第八章 欧氏空间和酉空间
酉空间的性质及其应用
1. 酉空间定义及性质∙ 欧氏空间是定义了内积的实线性空间, 酉空间实际上就是复数域上的欧氏空间. 其定义如下:设V 是复数域上的线性空间, 在V 上定义了一个二元复函数, 称为内积, 记作(α, β), 它具有以下性质: (1) , 这是表示的共轭复数.(2) (),k αβ=k (),αβ(3) (),αβγ+= (),αβ+(),βγ(4) (),αα是非负实数, 且(),αα=0当且仅当α=0其中α, β,γ是V 中任意的向量, k 为任意复数. 这样的线性空间称为酉空间.∙ 例. 复数域上的n 维行向量空间C n 中, 对向量α=(a 1, a 2,…, a n ), β=(b 1,b 2, …,b n )定义内积则C n 就成为一个酉空间.∙酉空间的结构和性质的讨论与欧氏空间雷同, 先将酉空间的主要性质列于下面, 但要注意与欧氏空间之间的异同之处. (1) 内积对于第二个变量是半线性的, 即(2) 定义向量α的长度为 . 于是 |α|=0 当且仅当α=0(3) 柯西─施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式成立, 即|(α,β)|≤|α| |β|而且, 当且仅当α, β线性相关时等号成立.(4)两个非零向量α, β的夹角为(5)若(α,β)=0,则称α与β正交. 若非零向量组a1, a2,…, a s中向量两两正交,即当i≠j时有(αi,αj)=0, 则称为正交向量组, 它们是线性无关的向量组.(6)酉空间的基ε1, ε2,…, εn若满足(εi, εj)=δij , 1≤i,j≤n则称为标准正交基.在标准正交基下, 向量的坐标有如下形式: 设向量α在标准正交基下的坐标为X=(x1,x2,…,x n)´, 则在标准正交基下, 向量的内积有如下形式: 设向量α和β在标准正交基下的坐标分别为X=(x1,x2,…,x n)´, Y=(y1,y2,…,y n)´, 则(7)设A是n×n复矩阵, 且满足, 则称A为酉矩阵.若A, B都是酉矩阵, 则A-1,AB也是酉矩阵; 又|A|=1.从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为酉矩阵.(8)对n维酉空间的任一组基a1, a2,…, a n,用施密特正交化方法,可找到标准正交基ε1, ε2,…, εn, 使得L(ε1, ε2,…, εk)=L(a1, a2,…, a k), 1≤k≤n .(9)设W是酉空间V的子空间,则定义W的正交补为W⊥={a∈V |a⊥W}如果V是有限维酉空间, 则。
欧氏空间
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
欧氏空间与酉空间
6：（正交化方法，定理 8.2.4）设 V 是一个欧氏空间,{α1,α2 , ^,αn} 是 V 的一个线性无关的 向量组,那么可以求出 V 的一个正交组 {β1, β2 , ^, βn} ,使得 βk 是 α1,α2 , ^,αn 的线性组
3
(1) (ξ ,η ) = (η,ξ );(2) (ξ + ζ ,η ) = (ξ ,η ) + (ζ ,η )（; 3）(aξ ,η ) = a (ξ ,η（) 4）当ξ ≠ 0时(ξ ,ξ ) f 0
对比：（酉空间的定义 8.6）设V 是复数域 C 上一个向量空间，在V 上定义了一个二元复函
数， (,) :V ×V → C ，对于 ∀α , β ,γ ∈V ，满足下列条件：
⇔
(ε i
,ε
j
)
=
⎧0, 当i ⎩⎨1,当i
≠ =
j j
⇔ 基ε1,ε 2 ,Lε n 的度量矩阵为单位矩阵。
⇔ 存 在 规 范 正 交 基 e1,e2,L, en 及 正 交 矩 阵 Q ， 使 (ε1,ε 2 ,L,ε n ) = (e1, e2 ,L, en )Q
8.3 正交矩阵与酉矩阵
1：（正交矩阵的定义 8.3.1）一个 n 阶实矩阵 U 叫做正交矩阵.
