关 于 拓 扑 空 间 的 定 义
拓扑结构
拓扑空间通过引入收敛序列极限唯一的拓扑空间, 即T12 空间, 以及将分离性公理中的点代之以紧集, 得到一类T ii 空间( i = 0, 1, 2), 并且研究它们之间的紧密关系。
问题1!紧致性∀一章里有这样的问题: !证明H ausdorff空间收敛序列的极限是唯一的∀。
此命题即为: 若X 为T2 空间, 则X 中收敛序列极限唯一。
那么, 它的逆命题成立吗? 若不成立, 则需附加什么条件, 才能使收敛序列极限唯一的拓扑空间等价于T2 空间?问题2对于拓扑空间, 一些分离性公理被熟知, 如T0 空间、T1 空间、T2 空间、T3 空间、T4 空间等。
1. 1T1 与T1 2 空间定义1如果拓扑空间(X, T ) 的任一收敛序列极限唯一, 那么称X 为T1 2 空间。
定义2设{ a n } 是拓扑空间X 中的序列, A n = {x #X | i ∃n, x = a i }, 如果! n0, 使得当n ∃n0 时,A n = A n0为m元集, 则序列{ a n } 称作X 的m元序列,当m为1时, 序列{ a n } 称为X 的单元序列。
常值序列显然是单元序列。
定理1如果X 是T1 空间, 那么X 的单元序列极限唯一。
证设{ a n } 是X 的单元序列, 那么! n0, n ∃n0时,a n = a为常值, 显然lim n% & a n = a。
若l im n% & a n =b ∋a, 则对∀b的开邻域U b 有a # U b, 即不存在b的开邻域U, 使得a # U, 这与X 是T1 空间矛盾, 因而定理得证。
推论1若X 是T1 空间, 则X 中常值序列的极限唯一。
定理2如果X 是T1空间, 那么X 的m (m > 1) 元序列{ a n } 不收敛。
证{ a n } 为X 的m元序列, 故! n0, s. .t n ∃n0时,A n = A n0为m 元素(m > 1)。
拓扑线性空间基础
拓扑线性空间基础刘培德编著武汉大学出版社2002年・武汉内容简介本书讲述拓扑线性空间的一般理论和它们的某些应用。
全书由六章和两个附录组成。
前面三章叙述拓扑线性空间的基本理论。
第一章包括拓扑线性空间的基本属性,局部基的构造,局部凸空间的特征。
第二章是在拓扑线性空间框架下的共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Ha hn-Ba na c h延拓定理等。
第三章讲解局部凸空间的共轭理论。
后面三章分别讲述广义函数、Ba na ch代数以及算子谱论和算子半群。
附录一叙述了关于集合论的几个公理,附录二集中地阐述了本书用到的点集拓扑方面的基本知识。
本书是为数学学科各专业研究生编写的教材,也可以作为相关教师或数学工作者进一步学习泛函分析知识的参考书。
前 言本书讲述拓扑线性空间特别是局部凸空间的一般理论和它们的某些应用,是为基础数学、概率统计以及计算数学、应用数学等专业研究生撰写的教材。
简单地说,拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合。
有关拓扑线性空间的理论就是研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法。
拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪40～50年代。
在这段时期以前,人们集中地研究了度量空间上的类似结构,这主要是H ilbert 空间和Banach 空间以及这些空间上的算子。
从H ilb ert 空间和Banach 空间的研究转到拓扑线性空间的研究是泛函分析发展史上里程碑式的进展。
无论如何,拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。
历史的回顾可以帮助我们理解这一进展的意义。
泛函分析萌发于从19世纪向20世纪转折的时期,最早的工作是由Volterra ,F redholm ,H ilb ert 以及Riese,Fischer 等人做出的,他们的研究最终导致了Hilbert 空间的建立。
这些工作还紧密地联系着经典数学物理中的实际问题,一批优秀的数学家开始认识到数学问题的抽象表述与抽象空间理论的威力与意义。
点集拓扑讲义.ppt
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量
空间； (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间，，ff :: XX YY，，xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**：：
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的；；
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx，，，从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量，并且常常
迳称 R 为实数空间．
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn)))， ，量，xxx，((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))
空间关系——空间方位拓扑相似及相关关系
资
源
与
环武
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科大
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院
第七章 空间关系（二）
§7－1 空间方位
1、定义
实体在地理空间中的某种顺序，如左右、东南西北等。 是描述两个物体之间位置关系的另一种度量，常以角度来表示。
2、两个点的方位关系
在平面上，方位的计算以正北方向为起算方向，并沿顺时针方 向进行的。
在球面上，过AB 两点之间的大圆平面与过A点的子午圈平面间 的夹角
空 间 分 析
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§7－1 空间方位
3．方位的定性描述
在地理分析中，往往并不需要对方位进行定量的描述，对方位的定 性描述有时会更简单而且更容易理解。一般用前、后、左、右、南、北、 东、西等方位术语来进行语义的描述，是一种模糊的概念，定性的描述。
