浅谈正交矩阵的求法
数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用
本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。
求正交矩阵的方法
求正交矩阵的方法
求解正交矩阵的方法有多种，以下列举两种常见的方法：
1. 基于特征值分解：对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个正交矩阵Q使得QT·A·Q=I（其中I为单位矩阵），则称矩阵Q为正交矩阵。
通过对矩阵A进行特征值分解，可以得到其特征向量矩阵V和对角矩阵Λ，其中V的列向量是A的特征向量，Λ的对角线元素是A 的特征值。
然后，将V进行标准正交化处理，即对V的每一列进行单位化和正交化操作，得到正交矩阵Q。
2. 基于奇异值分解：对于一个m×n的矩阵A，可以通过奇异值分解（SVD）得到三个矩阵U、Σ和VT，其中U和VT都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
根据SVD的性质，可以将U和VT中的奇异值大于零的部分保留下来，得到一个新的矩阵Σ"。
然后，将U与VT相乘得到的矩阵U"，再将U"与Σ"相乘得到的矩阵V"，即可得到一个正交矩阵Q。
这里只是介绍了两种常见的求解正交矩阵的方法，实际上还有其他一些数值计算方法和算法，如Gram-Schmidt正交化、Householder 变换等。
选择哪种方法取决于具体情况和需求。
在实际应用中，可以根据实际问题的要求来选择合适的方法来求解正交矩阵。
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
正交矩阵及其判定
正交矩阵及其判定()1, .TTn A A AE A A A-==若阶方阵满足即则称为正交矩阵定义方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量，且两两正交．即 A 的列(行)向量组构成R n 的规范正交基．定理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔nnnn n n nnn n n n a a a a a a a a a a a aa a a a a a212221212111212222111211E A A T=E=证明:()ET nT Tn =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔αααααα,,,2121 211122112212000010110T T n T T T T nn T nT T nn αααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L M M M M M M M LL()n j i ji j i ijT ji ,,2,1,,0;,1 =⎩⎨⎧≠===⇔当当δαα.212100021212121212121212121是正交矩阵验证矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=P 123412-1212-1212-12-1212,,,0012120000e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析:结果:.,, 是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位P P 例||||()()||||TTT TTy y y P x P x x P P x x x x =====若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．1().i A n A ⇒=±若为阶正交矩阵()ii A n 若为阶正交矩阵1TA A -⇒与也是正交矩阵(),iii A B n 若为阶正交矩阵性质.AB BA ⇒与也是正交矩阵定义正交变换保持向量的长度不变（从而三角形的形状保持不变)性质.A ⇔的列（行）向量组为单位正交向量组)(0],[,1],[j i j i i i ≠==⇔αααα)()(ij j T i δαα=⇔阶正交阵为n A ⎩⎨⎧≠==ji j i ij,0,1δ1-=⇔=⇔A A E A A T T 小 结.。
正交矩阵——精选推荐
第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。
正交变换法求标准型步骤
正交变换法求标准型步骤正交变换法是一种常用的矩阵标准型变换方法，它通过将原始矩阵经过一系列的矩阵运算转化为标准型矩阵。
在本篇文章中，我们将详细介绍正交变换法求标准型步骤，帮助读者更好地理解和应用矩阵标准型相关知识。
一、正交变换法的基本原理正交变换是指将一个矩阵通过某种变换方式，使得变换后的矩阵与原始矩阵具有某种特定的性质，即标准型。
在矩阵运算中，正交变换通常需要用到正交矩阵，即满足以下条件的矩阵：1. 单位矩阵；2. 矩阵的各行之间相互线性无关；3. 矩阵的列向量组也相互线性无关。
通过正交变换，可以将原始矩阵转化为标准型矩阵，其中每个特征值的行列式为1，且特征向量与原始矩阵的列向量垂直。
二、求标准型的步骤1. 确定原始矩阵的特征值和特征向量：首先需要确定原始矩阵的特征值和特征向量的具体数值和方向。
可以通过求解特征方程来得到特征值，而特征向量的求解则需要用到一定的数值方法，如幂法等方法。
2. 将原始矩阵对角化：将原始矩阵的特征值按照从大到小排列，并使用特征向量构造对角矩阵。
这个过程需要用到一定的数值方法，如高斯消元法等。
3. 利用正交变换将原始矩阵化简为标准型：将原始矩阵与单位矩阵进行乘法运算，得到一个新的矩阵，即原始矩阵的标准型。
这个过程需要用到正交变换，将原始矩阵转化为标准型。
具体来说，可以将原始矩阵的每一列或每一行进行适当的缩放和旋转操作，使得变换后的矩阵与单位矩阵具有相同的特征值和特征向量。
通过以上步骤，我们可以将原始矩阵化简为标准型矩阵。
需要注意的是，在实际应用中，求标准型的过程可能会涉及到一些数值方法和技巧，需要根据具体情况进行调整和优化。
三、应用示例假设我们有一个3x3的实对称矩阵A，需要通过正交变换法求其标准型。
首先，我们需要求出A的特征值和特征向量。
根据A的特征方程可知，A的特征值为λ1=λ2=λ3=1或-1（单位化后）。
对于λi=1的特征向量i(x,y)，则对应的行列式值为：∣λE-A∣=∣1-1×0∣=∣1∣=1>0。
数值分析7.2矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法
但 x y ,则存在householder阵
2
2
UU T
H I2 U 2
2
使Hx y，其中U x y。 W
x
x y
y
证：若设W U ，则有 W 1，因此
U
2
I
H 2
2
I 2WW T
(x y) x y 2
( xT
yT
I )
UU T 2 U2
2
Hx
x
2
( x2 y) x y 2
2
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
A(k 1)
1(
k
1)
,
(k 2
1)
,
,
(k n
1)
a(2) 11 0
a(2) 1k
Hk
A(k )
Hk
0
a(k) kk
0
0
a(k) nk
a(2) 1n
a(k kn
)
a(k) nn
H
(
k1
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
a1(12) 0 0 0
迭代格式
Ak Qk Rk Ak 1 RkQk