1
长度为 1 的向量叫做单位向量.任意一个非零向量ξ 的一个单位向量表示为 ξ ξ
3：重要不等式。（定理 8.1.3） 在一个欧氏空间中。对于任意的向量 ξ ,η ,有不等式
(ξ ,η )2 ≤ (ξ，ξ )(η，η ) 当且仅当ξ ,η 线性相关时等号成立
（对比）：在一个酉空间中。对于任意的向量 ξ ,η ,有不等式 (ξ ,η )(ξ ,η ) ≤ (η,η )(ξ ,ξ ) 当
高等代数教案第 章欧氏空间
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
第8章.欧几里得空间doc
第八章 欧氏空间（讲授7学时）一、教学目标：1、深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系与区别。
2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。
5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵，并掌握求正交矩阵的方法。
能用正交变换化实二次型为标准形。
二、教学内容：欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。
三、教学重点：标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。
四、教学难点：标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。
五、教学方法：讲授法六、教学过程(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基1、内积：设V 是实数域R 上的线性空间，映射:f V V R ⨯→满足○1对称性：,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○2线性性：,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○3非负性：,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。
2、欧式空间：定义了内积的线性空间V 称为欧式空间，不同的内积就是不同的欧氏空间。
3、长度与夹角：设V 是欧式空间○1称为α的长度，记作：α，显然00.= ○2夹角：非零向量αβ,，称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角，记作：,αβ<>.4、标准正交基：○1设V 是欧式空间，若(,)0αβ=，称α与β，记作：αβ⊥。
○2正交向量组：设V 是欧式空间，非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=， (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。
第八章欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
8.1 向量的内积
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (x), g(x) C[a,b]
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
b2
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0;
i (0,,0, 1,0,,0), i =1,2,…,n,
是 Rn 的一个标准正交基. 如果
{1, 2 ,, n} 是n 维欧氏空间V的一个标准
正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可
以唯一写成 x11 x22 xnn.
x1, x2 ,, xn 是ξ关于 {1, 2 ,, n} 的坐标。
求 A 的行列式 | A | 的值.
8.2 正交基
欧氏空间和酉空间
第八章 欧氏空间和酉空间§8.1向量的内积1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量)0,,0,1,0,,0()( i i =ε,n i ,,2,1 =的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明,如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β.7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量.行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要n ααα,,,21 线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明:βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,23322211(||nni ia a a a n a++++≤∑= ). §8.2 正交基1．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．2．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．3．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 4．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i =≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?5．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.6．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W7．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++．8．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0的解空间正交.9．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ．αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.]10．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根;)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.11.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I12.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 000000333223221131211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1. §8.3正交变换1．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.3．设V 是一个欧氏空间,αV ∈是一个非零向量.对于V ∈ξ,规定ααααξξξτ><><-=,,2)(.证明,τ是V 的一个正交变换,且ιτ=2,ι是单位变换.线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射.当V 是一个n 维欧氏空间时,证明,存在V 的一个标准正交基,使得τ关于这个基的矩阵有形状:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010000100001 在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义.4．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换.5．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .6．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.7．令V 是一个n 维欧氏空间.证明:)(i 对V 中任意两不同单位向量βα,,存在一个镜面反射τ,使得βατ=)(. )(ii V 中每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积.[提示:为了证明)(ii ,利用)(i 和习题6.]8．证明:每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一地表示成UT A =的形式,这里U 是一个正交矩阵,T 是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数.[提示:非奇异矩阵A 的列向量n ααα,,,21 作成n 维列空间n R 的一个基.对这个基施行正交化,得出n R 的一个规范正交基},,,{21n γγγ ,以这个规范正交基为列的矩阵U 是一个正交矩阵,写出},,,{21n γγγ 由},,,{21n ααα 的表示式,就可以得出矩阵T.证明唯一性时,注意8.2习题12.] §8.4 对称变换和对称矩阵1．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001013．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.4．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,)(,),(βσβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.5．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.6．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=114441784817A。
第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc
第八章欧氏空间计划课时：22学时 (P335—360)§8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时）教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。
通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。
教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一．内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1（内积及欧氏空间的定义P336）注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。
(2). 让学生体会公理化定义的特点。
(3). 内积的定义是本章的难点之一。
例1 （P336）例2 （P336）例3 （P336）例4 （P336）2. 向量的长度定义2（向量的长度P337）例5 （P336）例6 （P336）例7 （P336）长度的性质： | kα|＝|k||α|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。
例8 （P338）例9（P338）三. 两向量的夹角、正交、距离定义3（P338-339）定义4 （P339）作业： P356-P357习题八 1（1），2，3，4，5.§8.2 度量矩阵与正交基（4学时）教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵定理8.2.1 （P 309）例1 (P 341)二. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法—正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。
第8章 欧氏空间
例2 在欧氏空间 C[0, 2] 中, 函数组 1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx, … 构成 C[0, 2] 的一个正交组. 这是因为：
2 0
2
0
1dx = 2 , , m = n sin mx sin nxdx = 0, m n
2
<x, h>2 ≤ <x, x> <h, h>
当且仅当 x 与 h 线性相关时上式等号才成立.