在描述空间物体之间的方位时，应注意以下两点： 1） 方位除非特别需要（如航空、航海等），应当概略描述而非精确定
空 间 分 析
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§7－2空间拓扑关系
2）计算点与多边形顶点连线的方向角之和。
如果点与多边形顶点连线形成的方向角之和为360度，则点必位于多 边形内，否则位于多边形外。
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§7－2空间拓扑关系
3．线线关系计算
线线关系的判断主要是相交与否的判断。 1）解方程组方法 线线相交关系的判断通过解二元一次方程组即可完成，可以先简单判断
点集拓扑学的基本概念
点集拓扑学点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：•开集和闭集•开核和闭包•邻域和邻近性•紧致空间•连续函数•数列的极限，网络，以及滤子•分离公理度量空间在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。
事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。
欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。
空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。
度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。
【性质】度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数使得•d(x, y) ≥ 0 (非负性)•d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性)•d(x, y) = d(y, x) (对称性)•d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。
函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。
经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。
不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。
第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。
2.1拓扑空间
2014-10-18
韩山师范学院数信系
10
给定一个子集, 拓扑空间中的每一个点相对于这个 子集而言“处境”各自不同, 可以对它们进行分类处理. 定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, A X 如果点 x∈X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x 的点, 即 U∩(A-{x})≠ , 则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成
说明 拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设 ( X , ) 是一个度量空间, {V X V是( X , )} 则称 为由度量 诱导的拓扑,( X , )是由度量
空间 ( X , ) 诱导的拓扑空间.
常见的拓扑 例2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令 ( X , ) ,则 ( X , ) 是拓扑 空间,称为平庸拓扑空间.
2014-10-18 韩山师范学院数信系 19
U U A A and and U U A A
定义 定义2.5.2 2.5.2 设 设 X X 是一个拓扑空 是一个拓扑空
x X X A X X. 间， . 间，A .点 点 x .如果满足条件： 如果满足条件：
A E
A E
1
Ao Ext ( A)
1
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定义2.12 设X是一个拓扑空间， A X 称A在X中稠密（A 是X中的稠密集），如果 A X .
例8 Q在 E1中稠密。 例9 在R中赋予余有限拓扑，设A是R的任意无 限子集，则A在R中稠密。
例2.3 余有限拓扑，可数拓扑，（设X是无限 集）． C {U X U 是X的一个有限子集 } { }
拓扑
莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉 大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句 话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻 近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就 能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成 为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。
应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形， 对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合 性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868） 在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸 带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面 （即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸 带，称为“莫比乌斯带”。
拓扑空间
拓扑空间维基百科，自由的百科全书汉漢▼上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。
左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。
拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。
拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。
拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
目录[隐藏]• 1 定义o 1.1 例子• 2 拓扑之间的关系• 3 连续映射• 4 等價定义o 4.1 闭集o 4.2 邻域o 4.3 闭包运算o 4.4 开核运算o 4.5 网• 5 拓扑空间的例子• 6 拓扑空间的构造•7 拓扑空间的分类o7.1 分离性o7.2 可数性o7.3 连通性o7.4 紧性o7.5 可度量化•8 拥有代数结构的拓扑空间•9 拥有序结构的拓扑空间•10 历史•11 参考书目拓撲空間是一個集合 X，和一個包含 X 的子集族 τ，其滿足如下公理：1. 空集和 X 都屬於 τ。
2. τ 內任意个集合的並集都仍然會屬於 τ。
3. τ 內任意两個集合的交集也仍然會屬於 τ。
滿足上述公理的集族 τ 即稱為 X 的拓撲。
X 內的元素通常稱做「點」，但它們其實可以是任意的元素。
裡面的「點」為函數的拓撲空間稱為「函數空間」。
τ 內的集合稱為開集，而其在 X 內的補集則稱為閉集。
一個集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。
[编辑]例子1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑（简体中文）／密著拓撲（繁体中文）。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
基础拓扑学笔记
0
可以定义 wi 为全集
i 1
（ A B x | x A, x B
yA B yA yB
0
z wi 不存在，所以定义全集合理）
i1
在这样的定义下，条件 1 可以省去，其可由 2、3 导出
对 X ，t , X 是拓扑，称为平凡拓扑
例： X ， s 2X （ X 的所有子集），称为离散拓扑
设C 2X 是拓扑空间 X 的子集族，称C 是 X 的一个 覆盖，若 C X ，若C 的每个成员都是开（闭）集，
CC
称C 为开（闭）覆盖
定理 1.2：粘接定理
n
f : X Y ， X Ai ， Ai 闭， f |Ai 连续，则 f 连
i 1
续
证明：只要证明 Y 的每个闭集的原像是闭集
设 B 是 Y 的闭集，则
n
n
f 1 B
f 1 B Ai
f 1 Ai
B
i 1
i 1
2.3 同胚映射 定义 1.8：X ,Y 同胚是指存在 f : X Y 满足：1） f
连续 2）一一对应 3）逆映射 f 1 也连续
在同胚映射下，开集映为开集，闭集映为闭集
例：a,b,c, d 的线性映射
例： 0,1,0, 同胚（ ln x ）
的闭包 A A A x | x邻域W,W A
命题 1.4：若拓扑空间 X 的子集 A 与 B 互为余集，则
A 与 B 互为余集 命题： A 是闭集
证明： y A 存在邻域U y A ，即Uy X A
X A X A
1.3 拓扑空间中的几个基本概念
推论： A X X A ， B X X B
证明： A B A A B A
代数拓扑集合拓扑代数拓扑拓扑关系拓扑结构_笔记
代数拓扑集合拓扑代数拓扑拓扑关系拓扑结构_笔记学空间数据库的时候，拓扑⽅⾯内容笔记拓扑是研究⼏何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的⼀些性质的⼀个学科。
它只考虑物体间的位置关系⽽不考虑它们的形状和⼤⼩。
“拓扑”就是把实体抽象成与其⼤⼩、形状⽆关的“点”，⽽把连接实体的线路抽象成“线”，进⽽以图的形式来表⽰这些点与线之间关系的⽅法，其⽬的在于研究这些点、线之间的相连关系。
表⽰点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。
拓扑结构与⼏何结构属于两个不同的数学概念。
在⼏何结构中，我们要考察的是点、线、⾯之间的位置关系，或者说⼏何结构强调的是点与线所构成的形状及⼤⼩。
如梯形、正⽅形、平⾏四边形及圆都属于不同的⼏何结构，但从拓扑结构的⾓度去看，由于点、线间的连接关系相同，从⽽具有相同的拓扑结构即环型结构。
也就是说，不同的⼏何结构可能具有相同的拓扑结构。
如三⾓形变成四边形、原型、环形，⾓度、长度、⾯积、形状等等都很可能发⽣变化。
此时，不必考虑它们的形状和⼤⼩（如长度、⾯积、形状等等这些），只考虑物体间的位置、结构关系，只专注于在连续改变形状后还能保持不变的⼀些性质(如他们都是⼀个圈)，这就是拓扑学。
拓扑学历史拓扑英⽂名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。
⼏何拓扑学是⼗九世纪形成的⼀门数学分⽀，它属于⼏何学的范畴。
有关拓扑学的⼀些内容早在⼗⼋世纪就出现了。
那时候发现的⼀些孤⽴的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。
1679年德国数学家莱布尼茨提出的名词拓扑学，起初叫形势分析学，他在17世纪提出“位置的⼏何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。
1736年欧拉在解决了七桥问题，给当时数学界引起很多思考；1750年欧拉在发表了多⾯体公式；1833年⾼斯在电动⼒学中⽤线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。
1847年 J.B.利斯廷根据希腊⽂τπο和λγο（“位置”和“研究”），提出Topology这⼀数学名词，即拓扑学。
拓扑学课件
首先,B 首先 1 ⊗ B2 ⊆ T1 ⊗ T2 ,因此 B1 ⊗ B2 是乘积拓扑空 因此 间的一个开集族,其次设 间的一个开集族 其次设 W 是 X1 × X 2上的任意一个开 集,对 x∈W,由于 T1 ⊗ T2 是空间 X1 × X2的一个基,因此 对 ∈ 由于 的一个基 因此 存在 U1 ∈ T1 ,U2 ∈ T2 使得 x= ( x1 , x2 ) ∈ U 1 × U 2 ⊆ W , 又 Bi 是 Ti 的 拓 扑 基 , 因 此 对 x ∈ U 存 在 B ∈ Bi 使 得
1 2
Bρ1 ( x1,
2
2
ε ) × Bρ ( x2 ,
2
2
2
ε ) ⊆ Bρ ( x,ε ) ⊆ Bρ ( x1,ε )×Bρ ( x2 , ε ).
