画的圆；圆的半径：10÷2=5（厘米），圆的周长：3.14×10=31.4（厘米）；答：圆规两脚间的距离应取5厘米，所画圆的周长是31.4厘米．故答案为：5，31.4厘米．点评：解答此题的关键是明白：圆规两脚间的距离就是圆的半径．37.在同一个圆里，所有的半径都，所有的直径都．【答案】相等，相等【解析】依据圆的认识及在同一个圆中半径与直径的关系即可作答．解：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等；故答案为：相等，相等．点评：此题主要考查在同一个圆中半径与直径的关系．38.直径等于半径的．（判断对错）【答案】×【解析】在同圆或等圆中，直径是它半径的2倍；由此判断即可．解：直径等于半径的，说法错误．故答案为：×．点评：此题考查了对圆的基础知识的掌握情况，应注意基础知识的积累和灵活运用．39.在同一个圆里，半径是5厘米，直径是厘米．【答案】10【解析】根据同圆中：d=2r，代入数值，进行解答即可．解：5×2=10（厘米）；答：直径是10厘米；故答案为：10．点评：根据同圆或等圆中，半径和直径之间的关系进行解答．40.在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等．．【答案】√【解析】根据圆的特征可知：在同圆或等圆中，同一圆里，所有的直径都相等，所有的半径也相等；进而判断即可．解：根据圆的特征可得：在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等；故答案为：√．点评：此题考查了圆的特征．41.在一个圆里能画出无数条直径．．【答案】正确【解析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；这样的线段在圆中有无数条，所以一个圆里能画出无数条直径；据此判断．解：根据圆的直径的含义及圆的特征可知：圆有无数条直径；故答案为：正确．点评：本题考查了直径的含义及圆的特征．42.圆的周长是它的直径的倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫，常用字母表示．它是一个小数，取两位小数是．【答案】3，圆周率，π，无限不循环，3.14【解析】圆周率（π）是一个常数（约等于3.141592654），是圆的周长和它直径的比值．它是一个无理数，即是一个无限不循环小数．但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位；据此解答．解：由圆周率的含义可知：圆的周长是它的直径的3倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫圆周率，常用字母π表示．它是一个无限不循环小数，取两位小数是3.14；故答案为：3，圆周率，π，无限不循环，3.14．点评：此题考查了圆周率的含义及字母表示方法．43.圆的所有对称轴都相交于的一点；在日常生活中，我看到的，如的面、的面都是圆形的．【答案】圆心、圆桌、锅盖【解析】依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可进行解答．解：据分析可知：圆的所有对称轴都相交于圆心的一点；在日常生活中，我看到的，如圆桌的面、锅盖的面都是圆形的．故答案为：圆心、圆桌、锅盖．点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的意义及其对称轴的条数．44.圆是图形，圆的位置由决定．圆的大小由决定．【答案】轴对称，圆心，半径．【解析】依据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此可知：圆是轴对称图形；由圆的定义和画法可知：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；据此解答即可．解：圆是轴对称图形，圆的位置由圆心决定．圆的大小由半径决定的；故答案为：轴对称，圆心，半径．点评：此题考查了圆的含义及特征，应注意基础知识的积累和运用．45.决定圆面积大小的是．【答案】圆的半径【解析】根据圆的面积公式：s=πR2，在这个公式里π 是常数，s与半径的平方成正比，即半径。
圆和扇形(经典题汇总)
圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念. 及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．圆是我们在生活中经常见到的图形. 它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴. 绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且. 所有的平面图形在周长相同的情况下. 圆的面积是最大的．我们知道 . 圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数. 这正是圆周率 . 用π表示．另外 . 一般把直径记作 d.半径记作 r .如图1所示．rd图 1所以 . 圆的周长C d 2r . 圆的面积S r 2．如图 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分. 所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．n°r图 3扇形的圆心角为n°时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的n ．360所以 . 扇形弧长 =n 2 r .面积=n r 2．360360我们先来熟悉一下这些公式．练习：1.半径是 2 的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是 5 的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是 10π的圆的面积是多少？4.面积是 9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题 1.已知扇形的圆心角为120° . 半径为 2. 则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）例题 2. 已知扇形面积为18.84 平方厘米 . 圆心角为60° . 则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14 计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为 0.785 厘米 . 圆心角为 45 . 这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是 157 平方厘米 , 这个扇形的圆心角是多少？例题 3.如图.直角三角形ABC的面积是45. 分别以B. C 为圆心.3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58 ．请问：角A是多少度？（π取3.14）ABC二、圆中方 . 方中圆例题 4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是 2. 那么大圆、小圆的面积分别为________、 ________．随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是 4. 里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题 5.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（ 2）23随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（2）47例题 6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（2）22例题 7.已知图中正方形的边长为 2. 分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心. 那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）例题 8.根据图中所给数值.求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取 3.14 ）4随堂练习：1. 根据下图中给出的数值. 求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）6例题 9.求图中阴影部分的面积．（圆周率取 3.14）45 o45o20厘米思考题图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点 . 它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是 1 厘米 . 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业：1.半径为 4 厘米的圆的周长是 ________厘米 . 面积是 ________平方厘米；2. 半径为 4 厘米 . 圆心角为 90 的扇形周长是________厘米 . 面积是 ________平方厘米．（取3.14）3.家里来客人了 . 淘气到超市买了 4 瓶啤酒 . 售货员阿姨将 4 瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示） . 捆 4 圈至少要用绳子 ________厘米．（取 3.14. 接头处忽略7 厘米O 不计）4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（ 2）11011105. 下列图形中的正方形的边长为 2. 则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______ 、 ______．（取3.14 ）6.用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料 . 从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？O圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程.并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、重叠问题例题 1.下图中甲区域比乙区域的面积大57 平方厘米 . 且半圆的半径是10 厘米 . 那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取 3.14 ）乙甲例题 2.下图中有一个等腰直角三角形ABC.一个以AB 为直径的半圆. 和一个以BC 为半径的扇形．已知AB BC 10 厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π 取3.14）AEDC B随堂练习1.如图 17-13. 以AB为直径做半圆 . 三角形ABC是直角三角形 . 阴影部分①比阴影部分②的面积小28 平方厘米 . AB长 40 厘米．求BC的长度．（取 3.14 ．）C②①B A例题 3.如图.直角三角形的两条直角边分别为 3 和 5. 分别以三条边做了 3 个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上）. 那么阴影部分的面积为______．435例题 4.图1是一个直径是 3 厘米的半圆 . AB是直径．如图 2 所示 . 让A点不动 . 把整个半圆逆时针转60° .此时 B 点移动到 C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）C图 160A B图2二、动态扫面积问题例题 5.如图.正方形ABCD边长为1厘米.依次以A、B、C、D为圆心.以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形 . 那么阴影部分的面积为 ________平方厘米．