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证明 1) 若x 与 h 线性相关,则或h = 0 或 h = ax , 都有
<x, h>2 = <x, x> <h, h>,
2) 若x 与 h 线性无关,则 t R, tx +h 0, 所以
2 n
x V, a R, 有
| ax |= < ax , ax > = a < x , x > =| a || x |
2
把长度为1的向量叫做单位向量. 所以向量 x 的 长度为: x／|x | .
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柯西施瓦兹不等式、向量的夹角
定理8.1.1 在欧氏空间里, 对任意向量x, h , 有
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例2 在Rn里对于任意两个向量 x = (x1, x2, ... , xn) , h = (y1, y2, ... , yn) , 规定 < x , h > = 1x1 y1 + 2x2 y2 + ... + nxn yn 容易验证 Rn 对此内积也构成一个欧氏空间.
内积可以构成不同的欧氏空间.
例1, 例2说明在同一向量空间中引入不同的
欧几里得空间与酉空间
施米特（Schmidt）正交化方法．
3 1,0,0 施行正交化方法，求出 R 3 的一个标准正交基． 解 取 1 = 1 1,1,1 ，由施米特正交化方法： 2 , 1 1 1 2 2 2 1 , , ， 1 , 1 3 3 3 3 , 1 3 , 2 1 1 1 2 = , ,0 ， 3 = 3 1 , 1 2 , 2 2 2 1 , 2 , 3 是 R 3 的一个正交基； 所以 1 1 1 1 再令 = ， 1 , , 1 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 = ， = 2 , , , ,0 3 2 6 6 3 2 6 2
f xg xdx ．
b a
设 V 是实数域 P 上的欧式空间， 对于任意的 , , V ，
a P ，不难导出如下性质．
（1） , , , ； （2） ( , a ) a( , ) ；
（3） ( ,0) (0, ) 0 ． 定义 在欧式空间 V 中， 非负实数
1 , 2 ,, n 是 V 的 一 个 标 准 正 交 基 ， 则 T (1 ),T ( 2 ),, T ( n ) 也是 V 的一个标准正交基；
（3）如果 （4） T 在 V 的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 证明 (1) (2) 在定义中取 即得． (2) (3) 取 i j (i, j 1,2,, n) ，则
i 0, i , j 0, i j; i, j 1,2,, k ， 则 1 , 2 ,, k 必线性无关．
第八章 欧氏空间和酉空间
教案节选（提纲）第八章 欧几里得空间和酉空间§8.1 内积与性质设V 是实数域R 上一个向量空间。
如果对于V 中任意一对向量,,ξη有一个确定的记作,ξη的实数与它们对应，叫做向量ξ与η的内积，并且下列条件被满足：1）,,;ηηξ=2）,,,;ηζξζηζ+=+3）,,;a aξηξη= 4）当0ξ≠时，,0;ξξ>这里,,ξηζ是V 的任意向量，a 是任意实数，那么V 叫做对这个内积来说的一个欧几里得（Euclid ）空间（简称欧氏空间）。
对任意,V ∈α定义),(||ααα=为向量α的长度或模.1||=α时,称α为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V 内任意两个向量βα,,有 |||||),(|βαβα⋅≤ 当且仅当,αβ线性相关时，等号成立。
证明 (α+t β,α+t β)≥0对任意t ∈R 成立,而(α+t β,α+t β)=(β,β)t 2+2t(βα,)+),(αα0),)(,(4),(42≤-=∆ββααβα,故|||||),(|βαβα⋅≤由命题1.1可定义二向量βα与的夹角<βα,><βα,>=||||),(arccos βαβα⋅如果(βα,)=0,则称βα与正交.设n 21εεε，，，⋯是n 维欧氏空间V 的一组基.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n G εεεεεεεεεεεεεεεεεε称G 为内积(βα,)在基n 21εεε，，，⋯下的度量矩阵.§8.2 正交基命题 设欧氏空间V 内s 个非零向量s 21,,,ααα 两两正交,则它们线性无关. 证明 假如0s 2211=+++αααs k k k两边用i α作内积,得0=i k ,(i=1,2,…,s).如果n 维欧氏空间V 内有n 个两两正交的单位向量n 21εεε，，，⋯,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V 的一组基,称为V 的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设n 21ηηη，，，⋯是V 的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G 正定,故存在实可逆阵T,使E GT T ='.现令(n 21εεε，，，⋯)=(n 21ηηη，，，⋯)T.易验证n 21εεε，，，⋯就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R 上n 阶方阵T 满足E T T =' 则称T 是正交矩阵.命题 n 21εεε，，，⋯是V 的一组标准正交基,令(n 21ηηη，，，⋯)=(n 21εεε，，，⋯)T 则n 21ηηη，，，⋯是一组标准正交基当且仅当T 是正交矩阵.证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 E ET T =' 即E T T =',T 是正交矩阵.充分性:T 是正交阵,故可逆.于是n 21ηηη，，，⋯也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则=G E ET T =',从而n 21ηηη，，，⋯是标准正交基. 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。
