等差数列的性质及求和
等差数列与等差数列的求和
等差数列与等差数列的求和等差数列（Arithmetic Progression）是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。
等差数列的求和是指将等差数列中的所有项相加的操作。
一、等差数列的定义等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项，a1为等差数列的首项，d为等差数列的公差。
二、等差数列的性质1. 公差的概念：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差d可以用来确定等差数列中的任意一项。
2. 通项公式：根据等差数列的定义，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中的某一项的值。
3. 求和公式：等差数列求和时，有一个重要的公式可以用来计算等差数列的前n项和Sn：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn为等差数列的前n项和，n为项数，a1为首项，an为末项。
三、等差数列的求和方法1. 如果给定等差数列的首项a1、末项an和项数n，我们可以直接利用求和公式计算等差数列的和。
例如：给定一个等差数列的首项为2，末项为10，项数为5，我们可以通过求和公式计算其和：Sn = (5/2)(2 + 10) = 302. 如果给定等差数列的首项a1、公差d和项数n，我们也可以通过递推的方式来计算等差数列的和。
递推计算的步骤如下：- 首先，计算等差数列的首项a1和末项an。
- 其次，计算等差数列的项数n。
- 然后，利用求和公式计算等差数列的和。
例如：给定一个等差数列的首项为3，公差为4，项数为6，我们可以通过递推的方式计算其和：a1 = 3an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1) * 4 = 23Sn = (6/2)(3 + 23) = 78综上所述，等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。
我们可以通过等差数列的通项公式和求和公式来计算等差数列中任意一项的值和前n项的和。
等差数列的性质和求和公式
等差数列的性质和求和公式等差数列是数学中常见且重要的数列类型之一。
它的性质和求和公式在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，讨论其求和公式，并举例说明。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
以$a_1$表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数，则等差数列可以表示为：$$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, ..., a_1 + (n-1)d$$其中，$a_k$表示第$k$项。
等差数列具有以下性质：(1) 首项：$a_1$(2) 公差：$d$(3) 第$n$项：$a_n = a_1 + (n-1)d$(4) 第$n$项和：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$2. 等差数列的求和公式为了求得等差数列的前$n$项和$S_n$，我们可以利用等差数列的性质和求和公式。
首先，我们知道等差数列的第$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$$将等差数列中的各项按照首项与公差的关系进行重排，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_1 + (n-1)d) + (a_1 + d + a_1 + (n-2)d) + ... + (a_1 + (n-1)d + a_1)$$将每对括号内的两项相加，可以得到：$$S_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + ... + (2a_1 + (n-1)d)$$由于括号内的每项都相同，因此可以简化为：$$S_n = n(2a_1 + (n-1)d)$$这就是等差数列的求和公式。
3. 求和公式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例1：求等差数列$5, 8, 11, 14, 17$的前$5$项和$S_5$。
等差数列与等差数列的求和与通项公式
等差数列与等差数列的求和与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都是相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数列类型，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求和与求通项公式。
一、等差数列的定义与性质等差数列的定义：对于数列a₁，a₂，a₃，…，aₙ，如果存在一个常数d，使得对于任意的整数n≥2，有aₙ - aₙ₋₁ = d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的性质：1. 公差：等差数列中任意两项之间的差值称为公差，通常用字母d 表示。
2. 通项公式：等差数列中第n项的表达式称为通项公式，通常用字母aₙ表示。
3. 求和公式：等差数列的前n项和的表达式称为求和公式，通常用字母Sₙ表示。
二、等差数列的通项公式为了求等差数列的第n项，我们需要知道首项和公差。
首项a₁可以通过给定的数列第一项得到，公差d可以通过数列中任意两项之间的差值得到。
等差数列的通项公式可以通过以下公式得到：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示首项，n表示项数，d表示公差。
三、等差数列的求和公式当我们想求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式。
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的和，而不需要逐一相加。
等差数列的求和公式可以通过以下公式得到：Sₙ = (n / 2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
四、例题与应用例题1：已知等差数列的首项为3，公差为2，求该等差数列的第10项和前10项和。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到第10项：a₁₀ = 3 + (10 - 1) * 2 = 21根据等差数列的求和公式，可以得到前10项和：S₁₀ = (10 / 2) * (3 + 21) = 120例题2：一个等差数列的首项为5，公差为3，已知前n项和为85，求n的值。
