高中数学一元二次函数的性质微课PPT课件
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高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT
例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么
一元二次函数ppt课件
a 0, b 0, c 0 ，
二次函数图象开口向上、对称轴 x
而选项中二次函数图象对称轴 x
错，不符合题意；
b
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
当a＜0时，抛物线开口向下；
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；
函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0
02
探索新知
思考
y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？
1.二次项系数a决定了函数图象的开口方向及开口大小.
2.直线−
是一元二次函数图象的对称轴，所以a和b共同决定了抛物线对称轴的位置.
2
3.c的值决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交点的位置.
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有一个交点(0,c)，故
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c = ( + ) +
(a，b，c是常数，且a≠0)
2
4
函数
变化趋势
b
在区间 , 上，y随x的增大而减小，
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大，
2a
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
y＝－2x2，抛物线开口向下；
二次函数图象开口向上、对称轴 x
而选项中二次函数图象对称轴 x
错，不符合题意；
b
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
当a＜0时，抛物线开口向下；
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；
函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0
02
探索新知
思考
y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？
1.二次项系数a决定了函数图象的开口方向及开口大小.
2.直线−
是一元二次函数图象的对称轴，所以a和b共同决定了抛物线对称轴的位置.
2
3.c的值决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交点的位置.
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有一个交点(0,c)，故
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c = ( + ) +
(a，b，c是常数，且a≠0)
2
4
函数
变化趋势
b
在区间 , 上，y随x的增大而减小，
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大，
2a
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
y＝－2x2，抛物线开口向下；
一元二次函数高一数学精品课件
知识小结 一般地，一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，a 决定了一元二次函 数图象的开口大小和方向；h 决定了一元二次函数 y＝ax2 图象的左 右平移，而且“h 正右移，h 负左移”；k 决定了一元二次函数 y＝ ax2 图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
一元二次函数.ppt
新课讲授
1、什么叫做一元二次不等式？
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是2的不等式，称为一元二次不等式。
例如：x2+x-2>0、-x2+3≥0
设计意图：通过复习一元一次不等式的定义并观察一元二次 不等式的特点，进而得出一元二次不等式的定义。由一元二 次方程的一般形式，学生即可推出一元二次不等式的一般形 式。有了定义与一般形式的理解，我将给出三个特殊的式子 让学生判断它们是否为一元二次不等式，并说出理由。学生 将对一元二次不等式得到进一步的理解。而问题当中只要求 出不等式的解集，就得到了问题的答案。“怎样求不等式的 解集呢？”由问题引发学生思考和求知欲。
φ
x
R φ
求下列不等式的解集： （1）
（1） 2x2 4x 3 0 （2） 2x2 4x 3 0
（2） 求一元二次不等式解集的一般步骤:
求一元二次方程的根
二次项系数化为正
求一元二次不等式的解集
（1） x2 x 6 0 （2） x2 3x 10 0
（3） 2x2 4x 2 0
第三章 一元二次函数 （3.9、3.10）
（一元二次不等式及其解法）
第三章 一元二次函数
说课的课题是：一元二次不等式及其解法，它出现在__新 教材必修五第三章第二节。下面我将从教材分析、教学目标、 教法与学法、重难点、课堂设计五个方面进行说课。
【教材分析】在此之前，学生已经学习了一元一次不等式的解法，一元二次 方程的根与函数的零点，这为过渡到本节起到了一个很好的铺垫作用，也为 今后进一步学习数列，三角函数以及生活实际中的应用奠定基础。这部分内 容较好的反映了“三个二次”的关系，蕴含着数形结合，从特殊到一般的数 学思想方法。从教学内容上本节首先由实际问题引出一元二次不等式，通过 复习一元二次方程与函数的零点，进行只是间的整合得到
高中数学同步教学课件 一元二次函数
元二次函数与x轴有两个不同的交点,x1,x2即为两交点的横坐标.
②当Δ=0时,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2,此时,一元二次函
数与x轴有1个交点,x1(x2)即为交点的横坐标.