1
2
2 2 对于任意 y= ( y1, y2 ) ∈Bρ1 (x1, ε ) × Bρ2 (x2, ε ), 2 2 2 2 ε , ρ2 ( x2 , y2 ) < ε , 有 ρ1 ( x1 , y1 ) < 2 2
1 2
扑是由度量 ρ 诱导的拓扑 Tρ .
乘积拓扑空间X× §4.1 乘积拓扑空间 ×Y
下面这个定理说明这两种拓扑是一致的. 下面这个定理说明这两种拓扑是一致的 是两个拓扑空间, 定理 4.1.5 设 ( X 1 , ρ1 ), 和 ( X 2 , ρ 2 ) 是两个拓扑空间 则将 X 1 × X 2 作为 Tρ , Tρ 的拓扑积空间和将 X 1 × X 2 作为 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的. 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的 ρ : X 2 → R 如定义 4.1.2 所定义 首先我 所定义,首先我 证明:度量 证明 度量 我们有: 们验证对于任意 x= ( x1 , x2 )∈ X 2 和任意ε > 0 ,我们有 我们有
数学中的拓扑学与空间结构知识点
数学中的拓扑学与空间结构知识点数学的拓扑学是研究空间与连续映射之间关系的一个重要分支。
它研究的是空间的性质，而不关注具体的度量和距离。
拓扑学通过引入拓扑结构，研究了空间中的开集、闭集、连通性、紧性、连续映射等概念。
本文将介绍拓扑学与空间结构的一些基本知识点。
一、拓扑空间拓扑空间是拓扑学的基础概念，是一种通过集合和集合之间的关系来描述空间的数学结构。
一个拓扑空间由两部分组成：一个非空集合X和定义在X上的一组称为拓扑结构的子集。
拓扑结构由开集满足一定条件所构成。
二、开集与闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个重要的概念。
开集是指一个集合的每个点都内含于该集合内，而闭集则是指其补集是开集。
开集和闭集的概念相互补充，且它们具有一些基本的性质，如交和并的封闭性等。
三、连通性连通性是拓扑学中描述空间连通程度的一个概念。
一个空间是连通的，当且仅当不存在将其分割为非空开集A和B的分离集。
连通性可以用来描述空间的整体性质以及空间是否“断裂”。
四、紧性紧性是拓扑学中的一个重要概念，它描述的是空间中点的有限覆盖性质。
一个拓扑空间称为紧的，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
紧性是一种关于空间紧凑性质的推广，具有许多重要的性质和应用。
五、同胚与拓扑不变量同胚是拓扑学中研究空间间的一种等价关系，它描述的是两个拓扑空间之间的一一对应关系。
如果两个拓扑空间之间存在一个连续和双射的映射，并且该映射的逆映射也连续，则它们是同胚的。
同胚关系可以保持拓扑空间的一些重要性质，如连通性、紧性等。
总结：数学中的拓扑学与空间结构是一门重要的数学学科，它研究的是空间中的性质，并通过引入拓扑结构来描述和分析空间的特征。
本文简要介绍了拓扑空间、开集与闭集、连通性、紧性、同胚与拓扑不变量等知识点。
拓扑学在数学以及与其相关的诸多领域中有着广泛的应用，对于理解和分析空间的特性具有重要的意义。
通过学习拓扑学，我们可以深入理解数学中的空间结构，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
5.2008拓扑学,第5章
V = {V1 × ×Vn : Vi ∈V i , ∀i}。
例： n 的每一子空间满足第二可数公理 A2 。 证明： 满足 A2 ⇒ n 满足 A2 ⇒ n 的子空间满足 A2 。
个独点集都是球形邻域，因而是开集。
5.2.B 可分空间
定义：拓扑空间 X 称为可分空间，若它有一个可数稠密子集。
命题： A2 空间必为可分空间。 证明： X 是 A2 空间，故有可数基B 。在B 的每个成员 B 中选一点 xB 。令
D = { xB : B ∈B , B个非空开集U 是B 中若干成员 B 之并，故含 xB 型点，因而U ∩ D ≠ ∅ 。
集，以保证拓扑理论有足够丰富的内容；另方面要求开集足够少，以免陷入繁琐。我们重点介绍 A2
空间，以及稍微广一点的可分空间和 Lindelöff 空间。 （2）分离公理：按开集的分辨能力作出限定。
§5.1 可数公理 A1, A2 5.1.A 第二可数公理 A2 公理 A2 ： X 有一个基，其中成员个数可数（简称可数基）。 定义：拓扑空间 X 称为 A2 空间，若它满足 A2 公理。 A2 公理也称为第二可数公理。
61