(k 1, 2, ).
将A A1化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），
从而求出矩阵A的全部特征值与特征向量。
由A A1 Q1R1 ,即Q11 A R1。 于是A2 R1Q1 Q1 AQ1 ,即A2与A相似。
同理可得，Ak A (k 2, 3, )。 故它们有相同的特征值。
正交矩阵的性质和应用
目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。
正交矩阵及其应用
正交矩阵及其应用1. 引言 (1)2. 正交矩阵的基本知识 (2)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用 (4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)4.正交矩阵在化学中的应用 (13)sp杂化轨道 (14)4.1 34.2 sp杂化轨道 (16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra.A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T=,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2 v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA=-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0(),T ij i j i j i j αα=?==?≠? ，)n ;判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,,0(),Ti j i j i j i j αα=?==?≠? )n ;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T=,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明显然1±=A . ()()()111---==A A AT TT所以1-A 也是正交矩阵.性质2.2.6 *A ,TA ,也是正交矩阵, 即有:(1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵.因为AA A A A T*1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时.*T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵. 性质2.2.7 (1,2,)kA k = 是正交矩阵. 证明因为()()kT Tk A A=,所以()()()Tkkkk Tk T AA AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()Tl A l A E=,于是,21l =,1±=l ; 充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵. 证明由11,--==B B A A TT可知()()111---===AB AB A B AB TTT,故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使11n A T T λλ-?? ?= ? ???,其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1]设向量()2212,,,,0,,,Ti k n i k t tT t t t s t t c d s s==+≠== 则称n 阶矩阵 1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k= ?- ? ? ?为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明由2222221i k t t c d s s+=+=,则G Tik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y === ,则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t ty dt ct s s=-+=-+=,即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理 3.1.4[2]任何n 阶实非奇异矩阵 , ()nn ija A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10]设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.（1111n n nE -= ?-??）.证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12TTTr Q S S S R = （3-11）注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112TTTTTr r Q Q R S S S S S R E == ,即E R R =' （3-12）设R =11121222n n nn r r r r r r ??,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则TR R =11122212nnnn r r r r r r ?? ?11121222n n nn r r r r r r ??=111?? ?. 由上式得,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?===??-===-?且且所以1,1n E Q R E Q -?=?=?=-??，当当 , （3-13）即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T Tr Q S S S = n E -.记(1,2,,)Ti i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a Am A Q O===，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.定理 3.1.7[10]设()ij n m A a Am ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把TA 变为R O ??的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵.证明由引理3.1.6知1R A Q O ??=,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T Tr r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ===令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -??= ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --== ? ? ???????