高一数学竞赛培训《解析几何部分》

高一上期数学竞赛培训资料（16）

——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题

一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤：

（1）建：建立直角坐标系；

（2）设：设立动点坐标P （x ，y ）；

（3）现：将动点的等量关系呈现出来；

（4）代：代入点的坐标；

（5）化：化简上述等式。

应注意：所求方程的完备性！

二、题型示例：

1、ABC ∆的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ∆重心的轨迹方程。

2、过原点作曲线2

1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的

P 的轨迹方程。

3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA

和QB 的交点M

4、已知ABC ∆的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ∆的外心M 的轨迹方程。

5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足

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PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。

6、ABC ∆中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。

7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。

8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。

9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ∆垂心的轨迹方程。

10、已知点P 是圆22

:4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。

（1）试求线段PQ 中点的轨迹方程；

（2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。

11、已知点A 是圆222:(0)O x y r r +=>任意一点，AB x ⊥轴于点B ，以A 为圆心，||AB 为半径的圆交已知圆O 于C 、D 两点，连结CD 交AB 于点M ，试求点M 的轨迹方程。

12、两直线分别绕点(,0)(,0)A a B a -、 (0)a >旋转，它们在y 轴上的截距b 、c 的乘积等于常数2

a ，试求两直线交点M 的轨迹方程。

13、已知1A 、2A 是一个圆的一条定直径的两个端点，12PP 是与直径12A A 垂直的弦，试求两直线11A P 、22A P 交点P 的轨迹方程。