上，V 为点 x 的邻域，按定义，存在 X 的开集W ： x ∈W ⊂ V 。故V ′ ⊂ W ′ 。V ′ 为可数
集W ′ 的子集，故可数。
（2）研究不可数集 X −{x}。∀y ∈ X −{x} ，则{y}′ 是 x 的邻域（{y}′ 含 x ；余集{y}
为独点集，可数；故{y}′ 开，为含 x 的开集）。由邻域基定义，存在V
拓扑概念简介
A⇒ B； A⇔ B； A 不真； A与B； A或B； ∀α ，都有 A ； ∃α 使得 A ；
[构造 8] β ∈ {α | A} ； [构造 9] {α | A} ∈ β ； [构造 10] {α | A} ∈ {β | B} 则从（a）中的原始公式开始，按（b）中所允许的构造，递归地构造出来的东西叫公 式. （ Classification axiom-scheme An axiom results if in the following‘ α ’and ‘ β ’are replaced by variables, ‘ A ’ by a formula A formula obtained from A and ‘ B ’ by the
∈Λ
【评注】 若 Aλ = Y ， Λ = X ，则 3. 幂集 z z z
Aλ = Y ∏ λ
∈Λ
X
，这里 Y
X
= { f | f : X → Y}
{ A | A ⊂ {a, b, c}} = {φ ,{a},{b},{c},{b, c},{a, c},{a, b},{a, b, c}} （ 23 个元素） { A | A ⊂ {1, 2, , n}} （ 2n 个元素）
（ Axiom of infinity
x∈ y. ）
8) 选择公理
存在一个以 A ∼ {φ } 为定义域的选择函数 c
[ 注 ] 选择函数 c 是指 c 是一个函数，并且对于函数 c 的定义域中的每个元 x ，都有
c( x) ∈ x
（ Axiom of choice There is a choice function c whose domain is A ∼ {φ } ） 9) 分类公理图式 在一个公理的公式中，若‘ α ’和‘ β ’ 用若干个变元来替换 ， ‘ A ’用一个公式 A 来替换，且公式‘ B ’是将 A 中的曾代替 α 的每一个变元
拓扑学中的空间理论
拓扑学中的空间理论拓扑学是数学的一个分支领域，研究的是空间中的性质和结构。
在拓扑学中，空间理论是一项重要的研究内容，它涉及到空间的各种性质和拓扑结构的定义、分类和描述。
本文将介绍拓扑学中的空间理论，探讨其基本概念和应用。
一、拓扑学基本概念拓扑学研究的是空间，而空间则是指一组对象及其之间的关系。
在拓扑学中，我们不考虑空间的度量和几何性质，而只关注其内部结构和连通性。
以下是一些拓扑学中常用的基本概念：1. 拓扑空间：拓扑空间是指一个非空集合，以及定义在该集合上的一组特定的拓扑结构。
拓扑结构由开集族组成，满足三个条件：空集和整个集合都是开集，有限个开集的交集仍然是开集，任意多个开集的并集也是开集。
2. 连通性：一个空间被称为连通的，如果在该空间中不存在将其划分为两个或多个非空、不相交且开的子集的方法。
连通性是空间的基本性质之一，它描述了空间内部的连通程度。
3. 紧致性：一个空间被称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有有限子覆盖。
紧致性是一种有限性质，它与空间的局部性质和有限性有关。
4. 同胚：两个拓扑空间被称为同胚的，如果它们之间存在一个双射映射，并且这个映射及其逆映射都是连续的。
同胚关系保持了空间的基本拓扑性质，它能够说明两个空间在拓扑上是完全相同的。
二、空间理论的应用空间理论在拓扑学的研究中有着广泛的应用。
它不仅是基础理论，也在实际问题中发挥着重要作用。
以下是一些空间理论的应用场景：1. 空间分类：空间理论可以帮助我们对不同空间进行分类和描述。
通过研究空间的拓扑结构和性质，可以将不同的空间进行归类，形成分类学体系。
2. 连续映射：空间理论研究了连续映射的定义和性质。
连续映射是指两个拓扑空间之间的映射，在实际问题中常常需要通过连续映射来描述和分析空间间的关系。
3. 紧致性和分离性：空间理论中的紧致性和分离性概念可以用于研究空间的局部性质和有限性质。
它们在分析、几何和拓扑优化等领域中都有重要应用。
4. 拓扑群和拓扑环：空间理论研究了拓扑空间上的运算和代数结构，从而建立了拓扑群和拓扑环的理论。
拓扑空间
XAT1A源自(XAT1A)
X
A0
. 由于 A0
Tf
且
A0
，
因此 X A0 是有限集，从而 X A 是有限集，因
此 ATf.
