等差数列的性质及求和

没有 常数项 的“ 二次函数 （ 注意 a 还可以是 0） ”
例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，
求证：{an}是等差数列.
三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
a1
5
100
d
10
n
10
an
95
2
sn
500
-2
2
50
15
2550
②公差是 唯一 的，是一个常数。
复习巩固 ：
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………；
√ √
×
× √
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
a101=154
d= -1, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
等差数列的性质 例2. 在等差数列 a n 中， d 为公差，若 m , n, p, q N 且 m n p q 求证： a m a n a p a q 证明： 设首项为 a 1 ，则
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a m a n a 1 ( m 1) d a 1 ( n 1) d 2 a1 ( m n 2 )d a p a q a 1 ( p 1) d a 1 ( q 1) d
d
.
a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2 (3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， a4= 17 a4= 11 a7= 11
或
3
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
a7= 17
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
m n pq
2 a1 ( p q 2 )d
am an a p aq
等差数列的性质 P398，10 1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c 【说明】 2 an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 =a3+ an-2 =…
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只 要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了 解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2) an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q] =pn+q-(pn-p+q) =p 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p 在通项公式中令n=1，得a1=p+q, 所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
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●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等差数列的性质 例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等 差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？
二、填空题：
-4 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是 AA AAAAAAA a (2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A n = -4n-1
(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n = 10 【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，

3 11 2

1 13 2
即：a2 a4
a1 a5 2a3
a3 a5 a2 a6 a1 a7 2a4
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
解 :设 这 三 个 数 为 a d ,a,a d .
a d a a d 12 设数技巧 a d a a d 4 8 已知三个数成等差 数列，且和已知时常 a 4 a 4 利用对称性设三数为： 或 a-d , a , a+d d 2 d 2 四个数怎么设？
思考题：如何求下列和？
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=
5050 ；
②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=
③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=
n2 ；
n(n+1) .
二、学习新课
n(a1 a n )
2 ㈠等差数列前n 项和Sn = =an2+bn
=
na1
n( n 1) 2
-360
604.5
-38 14.5
-10 32
0.7
26
例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支 铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最 上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40 提示： d=5, 300< an=78+5n <500 44
n=45，46，…，84
2 n 84 5
2 5
练习 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. 分析： 用{an}题中的等差数列，由已知条件，有 解法一:
知识回顾
AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起， 每一项与 定义 — 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . . . 等差数列
公差 — d =an+1-an 通项 — a =a +(n-1)d n 1 几何意义 — 等差数列各项对应的
点都在同一条直线上. 【说明】 ①数列{ an }为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
等差数列的性质
如果a,A,b成等差数列,那么A 叫a与b的等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的 末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项. 如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
3 1 5 2 37
5 37 2
7 59 2
5

1 9 2
2
7
59 2
项数（上） 1
a1=33 ，a12=110 ，n=12
又a12=a1+(12—1)d
因此，
2
3
1 4 5 6 7 8 9 11 即 110＝33＋11d 0
12
110 1
所以 33 数列的项 d=7
1 9 8 7 6 5 4 3 2 项数（下） 12 11 0 a2=33+7=40 a3=40+47 …………a11=96+7=103
可求出
另外一个
简言之————“知三求一”
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1
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P39例4
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
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1
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
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1
2
3
4
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61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、
等差数列的性质 1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c 【说明】 2 an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 =a3+ an-2 =…