第九章多元函数微分学2

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多元函数微分学习题详解

第九章多元函数微分学习题9-21. 说明下列极限不存在：(1) 00lim x y x yx y→→-+；(2) 36200limx y x yx y →→+.解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有(,)(0,0)0 (1)1lim lim (1)1x y x y kxx y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

（2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有33662262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kxx y kx k x y k x k →→===+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。

因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

2. 计算下列极限：(1) 01lim x x y e y→→+； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x→;(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++；(4)(,)(0, 0)limx y →.解：（1）因初等函数(,)x e yf x y x y+=+在(0,1)处连续，故有0011lim 2x x y e y e →→++==（2）(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()limlim 3x y x y xy xy y x xy →→==（3）33332233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y→→++=-+=++ （4）(,)(0, 0)(,)(,)1lim lim lim 4x y x y x y →→→===。

习题9-31. 求下列函数偏导数：(1) z =x 3+3xy +y 3； (2) 2sin y z x=;(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠，(5) z yu x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y∂∂=+=+∂∂(2) 222sin 1,cos 2.y zz y y x y x x∂∂=-=∂∂ (3) 13,.33z z x x y y x y∂∂-==∂-∂- (4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x --∂∂=+=+=+(5)12,ln ().z zu z u z x x x y -∂∂==- 1ln ()zy u x x z y∂=∂ (6) 22sin()2,z u x y e x x-∂=--+∂ 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --∂=--+-=-+∂22sin()()z z ux y e e z--∂=--+-∂22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);(2) 22(,)arctan x y f x y x y+=-;求(1,0)x f(3) 22arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 21(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==+故因此11(1,0).112x f ==+ (3) 222arctan(1(,2)ln(4)sin(1)2x f xx x e =++-因此2222arctan(4)22arctan(12(,2)cos(1)224sin(1)x x x x x f x x x ex x e ++=+-++- 所以arctan(11(1,2)25x f e =+. (4) 1(,,),(,,),(,,).x y z yz f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---故11(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.22x y z f f f ==-=3. 求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂,22z y ∂∂,2z ∂： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.解：(1) 222212631,246.z z x xy y x y x∂∂=+--=+∂222361,6.z zx xy x y y∂∂=-+=-∂∂ (2) 2222211ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+∂∂=++=+=∂++∂++ 222,.()z x z x y x y y x y ∂∂==-∂+∂+ 习题9-41. 求下列函数的全微分：(1) z =4xy 3+5x 2y 6；(2) z =(3) u =ln(x －yz )； (4) sin2yz yu x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ∂∂=+=+∂∂所以 3323 z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5(2)z zx y ∂∂==∂∂ 所以z .d x y =(3) 1,,,yu u z u x x yz y x yz z x yz-∂∂-∂===∂-∂-∂-所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz--=++---(4) 11,cos ,,22yz yz yu u u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂所以 1u d (cos )d .22yz yz y d x ze y ye dz =+++2. 计算函数z =x y在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂所以 1 z d ln d .y y d yx x x x y -=+(3,1) d 3ln3d .dz x y =+3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.解：,,z z y x x y ∂∂==∂∂所以(2,3)(2,3)3,2,z zx y ∂∂==∂∂ (2,3)(2,3)0.30.40.7z zz x y x y ∂∂∆≈∆+∆=+=∂∂ (2,3) 3d 2d .dz x y =+习题9-51. 求下列函数的全导数：(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数d d z t；(2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z x;(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z t解： (1) d d d d dz z u z v dt u t v t∂∂=⋅+⋅∂∂3232322(sin )u v u v e t e t ++=⋅+⋅- 2232cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-(2) d d d d dz z u z v dx u x v x∂∂=⋅+⋅∂∂22113121()1()x u v u v -=⋅+⋅+-+- 323(14).1(34)x x x =⋅-+- (3) d d d d ydz z x z z dt x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂(s i n )c os ty e x t t =⋅+⋅-+ c o s s i n c o s t t te e t t =⋅-+ 2. 求下列函数的偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数)： (1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z x ∂∂和z y∂∂；(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z x ∂∂和z y∂∂；(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u x ∂∂和u y∂∂；(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ∂∂,w y ∂∂,w z∂∂.解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z vuv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-22(2)cos (2)sin z z u z vuv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=---∂∂∂∂∂ 222222(s i n 2c o s )c o s (s i n s i n 2)s i nx y xy x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()()421422222226343ln(3)x y x yx x y x y x y +-+=++++12ln 2v v z z u z v vu y u u x u y v y -∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()()421422222222323ln(3)x y x yy x y x y x y +-+=++++(3)21232wf f xy f y z ∂=+⋅+⋅ 2232w f x f xyz y ∂=⋅+⋅∂23w f x y ∂=⋅故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ∂=-∂, 2ln 22ln (ln 1),x zx x y y-∂=-∂ 22ln 1ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y ---∂∂==+⋅⋅=+. (3) 122,z f y f x x ∂=+∂122.z f x f y ∂=-故2111222(2)2z y f y f x f x ∂=++∂22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.zx f x f y f y f x f y x f xyf y f f y∂=----=-+-∂ 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z zf y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x∂∂==+-+-=++--∂∂∂∂ 3. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z x y∂∂∂∂：(1) x 2+y 2+z 2－4z =0； (2) z 3－3xyz =1.解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x zx x ∂∂+-=∂∂故2.42z x x z∂=∂- 两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y ∂∂+-=∂∂故2.42yz y z∂=∂-(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z z y z x x∂∂-+=∂∂故23.33yz z x z y ∂=∂- 两边同时对y 求偏导得故23.33z xz y z x ∂=∂-。

多元函数微分学知识点梳理

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

第9章章测题2(多元微分学应用部分)

第9 章测验题（二）多元函数微分学的应用一、填空题1.函数u =x3 −xy2 −z 在点P (1,1, 0)处沿方向上的函数值增加最快。

1 2 2 22.函数u =(x +y +z ) 在点P (1,1,1) 处沿方向上的函数值增加最快。

213.函数f (x y)=(x +y )在点M (1, 1)处变化率为零的方向是。

,2 224.曲面e z −z +xy = 3 在点(2,1,0)处的单位法向量n= ，法线方程为。

5.球面x2 +y2 +z2 = 14 在点(1,2,3)处的单位法向量n= ，法线方程为，切平面方程为。

6.旋转抛物面z =x2 +y2 −1在点(2,1,4)处的单位法向量n= ，切平面方程为。

7.曲线x =a cosθ，y =a sinθ，z =bθ在点(a,0,0)处的单位切向量T = ，切线方程为。

⎛t ⎞8.曲线r ()i ()j ⎟k(t) =在对应于t − sin t +1− cos t +⎜4 sin⎝ 2 ⎠πt =点处的单位切向量02T ，切线方程为。