记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ,122222n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m m m nm a a a α??= ? ? ???是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα??== ? ?是秩为的n m ?的矩阵.若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1T Tr R Q Q A O ??=（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q == 21()TTTr Q Q Q所以2121T T T T T T Tr r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为?O R 的同时,就将E 化成了TQ ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,Ti i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=; （2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=--- 再把每个向量单位化,得'11'1111(,,0,0)22εεε==--,'22'21112(,,,0)663εεε==--, '33'311113(,,,)2232323εεε==---. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵123111100(,,)010001A ααα---??== ? ???, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T , 12T =22002222002200100001??- ?-- ?,23T =10001200332100330001?? ? ? ? ? ?- ? ? ??,34T =10000100130022310022?? ? ? ?---??, 得34T 23T 12T )(E A =1100112222211203106 632611132300223232331111002222??- ? ? ?--------- ??,则11002211206 631113223232311112 222T P ??- ? ?-- ?= ?------- ,11112262311112262321102323310022P ??---- ? ? ?--- ?= ?-- ?- ??, 取111(,,0,0)22T P =--, 2112(,,,0)663T P =--, 31113(,,,)2232323TP =---. 那么321,,P P P 就是由123,,TTTααα,得到的3V 的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算:u G G G →?;求逆运算:v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以() ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间.()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈?,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈? ()A AE A E O A n n n ==∈?,30()st A AO A n ,,'1=?∈?- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →?:设()()ij ij b B a A ==?,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,,我们有投影映射1:E M M M m ij →→?π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →?:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈?A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈?映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>, AA A *'=,所以AA a ji ji =, 即()AA A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4]设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈?21, 为解析流形G G ?到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明M A ∈?(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2 n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A d e t 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E内的有界闭集.设()n O A ∈?, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈? ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO ,在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2yp φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??= ?= 2222xy z s p p p A φφφφ??. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2y p φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以112 41a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=. 又因22232411111022222a a a ?+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =. 同理,32333411111022222a a a ?+++=,22322333243411022a a a a a a ?+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=,42434411111022222a a a ?-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ?? ? ? ?--=-- ? ? --. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ=的系数矩阵11122122a a A a a ??=是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,22 11121a a +=,于是,112112a a ==,1212a =（取正值）. 又,221110222a ?+?=,故, 2212a =-,即,。