解：根据等差数列的通项公式和求和公式，可以得到以下方程：(n / 2) * (5 + aₙ) = 85(n / 2) * (5 + (5 + (n - 1) * 3)) = 85通过解方程，可以得到n的值为7。
等差数列与等差数列求和公式
等差数列与等差数列求和公式等差数列是指数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等的数列。
等差数列的求和公式可以帮助我们快速计算数列中所有元素的和。
本文将介绍等差数列的定义、特点以及求和公式的推导过程。
一、等差数列的定义与特点等差数列的定义是指一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。
这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中n表示数列中的第n个元素。
等差数列有以下几个特点：1. 公差为常数：等差数列中的每个相邻元素之差都是相等的，这个差值在整个数列中保持不变。
2. 首项与公差确定整个数列：等差数列的首项和公差确定了整个数列的所有元素。
3. 等差数列的相邻元素之和相等：等差数列中，相邻两个元素之和都等于中间元素的两倍。
二、等差数列求和公式的推导为了更加方便地计算等差数列的和，我们需要推导出等差数列求和公式。
下面将介绍一种常见的推导方法——倍差法。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn。
我们可以利用倍差法进行推导，具体步骤如下：1. 将数列分为两行，第一行是从首项开始的数列，第二行是从末项开始的数列。
两行的所有元素分别相加，得到两个和分别为Sn和Sn。
第一行：a₁ a₂ a₃a₄⋯aₙ₋₁第二行：aₙaₙ₋₁aₙ₋₂⋯a₂ a₁2. 将两行对应的元素相加，得到一个新的数列。
每一项的和都等于首项与末项的和。
Sn + Sn = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ⋯ + (aₙ +a₁)3. 根据等差数列的性质，利用等差数列的通项公式将上式进行变形。
Sn + Sn = (2a₁ + (n-1)d) + (2a₁ + (n-2)d) + (2a₁ + (n-3)d) + ⋯ +(2a₁ + d)4. 对上式进行化简，得到Sn = n(2a₁ + (n-1)d) / 2这就是等差数列求和公式。
等差数列与等差数列的求和公式
等差数列与等差数列的求和公式等差数列是数学中一种常见的数列形式，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
等差数列在数学中有着重要的应用，尤其是在代数和数学分析中。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及等差数列的求和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列可以用以下形式来表示：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a为首项，d 为公差。
首项a表示数列中的第一个数，公差d表示相邻两项之间的差值。
等差数列的性质如下：1. 公差相等性：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，即a(n+1) - a(n) = d。
2. 通项公式：等差数列的第n项可以用通项公式表示为a(n) = a + (n-1)d，其中n为项数。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为a(n) = a + (n-1)d。
4. 项数与公差关系：等差数列的项数n可以通过公式n = (a(n) - a + d) / d来计算。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是指将等差数列中的所有项相加得到的结果。
求和公式有两种形式，一种是部分和公式，另一种是总和公式。
1. 部分和公式：等差数列的部分和公式表示为Sn = (n/2)(a + a(n))，其中Sn表示前n项的和。
2. 总和公式：等差数列的总和公式表示为S = (n/2)(a + l)，其中S表示所有项的和，l为末项。
等差数列的求和公式是通过对数列中的项数、首项和末项进行运算得到的。
这些公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明，但在此不做详细展开。
三、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，特别是在代数和数学分析中。
以下是一些等差数列的应用示例：1. 等差数列可以用来表示时间序列中的变化规律，比如每天的气温变化、股票价格的涨跌等。
2. 等差数列可以用来解决一些实际问题，比如计算等差数列中的某一项的值，或者计算前n项的和。
3. 等差数列可以用来表示数学中的一些模型，比如等差数列可以用来表示等速直线运动中的位移变化。
常见等差数列求和公式
常见等差数列求和公式常见等差数列求和公式是数学中非常重要且常用的公式之一。
它能够帮助我们快速准确地求解等差数列的和，而不需要一个一个地相加。
本文将围绕这一公式展开讨论，探讨其原理和应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。
换句话说，等差数列中每一项与它前面一项的差都是相同的常数，这个常数称为公差。
等差数列的性质包括：1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项的和。
二、等差数列求和公式的推导要理解等差数列求和公式的推导过程，首先需要明确等差数列的通项公式。
通项公式告诉我们，等差数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性函数。
因此，我们可以将等差数列的前n项和表示为一个关于n的二次函数。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的通项公式，我们可以将等差数列的第n项表示为an = a1 + (n-1)d。
将这个式子代入前n项和的公式中，得到Sn = (a1 + (a1+ (n-1)d)) * n / 2，化简后可得Sn = n(a1 + an) / 2。
三、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而解决一些实际问题。
