浙江省台州中学高二数学上学期期中试题 理
2014-2015年浙江省台州中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年浙江省台州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．异面2．（5分）下列命题中正确的是（）A．一直线与一平面平行，这个平面内有无数条直线与它平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D．两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与该平面平行3．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣34．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．5．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．26．（5分）正方体的外接球与其内切球的体积之比为（）A．B．3：1 C． D．9：17．（5分）已知坐标原点O在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．m＜C．m≤D．m＞08．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y=0的对称点Q的坐标为．12．（3分）若A（3，﹣2），B（﹣9，4），C（x，0）三点共线，则x=．13．（3分）把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是．14．（3分）A是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为．15．（3分）过点A（0，），B（7，0）的直线l1与过（2，1），（3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为．16．（3分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M 为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为．17．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（8分）直线L过点P（4，1），（1）若直线L过点Q（﹣1，6），求直线L的方程；（2）若直线L在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线L的方程．19．（9分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．20．（12分）已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．21．（10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）设二面角E﹣BC﹣D的平面角为α，求sinα；（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（6，3）．（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=的最大值和最小值；（2）已知点N（﹣6，3），直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C交于点A、B．当k为何值时取到最小值．2014-2015学年浙江省台州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．异面【解答】解：由于直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的斜率相等，都等于2，而在y轴上的截距分别为﹣7 和1，不相等，故两直线平行，故选：B．2．（5分）下列命题中正确的是（）A．一直线与一平面平行，这个平面内有无数条直线与它平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D．两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与该平面平行【解答】解：对于A，如果一条直线与一平面平行，那么过该条直线作平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，∴这个平面内有无数条直线与该直线平行，A正确；对于B，平行于同一直线的两个平面平行，也可能相交，∴B错误；对于C，与两相交平面的交线平行的直线，平行于这两个相交平面，也可能在这两个平面内，∴C错误；对于D，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也可能在这个平面内，也可能与这个平面平行，∴D错误．故选：A．3．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．4．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选：C．5．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．2【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选：B．6．（5分）正方体的外接球与其内切球的体积之比为（）A．B．3：1 C． D．9：1【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为，故所求的比为3：1，故选：C．7．（5分）已知坐标原点O在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．m＜C．m≤D．m＞0【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则1+1﹣4m＞0，∴m，x2+y2﹣x+y+m=0，则有（x﹣）2+（y+）2=﹣m，要满足条件，则有圆心到圆点的距离应大于半径，即＞，＞﹣m，即m＞0，故选：A．8．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选：C．9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．有最大值为令，则，当，即时，S△ABO．此时由，解得k=﹣．故选：D．10．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED 内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y=0的对称点Q的坐标为（3，﹣1）．【解答】解：设M（﹣1，3）关于直线y=x的对称点为M0（x0，y0），则MM0的中点为（，），则（，）在直线y=x上，∴=①再由直线MM 0与直线y=x垂直，得=﹣1 ②联立①②解得：x0=3，y0=﹣1．∴点P（﹣1，3）关于直线y=x的对称点的坐标是（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．12．（3分）若A（3，﹣2），B（﹣9，4），C（x，0）三点共线，则x=﹣1．【解答】解：∵A、B、C三点共线，∴与共线；∵=（﹣9﹣3，4+2）=（﹣12，6），=（x﹣3，2），∴6（x﹣3）=﹣12×2=0，解得x=﹣1；故答案为：﹣113．（3分）把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是y=x．【解答】解：直线x﹣y+﹣1=0的斜率为1，倾斜角为45°，把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的倾斜角变为45°+15°=60°，故所得直线l的斜率为tan60°=，再利用点斜式求得所得直线l的方程为y﹣=（x﹣1），即y=x，故答案为：y=x．14．（3分）A是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l 的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为60°．【解答】解：由题意可知A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB=，A到l的距离为2，如图：AO⊥l于O，因为AB⊥平面β于点B，连结OB，所以∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，或补角，所以sin∠AOB=，∴∠AOB=60°或120°．∵α﹣l﹣β是锐二面角，∴二面角α﹣l﹣β的平面角大小为60°．故答案为：60°15．（3分）过点A（0，），B（7，0）的直线l1与过（2，1），（3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为．【解答】解：∵过点A﹙0，﹚，B﹙7，0﹚的直线l1与过点C﹙2，1﹚，D﹙3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，∴根据四点共圆的条件可知l1与l2是相互垂直，即l1与l2对应的斜率满足k1•k2=﹣1，即=﹣1，解得k=3．16．（3分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2cos∠AMC1==﹣故sin∠AMC1=△AMC1的面积为×××=故答案为17．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，则棱锥A﹣BCD的体积V==又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：：（﹣）=π：（64﹣π）故答案为：三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（8分）直线L过点P（4，1），（1）若直线L过点Q（﹣1，6），求直线L的方程；（2）若直线L在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线L的方程．【解答】解：（1）直线L的方程…（3分）L的方程：x+y﹣5=0 …（5分）（2）设直线L的方程为y﹣1=k（x﹣4）…（6分）L在y轴上的截距1﹣4k，在x轴上的截距4﹣…（8分）故1﹣4k=2（4﹣）得k=或k=﹣2 …（10分）直线L的方程y=x或y=﹣2x+9 …（12分）19．（9分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知EN DC，又ABCD是矩形，∴DC AB，∴EN AB又M是AB的中点，∴EN AM，∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD∴MN∥平面PAD证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．20．（12分）已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．【解答】解：（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（4分）（2）设中点M（x，y），因为L：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒过定点P（1，1）斜率存在时则，又，k AB•K MC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆．（4分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=021．（10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）设二面角E﹣BC﹣D的平面角为α，求sinα；（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵面ABCD⊥面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，∴FC⊥面ABCD，FC⊥DB在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，∵FC∩BC=C，∴BD⊥平面BCF（3分）（2）解：∵FC⊥面ABCD，ED∥FC，∴ED⊥面ABCD又DB⊥BC，∴EB⊥BC，∴∠EBD二面角E﹣BC﹣D的平面角α，∴sinα=sin∠EBD=（7分）（3）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则∵M（2，0，0），设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，∴=（﹣2，0，a），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），则，取=（1，1，2），∵MP∥平面BCE，∴⊥，∴（﹣2，0，a）•（1，1，2）=﹣2+2a=0，∴a=1．∴当DP=1时，MP∥平面BCE（10分）22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（6，3）．（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=的最大值和最小值；（2）已知点N（﹣6，3），直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C交于点A、B．当k为何值时取到最小值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0转化为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣7）2=8直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C有公共点则：d=．解不等式得：即K=的最大值为：．最小值为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程kx﹣y﹣6k+3=0代入圆的方程得：（k2+1）x2﹣4（3k2+2k+1）x+12（3k2+4k+1）=0由于直线与圆交于A、B两点，所以：，所以：=（x1+6）（x2+6）+（y1﹣3）（y2﹣3）=+36（k2+1）=24（7+4）=24（7+4）当k=1﹣时，取到最小值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
浙江省台州市高二上学期期中联考数学试题(解析版)
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.
【详解】直线 的斜率为 ，故其倾斜角 满足 ，
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，
则点 到圆心 的距离 ，
切线长 ，可看作 到定点 的距离，
由 ，则点 在圆 内.
则 的最小值即为 到直线 的距离，
如图，过 作直线 垂直于 ，垂足为 ，与 轴的交点即为点 .
，则直线 ： ，即
令 ，得 ,即
所以当点 与 重合时， 最小值.
故选：C.
非选择题部分（共110分）
7.若 为直线 的倾斜角，则过两点 、 的直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果.
