第2章 自动控制系统的数学模型lj2

注意
我们要求熟练掌握涉及RLC电路的微分方程 的建模，对于机电系统以及机械系统建立微分 方程不作要求，仅供大家参考。
补充：Laplace变换基础
拉氏变换的概念 若将实变量t的函数f(t)乘以指数函数e−st（其中s=+j，是一个复变数），再 在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换， 可用符号L[f(t)]表示。
图2-2 滤波电路
图2-2 滤波电路 解：（1）该系统为电学系统，遵循电学系统的相关规律。 （2）由电工学知识中基尔霍夫定律，列写各环节或元件 的方程为
1 C1 1 C2 1 C2
(i1 i2 )dt R1i1 U1 i2 dt R2i2 i2 dt U 2
1 C1
假设二阶振荡环节的微分方程为：
（2.36）
其传递函数为:
（2.37）
式中ωn 为无阻尼自然振荡角频率，δ为阻尼比，在后 面时域分析(第3章)中将详细讨论。
（6）延迟环节(时滞环节)
特点：输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间τ后才重现输入信号。 其数学表达式为
y(t) u(t )
输出量在零初始条件下的拉氏变换为
即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。 1. 由图2.10，我们来学习系统结构图的4种基本符号。
图2.10
信号线
结构图的基本组成单元
方框（或环节）
引出点（或测量点） 比较点（或综合点）
（1）信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递 的信号，如图2.10（a）所示。 （2）引出点：从同一信号处引出的各信号，在数值和性质上完全相同，引出点可以 表示信号引出或被测量的位置，如图2.10（b）所示。 （3）比较点：对两个以上的信号进行代数运算。箭头上的加号或减号表示信号是相 加还是相减。如图2.10（c）所示。
建立微分方程式的方法有两种： 一种是解析法，即根据各环节所遵循的物 理规律（如力学﹑电磁学﹑运动学﹑热学等） 来编写。本节重点讨论这种方法。
另一种方法是实验辨识法，即根据实验数 据进行整理编写。
我们通过简单例子介绍解析法。
[例1] 列写图2.1所示RLC网络的微分方程。
图2.1
RLC网络
在做此题之前，先复习一下关于电感与电容的知识。
F (s) L[ f (t )]
∞ 0
f (t )e st dt
上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在，f (t)应满足下 列条件： （1）若t＜0，则f (t) = 0。 （2）若t＞0，则f (t)为分段连续。 （3）若t→∞，则e−st较f (t)衰减得更快。 ∞ 由于 f (t )e st dt 是一个定积分，t将在新函数中消失。因此，F(s)只取决于s，它 0 是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f (t)转化为复变量函数F(s)。 拉氏变换是一种单值变换，f (t)和F(s)之间具有一一对应的关系，通常称f(t)为 原函数，F(s)为象函数。
（2-7） （2-8）
(i1 i2 )dt
（2-9）
（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中间变量可得 请大家动动手计算一下！
dU 2 R1C1R2C2 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) U 2 U1 dt dt d 2U 2
（2-10）
（5）标准化。将与系统输出量有关的各项写在方程的左端，与 系统输入量有关的各项写在方程的右端，并把有关参数用具有 一定物理意义的量来表示，可得 式中，T1=R1C1R2C2，T2=R1C1+R2C2+R1C2为时间常数。
复习：电感与电容的知识
i(t) uL
uL L
di(t) dt
uc
1 C
i(t)dt
u
L
dt Li(t)
duc dt
i(t)
1 C
请作为公式记下来！！
解：
图2.1
RLC网络
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
【例2-2】建立如图2-2所示滤波电路以U1为 输入量、U2为输出量的微分方程。其中i1,i2 为中间变量。
比例环节的传递函数为：
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：比例放大器，齿轮，电阻（电位器)等。
（2）微分环节 1）理想微分环节
定义：在暂态过程中，输出量为输入量的微分，即：
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化 趋势。
（4）方框：表示对输入信号进行的数学运算。方框中写入元件的传递函故，可作 为单向运算的算子。这时，方框的输出量与输入量具有确定的因果关系，即 Y(s)=G(s)U(s)。图2.10（d）所示为一个方框单元。
(t)
l(t)
t
e−at
t n(n=1,2,3„) te−at
sint cost
s2 2
s
2
s 2
拉氏变换的基本定理
（1）线性定理。 1.两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即 L[f1(t) + f2(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] = F1(s) + F2(s) 2.函数放大K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即 L[Kf(t)] = KF(s) （2）微分定理。函数求导的拉氏变换等于函数拉氏变换乘以s的求导次幂（初始 条件需为零），即当初始条件f(0)=0时，L[f '(t)]=sF(s)。 同理，若初始条件为 f(0) = f ‘(0) =„= f (n−1) （0）= 0 则 L[f (n) (t)] = snF(s) （3）积分定理。函数积分的拉氏变换等于函数拉氏变换除以s的积分次幂（初始 F ( s) L[ f (t )dt ] 条件需为零），即当初始条件 f (t )dt t 0 0 时， 。 s 同理，当初始条件为零时，则有
g(t)是系统在单位脉冲δ(t)输入时的输出响应。
[例6] 已知某RLC网络的微分方程为
解：
当初始条件为零时，拉氏变换为
则传递函数为
2.3.2 典型环节的传递函数
一个物理系统是由许多元件组合而成的。虽然各种元件的 具体结构和作用原理是多种多样的，但若抛开具体结构和物 理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环 节：
T1 d 2U 2 dt
2
T2
dU 2 U 2 U1 dt
（2-11）
上面（2-11）微分方程为二阶微分方程。
建立微分方程的步骤(1)