以下是一些应用实例：1. 求解等差数列的和：假设有一个等差数列，首项为3，公差为4，求前10项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 10(3 + (3 + 9*4)) / 2 = 270。
2. 求解等差数列中某几项的和：假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，求第4项到第8项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 5(2 + (2 + 7*3)) / 2 = 85。
3. 求解等差数列中的未知量：假设有一个等差数列，前n项的和为S，首项为a1，公差为d，求第n项。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是数学中一个常见的数列类型，其中相邻的两个数之间差值固定。
求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
在本文中，我们将介绍等差数列的求和公式以及如何使用它进行计算。
1.等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差保持相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项表示为an = a + (n-1)d。
其中n为项数，a为首项，d为公差。
等差数列的性质包括：- 任意两个项之和与其平均数的关系：an + a(1) = an-1 + a(2) = ... = a(1) + an- 等差数列的前n项和与后n项和的关系：S(n) = n/2 * (a(1) + an) - n项和与首项和末项的关系：S(n) = n/2 * (a + an)2.等差数列的求和公式等差数列的求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
根据等差数列的性质，我们可以得到以下两个求和公式：- 等差数列前n项和的求和公式：Sn = n/2 * (a + an)- 等差数列首项至第n项和的求和公式：Sn = n/2 * (a(1) + an)这两个公式可以根据具体的问题来选择使用，通常情况下我们更常用的是第一个公式。
下面我们将用实例来说明如何使用等差数列的求和公式。
3.求和公式的应用实例假设有一个等差数列，首项为3，公差为5，要求计算该数列的前10项之和以及前15项之和。
根据求和公式Sn = n/2 * (a + an)，我们可以计算得到：- 前10项之和：S(10) = 10/2 * (3 + a(10)) = 10/2 * (3 + (10-1)5) =10/2 * (3 + 45) = 10/2 * 48 = 10 * 24 = 240- 前15项之和：S(15) = 15/2 * (3 + a(15)) = 15/2 * (3 + (15-1)5) =15/2 * (3 + 70) = 15/2 * 73 = 15 * 36.5 = 547.5因此，该等差数列的前10项之和为240，前15项之和为547.5。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见且重要的数列形式。
本文将探讨等差数列的性质以及如何进行计算。
一、等差数列的性质1. 公差（公共差值）：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
2. 首项：等差数列中的第一项，记作a1。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来表示任意一项的值，通常用an表示第n项。
通项公式可表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，n表示项数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的计算1. 已知两项求公差：若已知等差数列中的两项a和b，则可以通过计算差值得到公差。
公差d = b - a。
2. 已知首项和公差求任意项：若已知等差数列的首项a1和公差d，可以通过通项公式计算任意一项的值。
an = a1 + (n-1)d。
3. 已知首项和公差求前n项和：若已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，可以通过求和公式计算前n项和。
Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、示例1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求该数列的第10项的值。
根据通项公式，an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 5 + (10-1)3，计算得到an = 5 + 27 = 32。
因此，该数列的第10项的值为32。
2. 已知等差数列的首项为2，公差为4，求该数列的前5项和。
根据求和公式，Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件得到Sn = (5/2)(2+ 2 + (5-1)4)，计算得到Sn = 5(2 + 10) = 60。
因此，该数列的前5项和为60。
总结：本文介绍了等差数列的性质与计算方法。
通过学习等差数列的公差、首项、通项公式以及求和公式，我们可以准确地计算等差数列中任意一项的值以及前n项的和。
等差数列在数学和实际生活中都具有很高的应用价值，希望本文能对读者有所帮助。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列在数学中扮演着重要的角色，它是由一个初始项和公差构成的数列，其中每一项与前一项之间的差值都相等。
求和公式是一种重要的工具，可以快速计算等差数列的和。
本文将介绍等差数列的求和公式，并探讨其应用。
一、等差数列的定义和性质在等差数列中，每一项与前一项之间的差值都相等。
其一般形式可以表示为：a，a + d，a + 2d，a + 3d...，其中a为初始项，d为公差。
等差数列具有以下性质：1. 第n项的计算：第n项可以表示为a + (n-1)d，其中a为初始项，d为公差。
2. 公差的计算：公差d可以表示为任意两项之差，即d = 第n项 - 第n-1项。
3. 前n项和的计算：等差数列的前n项和可以通过求和公式进行计算。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式可以帮助我们快速计算前n项和。