【详解】由题意可得 ，所以， .
故选：B.
8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（）
【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R，
则 ，所以 ，
，所以 ，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，
所以 ，
即该圆台的高为 .
故选：A.
5.在空间中，已知直线 ，两个不同的平面 ， ，一定能推出“ ”的条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）直线x+ y+1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .2. （2分）设点关于原点的对称点为，则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·万州月考) 如图，正方体中，为中点，为线段上的动点（不与重合），以下四个命题：（）平面．（）平面；（）的面积与的面积相等；（）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为（）．A .B .C .D .4. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝05. （2分）已知平面，直线l,m，且有，则下列四个命题正确的个数为（）①若∥则；②若l∥m则l∥；③若则l∥m；④若则；A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2016高二上·公安期中) 若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A . （x+2）2+（y﹣6）2=1B . （x﹣6）2+（y+2）2=1C . （x﹣1）2+（y﹣3）2=1D . （x+1）2+（y+3）2=17. （2分）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面,使得（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·黄冈期末) 已知曲线﹣ =1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B . （﹣4，4）C . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D . （﹣3，3）9. （2分） (2016高二下·六安开学考) 在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=2，CC1= ，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为（）A .B .C .D . 110. （2分）已知平面α的一个法向量=（﹣2，﹣2，1），点A（﹣1，3，0）在α内，则P（﹣2，1，4）到α的距离为（）A . 10B . 3C .D .11. （2分） (2017高一下·姚安期中) 若点P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A . 2x+y﹣3=0B . x﹣2y+1=0C . x+2y﹣3=0D . 2x﹣y﹣1=012. （2分）(2017·银川模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A .B .C .D . 5二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·珠海期末) 已知长方体的棱长分别为3、4、5，一只蚂蚁由长方体的顶点出发，沿长方体表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程长为________．14. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．15. （1分） (2016高二上·海州期中) 若实数x，y满足不等式组，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．16. （1分）已知球的体积是36π，一个平面截该球得到直径为2的圆，则球心到这个平面的距离是________三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2018·株洲模拟) 如图，在四棱锥中，，且 .(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)若 ,求二面角的余弦值.18. （10分） (2016高一下·钦州期末) 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N﹣BCM的体积．20. （10分） (2019高二上·四川期中) 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程（2）从原点向圆作切线，求切线方程及切线长.21. （5分）(2017·孝义模拟) 如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P﹣ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若四棱锥P﹣ABCD的体积为2 ，求四面体BCDM的体积．22. （5分） (2019高三上·朝阳月考) 已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。
数学-高二-浙江省台州中学2013-高二上学期期中考试数学(理)试题
台州中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线70x y -+=的倾斜角等于（ ）A ． 30B ． 60C ． 45D ．120 2． 若A （－2，3），B （3，－2），C （21，m ）三点共线，则m 的值为（ ） A ．21 B ．2 C ．21- D ．－23．“1x >”是“2x x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．如果两个球的体积之比为8：27,那么两个球的表面积之比为（ ） A ．8：27B ．2：3C ． 2：9D ． 4：95．若,a b 表示两条直线，α表示平面，下面命题中正确的是（ ）A ．若a ⊥α, a ⊥b ，则b //αB ．若a //α, a ⊥b ，则b ⊥αC ．若a //α, b //α，则a //bD ．若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 6．如图所示，直观图四边形A B C D ''''是一个底角为45°的等腰梯形，那么原平面图形是（ ）A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形7．已知圆221:1O x y +=与圆222:(3)(4)16O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（ ）A ． 内切B ． 相交C ．外切D ．相离8． 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．23第6题9．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．8010．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ） A ．3 B 6 C ． 2 D ．311．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．3223或 B ．223或 C ．122或 D ．1322或 12．ABC ∆的BC 边上的高线为AD ，BD a =，CD b =，且a b <，将ABC ∆沿AD 折成大小为θ的二面角B AD C --，若cos abθ=，则折后的ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状与a ，b 的值有关的三角形 13．已知正四面体ABCD 的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和是（ ）．A ．33B ．4C ．3D 314．已知函数]2,1[,)1(12∈--=x x y 对于满足2121<<<x x 的任意1x ，2x ，给出下 列结论：①1212)()(x x x f x f ->-； ②2112()()x f x x f x >；③0)]()()[(1212<--x f x f x x ． ④0)]()()[(1212>--x f x f x x其中正确结论的个数有( )A ． 1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)15．过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 ______________． 16．已知线段AB 在平面α外，,A B 两点到平面α的距离分别是1和3，则线段AB 中点到平面α的距离是____________．第9题17．在正方体1111ABCD A B C D -中，1B C 与对角面11DD B B 所成角的大小是_____ ．18．若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．19．将一些棱长为1的正方体放在33⨯的平面上如图所示，其正视图，侧视图如下所示．若摆放的正方体的个数的最大值和最小值分别为,m n ，则m n -=____ ．20．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[][]3.23 4.5 5.=-=-， 在平面上由满足[][]2250x y +=的点()x y ，所形成的图形的面积是．三、解答题(本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21．（本小题6分） 已知p ：方程13122=++-m y m x 表示椭圆，q ：方程062422=+++-+m my x y x 表示圆，若p 真q 假，求实数m 的取值范围．22．（本小题7分） 已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．23．（本小题8分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F ． （1）求证：DE ⊥平面PBC ； （2）求二面角C —PB —D 的大小．正视图侧视图第19题第23题24．（本小题9分）在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小．（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN •⨯∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由．25．（本小题10分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=()0>>b a ．（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为23，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围；（3）如图，过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆22221x y a b+=(0>>b a )相交于Q R S P ,,,四点，设原点O 到四边形PQSR 一边的距离为d ，试求1=d 时，b a ,满足的条件．15． 250x y +-=； 16． 12或； 17．30°； 18．14522=+y x ； 19．6； 20．12 三、解答题（本大题共5小题，共6+7+8+9+10=40分） 21． :1:2112p m q m m p q m >><-∴<≤或真假………………………6分（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=． ………………7分 23. 证明：（1） PD=DC 且点E 是PC 的中点，∴ DE ⊥PCPD ⊥底面ABCD ∴PD ⊥BC, 又底面ABCD 是正方形 ∴CD ⊥BC ∴BC ⊥平面CDP∴BC ⊥DE 又BC ⋂ PC =C ∴ DE ⊥平面PBC ；……………4分 （2）由（1）知：DE ⊥平面PBC ∴ 平面DEF ⊥平面PBC ；又EF ⊥PB ，且平面DEF ⋂平面PBC =EF ；∴ PB ⊥平面DEF ；∴ PB ⊥DF ；∴ PB ⊥EF ；∴∠DFE 就是二面角C —PB —D 的平面角令AB a = ，则DF 6=EF 6= DE 2= ∴∠DFE 60o = ……………………………………8分（3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQNQM QN MQN S=⋅∠= ．由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3）， 直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQNS有最大值32．即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为64，此时直线l 的方程为250x y --=．……9分25．解：（1）2214x y += ……………3分（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21422kx y y x 得01216)41(22=+++kx x k ． 0)41(124)16(22>+⨯-=∆k k ,),23()23,(+∞⋃--∞∈∴k （1）又2212214112,4116kx x k k x x +=+-=+ 由0900.AOB OA OB <∠<⇔⋅> ∴12120.OA OB x x y y ⋅=+>所以4)(2)1()2)(2(2121221212121++++=+++=+=⋅x x k x x k kx kx x x y y x x 22<<-∴k （2）由（1）（2）得)2,23()23,2(⋃--∈k 。