2-1.欧氏空间和酉空间
且若 f ( x ) ≠ 0, 故
从而 ( f , f ) > 0.
( f , f ) = 0 ⇔ f ( x ) = 0.
( 因此， 为内积， 为欧氏空间. 因此， f , g ) 为内积， C (a , b )为欧氏空间
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补充:复共轭转置矩阵 补充 复共轭转置矩阵 定义： 定义：设 A ∈ C ， 用 A 表示以 A 的元素的共 H T 轭复数为元素组成的矩阵， 轭复数为元素组成的矩阵，记 A = ( A)
i =1 i =1 t t t
(4) (α , ∑ ki βi ) = ∑ ki (α , βi )
i =1 i =1
t
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3Байду номын сангаас 定理 定理: 是实的或复的内积空间,设 ∈ 设V是实的或复的内积空间 设x, y∈V, c为常数 是实的或复的内积空间 为常数 (实数或复数 则 实数或复数), 实数或复数 (1).
(
当 n = 3 时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角 ） 坐标系下的表达式 . (α , β ) 即 α ⋅ β .
)
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例2． C (a , b )为闭区间 [a , b]上的所有实连续函数 ． 所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
二, 内积的简单性质 1. 欧氏空间的性质： 欧氏空间的性质：
(1) (α , k β ) = k (α , β ) (2) (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) (3) ( ∑ kiαi , β ) = ∑ ki (αi , β )
第八章欧氏空间
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交。
所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，
1, 2 ,, k 也满足定理的要求。
定理得证。
定理8.2.3 任意n（n > 0）维欧氏空间
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
8.1 向量的内积
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位
k1
由于假定了 i是1,2 ,,i 的线性组合， i = 1, 2, …, k -1，所以把这些线性组
合代入上式，得
k a11 a22 ak1k1 k . 所以 k 是 1,2,,k 的线性组合。 由 1,2,,k 线性无关，
得 k 0,
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (x), g(x) C[a,b]
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且 | || | 1,
证明: , 1.
思考题2：在欧氏空间 R n 中,设
i (ai1, ai2 ,, ain )(i 1,2,, n)
酉空间介绍
§8 酉空间介绍定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ是),(αβ的共轭复数;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数,且0),(=αα当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量,k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样n C 就成为一个酉空间.由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ),(),(βαβαk k =.2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3) ),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|||||,|βαβα≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.7）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121 则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f n i nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(. 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
第八章欧氏空间与酉空间
1, 2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1, 2,,r 的任意一个线性组合也正交.
