大学物理学第五版马文蔚高等教育出版社静电场3

r
r
r
dl F


ab
q0 q1 1 1 q0 q2 1 1 ( ) ( ) +…… 与路径无关 40 r1a r1b 40 r2 a r2b

a
0
1
2
n

L
二．静电场的环路定理
有势场 ra a ——静电场的环流等于 0。 静电场是保守力场。 • q 保守力做功与其相应 三．电势能 物理含义 b q0在场中任一点a的 rb Wab q0 E d l = (EpbEpa) =EpaEpb (5-24)势能增量间的关系? a 电势能Epa 在量值上 b 带电体分布在有 电势能也具有相对性；与势能零点选择有关。 = 把 q0从a点移到 限区域，通常取 Epb =0远处(E =0处)电 取b点电势能为0 无限远处为势能 p 0势能点 b 零点E p =0 Epa =Wab q0 E d l (5-25) 场力所做的功Aa a 选零点的原则： 使问题简化！ + q0 ++ + + 注意： 电势能是一个相互作用系统 + + + + a + ++ + 共有的 ——相互作用能。
例1．点电荷q1, q2, q3, q4均为 4.0109C，放置在一正方形的四 个角顶上，各角顶与正方形中心O的距离均为 r =5.0cm 。 (1) 计算O点的电势； q q2 9C从无穷远移到O点， 1 (2) 将试探电荷q0=1.010 r r 电场力做功多少？ r O r (3) 电势能的改变为多少？是增加还是减少？ q q 解：(1) 方法一：按电势定义 VO
5-7 电势V (电位)
Epa =Aa0

0点
a
q0 E d l

q0
Epa
V的物理意义：场中某点的V在数值上等于把单位正电荷从该点经 任意路径移到电势为0处，电场力所做的功。 或： 单位正电荷在该处具有的电势能。 V 的单位：伏特(V) 说明： V 为标量。 a) 选参考 b) 与q0无关；由场源和场点决定。 零点的 c) V 也具有相对性。 相对不同的参考零点有不同的值。 一般 取无限远处 V=0；有时接地(取地电势)为零。 原则： d) 根据电势定义知：Vp 和Ep具有相同的参考零点。简便、有 意义。 Ep=q0 Vp
L
L
W q0 E d l 0 (5-21)
E dl 0
场强的环流 (5-23)


一.电势： F q 用其比值定义 E F 回顾场强： E 0 0势能点 pa E d l (5-26) q0 Va a 而今： Epa qq0 0 —— E 与 V 的积分关系
(0 r R ) rR
r (1) V=0
VR
R
沿何向?
Q Q dr E dl 2 R 4 r 40 R 0 R E dl

(2) VR=0
积分至 V=0处！
V
R
Q 40 r 2
cos (dr )

b
a
b qE d l q a E d l =q(Va Vb)
例．一半径为 R 的均匀带电球面，带电Q。 (1) 规定无限远处电势为 0，求球面的电势； (2) 规定球面上电势为0，求无限远处的电势。 + + + R + +
+
+ +
0 解： E Q 40 r 2
r0 r0 V E dl
q cos 0 d r r 4 r 2 r 0 q 1 1 ( ) (5-29) 40 r r0 q V 40 r
(5-30)
dl
q
+
r
P V
E
取无穷远 处 为电势零点？ 当V= 0
q>0 V=0 q<0 r
q>0, V >0,
r R
o
•
r pr 1
• p2
r
q q dr R 4 r 2 40 R 0
r
V
q q dr 2 40 r 40 r
简便！
求电势方法小结
1．当电荷分布对称性不高时，用电势叠加原理简便！
2．当电荷分布对称性较高(或E已知)时，用电势定义简便！
Va
0点
a
电势差V ：
(电压)
0点 a
V =Uab = VaVb

b a
b U ab E d l ( E cos d l )
a
0点 b 0点 E d l E d l E d l E d l E d l


R R 2 rr 2 2 Rr ( cos ) V dV R 0 0V o 2 0 r 0 dV 2 r [( R r ) (r R)] R R 0 2 [( R r ) ( R r )] q R 2 0 r 0 r 40 r R q 均匀带电球面 在球外：好象q全部集中 内为等势区 0 40 R

r
2
dV
2 0 R 2 r 2 2 Rr ( cos )
在球心产生的V 似的！
解二：按电势定义 已知： r<R , E=0 ； r>R , E q 40 r 2 (1) r<R
V
(2) r>R

r

R E dl 0 dl E dl
P P P
取 V=0
q1
q2 q3
qn
•P
V =V1+ V2+Vn Vi
i 1
n
(5-31)
电势叠加原理 ： 点电荷系的场中,某一点的电势等于各点电荷 单独存在时在该点产生的电势的代数和。 dV (3) 连续分布电荷电场中的电势 P dq r dq 元电势 + dV ++ 40 r + ++ + 总电势 V dV dq (5-32) + + 40r 积分区间： 带电体所占空间。