浙江省台州市高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
台州中学2012学年第一学期期中试题高二数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中正确的是 ( )A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面 D．不共面的四点可以确定4个平面2. 关于直线ml,及平面βα,，下列命题中正确的是( )A．若α//l，m=⋂βα，则ml//B．若α//l，α//m，则ml//C．若α⊥l，β//l，则βα⊥D．若α//l，lm⊥，则α⊥m3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 ( )4. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5. 三棱锥ABCP-的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心6.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点的个数是（）A.1 B．2 C.3 D.47.右图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D。
已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30度的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（）A．26B．36C．46D．668.设O为坐标原点，点A(1, 1)，若点222210(,)0101x y x yB x y xy⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩满足，则OA OB⋅u u u r u u u r取得最大值时，点B的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个9．如图在正三棱锥BCD A -中，F E ,分别是BC AB ,的中点，DE EF ⊥,且1=BC ，则正三棱锥BCD A -的体积是( ) A.122 B. 242 C. 123 D. 243 10.已知二面角βα--l 的大小为ο50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是ο25的直线的条数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11.已知定点A(0，1),点B 在直线x+y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是___________________.12．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为______________.13.集合A=｛(x,y)｜x 2+y 2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是______________.14.点M(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=a 2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是 ．15．如图，四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，2=BD ，CD BD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面BD A '⊥平面BCD ，则BC 与平面CD A '所成的角的正弦值为 ．16.经过原点的直线l 与圆()44:22=-+y x C 有公共点, 则直线l 的斜率的取值范围是 ．17.在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别是棱A A A D DD AD 1111,,,的中点，M 是AB 的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，则N 满足条件________时，有11C A MN ⊥．三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）的取值范围。
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·抚州期末) 下列命题：①“若a2＜b2 ，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若 x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A . ③④B . ①③C . ①②D . ②④2. （2分）定义：关于x的不等式|x-A|<B的解集叫A的B邻域.已知a+b-2的a+b邻域为区间(-2,8)，其中a,b分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为( . )A .B .C .D .3. （2分）(2020·包头模拟) 已知是双曲线的左、右焦点，是C的左、右顶点，点P在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的渐近线方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·攸县期中) 下列叙述正确的是A . 若，则B . 若命题p：，，则：，C . “ ”是“数列a，b，c为等比数列”的充要条件D . 方程表示的曲线是椭圆5. （2分） (2018高二上·益阳期中) 椭圆的焦距为2，则m的值等于A . 5或3B . 8C . 5D . 或6. （2分）(2020·沈阳模拟) 已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（）A . 1B .C . 2D .7. （2分） (2019高二上·宁波月考) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·新余期末) 关于x，y的方程y=mx+n和 + =1在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·温州期末) 已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（）A . 16B . 8C . 4D . 210. （2分）已知正方体中，E、F分别为BC、的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（）A .B .C .D . 011. （2分）设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分） (2015高二上·滨州期末) 知点A，B分别为双曲线E：（a＞0，b＞0）的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（）A .B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为________.14. （1分） (2019高三上·郴州月考) 已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________．15. （1分）已知长方体的长、宽、高分别为2cm， cm， cm，则该长方体的外接球的半径是________ cm．16. （1分）(2020·桐乡模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）(2019·九江模拟) 如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点E是棱BC的中点，，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．1 求证：平面平面BCF；18. （5分） (2017高二上·衡阳期末) 在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. （10分）如图，ABC﹣A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别是BB′、CC′上的一点，BD= a，EC=a．（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．20. （5分） (2019高二上·随县月考) 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.若命题和有且只有一个是真命题,求实数的取值范围.21. （10分）(2020·扬州模拟) 如图，三棱柱中，，O为四边形对角线交点，F为棱的中点，且平面 .（1）证明：平面；（2）证明：四边形为矩形.22. （5分）(2018·成都模拟) 已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为 .（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题(含答案)
2024学年第一学期台州十校联盟期中联考高二年级数学学科 试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A. B.3C.6D.93.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（ ）A. B. C. D.5.已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）A. B.C. D.6.方程表示椭圆的充要条件是（ ）A. B.C. D.或7.如图所示，正方体的棱长为1，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ）10x y ++=45-︒45︒90︒135︒1l ()1,2-2l (),6m 12l l ∥m =3-()1,a ()2211x y -+=a ()1,1-(),1-∞[)0,1()1,+∞OABC OA a = OB b = OC c =M OA M OA N BC NM111222a b c-++ 111222a b c --111222a b c +-111222a b c -+M ()1,1P ()7,5Q --M :210l x y --=M ()()22235x y -+-=()()223413x y -+-=()()223225x y +++=()()223225x y ++-=22131x y m m+=+-31m -<<-1m >-31m -<<31m -<<-11m -<<1111ABCD A B C D -E F G BC 1CC 1BBA.直线与直线垂直B.三棱锥的体积为C.直线与平面平行D.直线与平面所成的角为8.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）A.2B.3C.4D.5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）A. B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.直线的一个方向向量10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）A.的一个方向向量为B.在C.垂直D.点到直线上的点的最短距离是111.已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）A.若圆关于直线对称，则B.的最小值为C.若（为坐标原点）四点共圆，则D.