根据数列的性质和等差数列的规律，我们可以得到以下求和公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示初始项，d表示公差，n 表示项数。
三、求和公式的推导过程我们来推导一下等差数列的求和公式。
假设等差数列的前n项和为Sn，我们可以将其分为两部分：第一部分为等差数列的前n-1项的和S(n-1)；第二部分为最后一项的值，即第n项an。
因此，我们有：Sn = S(n-1) + an根据等差数列的性质，最后一项an可以表示为：a + (n-1)d将其代入上式，得到：Sn = S(n-1) + a + (n-1)d根据等差数列的求和公式，我们知道S(n-1) = (n-1)/2 * (2a + (n-2)d)将其代入上式，得到：Sn = (n-1)/2 * (2a + (n-2)d) + a + (n-1)d化简后得：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)四、求和公式的应用等差数列的求和公式在数学中有着广泛的应用，尤其在数列求和问题中起到了重要的作用。
我们可以通过求和公式快速计算等差数列的前n项和，而不需要一个个进行相加。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是初中数学中的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用。
通过学习等差数列求和，我们可以更好地理解数列的性质和规律，并且能够解决一些实际问题。
在本文中，我将以举例、分析和说明的方式，详细介绍等差数列求和的方法和应用。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质有很多，其中最重要的是等差数列的通项公式和求和公式。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列而言，通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列中任意一项的值。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求第10项的值，可以使用通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得到a10=1+(10-1)×2=19。
因此，等差数列1，3，5，7，9的第10项为19。
三、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中前n项的和。
对于等差数列而言，求和公式可以表示为：Sn = (a1 + an) × n / 2，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，an表示第n项，n表示项数。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列前n项的和。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求前5项的和，可以使用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，代入a1=1，an=9，n=5，得到S5 = (1 + 9) × 5 / 2 = 25。
因此，等差数列1，3，5，7，9的前5项的和为25。
四、等差数列求和的应用举例等差数列求和在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：例1：小明每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列常常出现在数学的各个领域，求解等差数列的和是其中一项基本的问题。
本文将介绍等差数列的求和公式，并通过几个实例来说明其应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差（任意项与前一项的差值），第n项则用an表示。
根据等差数列的定义，可以得到如下性质：1. 第n项的数值可由首项与公差计算得出：an = a + (n-1)d。
2. 第n项与第m项之间的差为(m-n)d。
二、等差数列的求和公式为了求解等差数列的和，我们引入了求和符号Σ（sigma）来简化表示。
对于等差数列而言，求和公式的推导如下：设等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的性质，该数列可表示为：a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d。
将n项分别与首项相加，得到如下等式：S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a+(n-1)d]。
反向相加，得到如下等式：S = [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] + ... + (a+d) + a。
将两个等式相加，每一列的和都为2S：2S = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + ... + [2a+(n-1)d]。
由于每一列的和相同，可以简化为：2S = n * [2a+(n-1)d]。
整理得到等差数列的求和公式：S = n/2 * [2a+(n-1)d]。
三、等差数列求和公式应用实例接下来，我们通过几个实例来应用等差数列的求和公式，以更好地理解其应用。
实例1：求等差数列3, 7, 11, 15, ..., 99的和。
解：首项a = 3，公差d = 4，末项an = 99。
根据等差数列求和公式：S = n/2 * [2a+(n-1)d]，代入已知数据：S = 25/2 * [2 * 3 + (25-1) * 4]，计算可得：S = 25/2 * [6 + 24 * 4] = 25/2 * 102 = 1275。
等差数列的性质与求和
等差数列的性质与求和等差数列是数学中的重要概念之一，它的性质和求和公式在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，探讨其求和公式的推导，并结合实例进行说明。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n为项数根据等差数列的性质，我们可以得出以下几个重要的结论：1. 第n项与首项的关系第n项可以通过首项与公差相乘再加上n-1乘以公差来求得。
2. 公差与项数的关系项数n可以通过首项与第n项的差值再除以公差加1来求得。
3. 项数与和的关系项数n与等差数列的和Sn之间存在如下关系：Sn = (a + an) × n / 2这个公式是等差数列求和的基本公式，可以通过将首项与尾项相加再乘以项数的一半得到。
