浅谈正交矩阵的求法

（二重 ） 和5 把特征值-1 代入齐次方程组 （λ-1 ） x1-2x2-2x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 姨3 3.利用合同变换求正交矩阵 存在可逆矩阵 P， 使 P′A′AP=E.
- 1 姨2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. =
引理： 设 A 是 n×r 实矩阵， 若秩 A=r， 则 定理 A 是 n 阶实对称矩阵，如果 T 是 实可逆矩阵， 使 T -1AT 是对角形矩阵， 则存 在可逆矩阵 R， 使 U=TR 是正交矩阵， 而且 U′AU 是对角形矩阵.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两 向量就是 ξ3=ε1+ε2+ε3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010 -12
教研论坛
浅谈正交矩阵的求法
管茂年 1.引言 交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换 理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅 在线性代数中，而且在理工各学科领域的 数学方法中， 如优化理论 、 计算方法 、 信息 种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正 交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题 k2ξ2， k1， k2 取遍数域 P 中不含零的全部数
1 1
3 （x -2 ） （ x +2 ） ， 通过解相应的齐次 xE-A =
0
步骤， 并举例说明； 第二种是利用合同变换 是： α1= 0 ， α2= 1 ， α3= 1 （1 ） 线性方程组求得 T= 1 0 求一个正交矩阵， 对其中用的重要定理 、 引 -1 -1 1 0 理进行了证明，说明了这种方法的具体求 对 （1 ） 施用施密特特征正交化得： 解过程， 并举例说明. 定义 1.1n 阶实矩阵 A， 若满足 A′A=E， 则称 A 为正交矩阵. 2.用施密特正交化方法求正交矩阵 关于化实对称矩阵 A 为对角形的讨 论， 大部分教科书中， 都采用施密特正交化 的方法求出正交矩阵 T ， 按常规是分三步 进行： （1 ） 求 λE-A 的全部不同的特征根λ1， λ2， …， λ1 它们都是 A 的特征根. （2 ） 对每个特征根 λ， 解齐次线性方程 X =0， 求出它的一个基础解系： 组 （αiE -A） αi1， αi2， …， αiki （1 ） ， 对 （1 ） 施用施密特正交化 得： βi1， βi2， …， βiki （2 ） ， 再把 （2 ） 单位化， 得： ηi1， ηi2， …， ηiki （3 ） （3 ） 以 ηi1， ηi2， …， ηiki 为列向量的矩阵 T 就是所求的正交矩阵. 例 1. 设矩阵 A = 2 2
则所求的正交矩阵 T 为 1 2 1 2 2 1 求一个 2 ， T=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨6 2 姨6 - 1 姨6
1 姨3 1 姨3
正交矩阵 T， 使得 T′AT 成为对角矩阵.
2 解：λE-A = （λ+1 ） （ λ-5 ） 特征值是 -1
0 0 0 T ′ T -1 1 -1 于是 （ ） = T 1 0 0 0 0 0 -1 2 3 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 4 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0
1 -1 0 0 0 1 4 1 1 -1 0 0 0 4 1 1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 1 0 1 0 0 0
1 -1
β1=α1= （1， 0， -1 ） β1 ）β = β2=α2-（α2， -1 ， 1， - 1 ） （2 ） 1（ β1 ） 2 2 （β1， β1 ）β -（α3， β2 ）β = β3=α3-（α3， 1， 1， 1 ） 1 2（ （β1， β1 ） （β2， β2 ）
， η3=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨2 1 1 1 1 1 姨3 1 1 姨3 1 姨3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
T′T=
，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-2x1+ （λ-1 ） x2-2x3=0 -2x1-2x2+ （λ-1 ） x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
例 2. 设 A =
因此，属于 5 的一个线性无关的特征 即方程 （αiE -A ） X =0 的一个基础解系
1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 1 -1 1 1 1 ， 则 fA （x ） = 1 -1 -1 1 1 1 1 1
- 21 -
ห้องสมุดไป่ตู้
教研论坛
1 0 0 0 - 1 姨2 1 姨2 0 0 1 0 0 - 1 姨6 - 1 姨6 2 姨6 0 0 1 0 1 2姨3 1 2姨3 0 0 0 0 1 2 1 2 U， 即 U=
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨
1 1 1 1 1 1 1 1 1
施密特正交化方法求 U，计算较烦.以 上这种方法不必借助欧氏空间的某些概念 与性质.它的求解步骤为： （1 ） 求 λE-A 的全部不同的特征根λ1， λ2， …， λ1， 它们都是 A 的特征根. （2 ） 通过求相应的齐次线性方程组得 T.