当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点非选择题部分BC AF F ABE -1121AG AEF BC AEF 45︒1F 2F 221369x y +=P 1F 12F PF ∠Q Q Oxyz ()0,0,0O ()2,1,1A -()3,4,5B ---AB =OA OB A z ()2,1,1---AB ()10,10,8u =l 120︒l ()1,2-l 12u ⎫=⎪⎪⎭l x 1l 320y -+=()1,0-l :210l kx y k ++-=22:670C x y y +--=A B C l 1k =-AB ,,,A B C O O 103k =3k =λ∈R ()22:36570W x y x y λλλ+++-+-=l C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是________.13.直线关于直线对称的直线的方程为________.14.已知实数a ，b 满足，则的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.15.（13分）求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.16.（15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，、分别为、的中点，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.17.（15分）已知直线及圆.（1）求证直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值.18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.22143x y +=y =y x =22421a b a b +=--22b a --1:310l x y +-=2:260l x y -+=M 230x y +-=30x y +-=ABCDEFG ABCD ABFE AD EG ∥AE ⊥ABCD M N DG EF 1EG =MN ∥CFG E CFG ():40l ax y a a -+-=∈R ()()22:124C x y -+-=l C l a l C A B AB a P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AD BC ∥AB AD ⊥112AB AD BC ===2PA =E BC 14BE BC =Q CP C P（1）求证：平面平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.19.（17分）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为为坐标原点，过点、的圆交直线于两、点，直线、分别交椭圆于、点.（1）求椭圆的方程；（2）记直线，的斜率分别为，，求的值；（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.DEQ ⊥PAC A PC D --QE PCD CQCP()2222:1b 0x y E a a b+=>>()2,0A -()2,0B O O B G 1x =M N AM AN E P Q E AM AN 1k 2k 12k k ⋅PQ2024学年第一学期台州十校联盟期中联考高二年级数学学科参考答案命题：台州市外国语学校钟 茂法命题：玉环市实验高级中学 郑振华选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DAABCDCB二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCDBCDAD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13. 14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）【详解】（1）由，解得，即点，…………3分设所求直线方程为，则，解得，…………6分所以所求直线方程为.…………8分（2）由（1）知，点，设所求直线方程为，则，解得，…………11分所以所求方程为.…………13分16.（本题满分15分）【详解】（1）因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，，，…………2分12y x =,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭310260x y x y +-=⎧⎨-+=⎩14x y =-⎧⎨=⎩()1,4M -()203x y c c ++=≠-()2140c ⨯-++=2c =-220x y +-=()1,4M -0x y m -+=140m --+=5m =50x y -+=ABCD AE ⊥ABCD AB AD AE A AB AD AEx y z A xyz -()0,0,0A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,0,2E ()2,0,2F ()0,1,2G 30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2N则，，，…………3分设平面的一个法向量为，则，故，即，则，令，得，…………6分所以，所以，又平面，所以平面.…………8分（2）由平面的一个法向量为，.…………10分设点E 到平面的距离为d ，则，…………13分所以点E 到平面的距离为.…………15分17.（本题满分15分）【详解】（1）因为直线，得，所以直线过定点.……3分圆，所以定点在圆上，圆心，半径为.当圆心C 到直线距离最，所以.…………7分（2）设点到直线的距离为，利用勾股定理得：…………11分()0,2,2CF =- ()2,1,2CG =-- 31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ CFG ()1111,,n x y z = 11n CF n CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 110n CF n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩12z =()11,2,2n = ()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1MN n ⊥MN ⊄CFG MN ∥CFG CFG ()11,2,2n = ()2,2,2EC =-CFG 1123n AC d n ⋅== CFG 23:40l ax y a -+-=()140a x y --+=()1,4()()22:124C x y -+-=()1,4()C 1,22r =20a =C l d d ===同时利用圆心到直线的距离：.…………15分18.（本题满分17分）【解析】（1）因为平面，所以，，又则以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，…………2分所以，，所以，，且，，平面所以平面所以平面平面.…………5分（2）由（1）知是平面的一个法向量，，.……7分设平面的一个法向量为，所以，即令，则，，所以，…………9分所以的平面角为锐角，所以二面角.…………11分（3）由（1）得，，，，…………12分设，则，可得，…………13分d 1a =±PA ⊥ABCD PA AB ⊥PA AD ⊥AB AD ⊥A xyz -()0,0,0A ()1,0,0B 11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1,0D ()1,2,0C ()0,0,2P 11,,02DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()1,2,0AC =()0,0,2AP = 0DE AP ⋅= 110DE AC ⋅=-=DE AP ⊥DE AC ⊥AP AC A = AP AC ⊂PAC DE ⊥PAC DEQ ⊥PAC 11,,02DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ PAC ()0,1,2PD =- ()1,2,2PC =- PCD (),,n x y z = 00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20220y z x y z -=⎧⎨+-=⎩1z =-2x =2y =-()2,2,1n =--cos ,DE nDE n DE n⋅===⨯A PC D --A PC D --()1,2,0C ()0,0,2P 11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2,2CP =--()01CQCPλλ=<<(),2,2CQ CP λλλλ==-- ()1,22,2Q λλλ--所以.…………14分由（2）知是平面的一个法向量.若平面，可得则，该方程无解，…………16分所以直线不能与平面垂直.…………17分19.（本题满分17分）【详解】（1）由已知得，，…………2分故椭圆的标准方程为；…………4分（2）设，，则圆的方程为：，……6分圆过，代入圆的方程得，…………8分故；…………10分（3）由题意知，当圆的圆心不在轴上时，直线斜率存在，设直线，，，则，需满足，则，，…………12分则，结合第一问知，即，即得，化简得，解得或，…………14分3,2,22QE λλλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()2,2,1n =--PCD QE ⊥PCD QE n∥3222221λλλ-+-==--QE PCD 2a =c =2221b a c =-=2214x y +=()11,M y ()21,N y G ()2221212122y y y y x y +-⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭G ()0,0121y y =-()()1212121121299y y y y k k ⋅=⋅==----G x PQ :PQ y kx m =+()33,P x y ()44,Q x y ()2222241844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩()2216410k m ∆=+->342841km x x k +=-+23424441m x x k -=+()()()2222343434342441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+()()34341229y y x x =-++()3434349240y y x x x x ++++=22222244489240414141m k m km k k k --⎛⎫⨯++⨯-+= ⎪+++⎝⎭221316200m km k --=2m k =1013m k =-当时，直线方程为，直线过点，不合题意，当时，直线方程为，故直线过定点；当圆的圆心在轴上时，，关于轴对称，此时直线斜率不存在，圆方程为，令，则，此时不妨设，，则的方程为，即，联立，得，解得或，即点横坐标为，则直线此时也过点，故直线过定点.…………17分2m k =PQ ()22y kx k k x =+=+PQ ()2,0A -1013m k =-PQ 10101313y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭PQ 10,013⎛⎫⎪⎝⎭G x M N x PQ G ()2211x y -+=1x =1y =±()1,1M ()1,1N -AM ()()1212y x =+--()123y x =+2214x y +=21316200x x +-=2x =-1013x =P 1013x =PQ 10,013⎛⎫⎪⎝⎭PQ 10,013⎛⎫⎪⎝⎭。
浙江省台州市高二数学上册期中达标自测试题及答案
浙江省台州市高二数学上册期中达标自测试题班级：________________ 学号：________________ 姓名：______________一、单选题（每题3分）1.已知函数f(x) = 2x - 1，则f(f(x)) = （）A. 2x - 3B. 4x - 3C. 4x - 1D. 2x^2 - 1答案：B解析：首先求出 f(x) = 2x - 1 的值，然后将这个值代入 f(x) 的表达式中，即f(f(x)) = f(2x - 1) = 2(2x - 1) - 1 = 4x - 3。
2.若双曲线(x^2/9) - (y^2/16) = 1 的一条渐近线方程为y = kx，则k = （）A. ±(4/3)B. ±(3/4)C. 4/3D. 3/4答案：A解析：双曲线的渐近线方程为 y = ±(b/a)x，其中 a 是横轴半径，b 是纵轴半径。
对于双曲线 (x^2/9) - (y^2/16) = 1，有 a = 3, b = 4，因此渐近线方程为 y = ±(4/3)x。
3.下列函数中，最小正周期为π 的是（）A. y = 2sin(2x)B. y = |sin x|C. y = tan(x/2)D. y = cos(x/2)答案：A解析：A. 对于 y = 2sin(2x)，其周期T = 2π/|2| = π；B. y = |sin x| 的周期为 2π；C. y = tan(x/2) 的周期为π/|1/2| = 2π；D. y = cos(x/2) 的周期为2π/|1/2| = 4π。
4.在等差数列{an} 中，a1 = 1，公差d = 2，前n 项和为Sn，则S10 = （）A. 10B. 90C. 100D. 110答案：C解析：等差数列的前 n 项和公式为Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]。