正交矩阵
a11 a21
an1
a12 a22 an2
a1n a2n
a11 a12
ann
a1n
a21 a22 a2n
an1 an2
ann
1 0
0
0 1 0
0 0
1
ai12 ai22 ain2 1(i 1,2, , n)
ai1a j1 ai2a j2 ain a jn 0 (i j)
…
2
1
2
2
2
n
……………
… n1
n
2
n
n
0 0
1 0
0
0 1
E
故A是正交矩阵
【例(补)】设A为n阶方阵，n为奇数，且A为 正交阵，A 1。证明：E-A不可逆
证明：因为A为正交阵，有 AA E
E A AA A (A E)A
(A E) A (A E)
(A E) A E (1)(E A) (1)n E A EA 2 E A 0 ,即E A 0 所以，E-A不可逆
问x为何值时,A为正交矩阵
解：要使A为正交矩阵，必须 A 1
2x 0
0
A 0
0
cos 123
sin 123
sin 123
cos 123
2xcos2 sin2 2x
123
123
x1 2
2x
A 0
0
0 cos
123 sin
123
0
sin
123
cos 123
即要证：
i , j
0
1
i j i j
由 1 2 n 1 2 n E
即 1 2 n 1 2 n
求正交矩阵的方法
求正交矩阵的方法什么是正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交且模长为1。
正交矩阵在许多数学和工程领域中被广泛应用，例如旋转变换和信号处理等。
一个n × n 的实数方阵 A 是正交矩阵，当且仅当满足以下条件： - A 的每一列是单位向量，即每一列的模长为1； - A 的每一列两两正交，即任意两列的内积为0；求正交矩阵的常见方法下面将介绍几种常见的求解正交矩阵的方法。
基于正交对角化的方法这是一种常见且简单的求解正交矩阵的方法。
对于一个对称矩阵 A ，可以通过对A 进行正交对角化得到正交矩阵 Q 和对角矩阵 D ，即 A = QDQ^T 。
其中，Q 的列向量是 A 的特征向量，D 是 A 的特征值组成的对角矩阵。
步骤如下： 1. 计算矩阵 A 的特征值和特征向量； 2. 将特征向量组成的矩阵 Q 进行单位化，即使 Q 的每一列的模长为1； 3. 检查 Q 是否是一个正交矩阵，即Q^TQ 是否等于单位矩阵。
基于Gram-Schmidt正交化过程的方法Gram-Schmidt 正交化过程是一种常见的求解正交向量集的方法。
可以使用该方法来求解正交矩阵。
步骤如下： 1. 对于一个给定的n × m 矩阵 A ，假设它的列向量组成的集合为{a1, a2, …, am}； 2. 对于i = 1, 2, …, m ，依次进行以下操作： - 令 v_i = a_i ； - 对于j = 1, 2, …, i-1 ，执行以下操作： - 计算内积coefficient = (v_i·v_j) / (v_j·v_j) ； - 更新 v_i = v_i - coefficient * v_j ； - 求得 v_i 的模长为norm = sqrt(v_i·v_i) ； - 将 v_i 单位化，即 v_i = v_i / norm ； 3. 最终得到的单位向量组成的矩阵 Q 即为正交矩阵。
求矩阵的标准正交基
求矩阵的标准正交基首先，我们来了解一下标准正交基的概念。
在n维欧氏空间中，如果存在n个两两正交的单位向量，且它们张成的向量空间与整个n维欧氏空间重合，那么这组单位向量就称为n维欧氏空间的标准正交基。
简单来说，标准正交基就是一组相互垂直且长度为1的向量，它们可以用来表示整个向量空间中的任意向量。
接下来，我们将介绍求解矩阵的标准正交基的方法。
对于一个给定的矩阵A，我们希望找到一组标准正交基，使得矩阵A可以由这组基进行线性表示。
首先，我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法来求解标准正交基。
Gram-Schmidt方法是一种通过正交化的方式，将线性无关的向量组转化为标准正交基的方法。
其基本思想是从给定的线性无关向量组中构造出一组标准正交基。
具体操作是，先将向量组中的第一个向量单位化，然后依次将后续的向量投影到前面向量的正交补空间上，得到一组正交向量，最后将这些正交向量单位化即可得到标准正交基。
另外，我们还可以利用特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基。
对于一个对称矩阵A，我们可以将其分解为A=QΛQ^T的形式，其中Q是标准正交矩阵，Λ是对角矩阵。
这时，矩阵Q的列向量就是矩阵A的标准正交基。
特征值分解方法在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以用来求解标准正交基，还可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
最后，我们来看一下矩阵的标准正交基在实际问题中的应用。
标准正交基可以用来表示向量空间中的任意向量，因此在信号处理、图像处理、物理建模等领域都有着重要的应用。
例如，在图像处理中，我们可以利用标准正交基将图像表示为一组正交基向量的线性组合，从而实现图像的压缩和重构。
在物理建模中，标准正交基可以帮助我们更好地理解物理现象，分析物理过程中的向量关系。
总结一下，矩阵的标准正交基是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解向量空间的性质，解决相关的计算和应用问题。
我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法和特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基，并且在实际问题中有着广泛的应用。
线性代数课件-正交矩阵
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
向量组的正交性与正交矩阵
证:
设k11 k22 ... kmm O (i , k11 k22 ... kmm ) (i , O) 0 k1 (i , 1 ) k2 (i , 2 ) ... km (i , m ) 0 Q 1,2 ,..., m为正交向量组, 则（i， j ） 0, (i j) ki (i , i ) 0 由于i O, 即(i , i ) 0 ki 0 ( i =1,2,·,m ) · ·
2.在R4中求由下列向量生成的子空间的维数和一组正 交规范基 α1=（2，0，1，1），α2=（-1，-1，-1，-1）， α3=（1，-1，0，0），α4=（0，-2，-1，-1）
1.求由下列向量组生成的向量空间 V L 1,2 ,3 ,4 ,5 的维数和一组正交规范基，并用它表示向量组中剩余的向 量。
即1 ,2 ,.., n为单位正交向量组。
方法一、用定理。 方法二、用定义。
1/ 9 8 / 9 4 / 9 A 8 / 9 1 / 9 4 / 9 , A正交吗？ 4 / 9 4 / 9 7 / 9 正交
1 8 4 A 8 1 4 , A正交吗？ 4 4 7
2 .. n
1T 1 1T 2 T T 2 1 2 2 .. .. T T n 2 n 1
.. 1T n T .. 2 n .. .. T .. n n
0 0 ( i , i ) 1, ( i , j ) 0 .. (i j ) 1
五、正交矩阵：
T 若 1.定义4： n阶方阵A满足A A E，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质：(i)
正交试验设计的矩阵分析方法