③当Δ<0时,ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,此时,一元二次函数与x轴没有交点.
知识梳理
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
例 2 用待定系数法求下列一元二次函数的解析式:
(1)已知一元二次函数的图象过点(-2,20),(1,2),(3,0);
设所求一元二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
将(-2,20),(1,2),(3,0)分别代入解析式,
由y=x2 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,可得到
y=x2-2x+3的图象.
反
思
感
悟
处理一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象问题,主要是考虑其图
象特征,如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等
与系数a,b,c之间的关系.在图象变换中,记住“h正右移,h负左
移,k正上移,k负下移”.
2
B图,a<0,c>0,- >0,∴b>0,∴abc<0,不符合题意;
2
C图,a>0,c<0,- <0,∴b>0,∴abc<0,不符合题意;
2
D图,a>0,c<0,- >0,∴b<0,此时abc>0满足题意.
高中数学必修一课件：第2章 二次函数的性质 教学课件
＝－5，而 a＜0，即 a＝－5；
(2)当a2＞1，即 a＞2 时，［0,1］是 f(x)的递增区间， 则 f(x) ＝f(1)＝－4－a2＝－5，
得 a＝1 或 a＝－1，而 a＞2，即 a 不存在；
(3)当 0≤a2≤1，即 0≤a≤2 时，
则 f(x)
＝f(a2)＝－4a＝－5，a＝54，即 a＝54；
决定了二次函数图象的 平移左，右而且“h正 移，h负左 移”；k决右定了二次
函数图象的
平移，而上且下“k正 移，k负 移上”.
下
第二页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常 数，a≠0)
a＞0
a＜0
图 象
第三页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
第六页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
【解析】 (1)将函数配方化为顶点式 y＝2x2－3x＋1＝2x－342－18. 则顶点坐标为34，－18，对称轴为 x＝34； (2)当 x＝34时，ymin＝－18； (3)∵函数 y＝2x2－3x＋1 的对称轴为 x＝34， ∴f34－x＝f34＋x. ∴f(－1)＝f34＋－74＝f34＋74＝f52. 而函数在34，＋∞上是增函数，52＞1， ∴f52＞f(1)． ∴f(－1)＞f(1)．
4.2 二次函数的性质
第一页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
1.y＝ax2(a≠0)的图象
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的 倍得到a，其中
a决定了图象的
和在开同口一方直向角坐标系中的
. 开口大小
2.y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象
一元二次函数PPT教学课件
-10
y=2x2+5x+3
160 140 120 100 80 60 40 20
0 -5 0 x 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
✓ 右圖顯示的是函數
y =- 2x2-5x+3 的圖像
它和前述的y=2x2+5x+3 比較，有二個符號不一 -10 樣。
✓ 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見
y=-2x2+5x+1
y=-2x2+5x-2
10
10
10
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30 y
-40
數列1
-30
y
-40
-30
數列1 y
-40
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
攀禽类：啄木鸟、杜鹃、鹦鹉
4、哪种喙和脚适于在水中捞食水草？
游禽类：天鹅、野鸭、鸬鹚、鸳鸯、鸊鹈
5、哪种喙和脚适于在水中捕鱼？
涉禽类：丹顶鹤、白鹭、黑颧
6、哪种喙和脚适于扒土寻食？鸡、绿孔雀
项目 形态特点 生活习性 代表种
类群
鸣禽类
喙细而尖 足短而细 三趾向前 一趾向后
体态轻捷 善于鸣啭 巧于营巢
別， ，但曲線向上開口，
可見開口端是曲系數a
-10
的符號决定的，a 是正
數、向上，a 是負數、
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -5 x0 5
y=2x2+5x+3