对于给定的等差数列 {an}，有 a1 = 1, d = 2, n = 10，代入公式得S10 = 10/2 × [2×1 + (10-1)×2] = 100。
2019-2020学年浙江省台州市中学高二上学期期中数学试题及答案解析
2019-2020学年浙江省台州市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．45B．65C．4 D．6【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.【详解】点()1,2A到直线3410l x y：--=的距离为65d==.故选：B.【点睛】本题考查了点到直线距离公式的直接应用，属于基础题. 2．设m，n是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥β，m⊂α，则m∥βB．m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．m∥n，n⊂α，则m∥αD．m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β【答案】A【解析】根据线面平行，和面面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【详解】A ．根据面面平行的性质得若α∥β，m ⊂α，则m ∥β成立，故A 正确．B ．两个平行平面内的两条直线位置关系不确定，即m ∥n 不一定正确，故B 错误．C ．根据线面平行的判定定理，必须要求m α⊄，故C 错误．D ．根据面面平行的判定定理，则两条直线必须是相交直线，故D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的应用，结合相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键，比较基础． 3．过两点4,A y，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）．A ．BC ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意知直线AB 的斜率为tan 451AB k =︒=，所以331422y y ++==-，解得1y =-．选C ． 4．将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．81C ．27D ．3【答案】B【解析】利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出求出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则223r ππ=，13r ∴=，∴圆锥的高为3=，∴圆锥的体积1139381V π=⋅⋅⋅=，故选B ．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，以及弧长公式的应用、圆锥的几何性质的应用，圆锥的体积公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题．5．下列说法中正确的是（ ）A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真C ．“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0”D ．“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0” 【答案】D【解析】利用四种命题的关系和命题的改写方法逐个选项判断即可.【详解】四种命题中，原命题与逆否命题、否命题与逆命题均互为逆否命题，具有相同的真假性，所以A、B选项错误；根据命题的改写规则，命题“若220+=，则a、b全为0”a b的逆否命题为“若a、b不全为0，则220+≠”.a b故选：D.【点睛】本题考查了命题的改写及四种命题的关系，属于基础题. 6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B【考点】本题主要考查简单几何体的特征及三视图．点评：简单题，理解好三视图的意义．7．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29y x =-图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为 （ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】如图，设曲线的次整点分别为,过点1P 倾斜角大于45°的直线有1213,PP PP ，过点2P 的有27PP , 过点3P 有36P P 、37P P ，过点4P 有45P P 、46P P 、47P P ，过 点5P 有5657,P P P P ,过点6P 的有67P P ,共11条，故选B.8．异面直线a 、b 和平面α、β满足a ⊂α，b ⊂β，α∩β=l ，则l 与a 、b 的位置关系一定是（ ） A ．l 与a 、b 都相交 B ．l 与a 、b 中至少一条平行C ．l 与a 、b 中至多一条相交D ．l 与a 、b 中至少一条相交 【答案】D【解析】利用反证法，结合直线平行的性质定理进行判断即可． 【详解】若a 、b 与l 都不相交，即//a l ，//b l ，则必有//a b 与a 、b 是异面直线矛盾， 即l 与a 、b 中至少一条相交， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，利用反证法，结合平行公理是解决本题的关键，比较基础．9．已知四棱锥P ﹣ABCD ，记AP 与BC 所成的角为θ1，AP 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角P ﹣AB ﹣C 为θ3，则下面大小关系正确的是（ ） A ．θ1≤θ2 B ．θ1≤θ3C ．θ2≤θ3D ．θ1≥θ3【答案】C【解析】证明“线面角最小，二面角最大 ”即可得解. 【详解】如图，CO ⊥面ABO ，BC AB ⊥，OD BD ⊥，易证BD CD ⊥， 可得cos BO CBO BC ∠=，cos BD DBO BO ∠=，cos BDCBD BC ∠=， 所以cos cos cos CBD CBO DBO ∠=∠⋅∠，可得平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是该斜线与平面内所有直线所成的角的最小值；CBO ∠为二面角，由余弦定理易得CBO CAO ∠>∠，可知在锐二面角上，一个半平面上的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角中，二面角最大. 由以上结论可知，当二面角P AB C 为锐角时，所以23θθ≤，当二面角P AB C 为直角或钝角时，2θ为锐角或直角，所以23θθ≤. 故选：C. 【点睛】本题考查了线线角、线面角及二面角的大小关系，思维过程较复杂，属于中档题.10．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 5【答案】A【解析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AA CC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+， ∴MN最小值为5故选：A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.二、填空题11．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -，则||AB =_____，若在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，则点M 坐标为_____． 10()0,0,3-【解析】利用空间两点间的距离公式直接求得AB的值，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M的坐标．【详解】∵点()1,0,2A，点()1,3,1B-，∴AB==在空间直角坐标系中，z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，解得a=﹣3，∴M（0，0，﹣3）．，（0，0，﹣3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．已知直线l1：（m﹣1）x+6y+2＝0，l2：x+my+1＝0，m为常数，若l1⊥l2，则m的值为_____，若l1∥l2，则m 的值为_____．【答案】17-2【解析】根据两条直线垂直和平行分别得出m满足的方程即可得解.【详解】若12l l⊥，则160m m-+=即17m=；若12l l //，则()16m m -=，解得3m =或2-， 当=3m 时两直线为同一直线，故2m =-.故答案为：17，2-.【点睛】本题考查了利用直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.13．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为_____，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为_____．5【解析】根据题意做出线段AC 的中点D ，连接PD 、BD ，利用22=PG PD DG +()AP BC AP PC PB ⋅=⋅-即可得解. 【详解】由题意得=90ABC ∠，连接点P 和线段AC 的中点D ，连接BD ，如图：易知2=2BD PD =，则=90PDB ∠，又G 为ABC 的重心，∴12=3GD BD =∴225=PG PD DG +=；()0AP BC AP PC PB AP PC AP PB ⋅=⋅-=⋅-⋅=,∴cos ,0AP BC =.故答案为：50.【点睛】本题考查了构造图形求线段的长以及空间向量的应用，属于中档题.14．若圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：x 2+y 2+ax +by ﹣7＝0（a ，b ，r 为常数），关于直线x ﹣y +2＝0对称，则a 的值为_____，r 的值为_____． 【答案】415【解析】利用圆关于直线对称的性质列出方程即可得解. 【详解】易知圆O 圆心为()0,0，半径为r ，圆C 圆心为,22ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为2274a b++，由题意得222044174a bb a a b r ⎧-++=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪++=⎪⎩解得415a r =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：4，15.【点睛】本题考查了圆的对称问题，考查了计算能力，属于基础题. 15．如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为_____．【答案】3【解析】根据题意做出四棱锥的侧面展开图即可得解. 【详解】由题意可知四边形周长最小值()22min 44244cos12043AEFG C =+-⨯⨯=【点睛】本题考查了棱锥侧面展开图的应用，属于基础题. 16．已知实数x 、y 满足（x ﹣2）2+（y +3）2＝1，则|3x +4y ﹣4|的最小值为_____． 【答案】5【解析】把问题转化成直线3440x y z +--=与圆相切即可得解. 【详解】易知圆的圆心为()2,3-，半径为1.令344z x y =+-则直线方程为3440x y z +--=， 当直线与圆相切时z 满足226124134z ---=+解得5z =-或15-，所以155-≤≤-z 即min 5z =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了利用直线与圆的位置关系求最值，考查了转化化归思想，属于基础题.17．如图，正四面体ABCD 中，CD ∥平面α，点E 在AC 上，且AE ＝2EC ，若四面体绕CD 旋转，则直线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是_____．【答案】7⎤⎥⎣⎦．【解析】建立坐标系，表示出旋转之后向量()166023B E θθθπ⎛⎫''=<< ⎪ ⎪⎝⎭，再表示出投影向量()16,sin ,0023B E θθπ⎛⎫''''=<< ⎪ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】如图建系，设棱长为1，易知60,0,3A ⎛ ⎝⎭，30,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 13,26C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0DC =， 又2AE EC =，∴2AE EC =则1363E ⎛ ⎝⎭，∴14363BE ⎛= ⎝⎭， BE 绕着CD 旋转可看做是绕着x 轴旋转，旋转后的向量()166023B E θθθπ⎛⎫''=<< ⎪ ⎪⎝⎭， B E ''在平面α的投影即为其在xOy 平面上的投影()16,0023B E θθπ⎛⎫''''=<< ⎪ ⎪⎝⎭， ∴2173cos ,12sin 93B E DC θ⎤''''=⎥⎣⎦+ 故答案为：7⎤⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题.