尺规作图 角平分线

一、尺规作图
1. 作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB.
作法：
1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；
2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；
3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′；
4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB.
2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使
A ′
B ′=AB , B ′
C ′=BC ，C ′A ′ =CA.
作法：
画一个△A ′B ′C ′ ，使A ′B ′=AB, A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ：
（1）画B ′C ′=BC ；
（2)分别以点B ′,C ′为圆心，线段AB ，AC 长为半径
画弧，两弧相交于点A ′;
(3)连接线段A ′B ′，A ′C ′.
二、角的平分线
导入：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看
.
角的平分线的画法
O A B C D O′ A′
B′ C′ D′
图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，
AB 和AD 着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.
(2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图).
理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．
注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．
如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠
AOB.
角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB ，作出 ∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.
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4
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
要点精析：
(1)点一定要在角平分线上；
(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；
(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于
点E, ∴PD＝PE.
例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE ＝FC，
求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA
和OB 的距离相等.
2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝
6 cm，则△DBE的周长是()
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC ＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．
总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.
(1)角的相等关系：
①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；
②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；
③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
三、角平分线的判定
角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.
交换上述已知和结论，你能得到什么结论，
这个新结论正确吗？
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)
【例1】如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是()
A．点M B．点N C．点P D．点Q
2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得
S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P()
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的()
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.
3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是
到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
性质
判定定理。