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浙教版数学八年级下5.3正方形练习题含答案

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5.3.1 正方形的判定 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

5.3.1 正方形的判定 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

第5章　特殊平行四边形5.3　正方形第1课时　正方形的判定基础过关全练知识点1　正方形的定义1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC,则下列条件中,能使四边形ABCD是正方形的是( )A.AC与BD互相平分B.AB∥CDC.AB=ADD.AB⊥BC第1题图第2题图2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,试补充一个条件: ,使四边形ABCD是正方形.知识点2　正方形的判定3.(2023浙江杭州上城东城实验中学期中)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形B.如果一个四边形的对角线互相垂直平分,那么它一定是菱形C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形D.四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形4.【一题多变·线段垂直且相等,证正方形】【十字架模型】已知:如图,在矩形ABCD 中,E、F分别是边CD、AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF.求证:矩形ABCD是正方形.[变式1·角平分线+垂直,证矩形内正方形]如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,与AD 相交于点E,EF⊥BC,垂足为F.求证:四边形ABFE是正方形.[变式2·角平分线+垂直,证矩形外正方形]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC 的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上.求证:四边形ADEF是正方形.5.【教材变式·P124例1】如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E 与A,D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.连结EF,若BE⊥EC,EF⊥BC,说明:四边形EGFH是正方形.6.如图,已知菱形ABCD,E、F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF=BE,连结CE、AE、AF、CF.求证:四边形AECF是正方形.能力提升全练7.(2022浙江绍兴中考,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.48.如图,AD是△ABC的中线,过点A、B分别作BC、AD的平行线,两平行线相交于点E.(1)求证:AE=CD.(2)当AB、AC满足什么条件时.①四边形AEBD是矩形?请说明理由.②四边形AEBD是菱形?请说明理由.③四边形AEBD是正方形?请说明理由.素养探究全练9.【推理能力】如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN 交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由.第5章　特殊平行四边形5.3　正方形第1课时　正方形的判定答案全解全析基础过关全练1.D　∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,在平行四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形.故选D.2.答案　AB∥CD(答案不唯一)解析　答案不唯一.补充条件为AB∥CD.∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90°,AB=BC,∴▱ABCD是正方形.3.C　对角线相等的菱形是正方形,所以A正确,不符合题意;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以B正确,不符合题意;一组对边平行,另一组对边相等的四边形,不能保证两组对边分别平行或两组对边分别相等,所以这个四边形不一定是平行四边形,所以C错误,符合题意;四条边相等的四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形,所以这个四边形是正方形,所以D正确,不符合题意.故选C.4.证明　∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°,∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE,在△ABF和△DAE中,∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°, BF=AE,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.[变式1]证明　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥AD,∴∠AEF=∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形,∵AE∥BF,∴∠AEB=∠EBF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴四边形ABFE是正方形.[变式2]证明　∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°,∵AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°,∵EF⊥AB,∴∠D=∠DAF=∠F=90°,∴四边形ADEF是矩形,∵∠EAF=45°,∴∠AEF=45°,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF,∴矩形ADEF是正方形.5.证明　如图,连结GH,∵G、F分别是BE、BC的中点,∴GF∥EC,同理可证FH∥BE,∴四边形EGFH是平行四边形,∵G、H分别是BE、CE的中点,∴GH∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥GH,又∵四边形EGFH是平行四边形,∴四边形EGFH是菱形,∵BE⊥EC,∴菱形EGFH是正方形.6.证明　如图,连结AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,∵BE=DF,∴BE+OB=DF+DO,∴EO=FO,∴EF与AC垂直且互相平分,∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF,又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,∴菱形AECF是正方形.能力提升全练7.C　如图,连结AC交BD于点O,过点O作直线MN,交AD于点M,交BC于点N.序号理由判断①∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,易证△DOM≌△BON,∴OM=ON,∴四边形MENF是平行四边形,∵点E,F是BD上的动点,点M,N分别是边AD,BC上的动点,∴存在无数个平行四边形MENF正确②当MN=EF时,四边形MENF是矩形,∵点E,F是BD上的动点,点M,N分别是边AD,BC上的动点,∴存在无数个矩形MENF正确③当MN⊥EF时,四边形MENF是菱形,∵点E,F是BD上的动点,∴存在无数个菱形MENF正确④当MN=EF,MN⊥EF时,四边形MENF是正方形,易知只存在一个正方形MENF错误故选C.8.解析　(1)证明:∵AE∥BD,AD∥BE,∴四边形AEBD是平行四边形,∴AE=BD,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴AE=CD.(2)①当AB=AC时,四边形AEBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是矩形.②当AB⊥AC时,四边形AEBD是菱形.理由如下:∵AB⊥AC,AD是△ABC的中线,∴BD=AD,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是菱形.③当AB=AC,且AB⊥AC时,四边形AEBD是正方形.理由如下:∵AB=AC,且AB⊥AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵AD是△ABC的中线,∴BD=AD,BD⊥AD,∵四边形AEBD是平行四边形,∴四边形AEBD是正方形.素养探究全练9.解析　(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD,∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形.理由如下:当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+FO,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形.∵MN∥BC,∠ACB=90°,∴∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形.。

浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习(含解析)

浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习(含解析)

浙教版数学八年级下册5.3正方形培优练习一、选择题1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形2．如图，在正方形ABCD中，E是AC 上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数为（ ）A．37.5°B．30°C．22.5°D．12.5°3．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（ ）A．1B．12C．13D．144．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）A．16B．25C．144D．1695．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF.若EF＝2，则BF2＝（ ）A．42＋4B．6＋42C．12D．8＋426．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2.若EG∥CF，EG=3，S1S2=16，则图中阴影部分的面积为（ ）A．23B．94C．32D．92二、填空题7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD 是正方形.8．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为 ．9．勾股定理被合为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵夹弦图”（如图①所示）．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=129，则S2的值是 ．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连接AE，EG．若AB=9，BC+GD=9，则△AEG的面积为 ．2三、解答题11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．12．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B=35°，当∠C=▲度时，四边形AEDF为正方形并证明．13．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC=90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA （点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G。

浙教版八年级数学下册《5.3正方形(1)》同步练习(精品解析)

浙教版八年级数学下册《5.3正方形(1)》同步练习(精品解析)

∴矩形 ADCE 是正方形． ∴当∠BAC＝90°时，四边形 ADCE 是一个正方形． 16．如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，点 P，Q 分别是 AB, BP＝AQ，D 是 BC 的中点． (1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形； (2)当点 P 运动到什么位置时，四边形 APDQ 是正方形？请说明理由． AC 上的动点，且满足
又∵FG＝BF＝EF，∴矩形 DEFG 是正方形． C 开拓新思路 拓展创新 15．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E. (1)求证：四边形 ADCE 为矩形． (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？请给出证明．
5.3 正方形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，则下列添加的一个条件 错误的是( C ) A．AB＝BC B．AC⊥BD C．OA＝OD D．∠BAC＝45°
2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( D ) A．平行四边形 C．菱形 B．矩形
证明：连结 CD. ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°. ∵∠C＝90°，
第 9 题答图
∴四边形 CEDF 是矩形． ∵AC＝BC，D 是 AB 的中点， ∴DC 平分∠ACB.∵DE⊥AC，DF⊥CB， ∴DE＝DF，∴四边形 CEDF 是正方形． 10．2018·舟山如图所示，等边△AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠CEF＝45°.求证： 矩形 ABCD 是正方形．
A．2 B．4
C．8 D．10

浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练(附答案)

浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练(附答案)