AT1
AT1
根据上述(1),(2),(3),Tf 是X的一个拓扑,称之为X的有
限补拓扑,拓扑空间(X, Tf )称为一个有限补空间.
(2) 设 U,V Ux ,由定义2.2.1则存在开集U0，V0
使得 x U0 U , x V0 U ,因此 x U0 I V0 U I V , 由
于U0 V0 是一个开集,因此U I V Ux . (3) 设U Ux , 且 U V , 则存在开集U 0 使得
x U0 U , 从而有 x U 0 V ,因此 V Ux . (4) 设U Ux , 由定义2.1.1则存在开集 V 使得
读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,
即若X是一个有限集,那么Tf P(X ).
例2.1.5 可数补拓扑.
设X是一个集合，令TC ={U X|X-U是X的一个可数
子集} { }通过与例2.1.4中完全类似的作法易验
证T 是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓 扑,拓扑空间(X,TC )称为一个可数补空间. 读者自行验证，若X是一个可数集，则TC P(X ).
A B T f ；假定 A , B ，由De Morgan 定律 X (A B) (X A) (X B)以及 X A, X B
为有限集可知 X ( A B) 是有限集，因此A B Tf .
(3) 设T1 Tf ,如果T1 ,则 A Tf . AT1
如果 T1 ,当 T1 {}时, A Tf ; AT1
点集拓扑讲义-104页
例 3. 设 X 为任一集合, Tα α ∈ ∧ 为 X 上的一族拓扑, 令 T = Tα,
α∈∧
则 T 也为 X 上的一个拓扑.
例 4. 设 (X, T ) 为一个拓扑空间, A 为 X 的一个子集, 令
TA = E ∩ A E ∈ T ,
4
第一章 点集拓扑基础
例 5. 令 X = 1, 2, 3, 4, 5 , S = {1}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} , 则
B1 = {1}, {2}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} ,
B2 = {1}, {2}, {5}, {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 5},
d(P, Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. 平面上以 P 为中心, r(r > 0) 为半径的开球记为 B(P ; r), 即
B(P ; r) = M (x, y) ∈ R2 d(P, M ) = (x − x1)2 + (y − y1)2 < r .
设 E 为 平 面 上 的 一 个 非 空 子 集, P0(x0, y0) 为 平 面 上 的 一 个 点, 若 存 在 某 个 δ > 0, 使 得 B(P0; δ) ⊆ E, 则 称 P0 为 集 合 E 的 一 个内点. 由 定 义 知, 若 P0 为 E 的内点, 则 p0 必须属于集合 E. 但另一方面, 集合 E 中的点并 不一定都是 E 的内点, 如: 利用有理数及无理数在实数中的稠密性可知, 集 合 E = {M (x, y) x, y ∈ Q} 甚至没有一个内点. 当然也有另一种极端的情形, 即集合 E 中的每个点都是 E 的内点, 我们称这样的集合为开集. 按这样的定义,
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”的八种定义，是彼此等价的 2. 主 要 定 理 ： “拓扑空间 拓扑空间”
）～（O3 ）的“开集拓扑空间”(X,T) 2．1 （1） （2） 适用公理（O1 O1） O3） 的邻域结构完全决定（X，T）自身
定义：设 X 是一个集合，T 是 X 的一个子集族，如果 T 满足如下条件： （O1）X， T；
