二次函数中的符号问题

课题：二次函数中的符号问题

【教学目标】

1.复习巩固二次函数的图象及其性质。

2.由a,b,c,∆的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,∆等式子的符号。

【教学重点】数形结合思想的熟练运用

【教学方法】启发引导、观察、探索

【学法引导】化归迁移举一反三

【教学过程】

一、知识链接温故而知新

自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题：

（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定

开口向上 a>0；开口向下 a<0

（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:

交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0

（3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异

对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0

（4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:

与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0；

（5）a+b+c的符号：

由x=1时抛物线上的点的位置确定

（6）a-b+c的符号：

由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问

题：

（1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置；

（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关a,b,c的代数式的符号；

二、（探究活动）典例学习温故而知新

【活动一】若二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴

的正半轴; 则点

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

b

c

a

P,在（）

.

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】

如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示）

【活动二】

已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测

1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0.

②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0.

其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

O

3．（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

四、 自悟自得 反思提升

通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、【当堂检测题】：

1. 若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过

象限．

2.（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A ．a ＜0

B.abc ＞0

C.c b a ++＞0

D.ac b 42-＞0

3.（2009年枣庄市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0

4.（2009年黄石市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①② B

D ．①②③④⑤

（第3题）

5．（2010年全国数学竞赛）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交与（–2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的负半轴的交点在（0，–2）的上方，下列结论：①4a －2b+c ＝0；②a ＞b ＞0；③2a ＋c ＜0；④2a －b ＜1；⑤2a －3c ＞0；其中，正确结论的个数是（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个

6.（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数

（） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

7.（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，

的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．