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练（附答案）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分2．下列说法正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．一组邻边相等的平行四边形是矩形C．菱形有四条对称轴D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形3．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．正方形的对角线互相平分4．对角线互相垂直且相等四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定5．下列说法中错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线长为a的正方形的面积是6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．27．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC 为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（）A．B．C．﹣1D．9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF ⊥CD于F，则EF的最小值为（）A．B．C．3D．210．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）11．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（）A．1B．2C．D．412．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（）A．20°B．15°C．12.5°D．10°13．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（）①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF＝PC；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．A．①②B．①④C．①②④D．①③④14．如图，在正方形ABCD中，BF⊥CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．△BCG≌△CDE B．AG＝BE C．∠OBG＝∠OCE D．∠ABG＝∠AGB15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF ＝45°，则CF长为（）A．2B．3C．D．17．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上的一个动点，OE⊥OF交AB边于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C 运动到点B时，图中阴影部分的面积大小变化情况是（）A．先增大后减小B．先减小后增大C．一直不变D．不确定18．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（1，3），则点F的坐标为．19．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．20．正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足P A＝3，PB＝2，PC＝5，则∠APB的度数为度．21．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．22．如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，且∠BAE＝45°，连接BE并延长交DG于点H，若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是．23．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．24．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为．25．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠BEA的度数是度．26．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC＝10，则EG+EF＝．27．在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE＝BD，则∠AEC＝．28．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF ＝45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；③正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是．（只填写序号）29．如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是．30．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P．求证：AE＝AF．31．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．32．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．34．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．35．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．36．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．37．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．38．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC 交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF＝AE；（2）当AB＝2时，求AF的值．39．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．40．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，BG＝；AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．参考答案1．解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选：A．2．解：A．因等腰梯形满足“一组对边相等，另一组对边平行”，但它不是平行四边形，故此选项说法错误；B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故此选项说法错误；C．菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，因此菱形只有两条对称轴，故此选项错误；D．因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，若再加上对角线互相垂直条件，则矩形便转化为正方形，所以对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确；故选：D．3．解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；B、矩形的对角线相等，错误；C、菱形的四条边都相等，错误；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；故选：D．4．解：对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故A选项不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B选项不符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，故C选项不符合题意；故D选项正确．故选：D．5．解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误，符合题意；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确，不符合题意；因为菱形的对角线互相垂直，所以C选项正确，不符合题意；因为对角线长为a的正方形的面积是：a×a＝a2．所以D选项正确，不符合题意．6．解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，8．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．9．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝＝3，∴EF的最小值为3；故选：A．10．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），∴OD＝6，∴OB＝BC＝CD＝6，∴C（6，6）．故选：D．11．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC﹣BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴QF＝EF＝1，∴△EFC的面积为＝＝2，故选：B．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，故选：B．13．解：∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，∴P A＝PC，∠BCD＝90°，∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∴P A＝EF，故②正确，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，∵∠PFC＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，在△P AB和△PCB中，，∴△P AB≌△PCB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP．故④正确，∵点P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误，故选：C．14．解：A．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCG＝∠CDE＝45°，BC＝CD，∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBG+∠BCF＝∠BCF+∠DCE＝90°，∴∠CBG＝∠DCE，∴△BCG≌△CDE（ASA），故A正确；B．∵△BCG≌△CDE，∴CG＝DE，∵正方形ABCD中，AC＝BD，∴AG＝BE，故B正确；C．∵△BCG≌△CDE，∴∠CBG＝∠DCE，∵正方形ABCD中∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCE，故C正确；D．∵E是OD上的任意一点，∴当BE≠BC时，有AB≠BE，∵AG＝BE，∴AB≠AG，∴∠ABG≠∠AGB，故D错误；故选：D．15．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故错误；故选：B．16．解：∵正方形ABCD的面积为36，∴BC＝AB＝6，如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴DF＝6﹣4＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．17．解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠EOC，在△FOB和△EOC中，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积＝△ABD的面积＝×正方形ABCD的面积，故选：C．18．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝1，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，1）．∴O′（﹣1，2）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣2，4）．故答案是：（﹣2，4）．19．解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AF⊥y轴于F，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝1，OF＝，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE＝1，OE＝OF＝，∴点C（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．20．解：将△APB绕点B旋转90°得到△BP′C，则∠PBP′＝90°，BP＝BP′，AP＝P′C，∠APB＝∠CP′B，∵PB＝2，∴BP′＝2，∴PP′＝4，∠BP′P＝45°，∵P A＝3，PC＝5，∴P′C＝3，∵PP′2+P′C2＝42+32＝52＝PC2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C＝90°，∴∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝135°，∴∠APB＝135°，故答案为：135．21．解：如图，作EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，PH⊥CB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝CB＝AB＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，∴EN＝EM＝BN＝BM，∵BE＝3DE，∴BN＝3AN，所以AN＝1，BN＝3，∴EM＝EN＝BM＝BN＝3，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∵∠NEM＝90°，∴∠NEF＝∠MEG，在△NEF和△MEG中：∴△NEF≌△MEG（ASA），∴MG＝NF，EG＝EF，∵BF＝1，∴NF＝NB+BF＝4，∴MG＝4，∴BG＝BM+MG＝7，∵∠PBF＝∠ABD＝45°，∴∠PBG＝135°，∴∠PBH＝45°，∴∠HPB＝45°，∴BH＝PH，PB＝PH，设BH＝PH＝x，则PB＝x，GH＝BH+BG＝x+7，得x＝，所以PB＝，又因为BE＝BN＝3，所以EP＝EB+BP＝．22．解：连接GE交AD于点N，连接DE，如图，∵∠BAE＝45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE＝，∴AN＝GN＝1，∴DN＝4﹣1＝3，在Rt△DNG中，DG＝＝；由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，∴DG＝BE＝，∵S△DEG＝GE•ND＝DG•HE，∴HE＝＝，∴BH＝BE+HE＝+＝．故答案是：．23．解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．24．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故答案为：15°25．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故答案为：67.5．26．解：∵四边形ABCD是正方形，AC＝10，∴AC⊥BD，BO＝OC＝5，∵EG⊥OB，EF⊥OC，∴S△BOE+S△COE＝S△BOC，∴•BO•EG+•OC•EF＝•OB•OC，∴×5×EG+×5×EF＝×5×5，∴EG+EF＝5．故答案为5．27．解：连接AC，则正方形ABCD中，AC＝BD ∵CE＝BD∴AC＝EC∴∠E＝∠CAF∵AD∥EC∴∠E＝∠DAF∴∠CAF＝∠DAF∵∠CAD＝45°∴∠CAF＝∠DAF＝22.5°∴∠AEC＝22.5°故答案为：22.5°28．解：①当E、F不分别是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；②延长CD至G，使得DG＝BE，如图1，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AEF＝∠G，∴∠AEB＝∠AEF，故②正确；③∵△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，∵正方形ABCD的周长＝4BC，∴正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长，故③正确；④∵△ABE≌△ADG，∴S△ABE＝S△ADG，∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，∴，即S△AGF＞S△CEF，∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；故答案为：②③．29．解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，∵AG⊥CF，∴∠AGF＝90°，∴∠GAF+∠F＝90°，∵∠BCF+∠F＝90°，∴∠GAF＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（ASA），故此小题结论正确；②∵AG是∠CAB的角平分线，∴∠BAG＝∠CAG，∵∠AGF＝∠AGC＝90°，AG＝AG，∴△AFG≌△ACG（ASA），∴FG＝CG，故此小题结论正确；③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，∴BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABG＝∠DCG，∵AB＝DC，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴∠AGB＝∠DGC，∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，∴∠AGB+∠AGD═90°，∴BG⊥DG，故此小题结论正确；④∵△ABG≌△DCG，∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，∵∠DCH＝∠ACE，∴DH＝，故此小题结论错误．由上可知，正确的结论是①②③，故答案为：①②③．30．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，即∠F AB+∠EAB＝90°，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠F AB＝∠EAD，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AE＝AF．31．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．32．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．33．证明：（1）∵▱ABCD，∴AO＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．35．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．36．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．37．解：（1）在平行四边形BCFD中，DE∥BC，∵E是DF的中点，∴DE＝BC，∴DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴四边形ADCF是平行四边形．（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，∴AD＝AE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴AD＝AC，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴▱ADCF是矩形．故答案为：矩形38．（1）证明：如图，连接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF＝EF，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∴DF＝AE；（2）解：∵AB＝2，∴AC＝AB＝2，∵CE＝CD，∴AE＝2﹣2，过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH＝AH＝AE＝×（2﹣2）＝2﹣，∴AE＝EH＝2﹣2，∴AF＝AE＝4﹣2．39．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE＝BF＝2﹣，由（1）知：BE＝BC＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，：DG＝3﹣4．40．BG、解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，BG＝，∴AG＝；故答案为：5；5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+综上，DE的长是或．故答案为或．。

