列方程解应用题的常用方法

列方程解应用题常见分析法

什邡洛水中学王瑞益（618401）

代数方程应用题是初中代数中贯彻始终的一个重要内容，是培养学生思维能力、应用能力和实践能力的重要内容，是教学的重点，也是教学难点，在学期统考和毕业会考中是一项重要的考查内容。初中列方程解应用题的教学大致分为三个阶段，即代数第一册（上）第一章《代数初步知识》中的形成概念阶段；代数第一册（上）第四章《一元一次方程的应用》中形成方法阶段；代数第一册（下）到代数第三册是列方程解应用题方法的应用和提高阶段，并用以解决各类实际问题。其中方法形成阶段是关键，这里涉及的应用题类型多，应用范围宽，并且是解决日常生活中利息、利润和生产中增长率的计算等数学问题的重要方法。需然它没有统一的模式，方法也难于统一概括，但它有一定的规律可循，能形成技能技巧，从而掌握列方程解应用题这一重要的数学方法江泽民总书记说：“教育是培养创新精神和创新人才的摇篮”。由于代数应用题与实际生产、生活紧密联系，又强调题意和方法，所以学好列方程解应用题有利于培养学生的社会实践能力和分析问题解决问题的能力。列方程解应用题的分析的总体过程是：理解题意，找出相等关系，然后把相等关系转化为方程。显然关键是非要找出代表整个题意的相等关系，难点是涉及间接未知数时就竟应该选取那一个量为未知数，即如何选设间未知数。奥加涅相认为，培养学生的思维能力在于揭示数学过程，从心理学上讲抽象思维在方法上要发散得开，选取准方法后的逻辑思维要以定势思维为基础，通过直观的方法、分析的手段来寻找解题的途径。根据教材内容和列方程解应用题的数学实质，列方程解应用题可以概括为如下三个基本的方法：

一、相等关系展开分析法

例1：某车间生产一批零件，原计划10天完成，加工时采用了新方法，提前三天完成任务；又知道原计划每天生产零件个数比采用新的操作方法每天生

产零件个数的4

3

还少4个。求原计划每天生产零件个数比采用新的操作方法每

天生产零件个数多多少个？（一九九九年什邡市统考试题）

分析 相等关系 按计划加工完成工量=新法完成工量

数量转化 计划时间 × 原计划每天生产个数=新法时间 × 新法每天生产个数

即 10（新法每天生产个数×4

3—4）=（10 — 3）× 新法每天生

产个数

选设未知数 根据相等关系的要求：设新法每天生产个数为X 个 建立方程 10（4

3X — 4）=（10 —3）X

这种分析方法的特点是抓住了关键——相等关系，突破了难点——帮助确定未知数；分析过程连贯、完整，数量关系揭示具体，层次清晰，可操作性强，贴近学生的理解力。

二、列表分析法

例2：旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客，现知道日本游客有18人，法国游客有9人；成年男游客中，美国有5人，法国有3人；成年女游客中，法国有3人，日本有5人，美国有2人；女孩中美国有2人，法国有1人；还知道成年女游客比男游客少数民族人，而男孩和女孩一样多，则美国游客有多少人？（1998年上海初中数学竞赛试题）

分析 本题的特点是：数量多，数量的类别也多，故列表如下：

x 1＋x 2＋5＋3=18 x 1=6

x 4＋3＋3＋1=9

x 2=4

x 2＋2＋1=3＋2＋x 4

解得 x 3=4

所以美国游客为13人

x 1＋5＋3－2=5＋x 3＋3 x 4=2

可见列表分析法在应用题涉及的数量比较多，分类比较复杂时，就简明快捷，是一种特殊分析法。 三、示意图分析法

例3：从夏令营到学校，需先下坡，再走平路。一联络员骑自行车先以每小时12公里的速度下坡，再以每小时9公里的速度通过平路，回到学校，共用55分钟；当他返回夏令营时，又以每小时8公里的速度通过平路，再以每小时4公里的速度上坡，共用了1.5小时，问夏令营与学校相距多少公里？

分析 从夏令营到学校

从题目给定的相等关系，需要设坡路长为X 公里，平路长为Y 公里，根据示意图可得方程组：

60

55912=+y x x=3

2

1

194=+y x 解得 y=6 所以夏令营与学校相距9公里。

这种分析方法通过示意图直观形象地分析了数量关系，相等关系一目了然，抓住了问题的关键，从而使列出方程组变得容易掌握，使问题得到顺利解决。

在实际应用中，这三种方法可以进行不同的组合，解决不同类型的应用题。 例4：商店对某种商品作调节器价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少？（初中代数第一册（上）P 228例7）

分析：

商品利润率商品进价

商品利润

=

商品利润=商品售价—商品进价=商品原价×80%—商品进价

x×80%

1600 利润

x

这道题的分析过程既采用了“相等关系展开法”，又用了“列表分析法”和“示意图法”，调动了三种分析手段让学生理解题意，列出方程，从而掌握列方程解应用题的一般规律。