=9.曲线x=t1+t，y= 1+，在对应于tz =t t 1点处的单位切向量T = ，2 0 =t切线方程为。

⎧++=2 2 2x z (1,−2,1)处的单位切向量T = ，切线方y 6*10.曲线⎨在点x +y +z = 0⎩程为。

11.函数f (x y)=x +y +x −y 在点(0,0) 处的梯度向量为gradf (0, 0)=。

, 2 3 22 212.函数u =x + 2y + 3z 在点M (1,1, 2)处的梯度向量为gradu =。

M13.函数f (x, y)1=在点(1,1)处的梯度向量为∇f (1,1) =。

x y2 + 2二、选择题11.设f (x, y)=xy(a −x −y)(a > 0)，则f(x, y)_____________。

A.无极值；B. f (0,a)为极大值；a a C. ,f ⎛⎜⎞a a⎝⎠⎟3 3a a为极大值；D. ,f ⎜⎛⎞a a⎝⎠⎟3 3为极小值。

第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

多元函数的微分知识点介绍整理人王浩

多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。

在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。

偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。

1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。

对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。

它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。

需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。

2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。

如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。

需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。

如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。

3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。

它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。

如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。

对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。

总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。

D2-10多元函数微分学二(61p)

(5 - 40)
例6. (08.11分) 已知曲线 C : 求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点. 分析: 分析点(x ,y ,z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数 (目标函数) 在条件束下的最大值点和最小值点. 解: 令
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极值极其应用
一,知识点与考点
1. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法某邻域内一切异于对于二元函数 z = f (x , y),若在的点(x , y) 恒有为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值. 函数的极大值与极小值通称函数的极值. 函数取得极值的点称为函数的极值点. (1) 二元函数取得极值的必要条件: 可导函数的极值点必为函数的驻点. 驻点即方程组的实根.
(数二数三不要求数二数三不要求) 数二数三不要求
切线方程为: 法平面方程为:
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若空间曲线Γ 的方程为此时曲线方程可视为以x为参数的参数方程则对应的曲线Γ上的点处的
切线方程为: 法平面方程为:
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2.曲面的切平面方程和法线方程曲面∑: F (x , y , z) = 0 上点切平面方程为: 法线方程为:
(数二,数三不要求数二,数三不要求) 数二
处
曲面∑: z = z (x , y)上点切平面方程为:
处
法线方程为:
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二,典型例题分析与解答
题型1. 空间曲线的切线方程与法平面方程题型2. 曲面的切平面方程和法线方程

第九章多元函数微分法及其应用

E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点，则称 P 为 E 的聚点。聚点可能属于 E，也可能不属于 E 。聚点是内点或者边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点，则称 P 为 E 的孤立点。
孤立点属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数，只需将另一个自变量看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时称为间断点。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数