三、解答题18．已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．（1）求该几何体的侧视图的面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）27．（2）67【解析】（1）根据视图求出三角形的底和高即可得解； （2）根据视图求出底面积和高即可得解. 【详解】（1）由三视图可知该几何体的侧视图是高为4，底为22437-=的直角三角形，所以侧视图的面积为1=47272S ⨯⨯=侧视图．（2）由三视图可知该几何体是四棱锥，如图所示；根据三视图中数据，计算该四棱锥的体积为()11V =2+4676732⨯⨯⨯⨯=四棱锥．【点睛】本题考查了三视图的识别和锥体的体积计算，属于基础题.19．已知p ：关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2﹣4x +6y +m 2﹣3＝0表示圆；q ：圆x 2+y 2＝a 2（a ＞0）与直线3x +4y ﹣5m +10＝0有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(),2-∞．【解析】转化条件为p ：44m <<-，q ：22a m a ≤≤+-，再根据p 是q 的必要充分条件即可得解. 【详解】∵p ：关于x ，y 的方程2224630C x y x y m +++：--=表示圆； ∴()()2222316x y m ++--=表示圆，即2160m ->，∴44m <<-；∵q ：圆2220x y a a +>=（）与直线345100x y m +-+=有公共点．∴510m d a -+=≤，解得22a m a ≤≤+-；∵p 是q 的必要不充分条件，∴2424a a ->-⎧⎨+<⎩，解得2a <； 故实数a 的取值范围是(),2-∞． 【点睛】本题考查了圆的解析式、直线与圆的位置关系、条件之间的关系，属于中档题.20．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，若将△BCD 沿着BD 折起至△BC 'D ，使得AD ⊥BC '．（1）求证：平面C 'BD ⊥平面ABD ； （2）求C 'D 与平面ABC '所成角的正弦值；（3）M 为BD 中点，求二面角M ﹣AC '﹣B 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）12；（3）10．【解析】（1）先证明BC BD '⊥、BC AD '⊥，再利用面面垂直的判定即可得证；（2）先证明AD ⊥面BAC '，再求sin DC A '∠即可得解； （3）建立空间坐标系，分别求出两面的法向量即可得解. 【详解】（1）过点B 作DC 的垂线交DC 于点E ，得1CE DE ==，1BE =，∴2BC =又1AB AD ==，∴2BD =，∴BC BD ⊥，∴BC BD '⊥，又BC AD '⊥，且ADBD D =，AD BD ⊂、平面ABD ，∴BC '⊥平面ABD ，又BC '⊂平面C BD '，∴平面C BD '⊥平面ABD ； （2）由（1）BC '⊥平面ABD ，可知：平面C BA '⊥平面ABD ， 又AD BA ⊥，平面C BA '⋂平面ABD AB =，∴AD ⊥面BAC '，∴C D '与平面C BA '所成角为DC A '∠， 由（1）BC '⊥平面ABD 可知：BC AB '⊥，∴3AC '=，∴2DC '=，∴1sin '2ADDC A DC '∠==，即C D '与平面BAC '所成角的正弦值为12；（3）以A为原点，AD、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）BC ABD'⊥平面可知，()0,0,0A，()0,1,0B，(2C'，()1,0,0D，又M为BD的中点，∴11,,022M⎛⎫⎪⎝⎭，∴(02AC'=，，，11022AM⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()010AB=，，，∴平面C MA'的一个法向量1221222n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，，平面C BA'的一个法向量()220n=-，，，∴121212105522n ncos n nn n⋅===⨯，，由图可知二面角M AC B'﹣﹣的大小为锐角，∴二面角M AC B'﹣﹣的余弦值为105．【点睛】本题考查了面面垂直的判定、线面角的求法、二面角余弦值的求法，考查了运算能力，属于中档题.21．已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4).(1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率；(3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】（1）()()221150x y -++=；（2）直线的斜率为125或者不存在；（3）存在，()11,9或()9,11--.【解析】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；（2）若△CMN 为直角三角形,则圆心到直线的距离为2r ，即可求解斜率； （3）使△QEF 为正三角形，即,23EQF QC r π∠==，求出点Q 的坐标. 【详解】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4)，所以416CB b k a -⎧==⎪-=即28412b a a b =-⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以r ==所以圆C 的方程：()()221150x y -++=；（2）过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,CM CN=，所以△CMN 为等腰直角三角形，且2MCN π∠=，所以圆心(1,1)C -到直线l 2的距离为52r =， 当直线l 2的斜率不存在时，直线方程6x =， 圆心(1,1)C -到直线l 2的距离为5，符合题意； 当直线l 2的斜率存在时，设斜率为k ， 直线方程为24(6)y k x -=-，即6240kx y k --+= 圆心(1,1)C -到直线l 25=，5=1=，解得125k =， 直线的斜率为125或者不存在；（3）若直线l 3: y =x －2上存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形, 即3EQF π∠=，在Rt ECQ ∆中，,62EQC QEC ππ∠=∠=2QC r ==设(,2),Q a a QC-==2(1)100a -=解得9a =-或11a =所以点Q 的坐标为()11,9或()9,11--. 【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解．22．如图，三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '，AC ＝2，BC ＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，E、F分别为A'C、B'C'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求B'到平面ABC的距离；（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．．【答案】（1）见解析（2）6（3）1365【解析】（1）利用线面平行的判定，求得//EF AB'后即可得解；（2）过B'作B H'⊥平面ABC,转化条件后即可得解；（3）建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可得解. 【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC A B C'''﹣中，四边形ACC A''是平行四边形，'⋂'=，∴E是AC'的中点，AC A C E∵F是B C''的中点，∴//EF AB'，∵EF⊄平面AB C''，AB'⊂平面AB C''，∴//EF平面AB C''．（2）过B'作B H'⊥平面ABC，交AC延长线于点H，过点H 作CC '的平行线HM ，交A C ''于点M ，连结HB ， 则MHB '∠是二面角A AC B ''--的平面角，∵2AC =,4BC =,120ACB ∠=︒，'90ACC ∠︒=，且平面AB C '⊥平面ABC ，二面角A AC B ''--为30,∴30MHB BB H ''∠∠︒==，60BCH ∠︒=，∴30HBC ∠︒=，90BHC ∠=︒， ∴122CH BC ==，∴23BH =，∴B '到平面ABC 的距离23630B H tan '==︒．（3）以H 为原点，HA 为x 轴，HB 为y 轴，HB '为z 轴，建立空间直角坐标系，()4,0,0A ，()0,23,0B ，()0,0,6B '，()2,23,6C '-， ()4,23,0BA =-，()0,23,6BB '=-，()2,43,6BC '=-， 设平面ABB '的法向量(),,n x y z =， 则4302360n BA x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+'=⎪⎩，取3x =233,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭， 设平面C BB ''的法向量(),,m x y z '''=， 则23602360m BB y z m BC x y z ''''⎧⋅=''-'+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x '=33,1,3m ⎛= ⎭，设二面角ABB C ''﹣﹣的平面角为θ．则173cos 25m nm n θ⋅===⋅⋅．∴二面角A BB C ''﹣﹣的余弦值为65． 【点睛】本题考查了线面平行的判定、点到平面的距离、利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.。
浙江省台州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
浙江省台州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若，则下列不等式：①；②|a|+b＞0；③；④lna2＞lnb2中，正确的不等式是（）A . ①④B . ②③C . ①③D . ②④2. （2分）不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A . {}B . {x|x≥}C . RD . ∅3. （2分） (2016高一下·佛山期中) 已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n﹣1）an+2=（2n+1）an﹣1+8n2（n ＞1，n∈N*），设，数列{bn}的前n项的和Sn ，则Sn的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·大庆模拟) 数列为正项递增等比数列，满足，，则等于（）A . -45B . 45C . -90D . 905. （2分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若a=ccosB，则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形6. （2分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB= ，则• =（）A .B . ﹣C . 3D . ﹣37. （2分）若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·船营期中) 设x，y满足约束条件，则目标函数z= 的取值范围为（）A . [﹣3，3]B . [﹣3，﹣2]C . [﹣2，2]D . [2，3]9. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为（）A . 100kmB . 200kmC . 100 kmD . 100 km10. （2分）已知{an}是等差数列，{bn}是正项等比数列，若a11=b10 ，则（）A . a13+a9=b14b6B . a13+a9=b14+b6C . a13+a9≥b14+b6D . a13+a9≤b14+b611. （2分）已知数列{an}满足an=4×3n-1 ， n=N*，现将该数列按右图规律排成一个数阵（如图所示第i行有i个数），设Sn为该数阵的前n项和，则满足Sn>2020时，n的最小值为（）A . 20B . 21C . 26D . 2712. （2分）已知数列满足,则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设Sn是数列{an}的前n项和，n≥2时点（an﹣1 ， 2an）在直线y=2x+1上，且{an}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9=________．