=
因此， 属于-1 的两个线性无关的特征向 量就是： ξ1=ε1-ε3， ξ2=ε2-ε3 而属于 -1 的全部特征向量就是 k1ξ1 +
2 0 0 0 -1 1 0 0 2 0 0 0 -1 0 0
0 3 2 -1 2 0 -1 2 -1 2 1 0 0 3 2 0 0 -1 2 1 0
-2x1-2x2-2x3=0
得到 -2x1-2x2-2x3=0 -2x1-2x2-2x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
它的基础解系是 0 ， 1 -1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
矩阵是线性代数中的核心内容，而正 对， 再用特征向量值代入， 得到 4x1-2x2-2x3=0 -2x1-2x2+4x3=0 -2x1+4x2-2x3=0 它的基础解系是 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（3 ） 再通过合同变换 （ T′ T ） 求得正交 T 矩阵 U.
2 1 0
1 -1 0 2 -1 0 0 4 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
，
-1 -1 2 2 1
1 -1 0 2 -1 0 4 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
使得 T-1AT=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时，
1 姨2 0
） 单位化得： η1= 把 （2
- 1 姨6 2 姨6
η2=
- 1 姨6 1 姨2 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010 -12 参考文献： - 1 姨6 - 1 姨6 2 姨6 0
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨
- 1 姨2 1 姨2 0 0
1 2姨3 1 2姨3 1 2姨3 1 2姨3
1 2 1 2 1 2 -1 2
［1］ 杨子胥.高等代数 ［M］ .北京： 高等教 育出版社， 1990. ［2］ 同济大学数学教研室.线性代数 （第 二版 ） ［M］ .北京： 高等教育出版社， 1991. ， ［3］ 丘维声.高等代数讲义 ［M］ .北京： 北 1983. 京大学出版社， ［4］ 江佑民 . 分块矩阵的初等变换和合
=
，
1 1 2 2姨3 1 -1 0 0 2 2姨3 最后一个矩阵的后 4 行作成正交矩阵
2 2 2 -2 .
使得 U′AU=
同变换 ［J］ .曲阜师范大学学报.1994.7. 作者单位： 江苏省建湖县职教中心
关注学生发展， 打造充满活力的语文课堂
刁品龙 《语文课程标准》 指出： “学生是语文学 习的主人， 是学习和发展的主体， 语文课程 应致力于学生语文素养的形成和发展。” 语 文教学实质是对人的培养和塑造的教学， 其目的就是要把学生培养成为具有鲜明个 完善品格的人。为此， 在课堂教学中要 性、 充分体现学生的主体地位， 亲近学生， 主动 密切地 “关注” 学生， 以学生发展为本， 去建 构新型的课堂， 给语文课堂注入新的活力， 努力打造充满活力的小学语文课堂。 一、 注重个性发展， 激发学生的学习 动力 《语文课程标准》 指出： “阅读是学生的 个性化行为，不应以教师的分析来代替学 生的阅读实践。应让学生在积极主动的思 维和情感活动中， 加深理解和体验， 有所感 悟和思考， 受到情感熏陶， 获得思想启迪， 享受审美乐趣。” 因此， 我们必须正视课堂 教学现实， 从问题设计入手， 关注学生的发 展， 激发学习动力、 活力。 教学过程中，老师要不断用热情的语 言予以激励性评价，或用激情昂扬的评议 引导学生自主读书，或用幽默生动的评议 引发学生浮想翩翩…… 学生始终主宰着课 堂， 学到了知识， 发展了能力， 张扬了个性 。 