第九章多元函数微分学习题简解

基本训练11．设函数222),(yx xy y x f +=，求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1．答案：222yx xy +2．求下列函数的定义域：（1）()84ln 2+-=x y z ；答案：)}2(4|),{(2->x y y x ；（2）yx yx z -++=11；答案：|}||),{(y x y x >；（3）xy z arcsin=；答案：}0|||||),{(≠≤x x y y x 且3．求下列极限：（1）11lim 22220-+++→→y x yx y x ；提示：分母有理化；答案：2（2）xxy y x )sin(lim0→→；答案：0（3）()yxy x y x 1cos1sinlim 30+→→．提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小；答案：04．证明极限yx y x y x -+→→00lim不存在：提示：令(x, y ) 沿不同的路径kx y =趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数yx z -=1在何处是间断的？答案：在位于xOy 平面的直线y = x 上.6．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222yx y x y x xy z 的连续性．提示：选取直线kx y =，则2222)0,0(),(l 22)0,0(),(1im limkkkx x kxy x xykxy y x kxy y x +=+=+=→=→随着k 的变化而变化，即22)0,0(),(limyxxyy x +→不存在，函数在除)0,0(外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数： (1) 22yx y x z +-+=；答案：221yx x xz +-=∂∂，221yx y yz +-=∂∂（2）yx z tanln =；答案：yx yx y xz cossin1=∂∂，yx y x y x yz cossin2-=∂∂（3）yx z arctan =；答案：)1(22yyx x yxxz +=∂∂，)1(2ln 2yyx x x yz +=∂∂（4）)sec(xy z =；答案：)sec()tan(xy xy y xz ⋅=∂∂，)sec()tan(xy xy x yz ⋅=∂∂8．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(4444442yx y x y x xyy x f ，证明函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在，但不连续．简解： 000lim)0,0()0,(lim )0,0(0=-=-=→→xxf x f f x x x ，同理0)0,0(=y f ；但0≠k 时，442)0,0(),(limy x xykxy y x +=→∞=+==→443)0,0(),(limkxx kxkxy y x ,所以函数在)0,0(处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数： (1) yxz 2=，求22xz ∂∂，yx z ∂∂∂2；答案：2222)12(2--=∂∂y xy y xz ，)ln 21(2122x y xyx z y +=∂∂∂-(2) x y y x z sin sin 33+=，求yx z∂∂∂2；答案：x y y x cos 3cos 322+(3) )l n(xy x z =，求yx z ∂∂∂23．答案：02．设222zy x r ++=，证明rzr yr xr 2222222=∂∂+∂∂+∂∂．简解： rx zyxxxr =++=∂∂222，322222rz yrxr x r xr +=∂∂⋅-=∂∂，同理可得,32222rz xyr +=∂∂32222ry x zr +=∂∂，因此rrz y x zr yr xr 2)(23222222222++=∂∂+∂∂+∂∂3．求下列函数的全微分：(1) y x z arcsi n =；答案：22||x y y xdyydx --（2）)ln(22y x z +=，求)1,1(dz ；答案：dy dx +(3) zy x u =．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xdz y xdy z dx x yzx yz ln ln4．求函数32y x z =当2=x ，1-=y ，02.0=∆x ，01.0-=∆y 时的全增量及全微分．答案：.2.0,20404.0-=-=∆dz z*5．设有一圆柱，它的底圆半径r 由2cm 增加到05.2cm ，其高h 由10cm 减少到8.9cm ，试确定其体积的近似变化．6．设22uv v u z -=，而y x u cos =，y x v sin =，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：)sin (cos 2sin 232y y y x xz -=∂∂，)cos(sin)sin (cos 2sin 3333y x x y y y x yz +++-=∂∂7．设xy z =，而t e x =，t e y 21-=，求dtdz ．答案：t t e e ---．8．设)arctan(xy z =，而xe y =，求dxdz ．答案：xxex x e 221)1(++．基本训练31．设1)(2+-=a z y eu ax，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ．答案：x e ax sin ．2．设())4(32y x y x z ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．两边取对数答案：()())32ln(3232)4(2414y x y x y x y x xz yx y x +++++=∂∂+-+，()())32ln(32432)4(3414y x y x y x y x yz yx y x +++++=∂∂+-+4．设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证xy z yz yx z x+=∂∂+∂∂．解答：因为xyu xy xu 1,2=∂∂-=∂∂，故)()()()(u F x y u F y xu u F x u F y xz '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x yz'+=∂∂'+=∂∂，所以 xy z xy u xF xy u F y xy u F y u xF xy yzyx zx+=++='++'-+=∂∂+∂∂))(()()()(5．求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）：(1))(zx yz xy f u ++=；答案：)()(xz yz xy f z y xu ++'+=∂∂，)()(xz yz xy f z x yu++'+=∂∂，)()(xz yz xy f y x zu ++'+=∂∂（3）),,(xyz xy x f u =．答案：321f yz f y f xu '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy zu '=∂∂6．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，试求yz y xz x ∂∂+∂∂11．简解：因为)()(22)()(2222222222y xfy x f xy x y xf y xfy xz --'-=⋅-'--=∂∂,)()(2)()()2()()(222222222222222y xfy x f yy xf y xfy y x f y y xf yz --'+-=--⋅-'--=∂∂,所以yz y xz x ∂∂+∂∂11)()(222222y xfy x f y --'-=)()(2)(22222222y xyfy x f y y xf --'+-+)(122y x yf -=.7．求下列函数的二阶偏导数（其中f 有二阶连续的偏导数）： (1) )(222z y x f u ++=，求22xu ∂∂；答案：)(4)(22222222z y x f x z y x f ++''+++'.（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u ,，求22y u ∂∂；答案：2242232f yx f yx ''+'.(3) ),sin (22y x y e f z x +=，求yx z ∂∂∂2；简解：因为 212s i n f x f y e xz x'+'=∂∂，所以)2c o s (2)2c o s (s i n c o s 2221121112f y f y e x f y f y e y e f y e yx z x xx x ''+''+''+''+'=∂∂∂ y e f f xy f y x y y e y y e f x x x cos 4)cos sin (2cos sin 12212211'+''+''++''=.(4) ),,(y x u f z =，yxe u =，求yx z ∂∂∂2；答案：1232113112f e f f xe f e f xe y y y y '+''+''+''+''8．设)()(t x t x y μψμϕ-++=，其中ϕ，ψ是任意的二次可导函数，求证： 22222xy ty ∂∂=∂∂μ．简证：因为 )()(t x t x ty μψμμϕμ-'-+'=∂∂,)()(2222t x t x ty μψμμϕμ-''++''=∂∂又 )()(t x t x xy μψμϕ-'++'=∂∂,)()(22t x t x xy μψμϕ-''++''=∂∂所以22222xy ty ∂∂=∂∂μ.基本训练41．设xy yx arctan ln22=+，求dxdy ．提示：原方程就是xy y x arctan)ln(2122=+，对方程两边关于x 求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令xy y xz y x F arctan)ln(21),,(22-+=, 利用隐函数存在定理的求导公式来解. 答案：yx y x -+.2．设03333=-++axyz z y x ，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：axyz xayz xz --=∂∂22，axyz yaxz yz --=∂∂22.3．设0=-xyz e z ，求xz ∂∂，yz ∂∂．简解：令xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xz F y -=， xy e F z z -= xz F y -= 所以xz ∂∂xy eyzxy eyzzz-=---=，yz ∂∂xyexzxy exzzz-=---=因此yx z ∂∂∂2=--∂∂--∂∂+=2)()())((xy e x yz eyz xy e yz y z zzz()zy x e xyz zexy e z xz22223)(1---4．