浙教版八年级下测试题5.3 第2课时 正方形的性质

浙教版八年级下测试题5.3 第2课时 正方形的性质

第2课时正方形的性质1．如图5－3－12所示，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一图5－3－12个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为(C) A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】正方形的对角线与边的夹角为45°.2．正方形具有而一般菱形不具有的性质是(C) A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．每一条对角线平分一组对角【解析】正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，故选C.3．如图5－3－13所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有(C)图5－3－13A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】图中等腰直角三角形有△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABD，△BCD，△ADC，△ABC，共8个．4．如图5－3－14所示，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为(C)图5－3－14A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】由折叠的性质，可知∠ABE＝∠DBE，∠DBF＝∠CBF，∴∠EBF＝12∠ABC＝12×90°＝45°.选C.5．如图5－3－15所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．图5－3－15【解析】∵AC＝AE，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝12×(180°－45°)＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝67.5°－45°＝22.5°.6．如图5－3－16所示，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD 上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为__12a2__.图5－3－167．[2013·红河]如图5－3－17，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.图5－3－17(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．解：(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，∵BD＝8 cm，∴BC＝22·BD＝22×8＝42(cm)，∴BE＝BC＋CE＝42＋42＝82(cm)．8．如图5－3－18所示，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED.图5－3－18(1)求证：△BEC ≌△DEC ；(2)延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝140°，求∠AFE 的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB .∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DCE ＝∠BCE .又CE ＝CE ， ∴△BEC ≌△DEC .(2)由(1)知△BEC ≌△DEC ，∴∠DEC ＝∠BEC ＝12∠DEB ＝70°，∴∠AEF ＝∠BEC ＝70°.又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∠DAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝45°.在△AEF 中，∠AFE ＝180°－70°－45°＝65°. 9．[2012·黄冈]如图5－3－19所示，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别在OD ，OC 上，且DE ＝CF ，连结DF ，AE ，AE 的延长线交DF 于点M .求证：AM ⊥DF .图5－3－19证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD ＝OC .又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOD ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，∴∠EMD＝90°，即AM⊥DF.10．[2013·连云港]如图5－3－20，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C)图5－3－20A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4.∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4.∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－2 2.故选C.11．[2012·宜宾]如图5－3－21，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝图5－3－21第11题答图【解析】过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1，故答案为：2－1.12．[2013·济宁]如图5－3－22(1)，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC 上的点，且AF⊥BE.(1)(2)图5－3－22(1)求证：AF＝BE；(2)如图5－3－22(2)，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．解：(1)设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD ＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE ＝90°，∴∠F AD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.第12题答图(1)(2)相等；理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD 于E.得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)，得AF＝BE，∴MP＝NQ.第12题答图(2)。

2020春浙教版八年级数学下册同步练习：5.3正方形

2020春浙教版八年级数学下册同步练习：5.3正方形

5.3__正方形__第1课时正方形的判定1．下列说法正确的是(C)A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(B)A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】小红把原丝巾对折1次(共2层)，如果原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是正方形，即最少对折两次．故选B.3．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，即④正确．4．[2018·邵阳一模]如图5－3－1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．图5－3－1解：(1)证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形；(2)答案不唯一，如添加∠ABC＝90°或AC＝BD等．5．[2018·舟山]如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图5－3－2证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．6．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD 上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．图5－3－3证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．7．[2018·阳信模拟]如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；(2)在(1)的条件下，当∠A＝__45°__时四边形BECD是正方形．图5－3－4解：(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形．理由：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵DE⊥BC∴四边形BECD是菱形；(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝12∠DBE，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．8．如图5－3－5，在▱ABCD中，O是CD的中点，连结AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；(2)连结AC，DE，当∠B＝∠AEB＝__45__°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．图5－3－5解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥B C.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E .∵O 为CD 的中点，∴OD ＝OC ，在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAO ＝∠E ，∠D ＝∠OCE ，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△EOC (AAS )；第8题答图(2)当∠B ＝∠AEB ＝45°时，四边形ACED 是正方形．理由：如答图，∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE. 又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD.∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°. ∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形ACED是正方形．第2课时正方形的性质1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．[2019·永嘉期末]如图5－3－6所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是(C)A．45°B．30°C．22.5°D．20°【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.图5－3－63．[2018·锦江区模拟]如图5－3－7，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB＝3，则AE＝．图5－3－7【解析】∵AC是正方形ABCD的对角线，AB＝3，∴AC＝32，∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，∴∠DCE＝∠ECA，∵DC∥EB，∴∠E＝∠DCE，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC＝3 2.4．[2018·嘉兴一模]如图5－3－8，直线l过正方形ABCD的顶点D且与BC交于点G，过A，C分别作直线l的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为__17a2__．图5－3－8【解析】在Rt△CDF中，CF⊥DG，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，∵∠CDF＋∠ADE ＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AE⊥DG，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°.∵AD ＝CD ，∴△AED ≌△DFC ，∴DE ＝CF ＝a .在Rt △AED 中，AD 2＝17a 2，即正方形的面积为17a 2.5．[2018·吉林]如图5－3－9，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且BE ＝CF ，求证：△ABE ≌△BCF .图5－3－9证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF .6．[2018·温州一模]七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图5－3－10是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD ，其中点E ，P 分别是AD ，CD 的中点，AB ＝22，一只蚂蚁从A 处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最短路径长为( B )A ．3B ．2＋2C．4 D．3 2图5－3－10【解析】∵正方形ABCD中，E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，∴AE＝DE＝DP＝2，∠D＝90°，∴EP＝DE2＋PD2＝（2）2＋（2）2＝2，∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为AE＋EP ＝2＋2.7．如图5－3－11，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A＋PE的最小值是．图5－3－11第7题答图【解析】如答图，作出点E关于BD的对称点E′，E′在边BC上，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理，得AE′＝10，则P A＋PE的最小值是10.8．[2018·遵义]如图5－3－12，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB 的延长线交于点N，连结MN.(1)求证：OM＝ON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．图5－3－12第8题答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON；(2)如答图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2，∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝22＋42＝25，∴MN ＝2OM ＝210.9．如图5－3－13，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B ，D 重合)，GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG .(1)写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF ＝105°，求线段BG 的长．图5－3－13第9题答图解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：如答图，连结GC ，由正方形的性质知AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ， 在△ADG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，GD ＝GD ，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE是矩形，∴GF＝EC.在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)作AH⊥BD于点H，∵∠AGF＝105°，∠BGF＝45°，∴∠AGH＝60°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，∵AB＝1，∴AH＝BH＝2 2，∴HG＝66，∴BG＝22＋66.10．如图5－3－14，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．图5－3－14第10题答图解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH ，△BFE ，△CGF 和△DHG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG (SAS )，∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°，∴∠HEF ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形；(2)直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC ，BD 的交点)． 理由：如答图，连结AC ，EG ，交于点O .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCG ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COG ，∠OAE ＝∠OCG ，AE ＝CG ，∴△AOE ≌△COG (AAS )，∴OA ＝OC ，OE ＝OG ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC ，BD 的交点，即O 为正方形的中心，故当EG 运动时，将会经过正方形ABCD 的中心这一定点．。