这种 “ 教育生态环境 ” 的营造， 使学生表现 自我， 彰显个性， 于无声处解决了学生学习 动力不足的难题。 二、 强化语文实践， 提高学生的学习 能力 《语文课程标准》 指出： 语文是实践性 很强的课程，应着重培养学生的语文实践 能力，而培养这种能力的主要途径也应是 语文实践。 我认为， 我们在教学过程中， 应该把握 语文教育的特点， 引导学生通过读一读 、 说 - 22 一说、 画一画、 演一演等多种形式的语文实 《庐山 践， 提高能力。一位特级教师在教学 的云雾》 第二自然段中， 先让学生默读， 明 白这段采用先总后分的方法描写了庐山云 “千姿百态” 的特点。然后， 引导学生抓 雾的 住 “ 就像是戴在山顶上的白色绒帽 ” “ 又像 是系在山腰间的一条条玉带 ” “ 茫茫的大 海” “ 巨大的天幕 ” 等语句， 边读边想象， 入 情入境， 庐山云雾的 “千姿百态” ； 在有所领 悟的基础上，引导学生通过声情并茂的朗 读， 深入体悟庐山云雾的形态美， 体味课文 的评议美。同时， 引导学生在读中揣摩课文 是怎样具体形象写出云雾的特点的 。 发动 学生用自己喜欢的方式朗读，然后小组互 动交流， 教师以 “ 平等首席 ” 的角色参与小 组活动。同学们的积极性可高了： 他们有的 用逼真有趣的动作 （笼罩 、 戴等） 栩栩如生 地表演云雾的姿态； 有的用简单明了的简笔 “庐山云雾的姿势” 勾画得惟妙惟肖； 有 画把 的用抑扬顿挫的语调把庐山云雾其他的姿 势表达得活灵活现……由于学生的形象思 维占优势， 让他们通过画画 、 演演 、 读读来 体会课文中的评议，进入课文所描述的情 境， 使人如临其境， 如见其形， 课堂上时而 书声琅琅， 时而情意浓浓， 里面静如止水。 三、 体验成功快乐， 激发学生的想象力 一位哲学家曾经讲过这样一句话： “想 象对于孩子， 比拥有万贯家产更加重要 。” 想象力比知识更重要。没有大胆的想象， 就 不会有伟大的发现， 想象是创新的前奏， 诱 导学生大胆想象， 培养学生的创新能力， 有 着极其深远的意义。教学中， 让学生充分展 示学习成果， 放大内心的成就感， 增强自信 心、 自尊和自我欣赏力， 产生征服欲， 强化 前进的战斗力、 牵引力， 最大限度地开掘和 发挥自身潜力，使学生的思维火花在课堂 中不停地激烈撞击， 激发学生的想象力。 如一位教师在教学 《草原的早晨》 时： 师： 小朋友都读得很流利， 老师也想来 读一读。在老师读的时候， 小朋友可以闭上 眼睛， 一边听老师读课文， 一边想象： 你好 像看到了草原上的什么？ （配上悠扬的音 乐， 深情地朗读， 生闭上眼睛欣赏。 ） 生： 我好像看到草原上羊儿在跑。 生： 我好像看见牧羊人在唱歌。 （老师一边以鼓励的眼光看着学生说， 一边点头微笑。学生受到赞赏就说得更有 劲了。 ） 生： 我好像自己也来到了大草原…… 师： 小朋友们的想象真丰富。那么真正 的大草原是不是和我们想象的画面一样美 丽呢？ （多媒体呈现草原风光图片。 ） （画面 上风景优美， 牛羊成群， 牧羊人歌声缭绕， 学生看了纷纷赞叹不已。 ） 师： 小朋友你觉得草原怎样啊？ 生： 草原真大啊！ 师： 你说得真准。确实中， 草原很大， 老 师要把这个 “大” 字写在黑板上。 （学生深受 成功的乐趣， 热情高涨， 争着举手说。 ） 生； 我想送给草原一个字， 那就是 “美” ！ 师： 你说得真精彩， 老师要用彩色粉笔 把这个 “美” 字写出来…… 学生们开心地笔了， 课堂上顿时激情燃 烧， 活力四射。本片段中， 在充分感知的基 础上， 学生充分发挥主观能动性， 用准确的 语言表达自己的感受。教师慧眼独具， 爱如 泉涌， 及时赞扬学生的心得—— —发言时准确 优美的语言， 并把词语一一写在黑板上， 书 写时还配上了简洁而又富有激励性的话语。 其他学生感同身受， 备受鼓舞， 参与 、 竞争 和互动的热情陡增， 进一步激发了课堂活力。 作者单位： 江苏省宝应县城南小学