关 于 拓 扑 空 间 的 定 义

:开集拓扑空间;邻域拓扑空间;导集拓扑空间;闭集拓扑空间；闭包拓扑空间; 关键词: 关键词
内部拓扑空间；基拓扑空间；子基拓扑空间。
1.引言
点集拓扑学是数学的一个分支， 它研究拓扑空间以及定义在其上的各种数学构造 的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概 念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。通过这种可以为所有数学分支适用的表 述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 不同的文献往往给出表述不同的“拓扑空间”的定义，如 Hausdorff 的拓扑学经 典著作《集论》 （ 1914 年）用“邻域公理”定义“拓扑空间”，而 Kuratowski 的经典 拓扑学论文（ Fund.Math.3(1922), 76-108）则是用他著名的“闭包公理”定义“拓扑 空间”。 而当今拓扑文献如[1],[2], [3]通常倾向于用简洁的 “开集公理”定义拓扑空间 。
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（O2）若 A，B T，则 A B T ； （O3）若 T1 T，则 UA∈T1A∈T. 则称 T 是 X 的一个开集拓扑。 定义：如果 T 是集合 X 的一个开集拓扑，则（X,T）称为开集拓扑空间,T 的每一个元 素都叫做开集拓扑空间（X,T）中的一个开集。 定义：设（X，T）是一个开集拓扑空间，x X，如果 U 是 X 的一个子集，满足条件 ： 存在一个开集 V T，使得 x V U，则称 U 是点 x 的一个 邻域 ，点 x 的所有 邻域构成的 X 的子集族称为点 x 的邻域系。 引理：开集拓扑空间 X 的一个子集 U 是开集的充分必要条件是 U 是它的每一点的邻 域,即只要 x U，U 便是 x 的一个邻域。 证明：定理中条件的必要性是明显的，以下证明充分性，如果 U 是空集 ，当然 U 是一个开集，下设 U≠ ，根据定理中的条件，对于每一个 x U 存在一个开 集 Ux 使得 x Ux U，因此 U= U x U{x} U x UUx U 故 U=U x UUx，根据开集拓扑的定义 U 是一个开集。 定理： （ X,T）是一个开集拓扑空间，记 ux 为点 x X 的邻域系，则 （U1）对于任何 x X，ux≠ ；并且如果 U ux，则 x U； （U2）如果 U，V ux，则 U V ux； （U3）如果 U ux，并且 U V，则 V ux； （ U4 ） 如果 U ux ，则存在 V ux ，满足条件： （i ） V U 和（ ii ）对于任何 y V，有 V uy. 证明：证（U1）:对于任何 x X，由于 X 是一个开集，所以显然 X ux，因此 ux≠ ， 此外根据邻域的定义，一个点的邻域必包含这个点本身。 证（U2）:设 U,V ux，则存在开集 U0 和 V0 使得 x U0 U 和 x V0 V 成 立 ， 从而我们有 x U0 V0 U V，由于 U0 V0 是一个开集，故 U V ux. 证（ U3 ） : 设 U ux ，并且有 U V，则存在开集 U0 使得 x U0 U，从而有 x U0 V，因此 V ux. 证（U4）:设 U ux，则存在 V 满足条件 x V U 的一个开集， V 已经满足条 件（i） ，根据引理，它也满足条件（ii）. 定理：如果{ux| x X}适合(U1) ~(U4),则在 X 上存在唯一的开集拓扑空间（X，T）,使 （X，T）在每一点 x X 的邻域系恰是 ux.
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关于拓扑空间的定义
: 熊华平 03 数(8) 刘全闽 指导老师 指导老师:
]:分别从拓扑概念“开集”、“邻域”、“导集运算”、“闭集”、“闭包运算”、“内 [摘要 摘要]:
部运算”、“基”和“子基”出发定义拓扑空间，以循环顺序证明了这八个拓扑空间的 定义是相互等价的，从而都给出了同一个数学对象——拓扑空间。