证明由方程0),(=--bz cy az cx ϕ（),(v u ϕ具有连续的偏导数，a ，b ，c 为常数）所确定的函数),(y x f z =满足关系式c yz bx z a=∂∂+∂∂．简解：（方法一）方程两边微分得,0)()(212121ϕϕϕϕϕϕ'+''+'=⇒=-⋅'+-⋅'b a dy c dx c dz dz b dy c dz a dx c因此211ϕϕϕ'+''=∂∂b a c xz ，212ϕϕϕ'+''=∂∂b a c yz ，得c yz bxz a=∂∂+∂∂.（方法二）记),,(bz cy az cx F --=ϕ 则,211ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zx.212ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zy5．设023=+-y xz z ，求22xz ∂∂，22y z ∂∂．答案：3222)23(16x z xz xz --=∂∂，3222)23(6x z zyz --=∂∂7．设223),,(z y x z y x f u ==，其中),(y x z z =是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的函数，求)1,0,1(-∂∂xu ．简解：令 xyz z y x z y x F 3),,(333-++=，则,332yz x F x -= xy z F z 332-=；xyz xyz xyz yz x xz --=---=∂∂22223333，所以xz z y x z y x xu ∂∂⋅+=∂∂2322223.232223222xyz xyz z y x z y x --⋅+=基本训练51．求曲线2y x =，3x z =在)1,1,1(处的切线与法平面方程．答案：切线方程611121-=-=-z y x ，法平面方程962=++z y x2．求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x ．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ()23,2,1t t s =，已知平面的法向量为()1,2,1=n . 由题意得 0=⋅n s ，即 03412=++t t ，解得1-=t 或31-=t ，故所求的点为)1,1,1(--，或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,313．求曲线⎩⎨⎧+==++222226y x z z y x 在点)2,1,1(处的切线方程．提示：曲线可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y tx ，曲线上点)2,1,1(处也就是4π=t 时的切线的方向向量为)0,1,1(-=s.答案：切线方程⎩⎨⎧=--+=-++0222062z y x z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021111z y x4．求曲面xy z arctan=在⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面和法线方程．答案：切平面方程022=-+-πz y x ，法线方程241111π-=--=-z y x5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．答案：切平面方程0279=--+z y x ，法线方程111193--=-=-z y x6．在曲面222y x z +=上求一点，使该点处的法线垂直于平面0142=+++z y x ，并写出法线方程．答案：所求点为),3,1,1(-- 法线方程134121-=+=+z y x ．7．求曲面2222z yx +=上平行于平面01422=+-+z y x 的切平面方程．答案：切平面方程012=+-+z y x8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) y e y e z yxcos si n +=，在点⎪⎭⎫⎝⎛2,0π沿向量}1,2{-；提示：方向l 的方向余弦为51cos ,52cos -==βα；ye xz xs i n =∂∂，y e y e y e yz yyxsin cos cos -+=∂∂，βαπππc o s c o s )2,0()2,0()2,0(yz xz lz ∂∂+∂∂=∂∂522πe +=．(2) z e xy u +=，在点)0,1,1(处沿从点)1,2,4(-到)0,1,5(的方向．提示：ze zu x yu y xu =∂∂=∂∂=∂∂,,，方向l 的方向向量)1,1,1(-=s；所以方向l 的方向余弦为：31cos ,31cos ,31cos =-==γβα；代入方向导数公式可得γβαcos cos cos )0,1,1()0,1,1()0,1,1()0,1,1(zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂31=9．设从x 轴正向到方向l 的转角为θ，求函数332y xy x u +-=在点)1,1(M 处沿方向l 的方向导数lu ∂∂．问θ为何值时，方向导数lu ∂∂：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：2232,23yy xu x x xu +-=∂∂-=∂∂，1)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yu xu ，)4sin(2sin cos )1,1(πθθθ+=+=∂∂lu ,所以当4πθ=时，lu ∂∂最大；当45πθ=时，lu ∂∂最小；当43πθ=或47πθ=时，0=∂∂lu ．10．设z y x xy z y x u 62332222---+++=，求)0,0,0(f grad 及)1,1,1(f grad ．答案：k j i f 623)0,0,0(---=grad ，j f 3)1,1,1(=grad11．设22y xy x z +-=，求在点)1,1(处的梯度，并问函数z 在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：j i z +=)1,1(grad ，函数z 在)1,1(处沿j i +方向lz ∂∂取最大值，沿j i --方向lz ∂∂取最小值，沿j i +-或j i -方向lz ∂∂取值为零．基本训练61．问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：22,2,xy zu xyz yu z y xu =∂∂=∂∂=∂∂，4,2)2,1,1()2,1,1(-=∂∂=∂∂--yu xu ,1)2,1,1(=∂∂-zu ，所以kj i u +-=42grad 是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21||=u grad ．2．求下列函数的极值：(1) 22324y xy x x z -+-=；答案：极大值为0)0,0(=f(2) y y ye x e z -+=cos )1(；答案：极大值为2)0,2(=πk f ， ,2,1,0±±=k 3．求函数22y x z +=在条件1=+by a x 下的极值．答案：极小值为2222222222,b a b a b a ba b a ab f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为z y x ,,，令)(22),,,(V xyz zx yz xy z y x L --++=λλ, 关于λ,,,z y x 求偏导，求得驻点为)4,2,2(333V V V ，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为3334,2,2V V V 时，建筑材料最省.5．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短．提示：目标函数为 13632),(-+=y x y x f ，条件函数为44),(22-+=y x y x ϕ.为了求目标函数的最值，可设)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ，求得可能极值点为)53,58(，)53,58(--, 代入, 比较得所求点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,58. 6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H ，截面是半径为R 的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数0S ，试求R 与H 的值，使其容积最大．简解：令)(21),,(022S R RH H R H R L -+-=ππλπλ，求得唯一可能极值点为：)32,3(),(0ππS S H R =；因此当π30S R =，π32S H =时，容积最大．7．在平面023=-z x 上求一点，使得它到点)1,1,1(A 、点)4,3,2(B 的距离平方之和为最小．提示：目标函数为2222)2()1()1()1(),,(-+-+-+-=x z y x z y x f 22)4()3(-+-+z y)16543(2222+---++=z y x z y x ，条件函数为z x y x 23),(-=ϕ,答案是点⎪⎭⎫⎝⎛2663,2,1321.本篇自测A 卷一、填空题1．答案：),(y x f 2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：πn x =，或πm y =，（n ，,2,1,0±±=m ）． 4．答案：⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x二、单项选择题 1．答案：B2．提示：函数),(y x f 在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在 ⇔ 点存在偏导数在点连续在函数点可微函数在点连续在偏导数P P P P ⇓⇒⇓故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A .4．提示：令3),,(-+-=xy z e z y x F z ，则y F x =，x y F =，1-=z z e F 所以曲面在点)0,1,2(处法向量为：)0,2,1(，从而可得C 为正确答案.三、计算题1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0.2. 答案：)1(21yyy x x yxxz +=∂∂-，)1(2ln yyyx x x x yz +=∂∂3. 提示：两边取对数得()y x y x z ++=2ln )2(ln , 两边关于y 求偏导得122ln(2)2z x y x y z yx y∂+=++∂+.故答案为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∂∂+y x y x y x y x yz yx 22)2ln(222.4. 