浙教版初中数学八年级下册《5.3 正方形》同步练习卷

浙教版初中数学八年级下册《5.3 正方形》同步练习卷

浙教新版八年级下学期《5.3 正方形》同步练习卷一．选择题（共32小题）1．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）A．B．C．D．3．下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（）A．B．C．D．4．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．5．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm26．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b 的面积为（）A．8B．C．D．128．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）A．4B．5C．9D．9．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点．若△CEF的周长为32，则OF的长为（）A．B．4C．D．11．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，Rt∠MON 的两边分别交边AB、BC于E、F两点，EF交OB于点G，则下列结论中错误的是（）A．EF＝OEB．四边形OEBF的面积：正方形ABCD的面积＝1：4C．BE+BF＝OAD．当AE＝时，△BEF的面积最大12．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF ＝S△ADF；②S△CDF＝2S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（）A．①②③B．②③C．①④D．①②④13．将边长为1的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则△ABC 的面积为（）A．1B．C．D．14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O ＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017 15．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为（）A．B．C．D．17．如图，正方形ABCD中，点EF分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：①∠BAE＝∠DAF＝15°；②AG＝GC；③BE+DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．418．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′＝75°；④∠CB′D＝135°．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．③④D．①②③④19．如图，在方格纸中，α，β，r这三个角的大小关系是（）A．α＝β＞r B．α＜β＜r C．α＞β＞r D．α＝β＝r 20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．121．下列说法中正确的是（）A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C．四个角都相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形22．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝4，AO＝6，则AC的长等于（）A．12B．16C．8+6D．4+623．如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF．连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点G．则下列结论：①△ADE≌△ABF；②∠AEF＝45°；③若AB＝3，DE＝DC，则S△AEF＝；④若AB ＝2，E为DC的中点，则．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3 个D．4 个24．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△F AB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．425．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB ⊥ED；③PD＝，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③26．如图，正方形ABCD中，边长为2，△ABH、△DCF为等边三角形形，AH、DF交于点E，BH、CF交于点G，则四边形EFGH的面积是（）A．8﹣12B．8﹣8C．2+12D．16﹣24 27．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣128．如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．29．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2 30．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于点M，AF交BD于点N，给出下列结论：①EF＝BE+DF；②MN2＝BM2+DN2；③CF＝2BM；④AF＝AM．其中结论正确的序号是（）A．①②④B．①②③C．①②③④D．①②31．如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH 长度的最小值为（）A．﹣1B．C．D．32．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S+S△APB＝1+．其△APD中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二．填空题（共8小题）33．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的任一点．以BE为一边作正方形EFGB，则△AFC的面积为．34．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm 处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是（填写图形的形状）（如图），它的一边长是．35．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、点F，AE＝3，FC＝2，则EF的长为．36．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤S△FGC＝；其中正确的结论有．37．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，BF＝；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1，则BF＝．38．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为．39．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为．40．如图，在正方形ABCD中，AB＝，AG＝CH＝3，BG＝DH＝2，则H、G两点之间的距离为．三．解答题（共10小题）41．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE 沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求证：BG＝GC；（3）求△CFG的面积．42．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．43．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．44．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG 之间的数量关系，并证明你的结论．45．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．（1）求证：AF＝FG；（2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长．46．如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF＝90°∴∠FEC+∠AEB＝90°又∵∠EAM+∠AEB＝90°∴∠EAM＝∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM＝EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME＝135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF＝135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE＝EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF 是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．47．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）48．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．49．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．50．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF＝BD＝，求BE的长；（2）若∠ADE＝2∠BFE，求证：FH＝HE+HD．浙教新版八年级下学期《5.3 正方形》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平行四边形、菱形和矩形、正方形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：①四个角相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；②对角线相等的四边形是矩形，不正确，故此选项符合题意；③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；故选：B．【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）A．B．C．D．【分析】以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、，因此△ABC的面积为；用勾股定理计算AC的长为，因此AC边上的高为．【解答】解：∵三角形的面积等于小正方形的面积减去三个直角三角形的面积，＝4﹣×1×2﹣×1×1＝，即S△ABC∵＝，∴AC边上的高＝＝，故选：C．【点评】此题首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC的长，最后根据三角形的面积公式计算．3．下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质对各个选项进行验证从而确定最后答案．【解答】解：A中的阴影部分面积等于2，B中的阴影部分面积等于2，C中的阴影部分面积等于2，D中的阴影部分面积等于1++1＝，故选：D．【点评】本题利用了正方形的性质及它的面积公式，三角形的面积公式，注意利用同底等高的三角形的面积相等．4．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．【解答】解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，∴∠D′CE＝45°，∴CD′＝D′E，∵ED′⊥AC，∴∠CD′E＝90°，∵AC＝＝，∴CD′＝﹣1，∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）＝﹣1．故选：D．【点评】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力．5．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，易得P AF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP 的面积，同理可得答案．【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠F AN＝∠F AN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．6．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b 的面积为（）A．8B．C．D．12【分析】如图，根据正方形的性质得BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝1，DF2＝10，再利用等角的余角相等得∠1＝∠3，则可根据”AAS“证明△ABC≌△DFB，得到AB＝DF，然后根据勾股定理得到BC2＝AC2+AB2＝AC2+DF2＝12，则有b的面积为12．【解答】解：如图，∵a、b、c都为正方形，∴BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝2，DF2＝10，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABC和△DFB中，，∴△ABC≌△DFB，∴AB＝DF，在△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝AC2+DF2＝2+10＝12，∴b的面积为12．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．8．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）A．4B．5C．9D．【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED＝∠DFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°．∴∠ADE+∠CDF＝90°．又∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF＝DE＝1．∵DF＝2，∴CD2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故选：B．【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．9．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC 可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°∵△AEF是等边三角形∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°∵AD＝AB，AF＝AE∴△ABF≌△ADE∴BF＝DE∴BC﹣BF＝CD﹣DE∴CE＝CF故①正确∵CE＝CF，∠C＝90°∴EF＝CE，∠CEF＝45°∴AF＝CE，∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF∴∠AED＝75°故②③正确∵AE＝AF，CE＝CF∴AC垂直平分EF故④正确故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点．若△CEF的周长为32，则OF的长为（）A．B．4C．D．【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵CE＝7，△CEF的周长为32，∴CF+EF＝32﹣7＝25．∵F为DE的中点，∴DF＝EF．∵∠BCD＝90°，∴CF＝DE，∴EF＝CF＝DE＝12.5，∴DE＝2EF＝25，∴CD＝．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝24，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝（BC﹣CE）＝（24﹣7）＝．故选：A．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．11．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，Rt∠MON 的两边分别交边AB、BC于E、F两点，EF交OB于点G，则下列结论中错误的是（）A．EF＝OEB．四边形OEBF的面积：正方形ABCD的面积＝1：4C．BE+BF＝OAD．当AE＝时，△BEF的面积最大【分析】本题中，证明△OEB≌△OFC或证明△OAE≌△OBF是解题的关键．【解答】解：∵正方形ABCD对角线交于O点∴OB＝OC，∠EBO＝FCO＝45°，∠BOC＝90°∵∠MON＝90°∴∠EOB＝∠FOC∴△EOB≌△FOC（ASA）∴OE＝OF，BE＝FC，△EOB与△FOC面积相等；∴△EOF为等腰直角三角形，选项A可证；∴S四边形OEBF ＝S△OEB+S△BOF＝S△BOC选项B可证；∴BE+BF＝FC+BF＝BC≠OA，选项C排除；设BE＝x，则S△BEF＝x（1﹣x）＝所以，当x＝时，S△BEF最大，选项D可证；故选：C．【点评】本题以正方形性质为基础，解题是注意结合图形旋转证明问题．12．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF ＝S△ADF；②S△CDF＝2S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（）A．①②③B．②③C．①④D．①②④【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF ＝S△ADF，故①正确，由BE＝EC＝BC＝AD，AD∥EC，推出，可得S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF ，S△ADF＝2S△CDF，故③错误②④正确，由此即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠F AD＝∠F AB，在△AFD和△AFB中，，∴△AFD≌△AFB，∴S△ABF ＝S△ADF，故①正确，∵BE＝EC＝BC＝AD，AD∥EC，∴，∴S△CDF ＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF，故③错误②④正确，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．将边长为1的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则△ABC 的面积为（）A．1B．C．D．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE＝DB＝，∴△ABC的面积＝AB•CE＝×1×＝，故选：D．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O ＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数等知识，得出正方形的边长变化规律是解题关键．15．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．【解答】解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选：C．【点评】本题考查的是正方形的判定，是一道几何结论开放题，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质找出M1、M2、M3的坐标，据此求得前四个正方形的面积，从而得到面积的变化规律，从而得解．【解答】解：∵正方形OA1B1C的边长为1，对角线A1C和OB1交于点M1，∴第一个正方形的面积为1，点M1（，），则第二个正方形的面积为；∵以A1M1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2，∴点M2（，），则第三个正方形的面积为（1﹣）2＝＝；∵以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3，∴M3（，），则第四个正方形的面积为（1﹣）2＝＝，……所以第n个正方形的面积为，故选：C．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．17．如图，正方形ABCD中，点EF分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：①∠BAE＝∠DAF＝15°；②AG＝GC；③BE+DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①通过HL可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，可得结论；②设EC＝x，根据勾股定理，表示等边三角形边长EF＝x，分别计算AG和CG，可得结论；③根据②继续计算BE、EF的长，可比较BE+DF的长与EF是否相等；④根据②和③计算的边的长，代入三角形面积公式计算可得结论．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵△AEF等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠F AC＝×60°＝30°，∵∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，故①正确；②设EC＝x，则FC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝EF＝x，AG＝AE sin60°＝EF sin60°＝2×CG sin60°＝2×CG，∴AG＝CG，故②正确；③由②知：设EC＝x，EF＝x，AC＝CG+AG＝CG+CG＝，∴AB＝＝，∴BE＝AB﹣CE＝﹣x＝，∴BE+DF＝2×＝（﹣1）x≠x，故③错误；④S△CEF＝＝CE2＝x2，S△ABE＝BE•AB＝•＝，∴S△CEF ＝2S△ABE，故④正确，所以本题正确的个数有3个，分别是①②④，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质计算边的长是解题的关键．18．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′＝75°；④∠CB′D＝135°．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．③④D．①②③④【分析】①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′＝AD；②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；③假设∠ADB′＝75°成立，则可计算出∠AB′B＝60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾；④根据∠ABB′＝∠AB′B，∠AB′D＝∠ADB′，结合周角定义，求出∠DB′C的度数．【解答】解：①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB＝AB′，∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正确；②如图，连接EB′．则BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．则∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C为直角三角形．∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C＝2FE，∵△B′EF∽△AB′F，∴＝，即＝＝，故FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．④设∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y度，则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故④正确．③假设∠ADB′＝75°成立，则∠AB′D＝75°，∠ABB′＝∠AB′B＝360°﹣135°﹣75°﹣90°＝60°，∴△ABB′为等边三角形，故B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾，故③错误．故选：B．【点评】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质及反证法等知识，综合性很强，值得关注．19．如图，在方格纸中，α，β，r这三个角的大小关系是（）A．α＝β＞r B．α＜β＜r C．α＞β＞r D．α＝β＝r【分析】连接AC，BD，作DF∥BC，可判断∠β＜∠γ，由题可知△ABC≌△DCB，从而可得α＝β．【解答】解：如图，连接AC，BD，作DF∥BC，∴∠β＝∠CDF＞∠r，∵AB＝DC＝，AC＝BD＝，BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴α＝β故选：A．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，两直线平行，内错角相等，勾股定理求解．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH 为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN ＝BM＝1．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，。