（取 3.14 ）EA D HF CBG例题 6.如图所示.以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心.分别以AB、CD、AE为半径画弧.这样形成的曲线ADEF被称为正三角形 ABC的渐开线.如果正三角形 ABC的边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘米 . 图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？AIIIIC DBIIE三、运动圆扫面积例题 7.图中正方形的边长是 4 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 . 其扫过的面积有多大？（π 取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是 10 厘米 . 宽是 4 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时. 其扫过的面积有多大？（π 取3.14）例题 8.图中等边三角形的边长是 3 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时. 其扫过的面积有多大？（π 取3.14）思考题如图所示 . 一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处. 四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越. 小狗身长忽略不计 . π取 3）狗作业：1.图 17-14 由一个长方形与两个 90 角的扇形构成 . 其中阴影部分的面积是 _______平方厘米．（取3.14 ．）25图17-142.图中有一个矩形和两个半径分别为5 和 2 的直角扇形 . 那么两个阴影部分的面积相差为_______ ．（π取 3.14 ）3. 如图 . 直角三角形的两条直角边长分别是10cm和 6cm. 分别以直角边为直径作出两个半圆. 这两个半圆的交点恰好落在斜边上. 那么阴影部分的面积是2）_______cm．（取 3.14（ 17 30）6cm10cm4. 图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆 . AB是直径．如图 2 所示 . 让A点不动 . 把整个半圆逆时针转60° .此时 B 点移动到 C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取 3.14）CC图 140A B图25.图中正方形的边长是 6 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 . 其扫过的面积有 ______．（π取 3.14 ）6.图中等边三角形的边长是 5 厘米 . 圆形的半径是 1 厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时 . 扫过的面积有 ________．（π取 3.14 ）几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数. 特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题 1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状. 其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（ 3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边）. 剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有 _______个三角形；例题 2.如图.它是由18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形. 其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_______．例题 3.如图.AB.CD.EF.MN互相平行.则图中三角形个数是_______．A BDE FM N例题 4.图中有多少个正方形？二、与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数. 特别是对于矩形和四边形的计数问题例题 5.如图.线段AB.BC.CD.DE的长度都是 3 厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米A B C D E随堂练习1.求图中一共有多少条线段．例题 6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1. 如图 . 四条边长度都相等的四边形称为菱形．用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数 . 图中共有多少个菱形？例题 7.右图是一个长为9. 宽为 4 的长方形网格. 每一个小格都是一个正方形. 那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个 . 正方形有 ________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有 _______ 个．包含的正方形又有 _______个．（2）图中同时包含和★的长方形有_______个．★三、与容斥原理有关的几何计数例题 8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有 _______个矩形思考题用16 个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 4 的大等边三角形 . 那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有 _______个三角形．【分析与解】按边长分类数. 图中共有 9 3 1 13 个三角形；平行四边形共有 3 3 3 215 个．3.在图中 . 包含※的长方形共有 ________个．※4.图中有 _______个矩形 ._______ 个正方形．【分析与解】图中共有7 1 8 个正方形 .19 个长方形．这道题适合按大小分类数．5.图中有三角形 _______个 . 梯形 _______个．AB C【分析与解】三角形有 3 1 2 3 18个.梯形有 1 2 1 2 3 18个．6.图中有 _______个正方形 ._______ 个长方形．【分析与解】答案是 38.144 ．长方形有123 123452123123 144个.正方形有3524132 94138 个（这里给出正方形的求法比较巧妙. 如果不合适 . 请按正方形的边长分类枚举）．行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题. 行程问题主要有三组共9 个基本公式：（1）路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度；（2）相遇路程速度和时间；速度和相遇路程时间；时间相遇路程速度和；（3）追及路程速度差时间；速度差追及路程时间；时间追及路程速度差．要会灵活运用公式. 通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时 . 我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时 . 时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时 . 速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时. 时间的倍数关系等于速度的倍数关系. 但注意时间长的速度慢. 时间短的速度快．例题 1.（）甲、乙两地间的路程是600 千米 . 上午 8 点客车以平均每小时60 千米的速度从甲地开往乙地 . 货车以平均每小时50 千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇. 货车必须在上午几点出发？例题 2.（）某学校组织学生去春游. 以 2 米 / 秒的速度前进. 一名学生以 4 米 / 秒的速度从队尾跑到队头 . 再回到队尾 . 共用 6 分钟 . 那么队伍的总长为多少米？例题 3. A 城在一条河的上游. B城在这条河的下游．A、B 两城的水路距离为396 千米．一艘在静水中速度为每小时 12 千米的渔船从 B 城往 A 城开.一艘在静水中速度为每小时30 千米的治安巡逻艇从A城往B城开．已知河水的速度为每小时 6 千米 . 从A流向B．两船在距离 A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达 B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯. 于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达 A 城之前追上渔船？如果能的话. 请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话. 请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城．前我超过了一只乌龟”. 接着蜗牛继续爬了10 分钟 . 遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍 . 那么兔子速度是乌龟速度的________倍．例题 5.甲、乙二人相距100 米的直路上来回跑步, 甲每秒钟跑 2.8 米 , 乙每秒钟跑 2.2 米 . 他们同时分别在直路两端出发, 当他们跑了30 分钟时 , 这段时间内相遇了几次？例题 6.甲乙两车同时从A、B 两地出发相向而行. 两车在距离 B 地64千米的地方第一次相遇. 相遇后两车继续原速前进. 并且在到达对方出发点之后. 立即沿原路返回. 途中在距离A点48千米处第二次相遇.问：两次相遇点距离是多少千米？例题 7.甲、乙两车分别从、两地出发 .在、B 之间不断往返行驶. 已知甲车的速度是每小时15千米 .A B A乙车的速度是每小时35 千米 . 并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米.那么.、B 两地之间的距离等于_________ 千米．A例题 8.快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发. 沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这 3 辆车分别用6分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24 千米 . 中车每小时走20 千米 . 那么 .慢车每小时走多少千米？例题 9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到 B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚出发 10 分钟 . 出发后 60 分钟追上丙 . 问 . 甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中 . 当小明跑了 1600 米时 . 小刚跑了 1450 米 . 此后两人分别以每秒 a 米和每秒 b 米匀速跑 . 又过 100 秒时小刚追上小明 .200 秒时小刚到达终点 .300 秒时小明到达终点 . 这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进. 快车每秒行 18 米 . 慢车每秒行 10 米 . 行 12 秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进 . 则 9 秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车 6 点（ 24 小时制）从 A 城出发 . 以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去 .3 小时后一辆小轿车以每小时 75 千米的速度也从 A 出发到 B．当小轿车到达 B 后 . 中巴车离 B还有 90 千米．那么中巴车是几点几分到达 B 的？3.甲、乙两人从相距为 46 千米的 A、B 两地出发相向而行 . 甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后 4 小时相遇 . 又已知甲比乙每小时快 2 千米 . 那么乙的速度为每小时多少千米？4. 甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50 米 . 乙走完全程要30 分钟．相对而行10 分钟后 . 甲、乙仍相距100 米．那么还要过多少秒钟. 甲、乙第一次相遇？5. （第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22 题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提空桶时每秒走 3 米 . 提满桶时每秒 2 米. 来回一趟需10 分钟。
