群论-三维转动群汇编

物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示4.1 维转动群的表示§拓扑群和李群42§4.2轴转动群SO (2)§4.3 三维转动群SO (3)§4.4二维特殊幺正群SU (2)§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立定义4.1 连续群的维数, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a1其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。

在具体的群中，参数的取法可能不唯一例子如下的线性变换T(a,b)x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，b b T封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成个连续群。

构成一个连续群。

由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质需要在群中引入简单说拓扑是个集子集族简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群有一一对应关系的群集Sl该子集称为参数空间定义4.2 拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群定义4.3 简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。

若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。

前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。

定义4.4 多重连通群简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。

若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们则称该群为不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。

k称为连通度。

定义4.5 紧致群若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该若拓扑群的参数间是紧致间即闭而有界的间则该群称为紧致群。

1李群定义4.6 李群l 维拓扑群G的任意两个元素x1(a1, a2, …, a l)，x2(b1,b2,…,b l)的l a a b b乘法运算和取逆运算为：x1x2=x3(c1, c2, …, c l),x1-1= x4(d1, d2, …, d l ),参数之间的关系称为组合函数：c i=c i(a1, a2, …, a l；b1, b2, …, b l)，d i d i(a1, a2, …, a l )，i1,2,…l。

=d a a l i=l若以上组合函数均为解析函数，则该群称为李群。

由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群这使得李群成为研究最成功最深入的无限群群的诸多概念（子群、同态、表示、特征标……）同样是李群的基本概念李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间中（测度不为零的区域内）都是群参数的单值连续函数。

李群中单位元的参数可以选择为零单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素无穷小元素与极限过程或微分运算有关，不一定是参数很小无穷小元素决定了李群的局域性质无穷小元素与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素把无穷多个无穷小元素相继作用到该群元上，可以得到从该群元出发的一条连续曲线简单李群中单位元与任意群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以从单位元得到任意群元混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可得到该参数区中的任意元素紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，对于（连续群可以有不连续的表示比如O(3)群与{1,-1}同态），有以下基本结论：任一连续表示都有等价的幺正表示；任一幺正表示都是完全可约的；不可约表示都是有限维的。

混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片的对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是个简单李群），的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集混合李群的性质完全由简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。

故重点只需研究简单李群的性质§4.2轴转动群SO (2)最简单的连续群1二维转动群 SO (2)群的定义SO (2)群是绕固定轴的转动形成的集合。

该集合元素只用一[02]个参数标记，可以选定区间[0, 2π] 上取值的转动角 ，而转动记为T ( )。

乘法规则：2T ++<θθπ单位元为逆元1该群为单参数连续()()()()22T T T φφ⎧φ=⎨φ+−φ+≥⎩θθπθπ当当T (0)，逆元T ( )-1= T (2π- )。

该群为单参数、连续、连通、阿贝尔、紧致李群。

若选择整个实数轴为参数，则每个群元对应无穷多参数，对应无穷多个区间：[0, 2π]，[2π, 4π]……此时群是无穷多重连通的，有无穷多条道路连接任意两个元素，这些道路不能经由变形互相转换——绕n 圈和n +1 圈不一样SO (2)群的表示1) 平面内的笛卡尔坐标系x, y SO (2)群的旋转下的变换，)平面内的笛卡尔标系(,y )在()群的旋转下的变换可以生成群的表示：cos sin −⎡⎤θθ2)轴转动群是阿贝尔群其一维的也()sin cos T =⎢⎥⎣⎦θθθ2) 轴转动群是阿贝尔群，其所有不可约表示都是维的，也就是说它的表示矩阵本身就是其特征标，满足该群乘法的一维数（1×1矩阵）形为：T ( )=exp(c )，c 为复数。

因为T (2π) = e （单位元），可求出c = im ，m 为整数所以它的不可约表示为数。

所以它的不可约表示为：T ( )=exp(im )，每一个固定的m 对应一个不可约表示()量子力学中应用最广泛的对称群§4.3三维转动群SO(3)球对称是物理学中最常见的对称性，即SO(3)对称性中心力场问题总是最基本的研究课题，也相对容易解决很多真实物理系统都具有近似的球对称性。

1SO(3)群的元素三维转动群SO(3)是三维实正交群O(3) （又称为转动反演群）的子群它由三维实空间中的所有转动构成，且O(3) = SO(3) {e,I}。

构成且(3)=e I()群是不连通的连续紧致李群其参数间分为两片其O(3)群是不连通的连续紧致李群，其参数空间分为两片：中一片对应SO(3)群，由真转动构成，另一片对应非真转动（转动反演）(3)群的参数有多种选择。

