2019高二数学学科竞赛试题(1)

2019年耒阳二中高二学科竞赛数学试卷

（提示：把答案写在答案卷上。考试时间：120分钟，满分150分）

一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1、已知函数，则不等式f （x ﹣2）+f （x 2

﹣4）＜0的解集为（ ）

A ． （﹣1，6）

B ． （﹣6，1）

C ． （﹣2，3）

D ． （﹣3，2）

2、已知⎩

⎨⎧>≤+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）

A ．(0,1)

B ．1

(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7

3、若正数a ，b 满足a+b=4，则

19

11

a b +

--的最小值( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16

4、已知斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD=60°，∠BAD=90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5、等差数列{}n a 中,10a >,n S 是前n 项和且918S S =,则当=n （ ）时,n S 最大． A ．12 B ．13 C ．12或13 D ．13或14

6、设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ）

A ．1033

B ．2057

C ．1034

D ．2058

7、设F 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，

B 两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 3

B. 2

C.

5

2

D. 5 8、已知双曲线E ： 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的四点,,,A B C D 满足AC AB AD =+，若

直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为（ ）

A. 3

B. 2

C. 5

D. 22

9、已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，

且

∙最小值的取值范围是

，则该双曲线的离心率的取值范围为

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． [2，+∞）

10、已知函数错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。存在唯一的零点错误！未找到引

用源。，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的取值范围是( )

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到

引用源。 D ． 错误！未找到引用源。

11、已知函数 f （x ）=﹣5，若对任意的 ，

都有f （x 1）﹣g （x 2）≥2成立，则a 的取值范围是（ ）

A ． （0，+∞）

B ． [1，+∞）

C ． （﹣∞，0）

D ． （﹣∞，﹣1] 12、已知函数()()x

x f x x R e

=

∈，若关于x 的方程()2()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等

的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．2112e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，

B ．202e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，

C ．111e ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭， D ．212e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

13、已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2+n ，数列{}的前项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n =n

﹣8，则b n S n 的最小值为 ．

14、已知直线:10l x y -+=与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，

且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为 . 15、已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2

=2px （p ＞0）上的两点A ，B

满足

=3，若弦AB 的中

点到准线的距离为

，则抛物线的方程为 ．

16、若函数1()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程、 演算步骤）

17、 （本小题满分10分）

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

18、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25,352==S a ，正项数列{}

n b 满足()

n

s n b b b b 3321=

．

（1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式；

（2）若()()n

n n

a 1

121+-+<-λ对一切正整数n 均成立，求实数λ的取值范围．

19、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于2

1

，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=38y 的焦点。

1）求椭圆C 的方程；

2）点P(2,3)，Q(2,-3)在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点。

当A 、B 运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由；