《5.3正方形》同步优生辅导训练浙教版八年级数学下册

《5.3正方形》同步优生辅导训练浙教版八年级数学下册

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．6．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P．（1）求证：BH＝EC．（2）若AB＝3，EC＝4，求DP的长．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠F AD的度数．10．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．12．在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE．（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长．13．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）求证：BE⊥AF；（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE ＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．16．四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．17．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．18．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．19．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝45°，易证：AE+CF＝EF（不用证明）．（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，DA＝DC，∠DAB＝∠BCD＝90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC＝2α，DA＝DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．21．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．22．如图1，已知，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）证明BE＝DG且BE⊥DG；（2）如图2，已知AB＝4，AE＝，当点F在边AD上时，求BE的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．2．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．5．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．6．解：（1）根据题意可得四边形AHGD是平行四边形，BH＝BC+CH，CG＝HG+CH，即BH＝CG，根据正方形的性质得：BH＝EC；（2）由（1）得BH＝EC，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝5，同理FH＝5，连接AF延长AD交FG于点M，在Rt△AFM中，由勾股定理得，AF＝＝5，∵AH2+FH2＝50，AF2＝50，∴AH2+FH2＝AF2，即△AHF为直角三角形，∴AH⊥FH，由（1）得AH∥DG，∴DG⊥HF，S△FHG＝HG×FG＝HF×PG，⇒×3×4＝×5×PG，∴PG＝，∴DP＝DG﹣PG＝5﹣＝，故答案为：．7．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．8．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．9．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH＝ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴CD＝AB＝3，∵AE＝1，∴DE＝4，∵△FEH≌△ECD，∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，∴AH＝4，∴AH＝FH，∵∠FHE＝90°，∴∠F AD＝45°．10．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DF A＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．12．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，又∵BC＝AB，∠F AB＝∠EBC＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB＝1，∵AB＝2，∴BC＝2，∴CE＝＝＝，在Rt△CEB中，由CE•BG＝EB•BC得BG＝＝＝，∴，∵∠DCE+∠BCE＝∠BCE+∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD与△BGC中，，∴△CHD≌△BGC（AAS）∴CH＝BG＝，∴GH＝CG﹣CH＝＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH与△DCH中，，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴DG＝DC＝2．13．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∴BE⊥AF；（3）∵BE⊥AF，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，∴GH＝．14．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴P A＝PC，∵∠P AE＝∠E，∴P A＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．15．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．16．证明：如图1，∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．（1）如图2，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如图3，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，AB⊥AD．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．17．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）BP＝．证明如下：连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，设∠PBC＝α，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO＝，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC＝OC＝，即BP＝，∴BP＝．18．解：（1）取AB中点M，连接ME，∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，∴AM＝BM＝BE＝CE∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）图2：结论是AE＝EF理由如下：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．图3结论是AE＝EF，理由如下：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．19．解：（1）图2猜想：AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠DAB＝∠DCA'＝90°，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝120°，∴∠EDA'＝120°，∵∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠A'DF＝60°，又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE；（2）如图3，AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'＝180°∴∠DAB＝∠DCA'，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝2α，∴∠EDA'＝2α，∵∠EDF＝α，∴∠EDF＝∠A'DF＝α又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE．20．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴P A＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）P A＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴P A＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．21．证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．22．解：（1）如图1所示，∵正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，∴AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，又∵∠BMA＝∠DMN，∴∠BAM＝∠DNM＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图2所示，过E作EH⊥AB于H，∵点F在边AD上，∴∠F AE＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，又∵∠AHE＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝EH，∵AE＝，∴AH＝EH＝1，又∵AB＝4，∴BH＝3，∴Rt△BEH中，BE＝＝＝．。