160 140 120 100 80 60 40 20
0 -5 0 x 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
✓ 右圖顯示的是函數
y =- 2x2-5x+3 的圖像
它和前述的y=2x2+5x+3 比較，有二個符號不一 -10 樣。
✓ 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見
y=-2x2+5x+1
y=-2x2+5x-2
10
10
10
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30 y
-40
數列1
-30
y
-40
-30
數列1 y
-40
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
攀禽类：啄木鸟、杜鹃、鹦鹉
4、哪种喙和脚适于在水中捞食水草？
游禽类：天鹅、野鸭、鸬鹚、鸳鸯、鸊鹈
5、哪种喙和脚适于在水中捕鱼？
涉禽类：丹顶鹤、白鹭、黑颧
6、哪种喙和脚适于扒土寻食？鸡、绿孔雀
项目 形态特点 生活习性 代表种
类群
鸣禽类
喙细而尖 足短而细 三趾向前 一趾向后
体态轻捷 善于鸣啭 巧于营巢
別， ，但曲線向上開口，
可見開口端是曲系數a
-10
的符號决定的，a 是正
數、向上，a 是負數、
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -5 x0 5
第二章 一元二次函数、方程和不等式 课件(共62张PPT)高一数学上学期期末考点(人教A版2019)
y
3
2x
1 x
的最大值是（
）
A．3
B．3 2 2
C．32 3
D． 1
【答案】B
【详解】因为 x 0 ，则 2x 1 2 2x 1 2 2 ，
x
x
当且仅当 2x 1 ，即 x 2 时，等号成立，
x
2
可得
y
3
2x
1 x
3
2x
1 x3ຫໍສະໝຸດ 22，所以
y
3
2x
1 x
的最大值是
3
2
2.
3 典型例题讲与练
A．若 m n ，则 x y
C．
b a
m m
1
a b
n n
B．若 m n ，则 x y
【详解】由 a b 0,m 0 ，则 b m b ， am a
D．当 时， ． m n
bm an am bn
若 b m x, b n yn 0 ，
am an
若
m
n
，则
x
y
b a
当且仅当 x 8 x时，即 x 4 时，等号成立，所以 x8 x 的最大值为4 . 故选：B.
3 典型例题讲与练
考点02：基本不等式的应用
【期末热考题型1】和定，求积的最值
【典例 2】（2023 上·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）
已知正数 a，b 满足 a 2b 2 ，则 ab的最大值为
考点02：基本不等式的应用
【期末热考题型2】积定，求和的最值
【典例
2】（2023
上·上海普陀·高一校考期中）已知：
x
1，则
x
1
4 x 1
一元二次函数.ppt
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识巩固
判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图像
“三个二次”：二次函数、二次方程、 二次不等式间的主要关系。
Δ>0 Δ=0 Δ<0
x1
x2
x1=x2 有两个相等实 根 b
二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个相异实根
4ac b 2 [ , ) 4a
实数集R
4ac b 2 (, ] 4a
( , 增区间： ( 减区间：
单调性
b , ) 2a b ( , ) 减区间： 2a ( 增区间：
b , ) 2a
b ) 2a
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
二次函数的图像与性质
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识回顾
函数的性质
1、函数的单调性
如果函数y=f(x)在区间（a,b）上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在区间（a,b）内具有单调性 ， 区间（a,b）叫做函数y=f(x)的单调区间。
2、函数的奇偶性
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 说函数f(x)具有奇偶性。
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
2
观察一元二次函数的图像性质
y 3( x 1) 2
y 3x 1 2
2
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
一元二次函数 PPT
本节小结
二次函数平移变换 求二次函数最值 判断函数下x，y在区间上的变化趋势
谢谢
一元二次函数
知识引入
思考交流
请分析讨论函数y=a（x-h）2+k的图象可以由函数y=ax2 图象经过怎样的变换得到.