205
同理, 计算出第二个考察指标落下强度的权矩阵 : 0. 0421 0. 0675 0. 1149 0. 0333 X2 = 0. 0979 0. 3927 0. 0980 0. 1179 0. 0347 第三个考察指标为裂纹度, 它是越小越好, 它的权矩阵计算如下:
206 0. 2703 0. 5882 0. 5000 M3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 3333 0. 3704 0. 5882 0 0 0 0. 2703 0. 5882 0. 5000 0 X3 = M 1T 1S 1 = 0 0 0 0
0. 5882 0 0 0. 5882 0 0. 3704
1. 3 0 õ = 4. 6 0. 774 1. 3 4. 6
0 0 0. 3333 0. 0729 此正交试验考察指标的总权矩阵为三个指标值的权矩阵的平均值, 计算如下 : 0. 0463 0. 0577 0. 0522 0. 1615 0. 1196 + 0. 2511 0. 1310 0. 0848 0. 0958 0. 0421 0. 0675 0. 1149 0. 0333 0. 0979 + 0. 3927 0. 0980 0. 1179 0. 0347 0. 0865 0. 1883 0. 1600 0. 0729 0. 0810 0. 1287 0. 1287 0. 0810 0. 0729 = 0. 0583 0. 1045 0. 1090 0. 0892 0. 0995 = 0. 2575 0. 1192 0. 0956 0. 0678 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
4
11. 0 4. 6 4
7. 0 1. 1 3
8. 0 1. 6 2
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
正交矩阵——精选推荐
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得 E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即E R R ='（2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中，iir >0(i =1,2,…n -1) 则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当（３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P PP E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O-⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，……，12m mm nm a a a α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=； <２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝00220000100001⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=00000011110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，32P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE ，也就是将A =()ij a 对应于2nE 的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n n a a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2n E 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i nik c c c c ==+++∑ =1. 由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222x y z s p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1 ∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++=22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a =32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122xs p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵.根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)xs p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=（()r t ' ()r t '' ()r t '''）来讨论，而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=-（()r t ' ()r t '' ()r t '''）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x zx x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a yy x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率. 参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵最简单例子
正交矩阵最简单例子
正交矩阵最简单例子：d.ka(k不等于0) 。
以最简单的情况为例：a=e，k=2，则2e不是正交的，如果AAT=E（E 是单位矩阵，AT代表“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则N阶实矩阵A称为正交矩阵，正交矩阵是专门用于实数的酉矩阵，因此它总是属于正规矩阵。
正交矩阵的示例：
恒等式变换：恒等式变换是将一个解析表达式转换为另一个与其相同的解析表达式，当遇到的问题复杂且难以解决时，通常使用身份变换来简化待解决的问题，从未知到已知，最终解决问题，因此，恒等式变换的特点是将复杂问题转化为易于通过变形表达形式解决的简单问题。
X轴反射：重反射也称为镜像反射或镜像变换，类似于物体在镜子中的阴影，给定二维平面中的直线，我们可以称镜像该直线；在三维空间中，给定一个平面，我们可以在这个平面上进行镜像反射。
拓展：
虽然我们这里只考虑实矩阵，但这个定义可以应用于元素来自任何域的矩阵，毕竟，正交矩阵是从内积自然导出的，因此需要对复矩阵进行归一化，正交矩阵不一定是实矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则所求的正交矩阵 T 为 1 2 1 2 2 1 求一个 2 ， T=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨6 2 姨6 - 1 姨6
1 姨3 1 姨3
正交矩阵 T， 使得 T′AT 成为对角矩阵.