圆和扇形(经典题汇总)
圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念.及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且.所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的．我们知道.圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用π表示．另外.一般把直径记作d .半径记作r .如图1所示．所以.如图3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分.所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．扇形的圆心角为n °时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n． 所以我们先来熟悉一下这些公式． 练习：n °r 图3图11.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是10π的圆的面积是多少？4.面积是9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°.半径为2.则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米.圆心角为60°.则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米.圆心角为45.这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？例题3.如图.直角三角形ABC 的面积是45.分别以B .C 为圆心.3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14）二、 圆中方.方中圆例题4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是2.那么大圆、小圆的面积分别为________、________．随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是4.里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）例题7.已知图中正方形的边长为2.分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心.那么图中阴影部分的面积为________．（答案用 表示）例题8.根据图中所给数值.求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）472随堂练习：1.根据下图中给出的数值.求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率 取3.14）思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点.它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米.那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米.面积是________平方厘米；2.半径为4厘米.圆心角为90︒的扇形周长是________厘米.面积是________平方厘米．（π取3.14）3.家里来客人了.淘气到超市买了4瓶啤酒.售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示）.捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14.接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）：（1）（2）5.下列图形中的正方形的边长为2.则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）6.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料.从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程.并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、 重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米.且半圆的半径是10厘米.那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率π取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC .一个以AB 为直径的半圆.和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）随堂练习1. 如图17-13.以AB 为直径做半圆.三角形ABC 是直角三角形.阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB 长40厘米．求BC 的长度．（π取3.14．）ABB例题3.如图.直角三角形的两条直角边分别为3和5.分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上）.那么阴影部分的面积为______．例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆.AB 是直径．如图2所示.让A 点不动.把整个半圆逆时针转60°.此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）二、 动态扫面积问题例题5.如图.正方形ABCD 边长为1厘米.依次以A 、B 、C 、D 为圆心.以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形.那么阴影部分的面积为________平方厘米．（π取3.14）图1B图2例题6.如图所示.以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心.分别以AB、CD、AE为半径画弧.这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线.如果正三角形ABC的边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘米.图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？三、运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是4厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是10厘米.宽是4厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题8.图中等边三角形的边长是3厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示.一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处.四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越.小狗身长忽略不计.π取3）作业：1. 图17-14由一个长方形与两个90︒角的扇形构成.其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（π取3.14．）2. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）图17-14狗3.如图.直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm.分别以直角边为直径作出两个半圆.这两个半圆的交点恰好落在斜边上.那么阴影部分的面积是_______cm2．（π取3.14）（17π-30）4.图1是一个直径是3厘米的半圆.AB是直径．如图2所示.让A点不动.把整个半圆逆时针转60°.此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）5.图中正方形的边长是6厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有______．（π取3.14）6.图中等边三角形的边长是5厘米.圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时.扫过的面积有________．（π取3.14）图1 B图26cm几何计数知识总结：例题：一、 枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数.特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状.其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边）.剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习 1. 图中共有_______个三角形；例题2.如图.它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有_______．*例题3.如图.AB .CD .EF .MN 互相平行.则图中三角形个数是_______．例题4.图中有多少个正方形？二、 与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数.特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图.线段AB .BC .CD .DE 的长度都是3厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？随堂练习1. 求图中一共有多少条线段．3厘米3厘米 3厘米 3厘米 A BC D EB MAEF D N例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1. 如图.四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数.图中共有多少个菱形？例题7.右图是一个长为9.宽为4的长方形网格.每一个小格都是一个正方形.