答案：321f y f f xz '+'+'=∂∂，321f x f f yz '+'-'=∂∂5．答案：)22()(122323zzze z y z xy zey xy e ---．6．答案：2222y x y x +-． 7．答案：22212f xy f ''-''. 8．答案：dydx 5252-．9．提示：令09632=-+=∂∂x xxz , 得3-=x 或1=x ,令0632=+-=∂∂y yyz , 得0=y 或2=y ;所以驻点为 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(--, 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为5)0,1(-=f ，极大值为31)2,3(=-f .四、应用题1. 简解：设切点为),,(z y x ，则切点处的方向向量)3,2,1(2x x s =，已知平面的法向量)1,2,1(=n.由题意得 s 与n 垂直, 即 0=⋅n s, 所以03412=++x x , 解得1x =-或13x =-. 故所求点为:)1,1,1(--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.2. 简解: 令)1()1543(),,,,(222-++-+++=y x z y x z z y x L μλμλ,分别求关于μλ,,,,z y x 的偏导数得,52,24,23λμλμλ+=+=+=z L y L x L x y x1543-++=z y x L λ,122-+=y x L μ解得可能极值点为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛--1285,53,54. 比较z 的大小得所求点为： ⎪⎭⎫⎝⎛1235,53,54.3. 简解: 设第一卦限内的内接点为),,(z y x , 由空间解析几何知识得: 直角平行六面体的长宽高分别为z y x 2,2,2, 体积xyz V 8=; 故令).1(8),,,(222222-+++=cz by ax xyz z y x L λλ答案为：长、宽、高分别为32a ，32b ，32c 时，有最大体积 abc V 338=．五、证明题1．简解: )(z y x z ϕ+= 两边关于x ，y 求偏导得xz z y xz ∂∂'+=∂∂)(1ϕ，yz z y z yz ∂∂'+=∂∂)()(ϕϕ，解得 )(11z y x z ϕ'-=∂∂，)(1)(z y z yz ϕϕ'-=∂∂, 又 xzz f xu ∂∂'=∂∂)(， yz z f yu ∂∂'=∂∂)(所以xu z yu ∂∂=∂∂)(ϕ.2. 简证: 令 ⎪⎭⎫⎝⎛----=c z b y cz ax f z y x F ,),,(，则cz f F cz f F y x -'=-'=21,， 2221)()()()(c z b y f c z a x f F z ---⋅'+---⋅'=．所以曲面上任一点),,(z y x 处的法向量为：),)()(,,(2121cz b y f cz a x f f f ---⋅'+---⋅'''故点),,(z y x 处的切平面为,0)]()()([)()(2121=----⋅'+---⋅'+-⋅'+-⋅'z Z cz b y f cz a x f y Y f x X f即 .0)])(())([()])(())([(21=-----⋅'+-----⋅'z Z b y c z y Y f z Z a x c z x X f 不论z y x ,,取何值，c Z b Y a X ===,,总能使上式恒成立；即切平面总通过点),,(c b a .本篇自测B 卷一、填空题1．答案：}104|),{(222<+<≤y x x y y x 且． 2．提示：分子有理化，原式41241lim)24(44lim000=++=++-+=→→→→xy xy xy xy y x y x .3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.二、单项选择题 1．提示：令xy v y x u =+=,，则1u x v=+，1uv y v=+ 代入得21(,)1v f u v u v-=+，故答案为B2．简解：xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→xb a f b x a f xb a f b x a f x x ---+-+=→→),(),(lim),(),(lim),(2b a f x =.3．提示：切点为)0,1,1(, 方向向量为)1,1,1(-，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A 错误；由题设条件知曲面),(y x f z =的法向量为}1,1,3{--，故B 错误；曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的一个切向量为{1,0,}{1,0,3}x f =，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C 正确而D 错误.．三、计算题 1.提示：因为xy yxy x xy y xy x xy =++≤+-≤22222222)()(0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+-≤22222221)(0y x y x y x xy 或，由夹逼准则得0)(lim2222=+-→→yxy x xy y x .2．答案：⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x y f xy x y f xy f )(．3．简解：21)(f x f xz '+''=∂∂ϕ, 所以))(()())((222112112f y f x f y f yx z'''+''-+''''+''-=∂∂∂ψϕψ 221211)()1)()(()(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ. 4．提示：两边关于x 求偏导得：)(222xy x y f x x y f x zzx -⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂+,zx x y f x y x y f xz 22-⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂.也可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y xf z y x z y x F 222),,(，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+dz y z x dy x y z dx z x y z y x xzyln ln ln 6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：0)()()(21=++-+'++'zdz ydy xdx dz dy F dz dx F ，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(.（解法二）方程两边关于x 求偏导得： 0)1(21=∂∂--∂∂'+∂∂+'xz zx x z F x z F ，解得 z F F F x x z-'+''-=∂∂211，同理得 z F F F y y z-'+''-=∂∂212，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(. *7．简解：方程组两边对x 求偏导得： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-022022x v v x u u y x v u v x u x解关于xu ∂∂，xv ∂∂的二元一次方程组得)(24222v u uyxv xu ++=∂∂，)(24222v u vyxu xv +-=∂∂.四、应用题1. 简解：曲面上任一点),,(z y x 处切平面的法向量为 )1,2,2(-=y x n，又已知直线的方向向量为： )2,1,0()2,0,1(⨯=s)1,2,2(--= 由题意, s n//, 即112222-=-=-y x .解得1,1==y x ，代入曲面方程得2=z ，故所求的切平面方程为0)2()1(2)1(2=---+-z y x ，即 0222=--+z y x .*2．简解：x y yh y x xh +-=∂∂+-=∂∂2,2,00),(00),(2,20000x y y h y x x h y x y x +-=∂∂+-=∂∂,所以j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad ，沿梯度j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad方向的方向导数最大，最大值为 00202000855),(y x y x y x g -+=. 令xyy x y x L 855),,(22-+=λ)75(22--+-xy yxλ,由拉格朗日乘数法得)5,5(1-M ，)5,5(2-M ，),35,35(3M )35,35(3--M 为),(00y x g 的可能极值点，计算相应函数值并比较得)5,5(1-M 或)5,5(2-M 可作为攀登的起点．五、证明题 1. 简证：因为=∂∂xz [])]()([2)()(2ax y ax y a ax y ax y a -+++-'-+'ψψϕϕ，[])]()([21)()(21ax y ax y ax y ax y yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ;[])]()([2)()(22222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ,[])]()([21)()(2122ax y ax y ax y ax y yz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ.所以022222=∂∂-∂∂yz axz .*2．简证：因为 ()22|||)|2(02/12/3222/32222xy xy yx yxyx =≤+≤，又022||lim2/10=→→xy y x ，所以 ()0lim2/3222200=+→→yx yx y x ，注意到0)0,0(=f ，因此函数在点)0,0(处连续；因为0)0,(≡x f ，所以0)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x f x f f x x ，同理 0)0,0(=y f ；考虑极限 ρρ)0,0(),(limf y x f -→()22222)0,0(),(limy x yx y x +=→，其中22yx+=ρ，若沿直线kx y =取极限，则()22242242)0,0(),()1(1limk kxk xk kxy y x +=+=→随着k 的变化而变化，表明上述极限不存在，因此函数在点)0,0(处不可微．。