2 解：λE-A = （λ+1 ） （ λ-5 ） 特征值是 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-2x1+ （λ-1 ） x2-2x3=0 -2x1-2x2+ （λ-1 ） x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 T ′ T -1 1 -1 于是 （ ） = T 1 0 0 0 0 0 -1 2 3 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 4 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0
1 -1 0 0 0 1 4 1 1 -1 0 0 0 4 1 1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
使得 T-1AT=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时，
1 姨2 0
） 单位化得： η1= 把 （2
- 1 姨6 2 姨6
η2=
- 1 姨6 1 姨2 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两 向量就是 ξ3=ε1+ε2+ε3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
， η3=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨2 1 1 1 1 1 姨3 1 1 姨3 1 姨3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
T′T=
，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
例 2. 设 A =
因此，属于 5 的一个线性无关的特征 即方程 （αiE -A ） X =0 的一个基础解系
1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 1 -1 1 1 1 ， 则 fA （x ） = 1 -1 -1 1 1 1 1 1
1 1
3 （x -2 ） （ x +2 ） ， 通过解相应的齐次 xE-A =
0
步骤， 并举例说明； 第二种是利用合同变换 是： α1= 0 ， α2= 1 ， α3= 1 （1 ） 线性方程组求得 T= 1 0 求一个正交矩阵， 对其中用的重要定理 、 引 -1 -1 1 0 理进行了证明，说明了这种方法的具体求 对 （1 ） 施用施密特特征正交化得： 解过程， 并举例说明. 定义 1.1n 阶实矩阵 A， 若满足 A′A=E， 则称 A 为正交矩阵. 2.用施密特正交化方法求正交矩阵 关于化实对称矩阵 A 为对角形的讨 论， 大部分教科书中， 都采用施密特正交化 的方法求出正交矩阵 T ， 按常规是分三步 进行： （1 ） 求 λE-A 的全部不同的特征根λ1， λ2， …， λ1 它们都是 A 的特征根. （2 ） 对每个特征根 λ， 解齐次线性方程 X =0， 求出它的一个基础解系： 组 （αiE -A） αi1， αi2， …， αiki （1 ） ， 对 （1 ） 施用施密特正交化 得： βi1， βi2， …， βiki （2 ） ， 再把 （2 ） 单位化， 得： ηi1， ηi2， …， ηiki （3 ） （3 ） 以 ηi1， ηi2， …， ηiki 为列向量的矩阵 T 就是所求的正交矩阵. 例 1. 设矩阵 A = 2 2
2 0 0 0 -1 1 0 0 2 0 0 0 -1 0 0
0 3 2 -1 2 0 -1 2 -1 2 1 0 0 3 2 0 0 -1 2 1 0
-2x1-2x2-2x3=0
得到 -2x1-2x2-2x3=0 -2x1-2x2-2x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
它的基础解系是 0 ， 1 -1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 1 0 1 0 0 0
1 -1
β1=α1= （1， 0， -1 ） β1 ）β = β2=α2-（α2， -1 ， 1， - 1 ） （2 ） 1（ β1 ） 2 2 （β1， β1 ）β -（α3， β2 ）β = β3=α3-（α3， 1， 1， 1 ） 1 2（ （β1， β1 ） （β2， β2 ）
1 1 1 1 1 1 1 1 1
矩阵是线性代数中的核心内容，而正 对， 再用特征向量值代入， 得到 4x1-2x2-2x3=0 -2x1-2x2+4x3=0 -2x1+4x2-2x3=0 它的基础解系是 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（3 ） 再通过合同变换 （ T′ T ） 求得正交 T 矩阵 U.