那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个.正方形有________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有_______个．包含☺的正方形又有_______个．（2）图中同时包含☺和★的长方形有_______个．三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_______个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形.那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有_______个三角形．【分析与解】按边长分类数.图中共有93113++=个三角形；平行四边形共有333215⨯+⨯=个．3. 在图中.包含※的长方形共有________个．4. 图中有_______个矩形._______个正方形．【分析与解】图中共有718+=个正方形.19个长方形．这道题适合按大小分类数．5. 图中有三角形_______个.梯形_______个．【分析与解】三角形有()312318⨯++=个.梯形有()()1212318+⨯++=个．6. 图中有_______个正方形._______个长方形．【分析与解】答案是38.144．长方形有()()()()123123452123123144++⨯++++⨯-++⨯++=⎡⎤⎣⎦ 个.正方形有()()352413294138⨯+⨯+⨯⨯-++=个（这里给出正方形的求法比较巧妙.如果不合适.请按正方形的边长分类枚举）．行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题.行程问题主要有三组共9个基本公式：（1） =⨯路程速度时间；=÷速度路程时间；=÷时间路程速度；（2） =⨯相遇路程速度和时间；=÷速度和相遇路程时间；=÷时间相遇路程速度和；（3） =⨯追及路程速度差时间；=÷速度差追及路程时间；=÷时间追及路程速度差．要会灵活运用公式.通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时.我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时.时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时.速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时.时间的倍数关系等于速度的倍数关系.但注意时间长的速度慢.时间短的速度快．例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米.上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇.货车必须在上午几点出发？例题2. （ ）某学校组织学生去春游.以2米/秒的速度前进.一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头.再回到队尾.共用6分钟.那么队伍的总长为多少米？例题3. A 城在一条河的上游.B 城在这条河的下游．A 、B 两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B 城往A 城开.一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B 城开．已知河水的速度为每小时6千米.从A 流向B ．两船在距离A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯.于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A 城之前追上渔船？如果能的话.请问巡逻艇在距A 城多远的地方追上渔船；如果不能的话.请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A 城．例题4. 蜗牛沿着公路前进.对面来了一只兔子.他问兔子：“后面有乌龟吗？”.兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”.接着蜗牛继续爬了10分钟.遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍.那么兔子速度是乌龟速度的________倍．例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行.两车在距离B地64千米的地方第一次相遇.相遇后两车继续原速前进.并且在到达对方出发点之后.立即沿原路返回.途中在距离A点48千米处第二次相遇.问：两次相遇点距离是多少千米？例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发.在A、B之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时15千米.乙车的速度是每小时35千米.并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米.那么.A、B两地之间的距离等于_________ 千米．例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发.沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米.中车每小时走20千米.那么.慢车每小时走多少千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚出发10分钟.出发后60分钟追上丙.问.甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中.当小明跑了1600米时.小刚跑了1450米.此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑.又过100秒时小刚追上小明.200秒时小刚到达终点.300秒时小明到达终点.这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进.快车每秒行18米.慢车每秒行10米.行12秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进.则9秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发.以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B．当小轿车到达B后.中巴车离B还有90千米．那么中巴车是几点几分到达B的？3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行.甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后4小时相遇.又已知甲比乙每小时快2千米.那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50米.乙走完全程要30分钟．相对而行10分钟后.甲、乙仍相距100米．那么还要过多少秒钟.甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提空桶时每秒走3米.提满桶时每秒2米.来回一趟需10分钟。
圆与扇形(经典题汇总情况)
圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示．如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n ．n °r 图3图1我们先来熟悉一下这些公式．练习：1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是10π的圆的面积是多少？4.面积是9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45o，这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？例题3.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）二、圆中方，方中圆例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）2例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1）（2）例题7.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用 表示）2例题8.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）随堂练习：1. 根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率 取3.14）思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；2.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（π取3.14）3.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14，接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）5.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）6.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？1 1圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、 重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率π取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）随堂练习1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴AB影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度．（π取3.14．）例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）图1B二、 动态扫面积问题例题5.如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（ 取3.14）例题6.如图所示，以等边三角形的B 、C 、A 三点分别为圆心，分别以AB 、CD 、AE 为半径画弧，这样形成的曲线ADEF 被称为正三角形ABC 的渐开线，如果正三角形ABC 的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I 、II 、III 三部分的面积之和是多少平方厘米？三、 运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原D来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题8.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）作业：1. 图17-14由一个长方形与两个90︒角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（π取3.14．）2. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm 和6cm ，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm 2．（π取3.14）（17π-30）图17-14 狗4. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）5. 图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）6. 图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）图1B6cm几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有_______个三角形；例题2.如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有_______．例题3.如图，AB ，CD ，EF ，MN 互相平行，则图中三角形个数是_______．例题4.图中有多少个正方形？二、 与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图，线段AB ，BC ，CD ，DE 的长度都是3厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？B MAEF D N *3厘米3厘米3厘米3厘米A B C D E随堂练习1.求图中一共有多少条线段．例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1.如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？例题7.右图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个，正方形有________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有_______个．包含☺的正方形又有_______个．（2）图中同时包含☺和★的长方形有_______个．三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_______个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有_______个三角形．【分析与解】按边长分类数，图中共有93113++=个三角形；平行四边形共有333215⨯+⨯=个．3. 在图中，包含※的长方形共有________个．4. 图中有_______个矩形，_______个正方形．【分析与解】图中共有718+=个正方形，19个长方形．这道题适合按大小分类数．5. 图中有三角形_______个，梯形_______个．【分析与解】三角形有()312318⨯++=个，梯形有()()1212318+⨯++=个．6. 图中有_______个正方形，_______个长方形．【分析与解】答案是38，144．长方形有()()()()123123452123123144++⨯++++⨯-++⨯++=⎡⎤⎣⎦ 个，正方形有()()352413294138⨯+⨯+⨯⨯-++=个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）．行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式：（1） =⨯路程速度时间；=÷速度路程时间；=÷时间路程速度；（2） =⨯相遇路程速度和时间；=÷速度和相遇路程时间；=÷时间相遇路程速度和；（3） =⨯追及路程速度差时间；=÷速度差追及路程时间；=÷时间追及路程速度差．要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快．例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例题2. （ ）某学校组织学生去春游，以2米/秒的速度前进，一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总长为多少米？例题3. A 城在一条河的上游，B 城在这条河的下游．A 、B 两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B 城往A 城开，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B 城开．已知河水的速度为每小时6千米，从A 流向B ．两船在距离A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城．例题4.蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的________倍．例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距离B地64千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续原速前进，并且在到达对方出发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点48千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于_________ 千米．例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B．当小轿车到达B后，中巴车离B还有90千米．那么中巴车是几点几分到达B的？3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50米，乙走完全程要30分钟．相对而行10分钟后，甲、乙仍相距100米．那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，他提空桶时每秒走3米，提满桶时每秒2米，来回一趟需10分钟。
数学圆扇形圆环试题
数学圆扇形圆环试题1.下列语句错误的是（）A．任何一个圆的周长除以它的直径的商是πB．周长相等的两个圆的直径也相等C．π＜D．大弧所对的圆心角也大【答案】D【解析】根据圆的周长公式，圆的周长与直径的关系，数的大小比较，弧与圆心角之间的关系即可求解．解：A、任何一个圆的周长除以它的直径的商是π是正确的，不符合题意；B、周长相等的两个圆的直径也相等是正确的，不符合题意；C、因为π=3.1415926…，=3.142857，所以π＜是正确的，不符合题意；D、同一个圆中，大弧所对的圆心角大，原来的说法是错误的，符合题意．故选：D．点评：考查了圆的周长，数的大小比较，弧与圆心角之间的关系，综合性较强，度数难度不大．2.在同一个圆内直径等于半径的（）A.一半B.2倍C.相等【答案】B【解析】根据圆的直径和半径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍．解：同一个圆中，直径的长度是半径的2倍．故选：B．点评：一定要注意，在“同一个圆的中”直径才是半径的2倍．3.画一个周长为15.7厘米的圆，并标出它的半径和直径．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小，先利用周长公式求出这个圆的半径，即可画出符合题意的圆．解：15.7÷3.14÷2=2.5（厘米），由此以点O为圆心，以2.5厘米为半径画圆，如图所示：点评：此题考查了圆的两大要素：圆心与半径，以及圆的周长公式的计算应用．4.填表．【答案】如图【解析】根据圆的公式C=2πr和C=πd以及在同一圆内直径为半径的2倍，据此解答后再填表即可得到答案．解：半径为1.5厘米，直径：1.5×2=3（厘米），周长：3.14×2×1.5=9.42（厘米）；直径为4分米，半径：4÷2=2（分米），周长：3.14×4=12.56（分米）；周长为15.7厘米，直径：15.7÷3.14=5（厘米）；半径：5÷2=2.5（厘米）；直径3.6厘米，半径：3.6÷2=1.8（厘米），周长：3.14×3.6=11.304（厘米）；半径为100厘（，直径：100×2=200（厘米），周长：3.14×2×100=628（厘米）；周长为78.5米，直径：78.5÷3.14=25（米），半径：25÷2=12.5（米）；填表．半径r 1.5厘米 2分米 2.5厘米 1.8厘米 100厘米 12.5米直径d 3厘米 4分米 5厘米 3.6厘米 200厘米 25米周长C 9.42厘米 12.56分米 15.7厘米 11.304厘米 628厘米 78.5米点评：此题主要考查的是圆的周长公式、在同一圆内半径和直径的关系这两个知识点．5.画出一个环形，并计算面积．R=3厘米 r=2厘米．【答案】如图，环形的面积是15.7平方厘米【解析】如图所示，环形的面积=π×（R2﹣r2），据此代入数据即可求解．解：如图所示，环形的面积是：3.14×（32﹣22），=3.14×（9﹣4），=3.14×5，=15.7（平方厘米）；答：环形的面积是15.7平方厘米．点评：此题主要考查环形的面积的计算方法．6.生活中，车轮为什么要做成圆形的呢？【答案】由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．【解析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；据此解答．解：由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．点评：此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用．7.填一填．（1）在下面各圆中，用红色笔描出直径，用蓝色笔描出半径，并量出它们的长度．（2）从到任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有条．（3）通过并且都在的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的，半径是直径的．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是厘米．【答案】圆心，圆上，无数；圆心，两端，圆上，2倍，一半；5．【解析】（1）根据直径和半径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，在图中描出即可；（2）从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有无数条．（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的2倍，半径是直径的一半．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是10÷2=5厘米．解：（1）如图：（2）从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有无数条．（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的2倍，半径是直径的一半．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是10÷2=5（厘米），故答案为：圆心，圆上，无数；圆心，两端，圆上，2倍，一半；5．点评：本题主要考查了圆的有关知识．8.用圆规画两个同心圆，一个半径为3cm，另一个半径为2cm．【答案】如图【解析】以任意一点为圆心，分别以3厘米和2厘米为半径即可画出符合要求的圆．解：画圆如下：点评：此题主要考查圆的基本画法．9.在下面画一个直径为4厘米的圆，并用字母标出一条直径，一条半径和圆心．【答案】如图【解析】画圆时固定的一点叫做圆心，圆心决定圆的位置，从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，半径决定圆的大小；由此画圆．解：画一个直径为4厘米的圆，以半径为2厘米画圆即可．点评：此题主要考查圆的画法，明确半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置．10.动手操作：在一个边长是20厘米的正方形内画一个最大的圆．提问：怎样确定圆心？半径是多少？如果把这个最大的圆剪去，那么剩下部分的面积有多大？【答案】如图，以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（20÷2=10厘米）为半径，剩下部分的面积为86平方厘米【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．