解二：按电势叠加原理计算。 dq = dl =q/2R dl 元电势 dV 40 x 2 R 2 2R q V dV 0 40 x 2 R 2
V
2 R 2
E
0
x
2 R 2
x
0

E 最大处，V 不一定最大； V 最大处，E 不一定最大。
例3．均匀带电球面(R)电场中的 U分布。 解一：用叠加原理 (1)球内任一点P1 ( r<R) V 元电荷 dq= dS = 2Rsin Rd 元电势
E d l 选取合适的积分路径（电场线），积至电势为0处！
注意：无限大带电板、无限长带电线等不能以无穷远为零点！
5-8 电场强度 E 与电势梯度的关系
一．等势面 ——电势分布的形象化 场中 V 相等的点构成的曲面。 等势面的性质： 1．电荷沿等势面移动时，电场力做功为0； 2．电场线与等势面正交。 证明：1． q 在等势面上移动 ab， 设 做功 W=q(Va Vb)=0 a 等势面 q
dV
1 r
d
V
q 40 x 2 R 2
o

• p1 r
r
p2
r
2R sin R d 2R sin R d o 4 (r R cos ) 2 r( R sin ) 2 4 R 2 r 2 2 Rr cos 0 R 0 R 2 d( cos ) (2) 球外任一点P2 (r>R) E 2 R 2 d( cos ) 1 r 2 2 Rr ( cos ) 2 0 R
3 q 9 5.35 10 V 9 10 7.5 106V 40 R 6.4 106
二.电势的计算 方法一：按定义计算
d l 与 E 同向或反向 0点 Va E d l
a
选择适当 积分路径，积到V =0处。
Байду номын сангаас
即： =0或
方法二： 借助点电荷 的电势公式和电势叠加原理 进行计算。 r0 (1) 点电荷电场中的电势 (取 r= r0 处为电势零点)
9V 10V
8V
•
3.等势面的疏密程度 可以反映场的强弱。
二．电场强度与电势梯度矢量
Va Vb V (V dV ) dV E dl (5-32) E cos dl 令： El E cos E在dl 方向的投影

b
dl
E
另外画等势面有一附加规定： 场中任意相邻两等势面间的电势差相等。
2．反证法：设 E 与等势面上一线元 d l 成一 角 将q在等势面上沿 d l 移动 d W qE d l = qE cos dl 0 与性质1矛盾！ 所以， = 90 E d l 证毕！
Vmin=V=0
q<0, V<0,
Vmax=V=0
沿电场线方向，电势逐渐降低。
(2) 电势叠加原理 设一点电荷系

VP E d l ( E1 E2 En ) d l P P E1 d l E2 d l En d l
b a b b
a
b 0点
(5-27)
场中任意两点a、b间的 Uab在量值上等于把单位正电荷从a点 与电势零点的选择无关。 经任意路径到达b点时，电场力所做的功。 静电场力做功的表式 单位正电荷， 功 q Uab
q ab
功
qUab
(5-28)
Wab =q(Va Vb)
(简便!注意下标顺序) 推导： ab W
大 学 物 理
静电场
（第三讲）
作业：P193 5-22 5-23 5-26 5-29
在静电场中，电场力移动电荷所做的功与路径无关， b 5-6 静电场的环路定理 电势能 q0 只与路径的起点和终点位置及被移动的电荷量有关。 r dr 一．静电场力所做的功 思路: b 静电场力是保守力! q 例：q0在 q 的电场中移动。 + 元功 d W q0 E d l = q0Ecos dl q0 q0 q a = q0E dr dr 2 40 r b b a q0 =0 总功 Wab d W q0 E d l a a q0 若使 q0从 a rb q q q0 q 1 1 0 dr ( ) (5-20) 经一闭合路 ra 4 r 2 40 ra rb 0 径回到 a ？点电荷系 q1, q2, q3,…, qn E E1 E2 En r a = rb b q0 E d l 0 W q (E d l E d l E d l ) = 0
Q 40 R
U R
Q 保持不变。 40 R
任意两点的电势差与参考零点的选择无关！
帕塞尔教授在《电磁学》中写道：如果从地球上移去一滴水中 的所有电子，则地球的电势将会升高几百万伏。 设一滴水体积为1cm3，则其质量为1g。 由于水的摩尔质量为18g。 这样，一滴水中的电荷量为：
1 3 q 6.02 1023 1.6 1019 5.35 10 C 18


O
E dl
4
3
方法二：按电势叠加原理 qi VO = 4Vi 4 ==2.88103V
40 ri
电荷离散分布，用电势叠加原理求解比较方便。 (2) WO= q0 (VVO)= q0VO 电场力做负功 电势能增加！ (3) Ep= WO = q0VO
例2．计算真空中均匀带电(q)圆环轴线上任一点的电势。 dl 2 2 解一： 按定义 r R x + + + VP E d l E cos 0 d x R x x + + x q x V + O+ qx 40 x 2 R 2 E + + ——— 40 ( x 2 R 2 )3 2 + 好象点电荷q在 x2+R2 处产生的V。