2 1 0
1 -1 0 2 -1 0 0 4 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 2 -1 0 4 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（二重 ） 和5 把特征值-1 代入齐次方程组 （λ-1 ） x1-2x2-2x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 姨3 3.利用合同变换求正交矩阵 存在可逆矩阵 P， 使 P′A′AP=E.
- 1 姨2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. =
引理： 设 A 是 n×r 实矩阵， 若秩 A=r， 则 定理 A 是 n 阶实对称矩阵，如果 T 是 实可逆矩阵， 使 T -1AT 是对角形矩阵， 则存 在可逆矩阵 R， 使 U=TR 是正交矩阵， 而且 U′AU 是对角形矩阵.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
施密特正交化方法求 U，计算较烦.以 上这种方法不必借助欧氏空间的某些概念 与性质.它的求解步骤为： （1 ） 求 λE-A 的全部不同的特征根λ1， λ2， …， λ1， 它们都是 A 的特征根. （2 ） 通过求相应的齐次线性方程组得 T.
=
因此， 属于-1 的两个线性无关的特征向 量就是： ξ1=ε1-ε3， ξ2=ε2-ε3 而属于 -1 的全部特征向量就是 k1ξ1 +
=
，
1 1 2 2姨3 1 -1 0 0 2 2姨3 最后一个矩阵的后 4 行作成正交矩阵
2 2 2 -2 .
使得 U′AU=
同变换 ［J］ .曲阜师范大学学报.1994.7. 作者单位： 江苏省建湖县职教中心
关注学生发展， 打造充满活力的语文课堂
刁品龙 《语文课程标准》 指出： “学生是语文学 习的主人， 是学习和发展的主体， 语文课程 应致力于学生语文素养的形成和发展。” 语 文教学实质是对人的培养和塑造的教学， 其目的就是要把学生培养成为具有鲜明个 完善品格的人。为此， 在课堂教学中要 性、 充分体现学生的主体地位， 亲近学生， 主动 密切地 “关注” 学生， 以学生发展为本， 去建 构新型的课堂， 给语文课堂注入新的活力， 努力打造充满活力的小学语文课堂。 一、 注重个性发展， 激发学生的学习 动力 《语文课程标准》 指出： “阅读是学生的 个性化行为，不应以教师的分析来代替学 生的阅读实践。应让学生在积极主动的思 维和情感活动中， 加深理解和体验， 有所感 悟和思考， 受到情感熏陶， 获得思想启迪， 享受审美乐趣。” 因此， 我们必须正视课堂 教学现实， 从问题设计入手， 关注学生的发 展， 激发学习动力、 活力。 教学过程中，老师要不断用热情的语 言予以激励性评价，或用激情昂扬的评议 引导学生自主读书，或用幽默生动的评议 引发学生浮想翩翩…… 学生始终主宰着课 堂， 学到了知识， 发展了能力， 张扬了个性 。 这种 “ 教育生态环境 ” 的营造， 使学生表现 自我， 彰显个性， 于无声处解决了学生学习 动力不足的难题。 二、 强化语文实践， 提高学生的学习 能力 《语文课程标准》 指出： 语文是实践性 很强的课程，应着重培养学生的语文实践 能力，而培养这种能力的主要途径也应是 语文实践。 