通过以上性质，我们可以更好地理解等差数列的规律，并在解决问题时运用这些性质。
二、等差数列求和公式的推导为了得到等差数列求和的公式，我们可以利用数列的性质和一些数学推导。
设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，数列的和为Sn。
首先，我们可以通过数列的性质得到：Sn = (a + an) × n / 2将an替换为a + (n-1)d得到：Sn = (a + (a + (n-1)d)) × n / 2化简后得：Sn = (2a + (n-1)d) × n / 2进一步化简可得：Sn = (2a + (n-1)d) × (n/2)Sn = (2a × n + (n-1)d × n) / 2Sn = (2an + dn^2 - dn) / 2Sn = an + dn^2/2 - dn/2注意到等差数列的首项为a，最后一项为an，将其替换进去得：Sn = a + (n-1)d + dn^2/2 - dn/2Sn = a + dn(n-1)/2这就是等差数列求和的公式。
等差数列与等比数列的性质与求和
等差数列与等比数列的性质与求和等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的性质以及它们求和的方法。
一、等差数列的性质与求和等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质如下：1. 任意项与对应项之差相等。
等差数列的每一项与其前一项之差都相等，即an - an-1 = d。
2. 等差数列的前n项和为n倍首项与公差之和的一半。
等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
二、等比数列的性质与求和等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比，n 表示项数。
等比数列的性质如下：1. 任意项与对应项之比相等。
等比数列的每一项与其前一项的比都相等，即an / an-1 = r。
2. 等比数列的前n项和为首项与公比的n次幂减一的商与公比减一的商。
等比数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
等差数列的应用包括：1. 数学中常见的算术运算中，如加减、乘除等。
2. 财务、经济学中的计算和推导。
3. 物理学中时间、距离等方面的推导。
等比数列的应用包括：1. 数学中常见的指数运算，如乘方、开方等。
2. 经济学、金融学中的计算和推导。
3. 生物学、物理学中比例关系的研究。
等差数列的求和公式与性质
等差数列的求和公式与性质等差数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
等差数列的求和公式是一种重要的工具，用于求解等差数列的各项和。
本文将介绍等差数列的求和公式及其性质，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差是指数列中相邻两项的差值。
一般来说，等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
根据等差数列的定义，我们可以总结出等差数列的性质：1. 每一项与它的前一项之差都等于公差d。
2. 每一项与它的后一项之差也等于公差d。
3. 第n项与第m项之差等于(m-n)d。
这些性质对于理解等差数列的求和公式有很大的帮助，下面将进一步介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是一种通过已知数列的首项、末项和项数来求解数列和的公式。
下面将介绍两种求和公式：算术平均数法和通项公式法。
1. 算术平均数法算术平均数法是一种通过求出数列的项数及其平均值来计算数列和的方法。
假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的平均值为：平均值 = (a1 + an) / 2根据等差数列的性质，我们知道每一项与平均值的差值等于公差d。
所以，数列的和可以通过平均值乘以项数来求解：数列和 = 平均值 ×项数 = (a1 + an) / 2 × n2. 通项公式法通过等差数列的通项公式也可以求解数列的和。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们知道第n项与第一项之间有(n-1)个公差d。
假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和可以分解为n个等差数列的和：数列和 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)通过将每一项与首项的差值相加，得到数列和的通项公式：数列和 = n / 2 * (a1 + an)三、等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在实际问题中有许多应用，下面将介绍两个常见的应用。
等差数列的基本性质与求和公式
等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。
学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。
该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。
等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。
2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。
3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。
二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。
等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。
以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。
这两个部分的和恰好等于整个数列的和。
3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。
4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。
四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。
1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。