14. （1分） (2015高三上·包头期末) 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．15. （1分） (2016高二下·长安期中) 设变量x，y满足，则变量z=3x+y的最小值为________．16. （2分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk ，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________；第2016棵树种植点的坐标应为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共35分)17. （5分） (2016高二上·桓台期中) 已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．18. （5分） (2017·天津) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（13分）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．19. （5分） (2017高三下·银川模拟) 设等比数列的前项和为，已知 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，设数列的前项和，证明： .20. （5分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=， cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21. （10分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．（1）求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；（2）求当天的利润不低于750元的概率．22. （5分）设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共35分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省台州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．则下列判断正确的是（）A . p为真B . ￢q为假C . p∧q为假D . p∨q为真2. （2分） (2019高三上·汉中月考) 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟，均为正整数）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为（）A . 8B . 4C . 2D . 13. （2分）已知，，是空间的一个基底，设=+，=﹣，则下列向量中可以与，一起构成空间的另一个基底的是（）A .B .C .D . 以上都不对4. （2分） (2017高一下·定西期中) 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，325. （2分）(2017·崇明模拟) 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2 ，0）为C的左焦点，P为C 上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A . =1B . =1C . =1D . =16. （2分） (2020高二上·吴起期末) 是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 不充分也不必要条件7. （2分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ①④D . ①③8. （2分） (2017高二下·岳阳期中) 在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若 =2 ，点E为线段AD的中点，=λ + ，则λ=（）A .B .C .D .9. （2分）在半径为10cm的球面上有A，B，C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为（）A . 2cmB . 4cmC . 6cmD . 8cm10. （2分）椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·广东模拟) 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·大连期中) 过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆 +y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2 ，则k1k2的值为（）A . 2B . ﹣2C .D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·泰州期中) 抛物线x2=4y的焦点坐标为________．14. （1分） (2017高三上·安庆期末) 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面PAC．其中正确命题的序号是________．15. （1分） (2016高二上·如东期中) 椭圆的离心率的值为________．16. （1分）面面垂直的性质定理符号表示________．三、解答题 (共6题；共61分)17. （1分） (2016高一上·历城期中) 对于函数f（x）定义域中任意的x1 ， x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是________．18. （15分） (2016高二上·孝感期中) 某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取n个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[39.95，39.97）6P1[39.97，39.99）120.20[39.99，40.01）a0.50[40.01，40.03）b P2合计n 1.00（1）求a、b、n及P1、P2的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm，直径误差不超过0.01mm的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有10000个，试估计其中五星乒乓球的数目；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．19. （10分） (2016高三上·平湖期中) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A 的中点．（1）求证：A1C∥平面BED；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．20. （10分） (2017高二上·南通期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1 ， F2 ，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若|MF1|+|MF2|=2 ．（1）求椭圆的方程；（2）若|MF|= ，求抛物线的方程．21. （15分） (2018高二上·南宁月考) 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面平面；（2）（理科做）当时，求二面角的余弦值．（3）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B到平面ADC的距离.22. （10分）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆相切．（1）求双曲线的离心率；（2）是渐近线上一点，是双曲线的左，右焦点，若，求双曲线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共61分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
浙江省台州市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省台州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2017 高二下·洛阳期末) 下列命题中正确的是（ ）A . 命题“∃ x0∈R，sinx0＞1”的否定是“∀ x∈R，sinx＞1”B . “若 xy=0，则 x=0 或 y=0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0，则 xy≠0”C . 在△ABC 中，A＞B 是 sinA＞sinB 的充分不必要条件D . 若 p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则 p，q 同真或同假2. （1 分） (2019 高二上·台州期末) 已知 m，n 是两条不同直线， 是一个平面，“”是“”的，，则A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （1 分） 在椭圆 值最小，则这一最小值是内有一点 P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M，使|MP|+2|MF|的 （）A.B.C.3D.44. （1 分） (2018 高二上·思南月考) 已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则的最大值是（ ）第 1 页 共 24 页A.B. C.D. 5. （1 分） 设圆 和圆 是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都相切，则圆 P 的圆心轨迹可能是（ ）①②③④⑤A . ①③⑤B . ②④⑤C . ①②④D . ①②③6. （1 分） (2016 高二上·大庆期中) 已知双曲线=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为（ ）A.B. C.2第 2 页 共 24 页D.7. （1 分） (2018·孝义模拟) 设 为双曲线右焦点，且，与 轴交于点 ，离心率为（ ）上的点， 为坐标原点，若四边形， 分别为 的左、 有内切圆，则 的A.B. C. D.8. （1 分） (2015 高二上·海林期末) 若点 O（0，0）和点 心和右焦点，A 为右顶点，点 M 为双曲线右支上的任意一点，则分别是双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的中 的取值范围为（ ）A . [﹣1，+∞）B . （0，+∞）C . [﹣2，+∞）D . [0，+∞）9. （1 分） 从抛物线F，则的面积为（图像上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 ）， 设抛物线焦点为A . 10B.8C.6D.410. （1 分） (2017·黑龙江模拟) 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，点 P（x，y）为该抛物线上的动点，又点 A（﹣1，0），则的最小值是（ ）第 3 页 共 24 页A.B.C.D. 11. （1 分） 函数A.B.C.D.12. （1 分） 已知函数A . a<-3 或 a>6B.或C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 以下四个命题中：在 处的切线方程是（ ） 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（ ）①某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取 100 份试卷进行分析，则应从 120 分以上（包括 120 分）的试卷中抽取 份；②已知命题，则：；第 4 页 共 24 页③在上随机取一个数 ，能使函数④设，则“”是“其中真命题的序号为________.在 上有零点的概率为 ； ”的充要条件.14. （1 分） 已知点 P 是椭圆 C： +y2=1 上的动点，一定点 Q（1，0）．有 3 个点 P 使得|PQ|=2 成立；当 点 P 运动时，线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为________15. （1 分） (2016 高二下·静海开学考) 过椭圆B 两点，若，则椭圆的离心率 e=________．的左焦点 F 且倾斜角为 60°的直线交椭圆于 A、16. （1 分） 已知函数三、 解答题 (共 6 题；共 11 分)17. （1 分） (2019 高二下·慈溪期中) 己知函数，则=________.(I)求 f(x)的极小值和极大值； (II)当曲线 y = f(x)的切线 的斜率为负数时，求 在 x 轴上截距的取值范围.18. （1 分） (2018 高一上·荆州月考) 已知（1） 设,，若函数存在零点，求 a 的取值范围；（2） 若是偶函数，求 的值；（3） 在（2）条件下，设 的取值范围.19. （3 分） (2019·内蒙古模拟) 已知点不同的两点.