用正方形的面积减去圆的面积就是剩下部分的面积．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（20÷2=10厘米）为半径，画圆如下：20×20﹣3.14×102，=400﹣314，=86（平方厘米）；答：剩下部分的面积为86平方厘米．点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．11.画一个半径为2厘米的圆，并在这个圆中画一个扇形（涂色表示）．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，首先确定圆心O，然后以O点为圆心，以2厘米为半径画圆，即可解决问题，进而依据扇形的意义，表示出扇形即可．解：根据题意，以O为圆心，以2厘米为半径，画圆以及扇形如下：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．12.在右面方格图中画一个圆，圆心O的位置为（4，4）圆的周长是18.84cm，圆的半径是cm，圆的面积是cm2．【答案】3，28.26．【解析】根据圆的周长公式可求圆的半径，以（4，4）为圆心，所求半径作出圆，再根据圆的面积公式求出圆的面积．解：圆的半径是18.84÷3.14÷2=3（cm）；画圆为：圆的面积是：3.14×32，=3.14×9，=28.26（cm2）．答：圆的半径是3cm，圆的面积是28.26cm2．故答案为：3，28.26．点评：考查了画圆、圆的周长和面积，关键是得到圆的半径，综合性较强，但难度不大．13.按要求画一画．①画一个直径为3cm的半圆，并画出它的对称轴．②计算这个半圆形的周长．【答案】如图，周长是7.71厘米【解析】（1）半径决定圆的大小，画一个直径为3cm的半圆，圆规的两脚之间的距离定为1.5厘米画半圆即可，它只有一条对称轴；（2）半圆的周长即圆的周长的一半加直径；由此解决问题．解：（1）作图如下：（2）3.14×3÷2+3=4.71+3=7.71（厘米）；答：这个半圆的周长是7.71厘米．点评：此题主要考查半圆的画法、轴对称图形的特点及对称轴的画法，和半圆的周长的计算方法．14.画一个内圆半径是1厘米，外圆半径是2厘米的圆环．并求出圆环的面积．【答案】如图，面积是9.42平方厘米【解析】圆环的特点是圆心位置相同，根据圆心确定位置，半径确定圆的大小，由此即可画出这个圆环，然后利用圆环的面积=π（R2﹣r2）即可求出圆环的面积．解：（1）根据画圆的方法可以画出这个圆环如图所示：（2）3.14×（22﹣12），=3.14×3，=9.42（平方厘米），答：这个圆环的面积是9.42平方厘米．点评：此题考查了圆环的画法以及圆环公式的计算应用．15.一个圆，无论大小如何，它的周长与直径的比值总是不变的．．【答案】√【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；圆周率用π表示，π是一个定值，不随圆的大小的改变而改变；进而判断即可．由分析知：任意一个圆，其周长和直径的比值都是圆周率，圆周率不随圆的大小的改变而改变；所以一个圆，无论大小如何，它的周长与直径的比值总是不变的．说法正确．故答案为：√．点评：此题主要考查圆的周长与直径的比值，叫做圆周率．不管是大圆还是小圆，圆周率都是一定的．16.画一个直径4厘米的圆，并在这个圆上画出它的一条对称轴．求这个圆的面积．【答案】如图，面积是12.56平方厘米【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．然后利用圆的面积公式即可求得它的面积．解：根据圆的画法可以画出直径为4厘米的圆，圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条，并画出它的一条对称轴，如图：3.14×，=3.14×4，=12.56（平方厘米），答：这个圆的面积是12.56平方厘米．点评：此题考查了圆的画法以及圆的面积公式的应用．17.画图并计算．（1）在如图中画一个最大的圆．（2）剪去最大的圆，剩下部分的面积是多少？【答案】如图，剩下部分的面积是3.44平方厘米【解析】（1）正方形内最大的圆，是以正方形的边长为直径的圆；（2）分别根据圆的面积计算公式和正方形的面积计算公式分别求出圆的面积和正方形的面积，用“正方形的面积﹣圆的面积”即可得出结论．解：（1）（2）4×4﹣3.14×（4÷2）2，=16﹣12.56，=3.44（平方厘米）；答：剩下部分的面积是3.44平方厘米．点评：此题考查了正方形内最大圆的特点以及圆的面积公式的灵活应用．18.在下面的长方形里画一个最大的圆，量出圆的半径是厘米．再计算圆的面积．【答案】半径为1.1厘米，面积是3.7994平方厘米【解析】长方形内最大的圆即以长方形的宽为直径，由此即可解决问题．解：①最大的圆就是以长方形的宽为半径的圆，如右图所示．经测量得长方形宽=2.2厘米，所以r=2.2÷2=1.1（厘米），答：圆的半径为1.1厘米．故答案为：1.1．②3.14×1.12=3.14×1.21=3.7994（平方厘米）答：圆的面积是3.7994平方厘米．点评：此题考查了长方形内最大圆的特点及圆的面积公式的应用．19.请过A、B两点画一条直线，量出A点到B点的长是厘米．并分别以A、B为圆心，AB的长的一半为半径画出两个圆．【答案】4，如图【解析】在图中先作出A、B两点，量出两点距离，再分别以A、B为圆心，以2厘米为半径画圆即可．解：故答案为：4．点评：此题考查学生长度的测量方法以及画圆的方法．20.动动手，画一画！有半径分别为4厘米，2厘米，2厘米的三个圆，任意的一个圆都与另外两个圆相切，即两个圆相交只有一个公共点，并且两个较小的圆都在较大的圆内．（1）画出相对应的图形．（2）画出该图形所有的对称轴．【答案】如图【解析】根据题意，画出该图形，然后根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此画出这个图形的对称轴即可．解：如图：点评：此题考查了学生作图的能力，掌握轴对称图形的对称轴的作法是解答此题的关键．21.画一个直径是4厘米的圆．（1）求出该圆的面积和周长；（2）在圆内画两条互相垂直的对称轴．【答案】（1）圆的周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米；（2）如图【解析】（1）运用圆的周长及面积公式进行解答即可．（2）直径是4厘米也就是画出半径是2厘米的圆，用字母标出它的圆心，再作出经过圆心的互相垂直的两条直线即为圆的两条互相垂直的对称轴．解：（1）圆的周长是：3.14×4=12.56（厘米）；圆的面积是：3.14×（4÷2）2，=3.14×4，=12.56（平方厘米）；（2）圆的半径是：4÷2=2（厘米）；由分析画图如下：点评：考查了画圆和画圆的对称轴，注意圆的对称轴是经过圆心的直线．22.以图中的点O为圆心画一个周长为10.28厘米的半圆，再画出它的对称轴．•Ο【答案】如图【解析】要想画出这个半圆就要先据圆的周长公式求出这个圆的直径，然后据直径作半圆；一个圆有无数条对称轴，但半圆只有一个对称轴，即过圆心作这条直径的垂线，这条垂线即是半圆的对称轴．解：设这个圆的直径为x，根据圆的周长公式可得：x+3.14x÷2=10.28x+1.57x=10.28，x=4；半圆的直径为4厘米，因此作长4厘米线段AB，取AB中点O为圆心，用圆规以OA为半径半圆，然后过O点作直径AB的垂线，这条垂线即为半圆的对称轴．如图：点评：完成本题要注意半圆的对称轴只有一条即过圆心垂直于直径的垂线．23.画一个半径是2厘米的半圆，并用字母标出圆心、半径．再求出这个图形的周长和面积．【答案】如图，周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此解画出这个半圆，再利用圆的周长和面积公式即可解答．解：以点O为圆心，以2厘米为半径，画出这个半圆，如图所示：半圆的周长为：3.14×2×2÷2+2×2，=6.28+4，=10.28（厘米），面积为：3.14×22÷2=6.28（平方厘米），答：这个半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米．点评：此题考查了半圆的画法以及半圆的周长与面积的计算方法．24.用圆规画圆，圆规两脚间的距离是圆的．决定圆的大小，确定圆的位置．【答案】半径，半径，圆心【解析】圆规在画圆时，有针的一脚不动，即圆心，有笔头的一脚旋转一周，得到圆，两脚之间的距离就是圆的半径，所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．解：由分析可知：用圆规画圆，圆规两脚间的距离是圆的半径．半径决定圆的大小，圆心确定圆的位置．故答案为：半径，半径，圆心．点评：此题主要考查了圆的画法和各部分作用．25.（2012•富阳市模拟）先画一个底面半径1厘米，高2厘米的圆柱，再画一个与这个圆柱的体积相等的圆锥体．【答案】如图【解析】根据圆柱与圆锥的体积公式可得：与这个圆柱的体积相等的圆锥的底面半径是1厘米，高应该是2×3=6厘米；据此即可画出这个圆柱与圆锥．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题主要考查了体积相等的圆柱与圆锥的特点，明确圆柱与圆锥的底面直径和高是解决本题的关键．26.（2012•田东县模拟）按要求画一画（每个小正方形面积都是1平方厘米）①把第一幅图（箭头）向上平移3格．②把梯形绕A点顺时针旋转90°．③在B点南偏西45°方向画一个直径6厘米的圆．④将图中的三角形按2：1画在右面的方格内．【答案】如图【解析】①根据图形平移的方法，先把图形的各个顶点向上平移3格，再依次连接起来即可得出平移后的图形．②根据旋转图形的特征，图中的梯形绕点A顺时针方向旋转90°，A点的位置不动，各边均绕A点旋转90°，然后再顺次连接即可得到要求的图形．③圆心确定圆的位置，先确定出点B南偏西45°方向上的一点O，再以O为圆心，以6÷2=3厘米长为半径画圆．④先数出原三角形的底和高的格数分别是几个格，然后分别乘2，得出放大后的三角形的底与高，然后画出连接即可．解：作图如下：点评：此题考查了图形的放大与缩小的性质，旋转的性质以及圆的画法的灵活应用．27.（2012•张掖模拟）先画出一个半径是1厘米的圆；再画出它的两条对称轴，并且使这两条对称轴相互垂直．【答案】如图【解析】紧扣画圆的方法和轴对称图形的性质，即可解决问题．解：①确定圆心o，以1厘米为半径画圆，如图所示．②圆的对称轴是经过圆心的直线，圆有无数条对称轴．根据垂直的定义可画出圆的两条互相垂直的对称轴，如右图．点评：此题考查了圆和它的对称轴的画法．28.用直尺和圆规画一直径是2厘米的圆．并表示出圆心、一条半径和一条直径．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，根据画圆的方法即可解答问题．解：以点O为圆心，以2÷2=1厘米长为半径画圆，并标出它的一条半径和直径如图所示：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，注意决定圆的两要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．29.任意两个圆的半径都相等．（判断对错）【答案】×【解析】圆的半径决定圆的大小，所以不同的圆的半径是不一定相等的．解：同圆内或者等圆内圆的半径相同，任意两个圆的半径是不一定相等的．所以上面的说法是错误的．故答案为：×．点评：此题考查了半径知识的有关应用．30.圆的半径增加1cm，它的直径就增加2cm．．（判断对错）【答案】√【解析】根据同圆中半径和直径的关系可知，d=2r，所以当一个半径增加1cm时，因为直径是2个半径，所以直径增加2厘米．解：因为d=2r，所以当一个半径增加1cm时，因为直径是2个半径，所以直径增加2厘米；所以上面的说法是正确的．故答案为：√．点评：此题考查了同圆中半径和直径的关系的应用．31.在同一个圆中，所有的半径都，所有的直径都，半径是直径的，圆有条对称轴．【答案】相等，相等，一半，无数【解析】根据圆的半径与直径的定义进行解答．解：因为在同一个圆内，所以所有的半径相等，所有的直径也相等，并且半径等于直径的一半；故答案为：相等，相等，一半，无数．点评：此题考查了圆的半径和直径的关系．32.半径就是从圆心到圆上任意一点的直线．．