首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。
代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。
等差数列及其性质
等差数列及其性质等差数列是数学中常见的一种数列，它是指从第二项起，每一项与前一项的差值都相等的数列。
在本文中，我们将探讨等差数列的定义、公式以及一些重要的性质。
一、等差数列的定义和求和公式等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，......，其中a为首项，d为公差。
根据这个定义，我们可以推导出等差数列的求和公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)二、等差数列的性质1. 公差性质：等差数列的每一项与它的前一项之差都相等，这个差值称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an为第n项的值。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an，可以通过通项公式计算得到。
4. 等差中项：等差数列中两个相邻项的中间项称为等差中项，其值可以通过前一项和后一项之和再除以2来计算。
5. 等差数列的求和：等差数列的求和公式可以用来计算数列中前n 项的和。
这个公式是数列求和的一种常用方法。
6. 等差数列的性质：等差数列的每一项都可以通过前一项和公差来计算，这个性质使得等差数列在数学和应用领域中具有广泛的应用。
三、等差数列的应用举例等差数列在数学和应用领域中有许多重要的应用。
下面我们举几个具体的例子来说明。
1. 成绩排名：某班级的数学成绩按照等差数列排名，第一名是90分，公差是2分，求第n名的成绩。
2. 人口增长：某城市每年的人口增长率按照等差数列递减，首年的增长率为4%，公差是0.5%，求第n年的增长率。
3. 购物优惠：某商场连续n天推出满减优惠，第一天满100元减20元，公差是5元，求第n天的满减金额。
四、结论等差数列是一种常见的数列，其性质包括公差性质、通项公式、求和公式等。
等差数列的应用广泛，可以用于成绩排名、人口增长、购物优惠等方面。
等差数列的通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1. 等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2) 等差数列的判定方法：(1)定义法：对于数列a n，若a n1 a n d (常数)，则数列a n是等差数列。
(2)等差中项：对于数列a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列a n是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为a n a1 (n 1)d。
说明：该公式整理后是关于n的一次函数。
通项公式的变形：a n = a m+ (n- d, m n€ N.2. 等差数列性质a + b2.1等差中项：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=-^厂.2.2已知｛a n｝为等差数列，d为公差，S为该数列的前n项和.(1) 有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+ a n= a2 + a n-1 = a3+ a n-2=・・・=a k + a n-k+1(2) 等差数列｛a n｝中，当m+ n= p+ q 时，a m+ a n= a p+ a q( m n, p, q€ N*).特别地，若m+ n=2p,贝U 2a p= a m+ a n(m n, p€ N*).(3) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k, a k+m, a k+ 2m,…仍是等差数列，公差为mc(k, m€ N*).(4) 若数列｛a n｝, ｛b n｝是公差分别为d1, d2的等差数列，则数列｛pa n｝, ｛a n+ p｝, ｛pa n + qb n｝都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为pd1, d1, pd1+ qd2.2.3等差数列的单调性当d>0时，数列｛a n｝为递增数列；当d<0时，数列｛a n｝为递减数列；当d = 0时，数列｛a n｝为常数列.3. 等差数列求和(倒序相加法)等差数列的前n项和：① S n n(a1 an)②S n na1 垃9d2 2说明：对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
等差数列求和公式是什么_有哪些性质
等差数列求和公式是什么_有哪些性质等差数列的性质1、公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。
2、公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。
3、若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。
4、对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n-m)dm、n∈N+)，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。
5、一般地，当m+n=p+qm，n，p，q∈N+)时，am+an=ap+aq。
6、公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)。
7、在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项。
8、当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数。
等差数列的相关知识点1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数;sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