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（O2）若 A，B T，则 A B T ； （O3）若 T1 T，则 UA∈T1A∈T. 则称 T 是 X 的一个开集拓扑。 定义：如果 T 是集合 X 的一个开集拓扑，则（X,T）称为开集拓扑空间,T 的每一个元 素都叫做开集拓扑空间（X,T）中的一个开集。 定义：设（X，T）是一个开集拓扑空间，x X，如果 U 是 X 的一个子集，满足条件 ： 存在一个开集 V T，使得 x V U，则称 U 是点 x 的一个 邻域 ，点 x 的所有 邻域构成的 X 的子集族称为点 x 的邻域系。 引理：开集拓扑空间 X 的一个子集 U 是开集的充分必要条件是 U 是它的每一点的邻 域,即只要 x U，U 便是 x 的一个邻域。 证明：定理中条件的必要性是明显的，以下证明充分性，如果 U 是空集 ，当然 U 是一个开集，下设 U≠ ，根据定理中的条件，对于每一个 x U 存在一个开 集 Ux 使得 x Ux U，因此 U= U x U{x} U x UUx U 故 U=U x UUx，根据开集拓扑的定义 U 是一个开集。 定理： （ X,T）是一个开集拓扑空间，记 ux 为点 x X 的邻域系，则 （U1）对于任何 x X，ux≠ ；并且如果 U ux，则 x U； （U2）如果 U，V ux，则 U V ux； （U3）如果 U ux，并且 U V，则 V ux； （ U4 ） 如果 U ux ，则存在 V ux ，满足条件： （i ） V U 和（ ii ）对于任何 y V，有 V uy. 证明：证（U1）:对于任何 x X，由于 X 是一个开集，所以显然 X ux，因此 ux≠ ， 此外根据邻域的定义，一个点的邻域必包含这个点本身。 证（U2）:设 U,V ux，则存在开集 U0 和 V0 使得 x U0 U 和 x V0 V 成 立 ， 从而我们有 x U0 V0 U V，由于 U0 V0 是一个开集，故 U V ux. 证（ U3 ） : 设 U ux ，并且有 U V，则存在开集 U0 使得 x U0 U，从而有 x U0 V，因此 V ux. 证（U4）:设 U ux，则存在 V 满足条件 x V U 的一个开集， V 已经满足条 件（i） ，根据引理，它也满足条件（ii）. 定理：如果{ux| x X}适合(U1) ~(U4),则在 X 上存在唯一的开集拓扑空间（X，T）,使 （X，T）在每一点 x X 的邻域系恰是 ux.
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关于拓扑空间的定义
: 熊华平 03 数(8) 刘全闽 指导老师 指导老师:
]:分别从拓扑概念“开集”、“邻域”、“导集运算”、“闭集”、“闭包运算”、“内 [摘要 摘要]:
部运算”、“基”和“子基”出发定义拓扑空间，以循环顺序证明了这八个拓扑空间的 定义是相互等价的，从而都给出了同一个数学对象——拓扑空间。
d= ；
(d2) A B 蕴涵 Ad Bd； (d3) (A B)d=Ad Bd； (d4) Add A Ad； (d5) {x} {x}d. 证明：证（ d1）:由于对于任何一点 x X 和点 x 的任何一个邻域 U 有 U ( -{x})= ， 所以 x d，因此 d= . 证（ d2）:设 A B，如果 x Ad，U 是 x 的一个邻域，由于 U (A-{x})≠ ， 故有 U (B-{x})≠ ，因此 x Bd，这证明了 Ad Bd. 证（ d3 ） : 根据 （ d2 ） ，由于 A,B A B ，所 以有 Ad,Bd ( A B)d. 从而 Ad Bd ( A B)d. 另一方面，如果 x Ad Bd, 也就是说既有 x Ad 又有 x Bd. 于是 x 有一个邻域 U 使得 U (A-{x})= .x 也有一个邻域 V 使得 V (B-{x})= .对于 x 的邻域 D=U V， 我们有： D (( A B)-{x}) =D ( A{x}) ( B-{x}) =(D ( A-{x})) (D ( B-{x})) (U ( A-{x})) (V (B{x}))= .