浙教版八年级下数学5.3.1正方形的性质同步练习含解析

浙教版八年级下数学5.3.1正方形的性质同步练习含解析

5.3.1正方形的性质班级：___________姓名：___________得分：__________一、选择题1、下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )A．90° B．60° C．45° D．30°3、、如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋64、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题1、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______2、(1)如图，已知矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，若∠ADC ′＝20°，则∠BDC 的度数为________．3．如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE ＝________，如果DE 的延长线交BC 于G ，则∠BEG ＝_______________.三、解答题1、在平面内正方形ABCD 和正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH 两线交于点M. 求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE.EBCD2、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.⑴试说明:DE=DF⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明。

浙教版八年级数学下册《5.3正方形(1)》同步练习(含答案)

浙教版八年级数学下册《5.3正方形(1)》同步练习(含答案)

5.3正方形(1)A练就好基础基础达标)1．在矩形ABCD中，对角线AC，BD ABCD是正方形，则下列添加的一个条件错误的是(C)A．AB＝BC B．AC⊥BDC．OA＝OD D．∠BAC＝45°2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．如图所示，四边形ABCD(D)A.∠BAD＝90°B．AC＝BDC．∠BAD＝∠ABCD．AD＝BD4．如图所示，将长方形纸片折叠，使A点处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形5．关于 ABCD的叙述，正确的是(C)A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形6．如图所示，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于(B)A．30°B．45°C．60°D．90°7．对角线互相垂直且相等的四边形是(D)A．正方形B．矩形C．菱形D．无法确定形状8．在同一平面内，以不重合A，B两点为顶点作正方形，不同位置的正方形可以作__3__个．9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F9题图9题答图证明：连结CD.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°.∵∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AC＝BC，D是AB的中点，∴DC平分∠ACB.∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形．10．2018·舟山如图所示，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．B更上一层楼能力提升)11的部分构成了一个四边形，这个四边形可以是__菱形或正方形__．12．如图所示，有一个含60形是(D)A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一角是锐角的菱形D．正方形13．2018·临安如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，BC的中点，若沿下左(B)A．2B．4C．8D．14．如图所示，在等腰Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，过AB的三等分点E，F且沿着与AB垂直方向就可以剪出一个正方形DEFG解：由题意，得AE＝EF＝BF，GF⊥AB是等腰直角三角形．∴∠A＝∠B＝45°，∴△ADE与△BGF都是等腰直角三角形．∴FG＝BF＝AE＝DE，GF∥DE，∴四边形DEFG是平行四边形．又∵∠GFE＝90°，∴ DEFG是矩形．又∵FG＝BF＝EF，∴矩形DEFG是正方形．C开拓新思路拓展创新15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形解：(1)证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝12∠MAC，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)当△ABC 满足∠BAC ＝90°时(或其等价条件亦可)，四边形ADCE 是一个正方形．证明如下：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝∠B ＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝45°，∴DC ＝AD .又∵四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是一个正方形．16．如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P ，Q 分别是AB,AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点．(1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；(2)当点P 解：(1)证明：连结AD .∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ＝BD ＝DC ，∠DAQ ＝∠B .∴在△BPD 与△AQD 中，BD ＝AD ，∠DBP ＝∠DAQ ，BP ＝AQ ，∴△BPD ≌△AQD (SAS )，∴PD ＝QD ，∠ADQ ＝∠BDP .∵∠BDP ＋∠ADP ＝90°，∴∠ADP ＋∠ADQ ＝90°，即∠PDQ ＝90°，∴△PDQ 为等腰直角三角形．(2)当点P 运动到AB 的中点时，四边形APDQ 是正方形．理由如下：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ＝BD ＝DC ，∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形．当P 为AB 的中点时，DP ＝12AB ，DP ⊥AB ，即∠APD ＝90°.又∵∠A ＝90°，∠PDQ ＝90°，∴四边形APDQ 为矩形．又∵DP ＝12AB ＝AP ，∴矩形APDQ 是正方形．。

浙教版八年级下测试题5.3 第1课时 正方形的判定

浙教版八年级下测试题5.3 第1课时 正方形的判定

第1课时正方形的判定1. [2013·铜仁]下列命题中，真命题是(C)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．[2013·威海]如图5－3－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF 交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(D)图5－3－1A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF【解析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形．由菱形的性质，以及菱形与正方形的关系分别分析得出结论．3．[2012·百色]如图5－3－2，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是(D)图5－3－2A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形4．如图5－3－3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD 相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是__AC＝BD或AB⊥BC等__．图5－3－3【解析】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC等．5．如图5－3－4所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是__∠BAD＝90°或AC ＝BD等__(只填一个条件即可，答案不唯一)．【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，即∠BAD＝90°或AC＝BD等．图5－3－46．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是__AB＝AD或AC⊥BD等__．【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB＝AD 或AC⊥BD等．7. 如图5－3－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.试说明四边形AEDF是正方形．图5－3－5第7题答图解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，连结AD，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形．8．[2013·南京]如图5－3－6，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．图5－3－6证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．9．如图5－3－7所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．图5－3－7证明：∵矩形ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，∴∠BAE ＝∠ABE＝45°.∴∠E＝90°.同理，∠F＝∠G＝90°.∴四边形EFGH为矩形．∵AD＝BC，∠HAD＝∠HDA＝∠FBC＝∠FCB＝45°，∴△ADH≌△BCF(AAS)．∴AH＝BF.又∵∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE.∴AE＋AH＝EB＋BF，即EH＝EF.∴矩形EFGH是正方形．10．[2012·赤峰]如图5－3－8，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC 交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.图5－3－8(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．解：(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°.∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，∴∠CDO＝90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°.∴四边形CDOF是矩形．(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形．因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．11．[2012·呼伦贝尔]如图5－3－9，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE.图5－3－9(1)求证：DE＝DF；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．解：(1)证明：∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°.在Rt △BDF和Rt △CDE 中，∵⎩⎨⎧BD ＝CD ，BF ＝CE ，∴Rt △BDF ≌Rt △CDE (HL )，∴DE ＝DF .(2)四边形AFDE 是正方形．证明：∵∠A ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴四边形AFDE 是矩形，又∵Rt △BDF ≌Rt △CDE ，∴DF ＝DE ，∴四边形AFDE 是正方形．12．如图5－3－10所示，顺次延长正方形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，且使BE ＝CF ＝DG ＝AH .求证：四边形EFGH 是正方形．图5－3－10证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠EBF ＝∠HAE ＝∠GDH ＝∠FCG ，又∵BE ＝CF ＝DG ＝AH ，∴CG ＝DH ＝AE ＝BF ，∴△AEH ≌△CGF ≌△DHG ≌△BFE ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ，∠EFB ＝∠HEA ，∴四边形EFGH 为菱形，∵∠EFB ＋∠FEB ＝90°，∠EFB ＝∠HEA ，∴∠FEB ＋∠HEA ＝90°，即∠HEF ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．13. 如图5－3－11，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角形ABD 和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形．(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；(2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形？正方形？图5－3－11解：(1)当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形．理由∵∠DAE＝360°－120°－150°＝90°，且四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．(2)当∠BAC＝60°时平行四边形ADFE不存在．(3)当AB＝AC时，平行四边形ADFE是菱形．综上可知：当AB＝AC、∠BAC＝150°时平行四边形ADFE是正方形．。

