抽代作业解析

班级 0801 学号 0851010105 姓名 王嘉君

学习《群论选讲》后的体会

众多周知，群是抽象代数中最早的而且是最基本的一个代数系统，它同时也是现代数学中的一个极其重要的概念，通过对《群论选讲》内容的学习，使我加深了对群的理解，同时也开阔了我的视野，增长了我的数学知识，提高了我的数学思维能力。下面我主要从以下五个方面谈谈我对群论的认识。

首先，关于群的概念我是这么认为的，群首先是一个集合，是一种特殊的集 合。一个集合要想成为群需满足以下几个条件：其一，集合G 是一个非空集合；其二，满足乘法结合律：即对任意的,,x y z G ∈，有()()xy z x yz =；其三，存在唯一元素1∈G ，使对任意的x ∈G ，满足1x =1x =x ；其四，对每个x ∈G ，存在唯一的元素1x -∈G ，满足x 1x -=1x -x =1。只有满足上述条件的集合才可以构成一个群。其中1称为G 的单位元，1x -称为x 的逆。

在群中，如果按照两个元素是否可交换，可将群分为交换群（对G 中任意两个元素，有xy yx =）和非交换群。如果按照群中元素的个数是否有限，可分为有限群和无限群。

跟集合一样，群也有子集，称之为群G 的子群。由集合的有关知识，我们知道构成子集是有条件的，同样构成子群也是有条件的，需要满足一下条件：其一，G 的单位元素1∈H ；其二，若,x y ∈H ，则xy H ∈；其三，若x ∈H ，则-1x ∈H 。类似的，群也有真子群（若H 包含在G 中）。

总之，群是一种特殊的集合，它源于集合，而且高于集合。

其次，研究群需要一定的方法，需要借助一定的工具。第一，可以通过考察两个群之间的关系从而研究群的一些性质，研究这些代数运算之间的关系，即带有运算的集合，研究这些代数运算之间的关系，即对它们进行“比较”，同态这个概念就是这样产生的，我们得到了同态基本定理，同构定理，通过同构这一概念，我们可以随时把一个集合和一个群比较，或者把两个群进行比较；第二，可以利用变换群这一具体的群来对群进行研究，因为任何一个群都同变换群同构，也就是说任何一个抽象群都可以在变换群中找到一个具体的事例，这对于我们研究抽象群是很重要的。第三，利用群的子群来研究群的性质与结构。第四，研究有限群的一个有效工具是群在集合上的作用。设G 是任意群，X 为非空集合，G 在X 上的（左）作用是G ⨯X 到X 上的一个映射(（g,x ）的像记为gx)且满足下列条件：其一，对任意x ∈X ；其二，对任意12,g g ∈G ，x ∈X ，1212()()g g x g g x =，同理，右作用可类似的定义，以下均已左作用为例。若G 在X 上有一个作用，则称G 作用在X 上，或X 为一个G 集合。若X 是G 集合，则对任意H ≤G ，由于G 在X 上的作用经限制可得H 在X 上的作用，故X 也是H 的集合。

在研究群作用时，我们学习了许多定理，其中给我留下很深印象的是Cayley 定理，它的内容是这样的：若G 是群，则一定存在一个集合X ，使得G 同构于X

∑

的一个子群，即G 可看作某个置换群的子群。该定理的证明过程也是非常经典的，即G 通过左乘变换作用在自身上，这恰是H=1时，G 的陪集空间G/H 上的作用。设g ∈G 且gx=x,∀x ∈G ，则令x=1g -，得1g -=1gg -=1，故g=1，由此说明此作用是忠实的（称G 在集合X 上的作用是忠实的，若与这个作用相对应的G 到X ∑的同态是单射），因而G 到X ∑有一个单同态，结论成立。

利用群在集合上的作用这一有效工具，我们可以证明许多重要定理，如Sylow 定理。

在有限群中，有许多经典结果，其中给我感受最深得时Burnside 定理和Fei-Thompson 定理，这两个定理简洁明了而却应用广泛，在群论中作用显著，下面让我们一起认识这两个定理。

Burnside 定理的内容是这样的：设p 、q 是素数，a 、b 为非负整数，则+1n p G p G =<丨a b p q 阶群可解。其证明过程相当复杂，但其结果却非常经典，它

告诉我们阶有3个因子的有限群不一定可解，比如5A 。

Feit-Thompson 定理:即奇阶群是可解群。从它的内容不难发现，该定理又称为“奇阶定理”。这个定理之所以经典是因为由Feit-Thompson 定理可知在群中有一半的群（奇数阶群）是可解群，便于对群的进一步研究。而且，作为推论，易见奇阶单群只能是素数阶循环群。

有限群的主要研究内容是有限群的阶和它的子群的阶的关系，即Sylowp 子群，Sylowp 定理还有有限p 群的一些基本性质。Sylowp 子群：称H ≤G 为G 的

Sylowp 子群，若H 的阶为p G ，即若n p G p =，其中n ∈N ，则n p G 丨，但+1n p 不整除G ）。Sylowp 定理：设G 是有限群，则G 至少有一个Sylowp 子群；G 的任意两个Sylowp 子群在G 中共轭；G 的任意p 子群均含在某一个Sylowp 子群中；G 的Sylowp 子群的个数p n ≡1（mod p ）。有限p 群的基本性质：（1）设P 为有限非平凡p 群，则Z （P ）≠1.而且若1≠N

（2）若有限p 群G 为单群，则G =p 。（3）若P 是有限p 群，则P 的每个极大子群均在P 中正规且它在P 中的指数为p 。（4）设p 、q 为不同的素数，p ＞q ，若p ≠1（mod q ），则pq 阶群同构于pq Z ，在同构意义下，有且只有一个pq 阶非交换群。（5）5A 为单群。（6）60阶单群都同构于5A 。

Sylowp 定理是有限群研究的基石，它告诉我们，可以通过考察它们p 子群的性质来了解有限群，这就促使我们来研究有限p 群，这是一个非常丰富的研究方向。

我印象最深得群论内容是Jordan-Holder定理，即若群G有合成群列，则G 的任意两个合成群列有相同的长度，且它们等价。

代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系统究竟有多少个相互不同构的类型，即所谓同构分类问题。我们知道，域上有限维线性空间的同构分类定理，即任意数域上给定维数n的线性空间彼此同构，类似的，有限阶循环群的分类定理为n阶循环群只有一个。但是对于一般的n阶有限群的同构分类问题，却和循环群的情形迥然不同，这个问题是惊人的复杂和困难。为了解决这个问题，许多数学家经过艰苦的努力得到若干个具有基本意义的有限群构造定理，Jordan-Holder定理就是其中的一个，它解决了一般的n阶有限群的同构分类问题，因为它的意义重大，所以给我的印象最深。

以上就是我对《群论选讲》内容的认识和体会，通过对群论知识的学习，增长了我的数学知识，提高了我的思维能力，为我再进一步学习数学奠定了坚实的基础。