A
T1
A
,则存在 U T1 使得 x U，由于 U T，所以

A
T1
A
，所以根据（U3）有

A
T1
A
ux，这证明
*
A
T1
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A
T.
*
(ii)记任意一点 x X 在开集拓扑空间（X，T）中的邻域系为 u x,现在证明 u x= ux. 设 U ux, 根据条件 (U4), 可见存在 V ux 使得 V T; 又根据条件 (U1), 可见 x V,于是 x V U,从而 U u
*
x.
* * * 这证明 ux u x. 另一方面 ,设 U u x,则存在
* * * * * V T,使得 x V U ,由于 V ux 并且根据条件(U3)可见 U ux.这又证明
了 u
*
x.
ux,因此 u * x =ux.
(iii) 剩下证明定理中谈到的唯一性，为此假定 T*是 X 的一个开集拓扑，使得对于 任何 x X，X 的子集族 ux 便是点 x 在拓扑空间（X，T*）中的邻域系，这时根 据引理立即可见 W* T*当且仅当 x W*蕴涵 W* ux，由 T 的定义即 W* T，这 证明了 T*=T.
2．2 （2） （3） 适用公理(U1)～(U4)的“邻域拓扑空间”（X, ） 的导集运算完全决定（X, ）自身
定义：称（X, ）是一个邻域拓扑空间，其中 ={ux：x X}，ux 是 X 的一个子集族，
适合(U1)～(U4).
定义：设（X, ）是一个邻域拓扑空间， ={ux:x X }， U ux，U 叫做点 x 的一 个邻域，如果 x U,有 U ux ,称 U 是其任一点的一个开邻域,ux 叫做点 x 的邻 域系。
d= ；
(d2) A B 蕴涵 Ad Bd； (d3) (A B)d=Ad Bd； (d4) Add A Ad； (d5) {x} {x}d. 证明：证（ d1）:由于对于任何一点 x X 和点 x 的任何一个邻域 U 有 U ( -{x})= ， 所以 x d，因此 d= . 证（ d2）:设 A B，如果 x Ad，U 是 x 的一个邻域，由于 U (A-{x})≠ ， 故有 U (B-{x})≠ ，因此 x Bd，这证明了 Ad Bd. 证（ d3 ） : 根据 （ d2 ） ，由于 A,B A B ，所 以有 Ad,Bd ( A B)d. 从而 Ad Bd ( A B)d. 另一方面，如果 x Ad Bd, 也就是说既有 x Ad 又有 x Bd. 于是 x 有一个邻域 U 使得 U (A-{x})= .x 也有一个邻域 V 使得 V (B-{x})= .对于 x 的邻域 D=U V， 我们有： D (( A B)-{x}) =D ( A{x}) ( B-{x}) =(D ( A-{x})) (D ( B-{x})) (U ( A-{x})) (V (B{x}))= .
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定义：设（X, ）是一个邻域拓扑空间，A X，如果点 x X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于 x 的点，即 U (A-{x})≠ ，则称点 x 是集合 A 的一个聚点，集合 A 的所有聚点构成的集合称为 A 的导集，记作 Ad. 引理： U ux x (Uc)d， x Uc. 证明： “ ” U ux.U Uc= x (Uc)d., 又∵x U “ ” ∵x Uc ∵x (Uc)d (U3)有 U ux. 定理：设（X, ）是一个邻域拓扑空间，A X，则 (d1) ∴Uc \{x}= Uc ∴ V ux, 使得 V (Uc-{x})= 即 V Uc= x V U，由 ∴x Uc.
”的八种定义，是彼此等价的 2. 主 要 定 理 ： “拓扑空间 拓扑空间”
）～（O3 ）的“开集拓扑空间”(X,T) 2．1 （1） （2） 适用公理（O1 O1） O3） 的邻域结构完全决定（X，T）自身
定义：设 X 是一个集合，T 是 X 的一个子集族，如果 T 满足如下条件： （O1）X， T；
c
，
x Uc x Vc，再由(d2)有
(Uc)d (V c)d 而 x (U c)d,那么 x (V c)d，所以 V ux. 证(U4): U ux,令 V={y X| U uy } 则 x V U
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因此 D (( A B) -{x})= ,所以 x ( A B)d.这就得到( A B)d Ad Bd. 综上所述,可见（d3）成立。 证（d4）: 设 x A Ad,即既有 x A 又有 x Ad,则 x 有一个邻域 U 使得 U (A{x})= ，任意选取 V 为 x 的一个开邻域，使得它包含于 U 中，这时我们也 有 V (A-{x})= .由于 x A，所以由此可见 V A= ，这也就是说 V 中的 任何一个点都不是 A 中的点，因此对于任何 y V 有 V (A-{y})= ；由于 V 是 y 的一个邻域,因此 y 不是 A 的聚点，即 y Ad.这说明 V 中没有 A 的任 何一个聚点，于是 x 有一个邻域 V 与 A 的导集 Ad 无交。所以 x Add。将以 上 的 论 证 概 括 起 来 便 是 ： 只 要 x A Ad, 便 有 x Add 这 也 就 是 说 Add A Ad, 即（d4）成立。 证（d5）: U ux，U ({x }-{x})= {x} {x}d. 定理：设 X 是一个集合,d:exp(X) exp(X)是一个映射,d 适合(d1)、(d3)、(d4)、(d5) (注:显然(d3) (d2)),则在 X 上存在唯一的一个邻域拓扑空间（X, ）使（X, ） 在每一点 x X 的导集运算恰是 d. 证明: x X,令 ux={U|x (Uc)d 且 x Uc }且 ={ ux :x X }. (i)我们验证（X, ）是一个邻域拓扑空间。 证(U1): 对于任何 x X,由(d1) x Xcd=φ d=φ且 x Xc =φ所以 Ux φ X ux，并且如果 U ux， x Uc 则必然有 x U； 证 (U2): 如 果 U,V ux ， 由 (U V)c = Uc Vc, 从 而 由 (d3)((U V)c)d=(Uc Vc)d=(Uc)d (Vc)d 知 x (U V)c,x [(U V)c]d,所以 U V ux. 证(U3):如果 U ux，并且 U V，那么 U c V
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证明：令 T={U X|如果 x U，则有 U ux} (i)我们验证 T 是 X 上的一个开集拓扑。 证(O1): 空集φ中没有任何一个点，所以 x U 不成立 ,故φ T；对于任何 x X，由(U1)知，可以任意选取 U ux；由于 U 是 X 的一个子集，根据(U3),我们 有 X Ux，因此 X T. 证(O2):设 A,B T，如果 x A B，由于我们有 A ux 和 B ux，根据（ U2） 可见 A B ux，因此 A B T. 证(O3): 设 T1 T，如果 x U ux；由于 U