浙教版八年级下册5.3-正方形(1)-同步训练(解析版)

浙教版八年级下册5.3-正方形(1)-同步训练(解析版)

初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形（1）同步训练一、基础夯实1.下列命题中，错误的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 菱形的一条对角线平分一组对角D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形2.要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A. 选①②B. 选②③C. 选①③D. 选②④4.在四边形中，是对角线、的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，5.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可).6.在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB ＝AD，且AC＝BD.其中正确的是________.(填序号)7.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件________，使四边形BECF是正方形.8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2,0）、B(0，-2)、C（2,0）、D（0，2）,求证：四边形ABCD是正方形.9.如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形?请说明理由.二、提高特训10.矩形各内角的平分线能围成一个（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 正方形11.如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（）A. ，B. ，C. ，D. ，12.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定13.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=________时，四边形MENF是正方形．14.△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA 的平分线于点F，连接AE、AF.（1）说明：OE＝OF（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.答案解析部分一、基础夯实1. A解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，符合题意；B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形性质得出，不符合题意；C．菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，不符合题意；D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，不符合题意；故答案为：A．【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质以及正方形的判定逐项分析即可.2. D解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：D．【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案.3. B解：A∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；故B符合题意；B∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵AC=BD∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵ AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；故答案为：B【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。

浙教版八年级数学下册《5.3 正方形》同步优生提高训练(附答案)

浙教版八年级数学下册《5.3 正方形》同步优生提高训练(附答案)