(Ⅰ) 求椭圆 的离心率；，若函数与的图象只有一个公共点，求实数 b和椭圆. 直线与椭圆 交于(Ⅱ) 当时，求的面积；第 5 页 共 24 页（Ⅲ）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，当 为 中点时，求 的值 .20. （2 分） (2018 高二上·石嘴山月考) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 （1） 求双曲线的方程，实轴长 2 ．（2） 若直线 的取值范围．与双曲线恒有两个不同的交点 A，B，且为锐角（其中 O 为原点），求 k21. （2 分） (2017 高二下·新疆开学考) 设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数x 满足．（Ⅰ）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；（Ⅱ）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. （2 分） (2019 高二上·兴庆期中) 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了 5 种单 价进行试销，每种单价（ 元）试销 l 天，得到如表单价 （元）与销量 （册）数据：单价 （元）1819202122销量 （册）6156504845（1） 根据表中数据，请建立 关于 的回归直线方程：（2） 预计今后的销售中，销量 （册）与单价 （元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.第 6 页 共 24 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、第 7 页 共 24 页考点：解析： 答案：4-1、 考点： 解析：第 8 页 共 24 页答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 9 页 共 24 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、第 10 页 共 24 页考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共11分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：。
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台州中学2014学年第一学期期中试题高二 数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．直线72=-y x 与直线012=--y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．异面 2．下列命题中正确的是 ( )A ．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B ．平行于同一直线的两个平面平行．C ．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D ．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．3．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则实数a 的值为（ ） A ．-1 B. 1 C. 3 D. -34．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．πC ．54πD ．32π5．点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．6C ．22D ．10 6．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ）A.1:3B. 3:1C.1:33D. 9:17．已知坐标原点O 在圆x 2+y 2-x+y+m=0外，则m 的取值范围是 ( ) A ．0<m<21B ．m<21 C ． m≤21D ． m>0 8．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 9．过点（，0）引直线l 与曲线21y x =- 交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ） A ．33B ．33-C ．33±D ．3-10．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )俯视图BDCAEBCD'ADE KA ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分） 11．点(1,3)P -关于直线0=-y x 的对称点Q 的坐标为 12．若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x ，0)三点共线，则x=13．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 14．A 是锐二面角βα--l 的α内一点,β⊥AB 于点A AB B ,3,=到l 的距离为2，则二面角βα--l 的平面角大小为15．过点A (0，73)，B (7,0)的直线l 1与过(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 的值为________． 16．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的面积为______。
17．如图，在三棱锥BCD A -中，AD AC AB ,,两两互相垂直，4AB AC AD ===．点 P ，Q 分别在侧面ABC 、棱AD 上运动，2PQ =，M 为线段PQ 中点，当P ，Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于_________________．三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
） 18．（本小题满分8分） 直线l 过点P(4,1)，(1)若直线l 过点Q(－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．19．（本小题满分9分）如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． （1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．20．（本小题满分12分）已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-= (1) 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ； (2) 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；(3) 若定点P （1，1）满足2PB AP =u u u r u u u r，求直线l 的方程。
21．（本小题满分10分）已知直角梯形ABCD 和矩形CDEF 所在的平面互相垂直，,DC AD ⊥AB //,DC ,4===DE AD AB ,8=DC（1）证明：；平面BCF BD ⊥（2）设二面角D BC E --的平面角为α,求αsin ；（3）M 为AD 的中点，在DE 上是否存在一点P ，使得MP//平面BCE ？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由。
22（本小题满分10分） 已知圆045144:22=+--+y x y x C 及点)3,6(Q . （1）若),(y x M 为圆C 上任一点，求63--=x y K 的最大值和最小值； （2）已知点)3,6(-N ，直线036=+--k y kx 与圆C 交于点A 、B. 当k 为何值时⋅取到最小值。
台州中学2014学年第一学期期中试题高二 数学（理科）三、解答题（本大题5小题，共49分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
） 18. （本小题满分8分）解：(1)直线l 的方程为y －16－1＝x －4－1－4，化简，得x ＋y －5＝0.(4分)(2)设直线l 的方程为y －1＝k (x －4)，l 在y 轴上的截距为1－4k ，在x 轴上的截距为4－1k ，故1－4k ＝2(4－1k )，得k ＝14或k ＝－2，直线l 的方程为y ＝14x 或y ＝－2x ＋9.（8分）19. （本小题满分9分）证明：⑴设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PD 的中点知EN =//21DC ， 又ABCD 是矩形，∴DC =//AB ，∴EN =//21AB 又M 是AB 的中点，∴EN =//AN ， ∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而AE ⊂平面PAD ，NM ⊄平面PAD ∴MN ∥平面PAD （4分） 证明：⑵∵PA ＝AD ，∴AE ⊥PD ，又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD∴CD ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ， 又MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PCD. （9分）20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：圆22:(1)5C x y +-=的圆心为(0,1)C 5。
∴圆心C 到直线:10l mx y m -+-=的距离215221m m d m m -=≤=<+∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；P NCBMAD E方法二：∵直线:10l mx y m -+-=过定点(1,1)P ，而点(1,1)P 在圆22:(1)5C x y +-=内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；（4（Ⅱ）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则CM MP ⊥，∴222CM MP CP+=设(,)(1)M x y x ≠，则2222(1)(1)(1)1x y x y +-+-+-=， 化简得：22210(1)x y x y x +--+=≠ 当M 与P 重合时，1,1x y ==也满足上式。
故弦AB 中点的轨迹方程是22210x y x y +--+=。
（8分）（Ⅲ）设1122(,),(,)A x yB x y ，由2PB AP =u u u r u u u r ，∴1211(1)2x x -=-，化简的2132x x =-………………①又由2210(1)5mx y m x y -+-=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)250m x m x m +-+-=……………（*） ∴212221m x x m +=+ ………………………………② （10分） 由①②解得21231m x m +=+，带入（*）式解得1m =±， ∴直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=。
（12分）21.（本小题满分10分）(1)Θ面ABCD ⊥面CDEF ，且矩形CDEF 中,DC FC ⊥∴,ABCD FC 面⊥DB FC ⊥ 在直角梯形ABCD 中易得,BC DB ⊥ BCF BD 平面⊥∴（3分）(2)Θ,ABCD FC 面⊥ED//FC ABCD ED 面⊥∴又,BC DB ⊥BC EB ⊥∴EBD ∠∴二面角D BC E --的平面角αEBD ∠=∴sin sin α33344===BE DE （7分）（3）猜想1=DP 。
取ED,EC 的四等分点P,Q ，使得ED=4PD ，EC=4QC ，易得PQ=MN ，PQ//MN ，所以四边形PQNM 为平行四边形。
MP//平面BCE （10分）22（本小题满分10分）⊙222)22()7()2(:=-+-y x C（1）⊙C 与直线036=+--k y kx 有公共点。
221|3672|2=≤++--=r k k k d 解得3232+-≤≤--k .所以32max +-=K ；32min --=K .（4分） （2）记),(),,(2211y x B y x A 将直线方程代入圆方程得： 0)143(12)123(4)1(2222=+++++-+k k x k k x k 由0≥∆ 得 3232+-≤≤--k1)123(42221+++=+k k k x x1)143(122221+++=k k k x x （6分） )3)(3()6)(6(2121--+++=⋅y y x x （8分） )1(36))(66()1(2212212+++-++=k x x k x x k ]1147[242+-+=k k ]212)1(147[24+-+-+=k k 21-=k 时⋅取到最小值。
（10分）。