（判断对错，并改正）【答案】×【解析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；据此判断即可．解：半径就是从圆心到圆上任意一点的线段．故答案为：×．点评：明确半径的含义是解答此题的关键．33.圆的位置由圆心决定．．（判断对错）【答案】√【解析】根据画圆的方法，以定点为圆心，以定长为半径，旋转一周所画的图形就是圆；据此解答即可．解：根据画圆的方法可知：圆心决定圆的位置，半径决定了圆的大小；故答案为：√．点评：此题考查了圆的含义及特征，应注意灵活应用．34.在同一圆里，有条直径，所有直径的长度都．【答案】无数，相等【解析】依据圆的认识，及在同一个圆中直径有无数条，所有直径的长度都相等．解：在同一圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等；故答案为：无数，相等．点评：此题主要考查了圆的认识，灵活掌握圆的特征是解答本题的关键．35.画一个直径为3厘米的圆，圆规的两脚应张开厘米的距离，这个圆的直径是厘米，周长是厘米．【答案】1.5，3，9.42【解析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，直径已知，从而可以求出圆的半径，求周长，根据C=πd，即可求其周长．解：画一个直径为3厘米的圆，圆规的两脚应张开：3÷2=1.5厘米的距离，这个圆的直径是3厘米，周长是：3.14×3=9.42厘米；故答案为：1.5，3，9.42．点评：解答此题的关键是明白：圆规两脚间的距离就是圆的半径．36.画一个半径是4厘米的圆，圆规两脚之间的距离是厘米；如果圆规两脚之间的．距离是2.5厘米，那么画出的圆的直径会是厘米．【答案】4，5【解析】根据圆的画法：明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径；进而解答即可．解：根据分析可知，画一个半径是4厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 4厘米；如果圆规两脚之间的距离是2.5厘米，那么画出的圆的直径会是 5厘米．故答案为：4，5．点评：此题考查了圆的基础知识，平时应注意基础知识的积累．37.按要求填空．（1）r=；（2）d=；（3）r=；（4）d=；（5）小圆的半径=．【答案】4dm，5cm，6cm，10cm，1.5cm【解析】（1）根据在同圆和等圆中半径和直径的关系：半径是直径的一半，进行解答即可；（2）根据在同圆和等圆中半径和直径的关系：直径是半径的2倍，进行解答即可；（3）圆的直径等于正方形的边长，再根据在同圆和等圆中半径和直径的关系：半径是直径的一半，进行解答即可；（4）梯形的高等于圆的半径，再根据在同圆和等圆中半径和直径的关系：直径是半径的2倍，进行解答即可；（5）小圆的直径等于大圆的半径，再根据在同圆和等圆中半径和直径的关系：半径是直径的一半，进行解答即可．解：（1）r=d÷2，=8÷2，=4（分米）；所以r=4dm；（2）d=2×r，=2×2.5，=5（厘米）；所以d=5cm；（3）r=d÷2，=12÷2，=6（厘=米）；所以r=6cm；（4）d=2×r，=2×5，=10（厘米）；所以d=10cm；（5）小圆半径：6÷2÷2=1.5（厘米）；小圆的半径=1.5cm．故答案为：4dm，5cm，6cm，10cm，1.5cm．点评：此题考查了同圆和等圆中半径和直径的关系．38.若两个圆的半径相等，则它们的周长也相等．．【答案】正确【解析】根据圆的周长计算公式“C=2πr”可知，因为半径相等，所以周长也相等；进而判断即可．解：因为两个圆的半径相等，设第一个圆的半径是r，则第二个圆的半径也是r，根据圆的周长=2×π×r，则它们的周长也相等，说法正确；故答案为：正确．点评：此题应结合圆的周长和半径的关系进行分析、解答即可．39.要画一个半径为4厘米的圆，圆规两脚应叉开，要画一个直径为6厘米的圆，圆规两脚应叉开厘米．【答案】4厘米，3．【解析】根据圆的画法：明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径；进而解答即可．解：根据分析可知，画一个半径是4厘米的圆，圆规两脚之间的距离是4厘米；要画一个直径为6厘米的圆，圆规两脚应叉开3厘米．故答案为：4厘米，3．点评：此题考查了圆的基础知识，平时应注意基础知识的积累．40.一个圆至少对折次可找到圆心，圆心用字母表示，半径用表示，直径用表示．【答案】两，O，r，d．【解析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心；圆心用字母 O表示，半径用 r表示，直径用 d表示；由此填空即可．解：一个圆至少对折两次可找到圆心，圆心用字母 O表示，半径用 r表示，直径用 d表示．故答案为：两，O，r，d．点评：本题考查了确定圆心的方法及对圆的认识．41.从圆心到圆上任意一点的线段，长度都，这样的线段叫圆的．【答案】相等，半径【解析】根据半径的含义；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，它们长度都相等．解：从圆心到圆上任意一点的线段，长度都相等，这样的线段叫圆的半径；故答案为：相等，半径．点评：此题考查了半径的含义，注意基础知识的积累．42.圆所占叫做圆的面积．【答案】平面的大小【解析】根据面积的意义：物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积；所以圆所占平面的大小叫圆的面积；据此解答．解：根据分析可知，圆所占平面的大小叫做圆的面积．故答案为：平面的大小．点评：此题考查圆的面积意义，注意平时基础知识的积累．43.有同一个圆心的圆叫圆，圆心位置不同而半径相等的圆叫圆．【答案】同心，等【解析】根据同心圆和等圆的含义：有同一个圆心的圆叫做同心圆，圆心位置不同而半径相等的圆叫等圆；据此解答．解：有同一个圆心的圆叫同心圆，圆心位置不同而半径相等的圆叫等圆；故答案为：同心，等．点评：此题考查了同心圆的含义和等圆的含义，应灵活掌握．44.在同一个圆里，可以画条半径，条直径．【答案】无数，无数【解析】依据圆的特征：在同一个圆里，可以画无数条半径，无数条直径，所有半径都相等，所。
圆与扇形_精品文档
第四章圆与扇形单元测试一、填空题（每小题4分, 共40分）1. 如果一个圆的半径为3 cm, 那么它的周长是cm。
2．如果一个圆的直径为6 dm, 那么它的面积是。
3. 如果一条弧长是它所在圆周长的, 那么它所对的圆心角是度。
4．如果一个圆的半径为9 cm, 那么圆上的圆心角所对的弧长是cm。
5. 如果一个扇形的半径为5 cm, 圆心角为, 那么这个扇形的面积是。
6. 一张圆形纸片, 沿着它的两条半径剪下圆心角为的一块, 则剩余部分与圆形纸片的面积之比是。
7．一棵树的树杆的横截面是一个圆, 它的周长为62.8 cm, 它的直径为cm。
8．台钟的时针长为 6 cm, 从7时到12时, 时针针尖所走过的路程是cm。
9. 在一个边长为8 cm的正方形上剪下一个最大的圆, 则剩余部分的面积是。
10．如果我们用整个圆表示某校六年级（1）班共有40人, 那么评优的5名同学应该用圆心角为度的扇形来表示。
二、选择题（每小题4分, 共16分）11. 下列说法正确的是………………………………………（）（A）圆的周长是它的直径的3.14倍；（B）半圆是一个扇形；（C）若两圆的周长相等, 则它们面积也相等；（D）半径是2cm的圆, 周长与面积相等。
12．有大小两个圆, 大圆半径是小圆半径的3倍, 那么大圆的面积是小圆面积的…………………………………………………（）（A）3倍；（B）6倍；（C）9倍；（D）倍。
13. 圆的半径不变, 若圆心角扩大为2倍, 则圆心角所对扇形面积………………………………………………………………（）（A）扩大为4倍；（B）扩大为2倍；（C）不变；（D）缩小为一半。
14. 一个半圆形的周长是51.4cm, 它的半径是………………（）（A）16.37 cm；（B）8.185 cm；（C）10 cm；（D）15 cm。
三、解答题（第15.16.17、18题每题8分, 第19题12分, 共44分）15．小明在一个圆形的跑道上跑了4圈, 已知这个跑道的直径为80米, 那么小明共跑了多少米？（结果精确到1米）16. 一段圆弧所在圆的半径是120厘米, 这条弧所对的圆心角是, 求该圆弧的弧长。
2024五年级数学下册六圆2认识扇形习题课件苏教版
5. 写出下面每个扇形(涂色部分)的圆心角的度数和 半径。
点拨：扇形的圆心角的度数
圆心角为(
45
)°，
等于等腰直角三角形底角的 度数，半径等于腰的长度。
半径为( 8 )cm。
点拨：扇形的圆心角的度数 等于等腰直角三角形底角的
圆心角为( 45 )°，度数，半径等于斜边的长度。 半径为( 10 )cm。
点拨：扇形的圆心角的度数 等于等腰直角三角形顶角的
圆心角为( 90 )°，度数，半径等于腰的长度。 半径为( 8 )cm。
点拨：扇形的圆心角的度数 等于正方形一个内角的度数，
圆心角为( 90 )°，半径等于正方形边长的一半。 半径为( 4.5 )cm。
6. 钟面上分针指向1，经过10分钟后，下列说法中错 误的是( C )。 A. 分针经过的部分是一个扇形 B. 分针指向了 3 C. 分针转过的角度是30°
D. 分针经过的部分占整个钟面的16
7. 把下面这个圆分成三个扇形，使其中一个扇形占 圆的13，一个扇形占 圆的49，最后一个扇形占圆的 29。
点拨：把圆平均分成9 份，每一份的度数为
360°÷9=40°， 13=39，所以占圆13的扇形的圆心角 有这样的3 份即120°，占圆29的扇形的圆心角有这 样的2 份即80°，占圆49 的扇形的圆心角有这样的4 份即160°。
3. 下面说法中正确的是( C )。 A. 因为扇形是所在圆的一部分，所以圆的一部分 一定是扇形 B. 扇形的面积只与圆心角的大小有关，圆心角越 大，扇形的面积也就越大 C. 半圆形也是扇形，它的圆心角是一个平角 D. 扇形是轴对称图形，它有无数条对称轴
提 升 点 应用扇形的知识解决问题
4. 【新情境】折扇主要由扇骨和扇面构成。典典家 有三把相同的折扇，完全打开后刚好可以拼成一 个圆形，每把折扇完全打开后的圆心角是多少度？ 360°÷3=120° 答：每把折扇完全打开 后的圆心角是120°。
五年级下册数学试题-培优专题训练：03圆与扇形(5年级培优)教师版
圆✧ 任意一个圆，它的周长除以直径的商总是一个固定的数，这个数叫圆周率。
如果用C 表示圆周的长度，d 表示这个圆的直径，r 表示它的半径，π表示圆周率，就有：d c =π或rc 2=。
π是一个无限不循环小数：Λ89793238461415926535.3=π， 我们在做题时，通常取14.3=π。
✧ 圆的周长：r C π2=或d C π= ✧ 圆的面积：2r S π=扇形✧ 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形，扇形的大小由它的半径和弧所对的圆心角的大小决定，因为扇形是圆的一部分，所以扇形的弧长和面积的计算方法就是从圆周长和面积的计算方法中引申出来的。
✧ 如右图所示，设扇形的圆心角是n 度，利用圆的周长计算公式可知扇形的弧长计算公式是r n r n l ππ⨯=⨯=1802360 扇形的面积计算公式是lr r n S 213602=⨯=π ✧ 一些特殊角的扇形可以看作是ΛΛ43314161、、、的圆来计算。
重难点：圆和扇形的面积公式一个圆形的铁环，直径是40厘米，做这样一个铁环需要用多长的铁条？【答案】125.6厘米 【知识点】圆的周长 【难度】A 【出处】底稿 【分析】6.12514.340=⨯（厘米）小明在一条路上滚铁环，铁环的直径是50厘米，滚动了78.5米，求铁环滚动了几圈？【答案】50圈 【知识点】圆的周长 【难度】A 【出处】底稿 【分析】()5014.35.05.78=⨯÷（圈）有两根长188.4厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，哪个面积大？大多少？【答案】圆的面积大 【知识点】圆的面积 【难度】B 【出处】底稿【分析】正方形的面积：1.4744.188=÷（厘米） 41.22181.471.47=⨯（平方厘米） 圆的面积：3014.324.188=÷÷（厘米） 2826303014.3=⨯⨯（平方厘米） 所以圆的面积大。
专题07 圆和扇形(考点串讲)(原卷版)