高考数学必背公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ … +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+ …n3=n2(n+1)2/41__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c__h 斜棱柱侧面积 S=c__h正棱锥侧面积S=1/2c__h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi__r2圆柱侧面积S=c__h=2pi__h 圆锥侧面积 S=1/2__c__l=pi__r__l弧长公式l=a__r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2__l__r 锥体体积公式V=1/3__S__H 圆锥体体积公式 V=1/3__pi__r2h斜棱柱体积V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式V=s__h 圆柱体 V=pi__r2h高中文科数学必背公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上 k∈Z)高三数学如何复习高三数学最为关键的是式子变形和解题思维，这需要从题目所给的题设和问题去寻求答案，而不是一拿到题就马上联想到哪个知识点或者做过类似得题。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题，它有一个简洁的求和公式可以帮助我们高效地解决这个问题。
本文将详细介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
一、等差数列定义及性质等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+nd，...其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 通项公式：第n项an = a + (n-1)d；2. 前n项和Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列求和公式的推导过程为了推导等差数列的求和公式，我们先来考虑一个等差数列的和S1和S2的关系。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：S1 = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)，(1)S2 = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a。
(2)将式子(2)的每一项与式子(1)的对应项相加，可得：S1 + S2 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
(3)上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：S1 + S2 = n * (2a + (n-1)d)。
(4)由等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，可以将式子(4)进一步化简为：S1 + S2 = n * (a + an)。
(5)另一方面，根据等差数列前n项和的定义，可以得到：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d。
将式子(1)乘以2，再与式子(1)相加，可以得到：2S1 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
上式中一共有n项，每一项的和都是2a + (n-1)d，因此：2S1 = n * (2a + (n-1)d)。
等差数列与等差数列求和公式
等差数列与等差数列求和公式数学是一门重要的学科，也是许多中学生头疼的学科之一。
其中，等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
在本文中，我将向大家介绍等差数列的概念、性质以及等差数列求和公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之差都相等的数列。
比如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列的概念很简单，但是它却有着一些重要的性质。
首先，等差数列的通项公式是一个重要的性质。
通项公式可以用来表示等差数列中的任意一项，它的一般形式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
通过通项公式，我们可以轻松地计算等差数列中的任意一项。
其次，等差数列的性质还包括首项、末项和项数之间的关系。
对于一个等差数列来说，首项a1、末项an和项数n之间的关系可以表示为an=a1+(n-1)d。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中的末项。
最后，等差数列的性质还包括前n项和的计算公式。
等差数列的前n项和可以用公式Sn=n/2(a1+an)来表示，其中Sn表示前n项和。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而更好地理解和掌握等差数列的性质。
二、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们解决许多实际问题，比如计算连续数的和、计算等差数列中某个区间的和等等。
下面，我将通过一些具体的例子来说明等差数列求和公式的应用。
例1：求等差数列1，3，5，7，9的前4项和。
解：根据等差数列求和公式Sn=n/2(a1+an)，我们可以得到Sn=4/2(1+9)=20。
所以，等差数列1，3，5，7，9的前4项和为20。
例2：某连续数列的首项为3，公差为5，末项为103，求该数列的项数和前n项和。
解：根据等差数列的性质，我们可以得到an=a1+(n-1)d，代入已知条件，得到103=3+(n-1)5，解方程得到n=21。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
或
3
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
-360
604.5
-38 14.5
-10 32
0.7
26
例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支 铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最 上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
没有 常数项 的“ 二次函数 （ 注意 a 还可以是 0） ”
例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，
求证：{an}是等差数列.