我认为， 我们在教学过程中， 应该把握 语文教育的特点， 引导学生通过读一读 、 说 - 22 一说、 画一画、 演一演等多种形式的语文实 《庐山 践， 提高能力。一位特级教师在教学 的云雾》 第二自然段中， 先让学生默读， 明 白这段采用先总后分的方法描写了庐山云 “千姿百态” 的特点。然后， 引导学生抓 雾的 住 “ 就像是戴在山顶上的白色绒帽 ” “ 又像 是系在山腰间的一条条玉带 ” “ 茫茫的大 海” “ 巨大的天幕 ” 等语句， 边读边想象， 入 情入境， 庐山云雾的 “千姿百态” ； 在有所领 悟的基础上，引导学生通过声情并茂的朗 读， 深入体悟庐山云雾的形态美， 体味课文 的评议美。同时， 引导学生在读中揣摩课文 是怎样具体形象写出云雾的特点的 。 发动 学生用自己喜欢的方式朗读，然后小组互 动交流， 教师以 “ 平等首席 ” 的角色参与小 组活动。同学们的积极性可高了： 他们有的 用逼真有趣的动作 （笼罩 、 戴等） 栩栩如生 地表演云雾的姿态； 有的用简单明了的简笔 “庐山云雾的姿势” 勾画得惟妙惟肖； 有 画把 的用抑扬顿挫的语调把庐山云雾其他的姿 势表达得活灵活现……由于学生的形象思 维占优势， 让他们通过画画 、 演演 、 读读来 体会课文中的评议，进入课文所描述的情 境， 使人如临其境， 如见其形， 课堂上时而 书声琅琅， 时而情意浓浓， 里面静如止水。 三、 体验成功快乐， 激发学生的想象力 一位哲学家曾经讲过这样一句话： “想 象对于孩子， 比拥有万贯家产更加重要 。” 想象力比知识更重要。没有大胆的想象， 就 不会有伟大的发现， 想象是创新的前奏， 诱 导学生大胆想象， 培养学生的创新能力， 有 着极其深远的意义。教学中， 让学生充分展 示学习成果， 放大内心的成就感， 增强自信 心、 自尊和自我欣赏力， 产生征服欲， 强化 前进的战斗力、 牵引力， 最大限度地开掘和 发挥自身潜力，使学生的思维火花在课堂 中不停地激烈撞击， 激发学生的想象力。 如一位教师在教学 《草原的早晨》 时： 师： 小朋友都读得很流利， 老师也想来 读一读。在老师读的时候， 小朋友可以闭上 眼睛， 一边听老师读课文， 一边想象： 你好 像看到了草原上的什么？ （配上悠扬的音 乐， 深情地朗读， 生闭上眼睛欣赏。 ） 生： 我好像看到草原上羊儿在跑。 生： 我好像看见牧羊人在唱歌。 （老师一边以鼓励的眼光看着学生说， 一边点头微笑。学生受到赞赏就说得更有 劲了。 ） 生： 我好像自己也来到了大草原…… 师： 小朋友们的想象真丰富。那么真正 的大草原是不是和我们想象的画面一样美 丽呢？ （多媒体呈现草原风光图片。 ） （画面 上风景优美， 牛羊成群， 牧羊人歌声缭绕， 学生看了纷纷赞叹不已。 ） 师： 小朋友你觉得草原怎样啊？ 生： 草原真大啊！ 师： 你说得真准。确实中， 草原很大， 老 师要把这个 “大” 字写在黑板上。 （学生深受 成功的乐趣， 热情高涨， 争着举手说。 ） 生； 我想送给草原一个字， 那就是 “美” ！ 师： 你说得真精彩， 老师要用彩色粉笔 把这个 “美” 字写出来…… 学生们开心地笔了， 课堂上顿时激情燃 烧， 活力四射。本片段中， 在充分感知的基 础上， 学生充分发挥主观能动性， 用准确的 语言表达自己的感受。教师慧眼独具， 爱如 泉涌， 及时赞扬学生的心得—— —发言时准确 优美的语言， 并把词语一一写在黑板上， 书 写时还配上了简洁而又富有激励性的话语。 其他学生感同身受， 备受鼓舞， 参与 、 竞争 和互动的热情陡增， 进一步激发了课堂活力。 作者单位： 江苏省宝应县城南小学