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导

《高等数学》-各章知识点总结——第9章

《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。

3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。

nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。

n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。

如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。

设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。

多元函数微分学习题课 (2)

a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
机动目录上页下页返回结束
例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
机动目录上页下页返回结束
多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim

高等数学第二节偏导数

xz x xxz
2z x2
fxx(x,y) zxx;
z x
y
y
z x
2z x y
fxy(x,y)
zxy;
z y
x
x
zy
2z
y x
fyx(x,y) zyx ;
z y
y
y
z y
2z y2
fyy(x,y) zyy .
其中 fxy(x, y) 及 fyx(x, y) 称为二阶混合偏导数.
证明由例3可知
ux,uy,uz, x u y u z u
所以
2u x2
x
x u
u
x u x
u2
u x2 u
u2
u2 x2 u3
,
同理， 2yu得 2 u2u3y2,
所以
2u u2 z2 z2 u3 ,
2u 2u 2u x2 y2 z2
u2 x2 u3
u2 y2 u3
u2 z2 u3
x
x2
x y2
1(x2y2)x(2x0)
y2 x2
,
(x2 y2)2
( x2 y2 )2
验证了
2z 2z . x y yx
例 9 设uexy,z 求 3u .
x y z
解因为
u yzexyz, x
2u (yzexyz) z (yexyz)
xy y
y
z[exy z yexyzx]z
(y2xsiny) 2siny, x
2 z (y2xs iny)12xcoys, x y y
2z y2
(xx2cosy) x2siny, y
2 z (xx2cosy)12xcoys. y x x

多元函数微分学

多元函数微分学
多元函数微分学是研究多元函数多变量之间关系及其变化性质的
数学分支。

它不仅仅是研究函数的变化性质，而且它还为数学分析奠
定了坚实的基础。

利用多元函数微分学，我们能够描述和分析函数多
变量之间的关系，从而有效地定义和研究函数的变化性质。

多元函数微分学的基本原理是求导原理或微分原理，即对多元方
程求导，使用梯度来描述其变化性质，以及如何利用线性算法解决系
统的微分方程。

多元函数微分学的实际应用可以概括为数学物理学中
的各种多元函数场解和最优化问题，数学统计学中的概率分布估计，
模式识别和控制中的数学建模以及机器学习算法等等。

多元函数微分学是一门应用广泛，理论深入的数学学科，在解决
实际问题中发挥着重要作用，是工程数学中不可或缺的重要组成部分。

它不仅用于理解函数的变化性质，而且用于分析系统运行特征，找出
系统内因素的影响，并在做出有效的决策及其实现方式中发挥关键作用。

多元函数的微分学(第九讲)