专题07 圆和扇形【考点剖析】一、圆的周长与弧长1.圆的周长：__________C ==圆；2.半圆的周长：_________C =半圆；3.弧长：__________l =.二、圆和扇形的面积4.圆的面积：______S =圆;5.圆环的面积：__________S =圆环;6.扇形的面积：_________________S ==扇形;7.同圆中的l C S S 圆圆扇形、、、之间的关系：,360360S l n n C S ==扇形圆圆l C ⇒=圆.【例题分析】【考点1】圆的周长与弧长例题1 （北京燕山2020期末14）参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都 ，这个距离就是这个圆的 ．例题2（哈尔滨道里2020期末7）一个时钟的分针长8cm ，经过半个小时后，分针尖端所走过的路程是（ ）A.πcm;B. 4πcm; C 8πcm; D. 16πcm.例题3（松江2020期末12）圆的半径为3cm ，则该圆的周长是 cm .例题4（2019大同初中12月考17）在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米【考点2】圆和扇形的面积例题5（浦东南片十六校2020期末16）一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是平方厘米.例题5（嘉定区2020期末14）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________.例题6（松江2020期末16）如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2.例题7（卢湾中学2020期末25）如图所示，求下图正方形中阴影部分的周长。
（结果可保留π）【真题训练】一、选择题1. （川沙中学南校2019期末2）下列说法正确的是（）A.圆的周长÷圆的直径=圆周率；B.两个奇数一定互素；C.1、2、3、4能组成比例；D.因为4.8÷1.2=4，所以4.8能被1.2整除.2. （浦东四署2020期末6）若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（）A.4厘米；B.2π厘米；C. 24π厘米；D. 16π厘米.3.（卢湾中学2020期末4）一个边长为10厘米的正方形铁丝线圈，若在保持周长不变的情况下把它拉成一个圆，则它的半径为( ) 厘米.A. 2π；B. 20π； C.10π； D.10π．4.（哈尔滨香坊2020期末7）在一个长4cm，宽2cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（）2cm.A.9.42;B. 50.24; C 3.14; D. 12.56.5. 从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较( ）A.路线A远B.路线B远C.同样远D.无法确定6.（2019进才北12月考6）一个圆的半径为r ,圆周长为1C ,面积为1S ; 一个半圆的半径为2r ,半圆弧长为2C ,面积为2S ,则以下结论成立的是 ( )(A)122C C = (B) 122C C = (C) 12S S = (D) 122S S =.二、填空题7．（卢湾中学2020期末15）直径为6cm 的圆周长是_________cm 。
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圆与扇形精选题【例 1】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为11240.542⨯÷⨯=⨯=（）（平方厘米），所以阴影部分的总面积为248⨯=（平方厘米）．【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m ，阴影部分的面积是 ．或【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于222216m ⨯=（）（）．【例 2】 如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25(cm )⨯⨯÷=【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，221π2S r r =-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 【例 3】 请计算图中阴影部分的面积．【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．=-要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积．O半圆半圆103-=因此，所求的面积为210330cm ⨯=（）． 【例 4】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)44【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=．【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=．四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC 的面积为17724.52⨯⨯=，所以阴影部分的面积为38.524.514-=． 【例 5】 (华校2005～2006年度第一学期期中测试第6题)大圆半径为R ，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心O 为顶点，半径R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r -=平方厘米，那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方厘米)．【巩固】图中阴影部分的面积是225cm ，求圆环的面积．【解析】 设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【例 6】 (2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a ，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a ，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===， 即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是 ．【解析】 设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【例 1】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=． 方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=； 则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【例 2】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【例 3】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π 3.14=)A【解析】 连接小正方形AC ,有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯= ∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△ ∴2412.56828.56S =+-=阴影【例 4】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBADCBA【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)DBADB【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积． 解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分． 则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=； 解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积， 所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【例 5】 (2008年四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【例 6】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)A【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)， 再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积， 则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【巩固】求图中阴影部分的面积．【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π 3.14=)C【解析】 观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)， 那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【例 7】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=． 因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)． 由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=． 因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)． 所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【例 8】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍． 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形， 则圆的面积为508400⨯=【例 9】 如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了． 因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7． 半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积圆与扇形精选题11 减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【巩固】 如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【解析】 图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=． 有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【例 10】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)43【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【例 11】 (2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．204【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．。