2.一元二次函数y-a（x-h）2+k（a≠0）有如下性质： （1）函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h， k）对称轴是直线x=h； （2）当a>0时，抛物线开口向上；在区间（-，h]上，函数值y 随自变量x的增大而减小；在区间上[h,) ，函数值y随自变量x的 增大而增大；函数在x=h处有最小值，记 作 ymin=k.当a<0时，抛 物线开口向下；在区间（- ，h]上，函数值y随自变量x的增大而 增大；在区间 [h,) 上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数 在处有最大值，记作：ymax=k
到
抛物线？ y 1 (x 1)2 1 2
解：抛物线
的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶
点是（-1，-1）。把抛物线
向下平移1个单位，再向左
平移2个单位，就得到抛物线
如图：
科学网来自创原家独二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时 常用简化的描点法和五点法，其步骤是： （1）先找出顶点坐标，画出对称轴； （2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）； （3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
例1：已知一元二次函数 y 1 x2 2x 5
2
（1）指出它的图象可以由函数 y 1 x2 的图象经过怎样 2
的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最
一元二次函数课件-精选文档
二次函数抛物线简单的图形变换
名称
平移 轴 对 称 x轴 y轴
0
a
a -a a -a
顶点(h,k)
(h,k)
左加又减 上加下减
(-h,k) (h, -k) (h, k)
旋转(绕 顶点转180 )
x 例1、将二次函数 y
2
2 x 3 的图象作下列图形变换
1、上移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新图象的解析 式是 ___________ ；
（一）求二次函数解析式的问题
（二）二次函数的值域和最值问题
（一）求二次函数解析式的问题 例1：已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(x-1)，f(x)的最大值 是9，且f(x)=0的两根的平方和为5，求f(x)的解析式 1 解:由f(2-x)=f(x-1)得f(x)的对称轴 x 2 又f(x)的最大值是9 12 故可设 f(x )a (x ) 9，且a<0
1 9 x1x2 1 设f(x)=0的两根x1、x2，则 x ， 1 x 2 4 a f (x ) 0 两根的平方和为5 1 9 2 2 2 x x ( x x ) 2 x x 1 2 ( ) 5 1 2 1 2 1 2 4 a 2 x ) 4 x 4 x 8 解得a= - 4，所以 f(
课前自测
5、已知二次函数f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值 是8，则该函数解析式为______________ 解法二：利用顶点式 f( 2 ) f( 1 ) 2( 1 ) 1 所以抛物线的对称轴为 x
2
2x ) 8 ( a 0 ) 所以可设 f( 2 12 a ( 2 ) 8 1 解之得 a f( 2 ) 1 4 2 1 2 2 f ( x ) 4 ( x ) 8 4 x 4 x 7 ∴所求二次函数为 2
一元二次函数教学课件
36-x
x
一元二次函數的專有名辭
• • • • • 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生 一個 y 的數值 • a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y? 右邊的圖表給了解答，它說明 在 x=18 cm 的時候，Y有最大 值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形的 條件下，正方形的面積最大。
一元二次函數例子的解答(II)
• Y = -x2+36x x • 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a • 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值 • 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: • Y =x(36-x) =36x – x2 • 這是典型的一元二次函數例子
x
一元二次函數的專有名辭
• • • • • 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生 一個 y 的數值 • a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y? 右邊的圖表給了解答，它說明 在 x=18 cm 的時候，Y有最大 值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形的 條件下，正方形的面積最大。
一元二次函數例子的解答(II)
• Y = -x2+36x x • 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a • 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值 • 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: • Y =x(36-x) =36x – x2 • 這是典型的一元二次函數例子
《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时不等关系与不等式)
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9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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10
合作探究 提素养
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11
用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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23
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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24
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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14
1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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15
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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15
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
北师大版高中数学必修第一册 第一章 4-1《一元二次函数》课件PPT
函数在 = ℎ处有最大值,记作 =
最值
提示：y=ax2+bx+c=a
2 4−2
4−2
x+ 2 + 4 (a≠0).所以h=-2,k= 4 .