第九讲多元函数的微分一、主要知识点1．主要概念（以二元函数为主）（1）函数的极限与连续定义极限定义（εδ-定义）A y x f y y x x =→→),(lim 00：如果对于任意给定0ε>，总存在0δ>，使得对于适合不等式00pp δ<=的一切点(,)p x y ，都有ε<-A y x f ),(成立．连续函数定义设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)p x y D ∈，若),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)p x y 处连续．注意：二元函数与一元函数的差异．（2）偏导数的定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，函数的偏导数为0(,)(,)lim x z f x x y f x y x x ∆→∂+∆-=∂∆，0(,)(,)lim y z f x y y f x y y y∆→∂+∆-=∂∆．注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算．（3）全微分定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，若()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，全微分dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=． 2．主要理论（1）定理1（求偏导数与次序无关的定理）若函数),(y x f z =的两个混合偏导数x y z y x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22．（2）定理2（可微与偏导数存在关系定理）若函数),(y x f z =在点),(y x p 可微，则在该点处yzx z ∂∂∂∂,存在，且 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=．（3）定理3（偏导连续与可微的关系定理）若函数),(y x f z =偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x p 的某邻域内存在且连续，则),(y x f 在点),(y x p 可微．3．主要公式（1）全导数公式设函数),(v u f z =偏导数连续，而)(),(t v t u ψϕ==导数连续，则)](),([t t f z ψϕ=的全导公式为dtdvv f dt du u f dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）显函数 ),,(z y x f u =的偏导数求u 对x 的偏导数xu∂∂时，将z y ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之．求u 对y 的偏导数yu∂∂时，将z x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之．求u 对z 的偏导数zu∂∂时，将y x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之．（3）复合函数的偏导数1）设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===的偏导数连续，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=偏导数为xv v x x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂． 2）设),,,(v u y x f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==的偏导数连续，则函数)],(),,(,,[y x y x y x f z ψϕ=的偏导数为x v v f x u u f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yv v f y u u f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂．注意：1）偏导函数yzx z ∂∂∂∂,的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似．2）抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要．（4）隐函数的偏导数1）由方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =的导数公式为),(),(y x F y x F dx dyy x''-= ， (0),(≠y x F y )． 2）由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数公式为),(),(,),(),(y x F y x F y z y x F y x F x zz y z x ''-=∂∂''-=∂∂ ， (0),(≠'y x F z )． 3）由三个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数),(x y y =)(x z z =，求导数dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组来完成，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=+'-='+'x z y x z y G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F ''． 4）由四个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，确定的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,，可通过解关于x v x u ∂∂∂∂,),(yvy u ∂∂∂∂的线性方程组来完成，即解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂+∂∂''-=∂∂'+∂∂'x v u x v u G x v G xu G F xv F x u F ' ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂'+∂∂''-=∂∂'+∂∂'y v u y v u G y v G y u G F y vF y u F ． 4．主要计算方法（1）显函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数）；（2）隐函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数，方程组）；二、例题分析1．二元函数极限、连续、偏导数与全微分之间的联系例1．设223222(,)()0x y f x y x y ⎧⎪=⎨+⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但不可微分．证明：（1）证明连续性因为32240cos sin 232222)0,0(),()0,0(),(cos sin lim )(lim),(lim rr y x yx y x f r r x r y y x y x θθθθ→==→→====+=2220lim sin cos 0r r θθ→==)0,0(f =．所以),(y x f 在点)0,0(连续．（2）证明偏导数存在．因为 232200()0(0,0)(0,0)(()0)(0,0)limlim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+'===∆∆22200()0(0,0)(0,0)(0())(0,0)limlim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→⋅∆-+∆-+∆'===∆∆所以函数(,)(0,0)f x y 在处偏导数存在且为0．（3）证明(,)f x y 在点(0,0)不可微．因为 223222()()[(0,0)(0,0)][()()]x y x y z f x f y z x y ∆∆''∆-∆-∆=∆=∆+∆，所以41])(2[)(lim ])()[()()(lim ])()[()()(lim224,0222220,02322220,0=∆∆=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆→∆x x y x y x y x y x x y x y x y x ρ于是函数)0,0(),(o y x f 在点不可微．说明：通常判断函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否可微，可以按以下步骤考虑：（1）考察函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否连续．若不连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（2）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否存在．若两个偏导数有一个不存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（3）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否连续，若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 不连续，则利用全微分定义判别，如例1．练习题：设222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但是偏导数在点)0,0(不连续，而函数点)0,0(可微分．二元函数),(y x f z =连续，偏导存在与可微三者关系函数连续偏导数存在2．多元复合显函数求导问题例2．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂．证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂，又 ,u v w x y z t t t ∂∂∂===∂∂∂ 有 1(,,)k f f f x y z k t f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f txty tz kt f x y z u v w ∂∂∂++=∂∂∂ 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w∂∂∂++=∂∂∂ 于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂．例3．已知函数(,)u u x y =，满足方程2222()0u u u u a x y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ （1）试选择参数α，β，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y ξ=+，x y η=-，使新方程变换形式解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xαβαβαβαα+++∂∂∂=+=+∂∂∂ 2222()()x y x y u v v ve v e x x x xαβαβααα++∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 222(2)x y v vv e x xαβαα+∂∂=++∂∂， ()x y u vv e y yαββ+∂∂=+∂∂， 22222(2)x yu v v v e y y yαβββ+∂∂∂=++∂∂∂ 将上述式子代入已知方程中，消去x yeαβ+变得到222222(2)(2)()0u u v va a a a v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂，由题意，令2020a a αβ+=⎧⎨-+=⎩，解出22a a αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程为 22220u ux y∂∂-=∂∂．（2）令x y ξ=+，x y η=-，则v v v v vx x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， v v v v vy y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 22222222v v v v v x x x x xξηξηξξηξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222v v vξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ 同理 2222222v v v v y ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 将上面式子代入22220u ux y∂∂-=∂∂中得到20vξη∂=∂∂．例4．证明：若u =20d u ≥．（二阶全微分）记号：222222(),(),()dx dx dy dy dz dz ===，()0,()0,()0d dx d dy d dz ===．证明：因为一阶全微分为xdx ydy zdzdu u++=则 22222()()u dx dy dz xdx ydy zdz dud u u++-++= 2222()()xdx ydy zdzu dx dy dz xdx ydy zdz u u ++++-++=222223()()u dx dy dz xdx ydy zdz u ++-++=22222223()()()x y z dx dy dz xdx ydy zdz u++++-++= 2223()()()0xdy ydx ydz zdy zdx xdz u -+-+-=≥于是有20d u ≥．练习题：1．设函数(,,),(,,),(,),(,)u f x y z x z s t y x t z s t ϕψω====偏导数存在，求,u u s t∂∂∂∂． 2．设函数(,)()z f x y x y g x ky =-+++，其中,f g 具有二阶连续偏导数，且"0g ≠，如果222"222224z z z f x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，求常数k 的值．（2120k k ++=，故1k =-） 3．设z =，求二阶全微分20d z ≥．（222223222()()()()x y dx dy xdx ydy x y ++-++）3．隐函数的求导问题例5．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x G 所确定的y x ,的隐函数，求dxdy（其中),,(),,(t y x G t x f 为可微函数）．解：设方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x G t x f y 确定t y ,皆为x 的函数，将方程组对x 求导数，得0x t dy t f f dx x G G dy G tx y dx t x∂⎧''=+⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=∂∂∂∂⎪⎩或 t x dy tf f dx xG dy G t G ydx t x x∂⎧''-=⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪+=-∂∂∂∂⎪⎩解方程组，得1x t x t t t f f G G G G f f dy x t t x G G f dx f t y G Gy t''-∂∂∂∂-''-∂∂∂∂==∂∂'-'+∂∂∂∂∂∂．例6．设(,,)u f x y z =，2(,,)0yx e z ϕ=，sin y x =，其中,f ϕ具有一阶连续偏导数，且0x ϕ∂≠∂，求dudx．解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，x yzxyxu从复合关系图看出复合关系后求导，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx∂∂∂'''=++=++∂∂∂ 由2(,,)0y x e z ϕ=两边对x 求导，得12320ydy dzx e dx dxϕϕϕ'''++= ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx ϕϕϕ''=-+'于是123cos (2cos )y z x y f duf f x x e x dx ϕϕϕ'''''=+-+'．例7．设(,)z z x y =是由方程(,)z z f xy e =确定的隐函数，求偏导数,z zx y∂∂∂∂．解法1：设(,,)(,)z F x y z f xy e z =-，求偏导数1x F f y''=⋅，1y F f x ''=⋅，21z z F f e '=⋅-，应用公式得112211x z zz F yf yf zx F f e e f '''∂=-=-='''∂--，112211y z zz F xf xf zy F f e e f '''∂=-=-='''∂--．方法2：直接应用复合函数求导法则，方程两边关于x 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z zf xy e y f xy e e x x∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出z x ∂∂，即得121z yf zx e f '∂='∂-．方程两边关于y 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z z f xy e x f xy e e y y∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出z y ∂∂，即得121zxf zy e f '∂='∂-．方法3：应用一阶全微分形式不变性12(,)()z z dz df xy e f d xy f de ''==⋅+⋅ 112z f ydx f xdy f e dz '''=⋅+⋅+⋅，移项得 211(1)zf e d z y f d x x f d y '''-⋅=⋅+⋅，解出112211z zyf yf dz dx dy e f e f ''=+''--，因此121z yf z x e f '∂='∂-，121z xf zy e f '∂='∂-．例8．设sin ,sin u xu v x y v y+=+=，求22,,,du dv d u d v ．解：方程组sin sin u v x yy u x v+=+⎧⎨=⎩对x 求微分，得sin cos sin cos du dv dx dy udy y udu vdx x vdv +=+⎧⎨+=+⎩（1）解方程组的1[(sin cos )(sin cos )]cos cos du v x v dx u x v dy x v y u=+--+1[(sin cos )(sin cos )]cos cos dv u y u dy v y u dx x v y u=+--+（1）式方程组再微分一次，得222222cos 2cos sin cos 2cos sin d u d v y ud u udydu y udu x vd v vdxdv x vdv⎧+=⎨+-=+-⎩ （2）解方程组（2），得221[(2cos sin )(2cos sin )]cos cos d u d v vdx x vdv dv udy y udu du x v y u=-=---+．例9．设函数(,)z f x y =有连续的一阶偏导数，(,)w w u v =是由方程组2211w x y u x y v x y z e++⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩所确定的隐函数，试将方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为,w w u v ∂∂∂∂所满足的关系式．解：由方程组可以看出(,,),(,)w x y z f x y w e w w u v ++===，则1321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e x x u x v x u x v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 2321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e y y u y v y u y v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 因此左边22()()w x y y x z z v y x∂=-+-∂，右边()y x z =-，于是方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为 22()0w x y z v y x∂-=∂，又由于3322220x y x y y x x y--=≠，故0w v ∂=∂．例10．设)(u f 有连续的二阶导数，且)sin (y e f z x=满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f ．解：设sin xu e y =，则 '()'()sin '()x z u f u f u e y uf u x x∂∂===∂∂， '()'()cos x z u f u f u e y y y∂∂==∂∂， 222"()'()z f u u f u u x∂=+∂，（u u x ∂=∂）， 2222'()sin cos "()'()"()cos x x x z u f u e y e yf u uf u f u e y y y∂∂=-+=-+∂∂，所以 22222"()x z z e f u x y∂∂+=∂∂．由已知条件，得22"()()x x e f u e f u =，即"()()0f u f u -=，这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为210r -=，特征根为1r =±，则12()u u f u c e c e -=+为所求．练习题：1．已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=所确定的,x y 的函数，求dy dx．（22()tytydy t xye dx t y t e +=+-） 2．设2222221x y z a b c++=，求全微分2,dz d z ． 3．设函数222),(z y x r r f u ++==，在0>r 内满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ，其中)(r f 为二阶可导函数，且1)1()1(='=f f ，试将方程化为以y 为自变量的常微分方程，并求)(r f ．（1()2f r r=-+）。

