第18讲 数列的综合应用

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家

学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是0

2，接下来的两项是0

2，1

2，再接下来的三项是0

2，1

2，2

2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项

为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同

的“规范01数列”共有 （A ）18个

（B ）16个

（C ）14个

（D ）12个

3．(2015湖北)设12,,

,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,

,n a a a 成等比数列；q ：

22

2121()n a a a -++

+⨯22

2

22312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=++

+，则

A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

4．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n

项和n S =

A ．()1n n +

B ．()1n n -

C ．

()12

n n + D ．

()12

n n -

5．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(2

2x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=

，99

i i

a =， 0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+⋅⋅⋅+

9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则

A ．321I I I <<

B ． 312I I I <<

C ． 231I I I <<

D ． 123I I I << 二、填空题

6．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A

B 的所有元

素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得

112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．

7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项

为 ．

8．（2014新课标2）数列{}n a 满足11

1n n

a a +=

-，2a =2，则1a =_________． 9．（2013重庆）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125

,,a a a 成等比数列，则8_____S =．

10．（2011江苏）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，

642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．

11．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧

⎫+⎨⎬⎩⎭

中的最大项是第k 项，则k =_______________． 三、解答题

12．(2018江苏)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的

等比数列．

(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；

(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对

2,3,

,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．

13．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比

数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．

14．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．

证明：当n ∈*

N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1

122

n n n n x x x x ++-≤

； （Ⅲ）1211

22

n n n x --≤≤．

15．（2016年四川高考）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，

11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ .

（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求n a 的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线2

2

21n

y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>．

16．（2015湖北）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已

知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n

n n

a c

b =

，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 17．（2015陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2

x ，⋅⋅⋅，n

x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，

2n ≥．

（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1

(,1)2

内有且仅有一个零点（记为n x ），且

1

1122

n n n x x +=

+； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为

()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．

18．（2015重庆）在数列{}n a 中，13a =，2

110n n n n a a a a λμ++++=()n N +∈．

（Ⅰ）若0,2λμ==-，求数列{}n a 的通项公式；