三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
a1
5
100
d
10
n
10
an
95
2
sn
500
-2
2
50
15
2550
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
可求出
另外一个
简言之————“知三求一”
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1
●
●
P39例4
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
1
2
3
4
●
a101=154
d= -1, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
等差数列的性质 例2. 在等差数列 a n 中， d 为公差，若 m , n, p, q N 且 m n p q 求证： a m a n a p a q 证明： 设首项为 a 1 ，则
a m a n a 1 ( m 1) d a 1 ( n 1) d 2 a1 ( m n 2 )d a p a q a 1 ( p 1) d a 1 ( q 1) d
3 11 2
1 13 2
即：a2 a4
a1 a5 2a3
a3 a5 a2 a6 a1 a7 2a4
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
解 :设 这 三 个 数 为 a d ,a,a d .
a d a a d 12 设数技巧 a d a a d 4 8 已知三个数成等差 数列，且和已知时常 a 4 a 4 利用对称性设三数为： 或 a-d , a , a+d d 2 d 2 四个数怎么设？
思考题：如何求下列和？
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=
5050 ；
②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=
③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=
n2 ；
n(n+1) .
二、学习新课
n(a1 a n )
2 ㈠等差数列前n 项和Sn = =an2+bn
=
na1
n( n 1) 2
等差数列的性质
如果a,A,b成等差数列,那么A 叫a与b的等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的 末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项. 如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
3 1 5 2 37
5 37 2
7 59 2
5
1 9 2
2
7
59 2
知识回顾
AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起， 每一项与 定义 — 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . . . 等差数列
公差 — d =an+1-an 通项 — a =a +(n-1)d n 1 几何意义 — 等差数列各项对应的
点都在同一条直线上. 【说明】 ①数列{ an }为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
d
.
a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的
②公差是 唯一 的，是一个常数。
复习巩固 ：
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………；
√ √
×
× √
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40 提示： d=5, 300< an=78+5n <500 44
n=45，46，…，84
2 n 84 5
2 5
练习 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. 分析： 用{an}题中的等差数列，由已知条件，有 解法一:
二、填空题：
-4 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是 AA AAAAAAA a (2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A n = -4n-1
(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n = 10 【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等差数列的性质 例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等 差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？
项数（上） 1
a1=33 ，a12=110 ，n=12
又a12=a1+(12—1)d
因此，
2
3
1 4 5 6 7 8 9 11 即 110＝33＋11d 0
12
110 1
所以 33 数列的项 d=7
1 9 8 7 6 5 4 3 2 项数（下） 12 11 0 a2=33+7=40 a3=40+47 …………a11=96+7=103
m n pq
2 a1 ( p q 2 )d
am an a p aq
等差数列的性质 P398，10 1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c 【说明】 2 an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 =a3+ an-2 =…
61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.