:开集拓扑空间;邻域拓扑空间;导集拓扑空间;闭集拓扑空间；闭包拓扑空间; 关键词: 关键词
内部拓扑空间；基拓扑空间；子基拓扑空间。
1.引言
点集拓扑学是数学的一个分支， 它研究拓扑空间以及定义在其上的各种数学构造 的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概 念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。通过这种可以为所有数学分支适用的表 述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 不同的文献往往给出表述不同的“拓扑空间”的定义，如 Hausdorff 的拓扑学经 典著作《集论》 （ 1914 年）用“邻域公理”定义“拓扑空间”，而 Kuratowski 的经典 拓扑学论文（ Fund.Math.3(1922), 76-108）则是用他著名的“闭包公理”定义“拓扑 空间”。 而当今拓扑文献如[1],[2], [3]通常倾向于用简洁的 “开集公理”定义拓扑空间 。
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因此 D (( A B) -{x})= ,所以 x ( A B)d.这就得到( A B)d Ad Bd. 综上所述,可见（d3）成立。 证（d4）: 设 x A Ad,即既有 x A 又有 x Ad,则 x 有一个邻域 U 使得 U (A{x})= ，任意选取 V 为 x 的一个开邻域，使得它包含于 U 中，这时我们也 有 V (A-{x})= .由于 x A，所以由此可见 V A= ，这也就是说 V 中的 任何一个点都不是 A 中的点，因此对于任何 y V 有 V (A-{y})= ；由于 V 是 y 的一个邻域,因此 y 不是 A 的聚点，即 y Ad.这说明 V 中没有 A 的任 何一个聚点，于是 x 有一个邻域 V 与 A 的导集 Ad 无交。所以 x Add。将以 上 的 论 证 概 括 起 来 便 是 ： 只 要 x A Ad, 便 有 x Add 这 也 就 是 说 Add A Ad, 即（d4）成立。 证（d5）: U ux，U ({x }-{x})= {x} {x}d. 定理：设 X 是一个集合,d:exp(X) exp(X)是一个映射,d 适合(d1)、(d3)、(d4)、(d5) (注:显然(d3) (d2)),则在 X 上存在唯一的一个邻域拓扑空间（X, ）使（X, ） 在每一点 x X 的导集运算恰是 d. 证明: x X,令 ux={U|x (Uc)d 且 x Uc }且 ={ ux :x X }. (i)我们验证（X, ）是一个邻域拓扑空间。 证(U1): 对于任何 x X,由(d1) x Xcd=φ d=φ且 x Xc =φ所以 Ux φ X ux，并且如果 U ux， x Uc 则必然有 x U； 证 (U2): 如 果 U,V ux ， 由 (U V)c = Uc Vc, 从 而 由 (d3)((U V)c)d=(Uc Vc)d=(Uc)d (Vc)d 知 x (U V)c,x [(U V)c]d,所以 U V ux. 证(U3):如果 U ux，并且 U V，那么 U c V
*
x.
* * * 这证明 ux u x. 另一方面 ,设 U u x,则存在
* * * * * V T,使得 x V U ,由于 V ux 并且根据条件(U3)可见 U ux.这又证明
了 u
*
x.
ux,因此 u * x =ux.
(iii) 剩下证明定理中谈到的唯一性，为此假定 T*是 X 的一个开集拓扑，使得对于 任何 x X，X 的子集族 ux 便是点 x 在拓扑空间（X，T*）中的邻域系，这时根 据引理立即可见 W* T*当且仅当 x W*蕴涵 W* ux，由 T 的定义即 W* T，这 证明了 T*=T.
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定义：设（X, ）是一个邻域拓扑空间，A X，如果点 x X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于 x 的点，即 U (A-{x})≠ ，则称点 x 是集合 A 的一个聚点，集合 A 的所有聚点构成的集合称为 A 的导集，记作 Ad. 引理： U ux x (Uc)d， x Uc. 证明： “ ” U ux.U Uc= x (Uc)d., 又∵x U “ ” ∵x Uc ∵x (Uc)d (U3)有 U ux. 定理：设（X, ）是一个邻域拓扑空间，A X，则 (d1) ∴Uc \{x}= Uc ∴ V ux, 使得 V (Uc-{x})= 即 V Uc= x V U，由 ∴x Uc.
2．2 （2） （3） 适用公理(U1)～(U4)的“邻域拓扑空间”（X, ） 的导集运算完全决定（X, ）自身
定义：称（X, ）是一个邻域拓扑空间，其中 ={ux：x X}，ux 是 X 的一个子集族，
适合(U1)～(U4).
定义：设（X, ）是一个邻域拓扑空间， ={ux:x X }， U ux，U 叫做点 x 的一 个邻域，如果 x U,有 U ux ,称 U 是其任一点的一个开邻域,ux 叫做点 x 的邻 域系。
c
，
x Uc x Vc，再由(d2)有
(Uc)d (V c)d 而 x (U c)d,那么 x (V c)d，所以 V ux. 证(U4): U ux,令 V={y X| U uy } 则 x V U