（1）根据系统的工作原理，分析系统由哪些 部分组成以及各部分如何联系在一起组成闭环 系统的。 （2）确定组成该系统的输入量、输出量及使 用的中间变量。 （3）从系统的输入端开始，根据各元件或环 节所遵循的物理规律，依次列写各元件或环节 的微分方程。
特点： 输出量与输入量的积分成正比例 积分环节的动态方程为：
y(t) k u(t)dt
对应的传递函数为：
或
实例：积分放大器
举例：运算放大器构成的积分环节，输入ur(t)，输 出uc(t)，其传递函数为
ur(t) uc(t)
大家想想怎么来求传递函数！！！
解：
由运算放大器组成的积分器，其输入电压u r（t）和输出 电压uc（t）之间的关系为:
举例：测速发电机
当其输入量为转角 ，输出量为电枢电压uc 时，具有微分环节作用。 当测速发电机的角速度为ω ，则


d dt
而测速发电机的输出电压uc与其角速度成正比，
uc K K d dt
由此传递函数为
c (s) G(s) U (s) Ks
图2.7 (C) 微分环节
2）实际微分环节
第2章 自动控制系统的数学模型
描述控制系统输入变量、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，称为系 统的数学模型。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、 结构框图和信号流图等。
建立合理的数学模型（简称：建模），对 于系统的学习是至关重要的。
系统建模一般采用解析法或实验法。
2.1 系统微分方程模型
接上页：
于是，即得系统传递函数为上式G(S)。
（2）传递函数具有以下性质
1）传递函数是复变量S的有理真分式函数，具有复变函数的 所有性质。m≤n且所有系数均为实数。 2）传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用 系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。 3）传递函数与微分方程有相通性。 4）传递函数G(S)的拉氏反变换是脉冲响应g(t),
常用函数的拉氏变换
实用中，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对ห้องสมุดไป่ตู้表的形式。通过查表就 能够知道原函数的象函数或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表如表2-1所示。 表2-1 常用函数拉氏变换表
原函数f (t)
象函数F (s)
1
1 s 1 s2 1 s a n! s n 1
1 (s a)2
式中τ称延迟时间
所以 ，延迟环节的传递函数为
补充：
需要指出，在实际生产中，有很多场合是存
在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反
应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装 置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化， 甚至使系统失去稳定。
2.4 系统结构图及其等效变换
在控制工程中，为了便于对系统进行 分析和设计，常将各元件在系统中的功能
L[
F ( s) f (t )dt ] sn
n
拉氏变换的基本定理
（4）初值定理。函数初始值（t→0的数值），等于函数拉氏变换乘以s后的s→∞的极 限值，即
lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s ∞
（5）终值定理。函数的稳态值（t→∞的数值）等于函数拉氏变换乘以s后的s→0的极 限值，即
建立微分方程的步骤(2)
（4）将各元件或环节的微分方程联立起来消 去中间变量，得到一个仅含有系统输入量与输 出量的微分方程，即为整个系统的运动方程。 （5）标准化。将与系统输入量有关的各项放 在等号右侧，与输出变量有关的各项放在等号 左侧，并按降幂排列，最后将系统有关参数规 划为具有一定物理意义的形式。
比例环节 微分环节 积分环节
这些典型环节是：
比例-微分环节 一阶惯性环节
二阶振荡环节
延迟环节
典型环节是按照数学模型的共性划分的， 它和具体元件不一定是一一对应的。 典型环节只代表一种特定的运动规律，不 一定是一种具体的元件。
（1）比例环节
定义：比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比 例关系。 比例环节的表达式为：
如图2.7（a）所示的RC串联电路是实际 中常用的微分环节的例子。 图2.7（a）所示的电路的微分方程为 uc
图2.7（a）
相应的传递函数为 当RC≤1时
3
图2.7（b）所示的RC电路也是微分环节。
du r u r iC dt R
该电路的传递函数为:
图2.7（b）
T=RC---微分时间常数
（3）积分环节
及各部分之间的联系用图形来表示，即结
构图和信号流图。
结构图
本节内容 2.5节内容
信号流图
2.4.1 系统结构图
结构图：具有形象和直观的特点。系统结构图是 系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表 明了系统中各个环节间的相互关系。 结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一
些信号流向线组成；构成方框图的基本符号有四种，
复习完拉氏变换相关内容，我们开始学习传递函数的内容。
2.3 传递函数
2.3.1 传递函数的定义和性质
（1）定义
线性定常系统的传递函数，定义为零初
始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉
氏变换之比。
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
设 y(t)和 u(t)及各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始 条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令 可得s的代数方程 为:
对上式进行拉氏变换，可以求出传递函数为
（4）一阶惯性环节
假设一阶惯性环节的微分方程为：
（2.34）
其传递函数可以写成如下表达式：
（2.35）
举例：一阶惯性环节
ur(t)
uc(t)
图2.9
RC电路
解：
其输入电压ur（t）和输出电压uc（t）之间的关系为：
对上式进行拉氏变换，可以求出传递函数为:
（5）二阶振荡环节(二阶惯性环节)
t ∞
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
拉氏变换理论在现代科学技术各个领域中得到广泛的应用。在古典控制理论中，
拉氏变换法可将实数域中的微分、积分运算变换为复数域内简单的代数运算。而且 在变换过程中，还可以将初始条件的影响很容易地考虑进去。同时，拉氏变换、反 变换的运算可以查拉氏变换表，如表2-1所示，这将大大减少工作量。