SO群的参数有多种选择常用的是在笛卡尔坐标系中用R n,) 表示一般群元。

( )SO(3)群有三个参量，是一个双联通的连续群。

R(n, )的操作可以通过三个连续的转动实现：先通过一个转动使得n与z轴重合；然后绕z轴转动 角；最后把z 轴通过转动回到原n位置。

设将z轴转向与n重合的转动记为S，则将n转向z轴的转动为S-1：R(n, ) SR(z, )S)=-1可以通过两个相继的转动操作实现而转动S 可以通过两个相继的转动操作实现：cos sin 0cos 0sin 1−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥φφθθ=)为参数的矩阵形式对sin cos 000001sin 0cos =⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦φφθθS = R (z ,φ)R (y ,θ)故可以求出转动元素R (n , )以(θ, φ, ) 为参数的矩阵形式，对应生成元也能够求出S 将(0,0,1) 变换到与n 转轴的方向矢量(n 1, n 2, n 3)重合，因而有⎛1111213221222300n S S S n S S S ⎞⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎢⎥=⎜⎟⎜⎟⎢⎥因此n i = S i 3，i = 1,2,3 ，后面求R (n ,φ)对应的变换算符时要用33132331n S S S ⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠另一种表示转动的方法用欧拉角来描述，以后会专门讲到,I ,I 生成元I x , I y , I z 的线性组合仍然可以看成是群的生成元，故实际上以I x , I y , I z 为基可以构成一个线性空间L ，并且其向量满足李代数的二元乘法法则：[x i , x j ] ∈L x ]=-[x [x i , x j ] -[x j , x i ][x i , [x j , x k ]] + [x j , [x k , x i ]] + [x k , [x i , x j ]] = 0生成元之间的对易子为因而它们生成了李代数。

生成元之间的对易子为[],jk l kl j jI I c I =∑j 其中的系数称为该李群的结构常数李代数的一个矩阵表示，就能生成李群的一个表示用klc 与李群的所有生成元对易的算子称为Casimir 算子，用其本征值可以标志李群的不可约表示+1)l 2ˆSO (3)群的Casimir 算子为，其本征值为l (l 1)，用l 可以标记SO (3)群的不可约表示L3SO (3)群的表示SO (3)中具有相同转角的元素形成共轭类群有穷多个共轭类有穷多个表()SO (3)群具有无穷多个共轭类，因而具有无穷多个不可约表示 寻找适当的基函数，可以得到转动群的不可约表示球谐函数正是这样的基函数：式中是伴随（又称缔合）勒让德多项式()(),cos ,,1,,0,,1,m m im l l Y P e m l l l l ==−−+……−φθφθ()cos mlP θ球谐函数是量子力学中角动量平方算符L 2= L x 2+ L 2+ L z 2的本y 征函数()()()22,1,,,1,,0,,m ml l L Y l l Y m l l l =+=−−+……=θφθφ它具有2l + 1重简并这样得到的都是奇数维的表示，且表示矩阵求起来比较麻烦 计算这些不可约表示的特征标对于SO (3)群，特征标是转角的函数只要找出个类中个特殊元素的表示矩阵就可以求出该类只要找出一个类中一个特殊元素的表示矩阵，就可以求出该类的特征标显然，选取绕z 轴转α角的转动R (z ,α)最为方便。

由于R (z ,α)(θ, φ) = (θ, φ+α)，((θ, φ)代表n 轴，是n 轴的方向角)故：R (z ,α)-1(θ, φ) = (θ, φ -α)于是于是：()()()()()()()1,,,,,m m ml l l P Y Y R Y −==−z z αθφαθφθφα()()()cos ,mim im mllP eeY −−==φαα3欧拉角R(n, )：直观，物理意义明确欧拉角α, , 表示，记为R(α, β, γ)βγOxyz固定不动（全局坐标系）OXYZ可转动（局部坐标系）R(α, β, γ)为以下三个转动的合成：)y1) 先将可转动坐标系OXYZ绕z轴转动α角，以x', y', z'来标记OXYZ，此时z轴不动(z'= z)，而y转至ON方向（也称为节轴）；2) 再将可转动坐标系绕y'轴（也就是ON轴）转动β角，各轴用2)角各轴用x'', y'' (y'), z''表示，此时y'轴不变；3) 最后将可转动坐标系绕z''轴转动γ角，至图中红线所示位置这样用欧拉角表的任意转动表为这样用欧拉角表示的任意转动可表示为：()()(),,(,)R R '',R ',R =z y z αβγγβα这种绕可转动坐标系的转动可以转化为对固定坐标轴的转动来表示，利用共轭元的概念容易证明R α, , 可表示为绕固定轴(βγ)的转动的联合作用，因为：1R R R 'R −=z y z αα它是先把y '转到y ，再绕y 转动β角，最后把y 转回y '，总效果相当’对做类似处理()(),(,),(,)y ββ于绕y 转动β角。