即时巩固
1 +2
时,y等于(
2
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当x=
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
新知学习
情境导学
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米
的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取
何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,
知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( B )
A.(4,1)
B.(0,1) C.(2,3) D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( C )
A.最大值-5
B.最小值-5C.最大值-4
D.最小值-4
高中新教材数学人课件必修时一元二次函数方程和不等式
公式法
注意事项：需要判断判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，当 $Delta > 0$ 时方程有两个不相等的实数解 ，当 $Delta = 0$ 时方程有两个相等的实数解（即一 个重根），当 $Delta < 0$ 时方程无实数解。
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ （$a neq 0$），可以使用求根公式进行求解：$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
面积最大化问题建模与求解
面积函数建立
根据题目条件，设立合适 的变量，建立面积与变量 之间的函数关系。
面积最大化条件
利用导数知识，求出面积 函数的最大值点，即满足 面积最大化的条件。
实际求解
将题目中的具体数值代入 面积函数，通过计算得出 最大面积及对应的变量取 值。
其他实际问题应用举例
时间最短问题
顶点坐标求解
一元二次函数的顶点坐标可以通过公式$(-frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$求得，其 中$f(-frac{b}{2a})$为顶点的纵坐标。
02 一元二次方程求 解方法
直接开平方法
01
对于形如 $x^2 = a$ （$a geq 0$）的方程，可以直接开平方得 到 $x = sqrt{a}$ 或 $x = sqrt{a}$。
一元二次函数定义
一元二次函数是形如$f(x)
=
ax^2 + bx + c$（其中$a neq
0$）的函数。
图像特征
一元二次函数的图像是一条抛物 线。当$a > 0$时，抛物线开口向 上；当$a < 0$时，抛物线开口向 下。
4.1一元二次函数课件高一上学期数学北师大版
§4 一元二次函数与一元二次不等式 4.1 一元二次函数
课标要求
素养要求
会结合一元二次函数的图象，判断一 元二次方程实根的存在性及实根的个 数，了解函数的零点与方程根的关系.
从函数的观点认识方程，感悟数学知 识之间的联系，重点提升数学抽象与 数学运算素养.
新知探究
如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常 有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24 m， 最高点离水面8 m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
增大而减小
而增大
函数值的变化趋势
在区间(－∞，h]上，y随x的 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大
增大而增大
而减小
最值
x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k
3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac
(x11，)当2＝_－_Δ_>b_20±_a__Δ实，数且根xx11x·＋1x，2x＝2x＝2ac，；__－__ba___， (2)当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实根 x1＝x2＝－2ba； (3)当 Δ<0 时，方程无实数根.
法二 设一元二次方程为x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0所对应的二次函数为y＝x2＋(m＋ 2)x＋3＋m，二次项系数a＝1，函数图象开口向上.要使得方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝ 0的2个根都小于3，也就是一元二次函数y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m与x轴的两个交点都 在3的左侧，则需
Δ≥0，
（m＋2）2－4（3＋m）≥0，
解 (1)配方得 y＝－12(x2－8x)＋6 ＝－12(x2－8x＋16－16)＋6 ＝－12(x－4)2＋14. 所以函数 y＝－12x2＋4x＋6 的图象可以由 y＝－12x2 图象向右平移 4 个单位长度， 再向上平移 14 个单位长度而得到.
课标要求
素养要求
会结合一元二次函数的图象，判断一 元二次方程实根的存在性及实根的个 数，了解函数的零点与方程根的关系.
从函数的观点认识方程，感悟数学知 识之间的联系，重点提升数学抽象与 数学运算素养.
新知探究
如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常 有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24 m， 最高点离水面8 m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
增大而减小
而增大
函数值的变化趋势
在区间(－∞，h]上，y随x的 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大
增大而增大
而减小
最值
x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k
3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac
(x11，)当2＝_－_Δ_>b_20±_a__Δ实，数且根xx11x·＋1x，2x＝2x＝2ac，；__－__ba___， (2)当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实根 x1＝x2＝－2ba； (3)当 Δ<0 时，方程无实数根.
法二 设一元二次方程为x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0所对应的二次函数为y＝x2＋(m＋ 2)x＋3＋m，二次项系数a＝1，函数图象开口向上.要使得方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝ 0的2个根都小于3，也就是一元二次函数y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m与x轴的两个交点都 在3的左侧，则需
Δ≥0，
（m＋2）2－4（3＋m）≥0，
解 (1)配方得 y＝－12(x2－8x)＋6 ＝－12(x2－8x＋16－16)＋6 ＝－12(x－4)2＋14. 所以函数 y＝－12x2＋4x＋6 的图象可以由 y＝－12x2 图象向右平移 4 个单位长度， 再向上平移 14 个单位长度而得到.