证 令
a 是 1,2 ,
i 1 i i
r
,r 的一个线性组合，因为
,i 0, i 1,2, , r, 所以
, aii ai ,i 0
2
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 , . 有不等式
, 2 , ,
证
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
如果 与 线性相关，那么或者 0 ，或者
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.即 (6) , 2 , ,
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例2 在 R n 里,对于任意向量
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
规定 , x1 y1 2 x2 y2 ... nxn yn n 也作成一个欧氏空间. R 不难验证,
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, x n y n
n 1
给出，那么H是一个欧氏空间. 练习1 (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) 为向量空间 中任意两向量,证明: R 2 对
, ma1b1 na2 b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
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2
0
cos mx sin nxdx cos nxdx sin nxdx 0
0 0
2
2
所以 1,1 2 , cos nx, cos nx sin nx,sin nx , 1, cos nx 1,sin nx 0, cos mx, cos nx sin mx,sin nx
n 个向量 1, 2 ,, n 构成一个正交组，那么
由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基， 叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一 个规范的正交基。
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例2
欧氏空间 R n 的基是
(i )
i (0,,0, 1 ,0,,0), i
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事实上，我们有
2
0
1dx 2 ,
0
2
, 若m n, cos mx cos nxdx 0, 若m n,
, 若m n, sin mx sin nxdx 0, 若m n,
0
2
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定理8.2.1 设 {1 , 2 , , n } 是欧氏空间的 一个正交组，那么 1 , 2 ,, n 线性无关. 证： 设有 1 ,0 2 a,n a j j 0 a i , a , , i R 使得
a j i , j ai i , i j 因为当i≠j 时 1 i , j 0 ，所以
i (ai1 , ai 2 ,, ain )(i 1,2,, n)
| i | i, A (aij ) nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
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i
的长度
8.2 正交基
一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
, x x ... x
2 1 2 2 2 n
n
n
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有
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a a , a a , a
2
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积. 例 6 考虑例 1 的欧式空间
规定 , x1 y1 x2 y 2 ... xn y n R n 也作成一个欧氏空间. 不难验证,
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例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 所成的向量空间, f ( x), g ( x) C[a, b] b 我们规定 f , g a f ( x)g ( x)dx. 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
这里 , , 是V的任意向量，a是任意实数，那么 , 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于
这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
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例1 x2 y 2 ... xn y n
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
1 2 3 1,
1 , 2 2 , 3 3 ,1 0.
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例2 考虑定义在闭区间
[0,2 ] 上一切连续
函数所作成的欧氏空间 C[0,2 ]
（参看8.1例3），函数组 (1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 构成 C[0,2 ] 的一个正交组。
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与 η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 2 3．掌握 , , , 及其它不等式，并会用它来证明另 一些不等式
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例2 在 R n 里,对于任意向量
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
第八章
8.1 8.2
欧氏空间
向量的内积 正交基
8.3
8.4
正交变换
对称变换和对称矩阵
课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
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8.1 向量的内积
1, 2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1, 2,,r 的任意一个线性组合也正交.
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思考题1：设
,
是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且
证明:
| || | 1,
中,设
, 1.
R
n
思考题2：在欧氏空间 两两正交,且
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
, 2 , , 的灵活运用.
2.不等式
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8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 , 有一个确定的记作 , 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 1) , , 2) , , , 3) a , a , 4) 当 0 时, , 0
R 由不等式(6)推出,对于任意实数
n
a1 , a 2 , a n , b1 , b2 , , bn 有不等式
(a1b1 a n bn ) 2 (a1 a n ) 2 (b1 bn ) 2
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
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=1,2,…,n,
是 R n 的一个标准正交基. 如果
{1 , 2 , , n } 是n 维欧氏空间V的一个标准
正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可
x11 x2 2 xn n . 以唯一写成 x1 , x2 ,, xn 是ξ关于 {1 , 2 , , n } 的坐标。
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
( x1, x2 ,..., xn ),
x
n 1
2 n
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:
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设 ( x1, x2 ,...), ( y1, y2 ,), a R. 规定 ( x1 y1 , x2 y2 ,...); a (ax1 , ax2 ,...) 向量 ( x1, x2 ,...), ( y1, y2 ,) 的内积由公式
但 i , i 0，所以 ai
n
a11 a2 2 an n 0 n
j 1
1,2,, n, 即
1, 2 ,, n 线性无关.
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8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性
1．标准正交基的定义
设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有
, .
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
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定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： , cos 例5 令
R 是例1 中的欧氏空间.R 中向量 ( x1 , x2 ,..., xn ) 的长度是
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8.2.1正交组的定义、性质
1．正交组的定义 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 例1 向量 1 1 1 1 1 0,1,0, 2 ,0, , 3 ,0, 2 2 2 2 3 构成 R 一个标准正交组，因为