微积分II全书整理

第一部分多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1)邻域型定义:设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ,使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→(２）距离型定义:设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时,都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义,已自然排除了0P 邻域内的无定义点; ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时,)(P f 都有极限; ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法,常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值;相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值,则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 0.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果0P D ∈,且有)()(lim 00P f P f P P =→,则称)(P f 在0P 处连续;如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续,则称)(P f 在区域E 上连续．注:①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→,只称“不连续”,而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等． 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在,则它们一定相等;反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在,又若两个累次极限存在且相等,称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分１.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论)（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--;),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆,则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =,),('00y x f B y =．注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆ 即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()2020********)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为:.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x （3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性,先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立,如果都成立则偏导数连续. ④逻辑关系:极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法： (1)链式求导法则:①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程,有几条路,等号后就有几项；每条路上有几段,每项中就会有几部分相乘(注意：偏导写偏微分符号“∂”，不偏则写微分符号“d ”); ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等,要合并同类项）.（2)全微分形式不变性:仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立．（3）隐函数存在性及求导法则:①一个方程的情形(以三个变量为例）:设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =,这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数,且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂．结论不难推广到一般情形. ②方程组的情形:一般地,设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u =．当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时,可以确定JJ x u j i *-=∂∂,其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量,纵向上改变各函数名称) 注:①求导前应事先判断，a 个变元,b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论:由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =,求22x z∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ; 求22yz∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ，其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-．(0),(=y x F 的曲率:()232221)'()'(F F A+)三、多元微分学的几何学应用(以下的讨论主要为了计算,条件未必严格）1.曲线的切线和法平面:设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0,则曲线l 在0P 处的: (1)切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-: (2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 注:若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出,切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ．2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定,),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0,则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x (导数已经代入0P 坐标）； (２)法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注:二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3．方向导数: (1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（２）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微,那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦．注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在． 4.梯度：(1）计算:gra ｄ u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ；（２）ｇｒad ｕ是)(P u 在点P 的变化量最大的方向,其模等于这个最大变化率; （3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； (4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题(1）极值的必要条件:对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .(可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件:设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则: ①0<∆时,),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值;当0<A 时,),(00y x f 为极大值；②0>∆时,),(00y x 不是极值点; ③0=∆时,此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上,三元及以上的充分条件中,要求黑塞矩阵正定或负定.(本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题) ２．条件极值与拉格朗日乘数法(1）一般情况下的拉格朗日乘数法:求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ,可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点．步骤:①构造辅助函数；(注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组; ③解方程组得到所有驻点.(解无定法,尽量利用观察法） (2）对“条件极值”的解读：事实上,只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点,通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以,出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题１．已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解,求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微,两个偏增量:,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =,其中F 有二阶连续偏导数,求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数,求.yx∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 6．设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ，y 的二元函数,求x z ∂∂及.yz∂∂ ７．求函数)ln(22z x e w y+=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.８.求g ｒa ｄ[c ·r +21ｌn(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >０. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界,证明：f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在,),('y x f y 在),(00y x 处连续,证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.１１.证明:函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12．设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数,其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明:曲面)2(2z y f ezx -=-π是柱面,其中f 可微．第二部分多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义(一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dcbax y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换:()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2．几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底,以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 3.物理意义:各点处面密度为()y x f ,的平面片Ｄ的质量． (二)三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分: (1）柱型域:投影穿线法（先一后二法）:()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（２)片型域：定限截面法(先二后一法)：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdzz r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换:()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量.（三)第一型曲线积分: 1．计算公式①平面曲线的情形：(1)()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f(2)()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2(3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:：()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2．几何意义:以C 为准线,母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积. 3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,(或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. (四）第一型曲面积分: 1.计算公式:()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ ２.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分：1.计算公式：①平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形:()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++２.物理意义:力场F ＝Ｐ（ｘ，y ，z )i + Q （ｘ，y ,z )j +R （x ,ｙ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分: 1.计算公式:.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义:流速场v=P （x ,ｙ,z ）i + Q （ｘ,y ,z )ｊ+R (x ，ｙ，ｚ)k 单位时间通过有向曲面Ｓ流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Gr ｅen 公式):.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分(Gaus ｓ公式):.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5．第二型曲线积分与第二型曲面积分（Ｓtokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2°()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ,则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f４°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ,最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0;若3R ⊂Ω关于坐标平面对称,当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0．8° 将坐标轴重新命名,如果积分区域不变,则被积函数中的x ,y ，z 也同样作变化后,积分值保持不变.２.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体,则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω,则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥，,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →＝{})(),(),(P R P Q P P ,则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(６° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变,则被积函数中的ｘ,y ，z 也同样作变化后，积分值保持不变．四、各种积分的应用１.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量:()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ 3.旋度：r ｏｔF (Ｍ）＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q ｋ.4.散度：div F (Ｍ)= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ 五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中Ｄ由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成. 2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中Ｄ: .0,0ππ≤≤≤≤y x 3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x 4．计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D ： .0,0a y a x ≤≤≤≤5．计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6．计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体．8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V是顶点在)000(，，处,底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，１为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰lxds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分,点π,),,(S z y x P ∈为S 在点Ｐ处的切平面,),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.1１.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.1３．计算,)()(22⎰+++-ly x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 1４.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e xx S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=,坐标面xo ｚ,yo ｚ及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. １5.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数．17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π1８．计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中Ｓ是曲面22z x y +=及1=y ,2=y 所围立体表面外侧．１9.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积．21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积． 22.求平面曲线段l :)10(233≤≤+=x x x y 绕直线Ｌ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积. 23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(1⎰=A dx x f 求⎰⎰110.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和. ２5.设r =x i +ｙj ＋z k , r=|r ｜．（１)求)(r f ,使div[)(r f r ］=0;（２）求)(r f ,使ｄi ｖ[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降,证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf2７.设函数)(t f 连续，证明:⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(２8.证明:()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面:.022222222=+---++a az ay ax z y x29．设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续,且.max 222R Q P M ++=Γ证明:.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30．设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ,都有).,(),(2y x f tty tx f -=证明:0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L,其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质１．收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. ２.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .(即部分和数列收敛)3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛),而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4．对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5．在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断１.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2)比较判别法(放缩法):若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ,那么（i)当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤,那么（i)当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；(ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.(3)比较判别法的极限形式（比阶法)：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ,若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.(注:可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容)另外，若0=l ,则当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛;若∞=l ,则当级数∑∞=1n nu发散时,级数∑∞=1n nv亦发散．常用度量： ①等比级数:∑∞=0n nq，当1<q 时收敛,当1≥q 时发散；②ｐ-级数:∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数:()∑∞=2ln 1n pn n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数:∑∞=--111)1(n pn n ,当1>p 时绝对收敛,当10≤<p 时条件收敛. (4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ,当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛;当1lim 1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （５)柯西判别法的极限形式(根值法）:对于正项级数∑∞=1n nu,设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛,1>r 时发散,而当1=r 时需进一步判断． (６）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数,非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降,且自某项以后成立着关系:n n u u f =)(,则级数∑∞=1n nu与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1)绝对收敛与条件收敛:①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=;将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=,那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛,则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛,它们的和分别为U 和V ,则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛,且和为UV .特别地，在上述条件下,它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注:⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ,这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .(2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少(即1+≥n n u u ),则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项,且余和的符号与第一项符号相同,余和的值不超过余和第一项的绝对值．二、函数项级数(一)幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西－阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛,在R x x >-0内发散,其中R 为幂级数的收敛半径. （２)阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛,则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散,则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1:若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛,则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散．推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ,若又有0>n a ,则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性,取并集.２.幂级数的运算性质(1)幂级数进行加减运算时，收敛域取交集,满足各项相加；进行乘法运算时,有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2)幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在Rx x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.(3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 (1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ,x ∈（-∞， +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-１, １）．从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞=-=+022)1(11n nn x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ,x ∈(－∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ,x ∈(-∞， +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα,x ∈(-1，１).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ,x ∈［-1， 1］.⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, １]. （2）常用的求和经验规律:①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ,可以与x 的幂合并,如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ，对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开; ⑤有些和函数满足特定的微分方程,可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. (二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ］上满足: ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点;则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛． 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3．以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（１)在[－l , ｌ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10;(2）正弦级数与余弦级数:①奇函数(或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π;４.一些在展开时常用的积分: (1);0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx n nxdx n(2)2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；(3)2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；; （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22; C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22; (５）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ;C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注:①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性; ③对于π≠l 的情形,事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题１.判断下列数项级数的敛散性,若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛. （1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；(2）nn n βα∑∞=1，其中β非负;（3）∑⎰∞=140tan n n n xdx λπ,其中0>λ；（4)np n n n1111)1(+∞=-∑-;(5）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α； (6)!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n．2．求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数．4.将下列函数展开成x 的幂级数. (１)xx 21-;（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41. ５.求下列幂级数的收敛域及和函数．（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(;(２))12()1(211--∑∞=-n n x n n n ; (３)()∑∞=03!3n nn x ; 6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和. 7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n n n xx n x dt t . 9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim 448444840-++++-++++--→n n n n x ππππππ10．将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.1１.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数. 12．将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数．１3.证明：幂级数n n n k x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛. 14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nn B A ,,其中)(x f 是以π2为周期的连续函数,n n b a ,是其傅里叶系数．并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。

第9章多元函数微分学知识点总结

第9章多元函数微分学知识点总结1.多元函数的偏导数：-定义：对于多元函数来说，当变量除了要考虑沿着自变量方向变化外，还要考虑其他自变量是否保持不变，用偏导数来表示。

-计算方法：求各个偏微分时，将其他自变量视为常数，只对需要求的变量求导即可。

2.全微分：-定义：全微分是多元函数在其中一点上沿各个偏导数方向的和所对应的微分形式。

-计算方法：使用偏导数对各个自变量求导数，并乘以相应的变化量，再相加得到全微分。

3.方向导数：-定义：方向导数是函数在其中一点上沿着指定方向的变化率，表征了函数沿着该方向上变化的快慢程度。

-计算方法：先对多元函数求偏导数，然后将其与方向向量进行点积运算，再乘以方向向量的模长。

4.梯度：-定义：梯度是一个向量，其方向是函数在其中一点增大最快的方向，大小表示函数在该点变化率的大小。

-计算方法：求多元函数在其中一点的各个偏导数，并写成一个向量，即为该点的梯度。

5.方向导数与梯度的关系：-定理：函数在其中一点上的方向导数等于该点的梯度向量与方向向量的点积。

6.极值点：-定义：多元函数的极值点是指函数取得极大值或极小值的点。

-判定方法：通过求偏导数等于零的点，再利用二阶导数进行判定。

7.拉格朗日乘数法：-定义：拉格朗日乘数法是求解给定条件下多元函数的极值问题的一种方法。

-使用方法：通过构造拉格朗日函数，利用偏导数为零和给定条件进行求解。

8.海森矩阵：-定义：海森矩阵是多元函数的二次导数在其中一点上的矩阵形式。

-计算方法：对多元函数的各个偏导数再次求偏导数，并按照顺序组成矩阵。

9.二次型：-定义：二次型是多元函数二阶偏导数在其中一点上的二次齐次多项式。

-判定方法：通过海森矩阵的特征值进行判别，判断其正负来决定函数在该点上的行为。

以上是第9章多元函数微分学的主要知识点总结。

掌握了这些知识点，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，求解问题时也能够更有效地运用微分学的方法进行分析和计算。