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一元二次函数的性质
复习
※一次函数 y=kx+b(k≠0, x∈R)
正比例函数 y=kx(k≠0,x∈R)
※一元二次函数
y ax2 bx c(a 0)
新课
例1 已知一个一元二次函数的图象，如图所表示.
当x= -4时, ymin= -2.
该抛物线的顶点坐标 为__(_-_4_,_-__2_) __；
a[(x b )2 b2 4ac ]
2a
4a2
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
a(x h)2 k
该函数图象抛物线的 顶点是______?
该抛物线的对称轴 是______?
该函数的单调区间 如何考虑?
y ax2 bx c(a 0)
a(x b )2 4ac b2 a(x h)2 k
1
y 13 (1) f (x) x2 8x 3 x2 8x 16 16 3 (x 4)2 13 min
y (2)
f
(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x 2
x)
1
( x 2
x
1
1)
1
(x
1 )2
5
5
4 4 4
2
4
max
2
（1）对称轴：直线x=5 ； 顶点（5， 23）（2）对称轴：直线 x 2
1 4
； 顶点（1， 7） 48
由于 (x 2)2 0 ,
所以对 实数x,
都有 f (x) 7
当x=-2时,ymax=7
y x2 4x 3 x 22 7
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … y … -2 3 6 7 6 3 -2 …
y
7 6 5
4 3 2
O1
-5 -4 -3 -2 -1
-1 x
-2
y ax2 bx c(a 0)
想一想a，(求我x一们元现二b在次可)2函以数用的几4顶a种c点方、法b来2 a(x h)2 k 对称轴2，a求最值和单4调a区间？
配方法
公式法
例3 求函数 y 3x2 2x 1 的最小值及它的图象的对称轴，
并说出它在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数。
该图象关于_直__线__x_=_-_4___ 对称；
在区间___[__4_, ___)_上，
它是增函数，
在区间__(____,__4_]_上
是减函数。
例2 求作函数 y x2 4x 3 的图象.
解： y x2 4x 3
(x2 4x 3)
(x2 4x 4 4 3)
x 22 7 x 22 7
该抛物线的顶点坐标为
2, 7 ；
该函数图象关于直线x=-2对称；
函数在区间, 2上是增函数, 在区间 2, 上是减函数.
考察对任意的二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的顶点、对称轴和单调区间。
y ax2 bx c(a 0)
a(x2 b x c ) aa
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 c ] a 2a 2a a
3 （1） 直线x=3 ； 顶点（3， 21）
4
小结
一元二次函数的顶点、对称轴、单调性 掌握两种方法：配方法、公式法，注意数形结合
y ax2 bx c(a 0)
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
顶点
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a>0 （ , b ] 2a
a<0 （ , b ] 2a
2a
4a
性 (1)函数的图形是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(-h,k),即
质
b 4ac b2
( , 2a
4a
) ,抛物线的对称轴是直线x=-h；
(2)当a>0时，函数在x=-h处有最小值k=f(-h),抛物线开口向上； 在区间（ ， h] 上是减函数，在 [h,) 上是增函数；
(3)当a<0时，函数在x=-h处有最大值k=f(-h),抛物线开口向下； 在区间（ ， h] 上是增函数，在 [h,) 上是减函数。
对称轴 直线 x b 2a
[ b ,) 2a
[ b ,) 2a
作业
P88 5、6、7
选作：同步练 p41 一 ：1—4 ； 三 ： 1
解： a=3 , b=2, c=1
b 2a
2 23
1 3
， 4ac b2 4 31 22 2
4a
43 3
12
ymin
f ( 3
函数图象的对称轴是直线
)
x
3
1
，它在区间（
，
1
]
上是减函数，
在区间 [ 1， ）上是增函数。 3
3
3
练习
p84 1 (1) 、（3）
2
求函数图象的对
3 （1）
称轴和顶点坐标
复习
※一次函数 y=kx+b(k≠0, x∈R)
正比例函数 y=kx(k≠0,x∈R)
※一元二次函数
y ax2 bx c(a 0)
新课
例1 已知一个一元二次函数的图象，如图所表示.
当x= -4时, ymin= -2.
该抛物线的顶点坐标 为__(_-_4_,_-__2_) __；
a[(x b )2 b2 4ac ]
2a
4a2
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
a(x h)2 k
该函数图象抛物线的 顶点是______?
该抛物线的对称轴 是______?
该函数的单调区间 如何考虑?
y ax2 bx c(a 0)
a(x b )2 4ac b2 a(x h)2 k
1
y 13 (1) f (x) x2 8x 3 x2 8x 16 16 3 (x 4)2 13 min
y (2)
f
(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x 2
x)
1
( x 2
x
1
1)
1
(x
1 )2
5
5
4 4 4
2
4
max
2
（1）对称轴：直线x=5 ； 顶点（5， 23）（2）对称轴：直线 x 2
1 4
； 顶点（1， 7） 48
由于 (x 2)2 0 ,
所以对 实数x,
都有 f (x) 7
当x=-2时,ymax=7
y x2 4x 3 x 22 7
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … y … -2 3 6 7 6 3 -2 …
y
7 6 5
4 3 2
O1
-5 -4 -3 -2 -1
-1 x
-2
y ax2 bx c(a 0)
想一想a，(求我x一们元现二b在次可)2函以数用的几4顶a种c点方、法b来2 a(x h)2 k 对称轴2，a求最值和单4调a区间？
配方法
公式法
例3 求函数 y 3x2 2x 1 的最小值及它的图象的对称轴，
并说出它在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数。
该图象关于_直__线__x_=_-_4___ 对称；
在区间___[__4_, ___)_上，
它是增函数，
在区间__(____,__4_]_上
是减函数。
例2 求作函数 y x2 4x 3 的图象.
解： y x2 4x 3
(x2 4x 3)
(x2 4x 4 4 3)
x 22 7 x 22 7
该抛物线的顶点坐标为
2, 7 ；
该函数图象关于直线x=-2对称；
函数在区间, 2上是增函数, 在区间 2, 上是减函数.
考察对任意的二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的顶点、对称轴和单调区间。
y ax2 bx c(a 0)
a(x2 b x c ) aa
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 c ] a 2a 2a a
3 （1） 直线x=3 ； 顶点（3， 21）
4
小结
一元二次函数的顶点、对称轴、单调性 掌握两种方法：配方法、公式法，注意数形结合
y ax2 bx c(a 0)
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
顶点
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a>0 （ , b ] 2a
a<0 （ , b ] 2a
2a
4a
性 (1)函数的图形是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(-h,k),即
质
b 4ac b2
( , 2a
4a
) ,抛物线的对称轴是直线x=-h；
(2)当a>0时，函数在x=-h处有最小值k=f(-h),抛物线开口向上； 在区间（ ， h] 上是减函数，在 [h,) 上是增函数；
(3)当a<0时，函数在x=-h处有最大值k=f(-h),抛物线开口向下； 在区间（ ， h] 上是增函数，在 [h,) 上是减函数。
对称轴 直线 x b 2a
[ b ,) 2a
[ b ,) 2a
作业
P88 5、6、7
选作：同步练 p41 一 ：1—4 ； 三 ： 1
解： a=3 , b=2, c=1
b 2a
2 23
1 3
， 4ac b2 4 31 22 2
4a
43 3
12
ymin
f ( 3
函数图象的对称轴是直线
)
x
3
1
，它在区间（
，
1
]
上是减函数，
在区间 [ 1， ）上是增函数。 3
3
3
练习
p84 1 (1) 、（3）
2
求函数图象的对
3 （1）
称轴和顶点坐标