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生提高训练（附答案）一．正方形的性质1．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN ＝（）A．B．C．6D．2．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2B．1cm2C．4cm2D．6cm23．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH ＝3，那么CE的长是（）A．3B．4C．D．4．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④5．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④6．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为．7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD ＝2，则当四边形ABCD的形状是时，四边形AOBE的面积取得最大值是．8．正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是．9．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝3，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．11．如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．（1）BD的长为；（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为；（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝．12．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN 的最小值是．13．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是．14．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD 的长为．15．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，DG⊥AE于G，∠DGE 的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH．（1）求证：∠DHG＝∠DF A；（2）求证：FH∥BC；（3）求：的值．17．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．18．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．19．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．（1）求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．二．正方形的判定21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形B．添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形22．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．三个角都是直角的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形23．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．24．已知，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．（1）如图1，点O在线段AB上，P在线段CD上，OP∥BC，AD＝2AO，求证：四边形OBCP是正方形；（2）如图2，点M在线段BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在射线AD上，MN交CD于点E，请问：BM•AN的值能否等于27？请说明理由．25．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE＝AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A＝°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）26．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？27．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．28．如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）29．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形；（4）若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是正方形．30．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．（1）证明：四边形DEFG为菱形；（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．三．正方形的判定与性质31．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？33．如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CM＝DN．（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝4，当点E在什么位置时，四边形EFMN的周长最小？并求四边形EFMN 周长的最小值．34．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．35．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）（1）求证：EO平分∠AEB．（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．参考答案一．正方形的性质1．解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴CF＝＝＝13，∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝CF＝，故选：B．2．解：如图，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，两边相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠F A1M＝90°，∴∠ENA1＝∠F A1M，A1E＝A1F，∴△A1EN≌△A1MF（ASA），∴四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1F A2的面积＝正方形ABCD的面积，同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于正方形ABCD的面积，∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD的面积＝4cm2，故选：C．3．解：连接AC，CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．∴∠ACF＝45°×2＝90°．∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝．在Rt△ACF中，CF＝＝．在Rt△ECF中，∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，∴CE＝CF＝＝．故选：D．4．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．6．解：延长GB交CD于点H，∵正方形ABCD，∴BA＝AC，∠BCH＝∠BAE＝90°，∵正方形BEFG，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∴∠ABE+∠GBC＝180°，∵∠HBC+∠GBC＝180°，∴∠ABE＝∠CBH，在△ABE与△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴BH＝BE，S△ABE＝S△CBH，∴BE＝BG，∴BH＝BG，∴S△BCG＝S△CBH＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝，∵，∴S△BCG＝30，故答案为：30．7．解：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB．∵OE＝CD，∴OE＝AB．∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA＝90°．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形；当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形，AB＝AD＝2，OE＝AB＝2，即四边形AOBE的面积取得最大值是2．故答案为：正方形，2．8．解：如图，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于点F，则∠BFC＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠DCB＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDE＝∠BCE．在△DCE与△CBF中，∵，∴△DCE≌△CBF，∴BF＝CE＝6，∴．故答案为：18．9．解：如图1，∵∠PEB＝∠PFC，∠PEB+∠CEP＝180°，∴∠CEP+∠CFP＝180°，∴C、E、P、F四点共圆，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴EF是直径，取EF的中点为O，以EF为直径作圆O，如图1，连接OP，ON，∵PN≥ON﹣OP，∵OP是定值，OP＝EF＝＝，即当O、N、P三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，PN最小，如图2，PN最小，延长NO交BC于Q，则OQ⊥CE，∴EQ＝EC＝1，由勾股定理得：OQ＝＝＝，∴PN＝6﹣﹣＝；即线段PN的最小值为．故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，故答案为2﹣2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，∴BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）解：当BD平分∠PBQ时，∵∠PBQ＝45°，∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP＝BQ，在△QBD和△PBD中，，∴△QBD≌△PBD（SAS），∴PD＝QD，故答案为：PD＝QD；（3）当BD不平分∠PBQ时，∵AB∥CQ，∴∠ABQ＝∠CQB，∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，∴∠BDQ＝∠BDP，∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，故答案为：18．12．解：如图，点N在以AO的中点Q为圆心，AO为直径的圆上，连接CQ与圆Q的交点即为点N，此时线段CN的值最小，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2，∴AO＝＝＝2，∴QN＝AO＝，过Q作QH∥AB，交OB于H，∴QH＝AB＝2，BH＝OB＝1，∴CQ＝＝＝，∴CN＝CQ﹣QN＝﹣，则线段CN的最小值是﹣．故答案为：﹣．13．解：过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形，BE＝BC＝2，∴EH＝2．∴△BEC的面积为×BC×EH＝．连接BP，则△BPE面积+△BPC面积＝2，即×BE×PR+×BC×PQ＝2，∴×（PR+PQ）＝2，解得PR+PQ＝2．故答案为2．14．解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．∵∠CFB＝45°∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝5，∴BG＝，GM＝2，∴AG＝2，AB＝5，∴HF＝，∴CF＝×＝，∴CM＝，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝，∵在△BKC和△CQD中，∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝，DQ＝CK＝，∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，∴DQ＝QF＝，∴DF＝×＝．故答案为．15．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∵DG⊥AE，∴∠DGE＝90°，∵GH平分∠DGE，∴∠DGH＝∠EGH＝45°，∴∠BDC＝∠EGH＝45°，∵∠DPH＝∠GPF，∴∠DHG＝∠DF A．（2）由（1）可知：∠BDC＝∠EGH＝45°，∠DPH＝∠GPF，又∵∠GPD＝∠FPH，∴△GPD∽△FPH，∴∠DGP＝∠HFP＝45°，又∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠HFP＝45°，∴FH∥BC．（3）连接P A，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DG于N，QP⊥GP交GD于Q，如图所示．由（2）证法，易证∠P AG＝∠PDG，∵PM⊥AE，PN⊥DG，GH平分∠DGE，∴PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PND（AAS），∴P A＝PD，∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝45°，∴∠APD＝90°＝∠GPQ，∴∠APG＝∠DPQ，∴△APG≌△DPQ（ASA），∴QD＝AG，∵∠PGQ＝45°，∴△PGQ是等腰直角三角形，∴GQ＝PG，∴DG﹣AG＝DG﹣DQ＝GQ＝PG，∴．17．解：（1）连接AM，如图，∵正方形AEFG，矩形ABCD，∴∠AEM＝∠ADM＝∠ABE＝90°，AD＝BC＝4，在Rt△AEM和Rt△ADM中，，∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），∴AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，BE＝＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；（2）分四种情况，1°当点F在CD上时，如图，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∠AEB＝∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB＝EC＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝1；2°当点F落在AD上时，如图，∵AF时正方形AEFG的对角线，∴∠EAF＝45°，∵矩形ABCD，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°＝∠AEB，∴BE＝AB＝3，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝3；3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设FM＝BE＝x，则MC＝4﹣3﹣x＝1﹣x，∵∠FCM＝∠ACM，∠FMC＝∠ABC，x＝，即FM＝BE＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设CE＝a，，则FM＝BE＝4+a，BM＝7+a，∵∠DBC＝∠FBM，∠FMB＝∠BCD＝90°，a＝5，∴BE＝4+a＝9，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝9；故所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝9或．18．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．19．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH＝∠CDE＝90°，在△HAD与△EDC中，，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；（2）如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G，∵FH⊥AO，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四边形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH＝AH．二．正方形的判定21．解：∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC垂直平分BD，当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC，∵∠BDC＝∠DBC，∴∠ABO＝∠CBO，又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC，∴△ABO≌△BOC（ASA），∴BA＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；当添加“∠BAD＝90°，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；当添加条件“OA＝OC”时，∵OB＝OD，∴四边新ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；当添加条件“∠ABC＝∠BCD＝90°”时，则∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，由证选项A可知四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．22．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A选项错误，故不符合题意；B．三个角都是直角的四边形是矩形，所以B选正确，故符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项错误，不符合题意；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误，不符合题意；故选：B．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．24．（1）证明：如图1，∵AD＝2AO，∵BC＝4，∴AO＝2，∴BO＝4，∴BO＝BC＝PC＝OP＝4，又∵∠B＝90°，∴四边形OBCP是正方形；（2）解：如图2，作NH⊥AM于H，∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠AMN＝∠AMB，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，在Rt△AMB中，AM2＝AB2+BM2＝36+BM2，∵BM≤4，∴36+BM2≤52，∴AN•BM≤26，故BM•AN的值不等于27．25．解：（Ⅰ）证明：连接CD，∵m∥AB，∴EC∥AD∵DE⊥BC，∴∠CFD＝90°，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∴∠DCA＝∠CDE，∴DE∥AC∴四边形DECA是平行四边形，∴CE＝DA（Ⅱ）（i）四边形BECD是菱形．∵由（Ⅰ）知：四边形DECA是平行四边形，∴CE＝DA，CE∥AD在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，∴BD＝DC＝DA，又∵CE＝DA，CE∥AD∴四边形BECD是菱形．（ii）当∠A＝45°时，由于四边形DECA是平行四边形，∴∠EDB＝∠A＝45°，又∵BE＝BD，∴∠BED＝∠EDB＝45°，∴∠EBD＝90°．由于四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°26．（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．27．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝3（cm）；（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．28．（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，∴QE、QF为△PBC的中位线，∴QE∥PF，QF∥PE，∴四边形PEQF是平行四边形；（2）解：①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP＝PD，由勾股定理得：PB＝，PC＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴PB＝PC，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴PE＝PF，由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD＝2AB时，①中的菱形PEQF是正方形，理由是：∵AD＝2AB，AD＝2AP，∴AB＝AP，∴△ABP是等腰直角三角形，∴∠APB＝45°，同理可得∠CPD＝45°，∴∠EPF＝90°，∴①中的菱形PEQF是正方形．29．证明：（1）由已知得AD∥BC，AD＝BC，∵M、N分别是AD和BC的中点，∴AM＝AD，CN＝BC，AM＝CN，∵AM∥CN，AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，∴∠AMC＝90°，∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是矩形；（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，∴AM＝CM，∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形；（4）∵AC＝CD，M是AD的中点，∴∠AMC＝90°，∵由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是矩形，∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，∴AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∴四边形AMCN是正方形30．（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴ED∥BC，ED＝BC．同理FG∥BC，FG＝BC，∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AE＝BE，FH＝BF，∴EF＝HA，∵BC＝HA，∴EF＝BC＝DE，∴▱DEFG是菱形；（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，理由是：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，∴CD＝AC，BE＝AB，∴CD＝BE，在△DCB和△EBC中，∵，∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DBC＝∠ECB，∴HC＝HB，∵点G、F分别为HC、HB的中点，∴HG＝HC，HF＝HB，∴GH＝HF，由（1）知：四边形DEFG是菱形，∴DF＝2FH，EG＝2GH，∴DF＝EG，∴四边形DEFG为正方形．三．正方形的判定与性质31．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．32．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．33．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CM＝DN，∴BE＝CF＝DM＝NA，又∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△BEF≌△CFM≌△DMN≌△ANE，∴EF＝FM＝MN＝NE，∴四边形EFMN是菱形．∵∠AEN＝∠BFE，且∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEN＝90°，∴∠FEN＝90°．∴菱形EFMN是正方形；（2）当EN最小时，正方形EFMN的周长最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝2，又四边形EFMN是正方形，∴四边形EFMN周长的最小值为．34．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．35．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AC⊥BD，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠AEB+∠AOB＝90°+90°＝180°，∴A、O、B、E四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OEB＝∠OEA，即EO平分∠AEB；解法二：如图，过点O作ON⊥AE于N，AM⊥EB交EB的延长线于M．证明△ONA≌△OMB，推出OM＝ON，可得结论．（2）解：AE+BE＝OE．理由：如图1，延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，∵由（1）知，∠OBE+∠OAE＝180°，∠OAE+∠OAF＝180°，∴∠OBE＝∠OAF，在△OBE与△OAF中，，∴△OBE≌△OAF（SAS），∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF．∵∠BOE+∠AOE＝90°，∴∠AOF+∠AOE＝90°，∴∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴2OE2＝EF2，即2OE2＝（AE+BE）2，∴AE+BE＝OE．（3）证明：如图2所示，∵ABCD是正方形，∠E＝∠H＝90°，∴AB＝AD．∵∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．在△ABE与△ADH中，，∴△ABE≌△ADH（ASA）．同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH，∴四边形EFGH为正方形．。

《5.3正方形》期末复习培优提升训练(附答案)2020-2021年八年级数学浙教版下册

《5.3正方形》期末复习培优提升训练(附答案)2020-2021年八年级数学浙教版下册

2021年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣，2）D．（﹣1，）2．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（）A．4B．8C．D．3．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线长度相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角4．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，它的面积是405，AE＝6，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．361B．360C．316D．3155．下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形6．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形7．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形8．两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形9．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（）A．当AB⊥BD时，它是菱形B．当AC＝BD时，它是正方形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AB＝BC时，它是矩形10．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确11．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度．12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是．13．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为．14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD中点，F为BC边上一点，且CF＝1，连AF，EG⊥AF交BC于G，则BG＝．15．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）16．如图菱形ABCD，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为正方形．17．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（判断对错）18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）若E、F分别是AD、BC中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF ＝AF+DE．其中正确的是（填序号）．20．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．21．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．22．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．23．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．24．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．25．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．26．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH是正方形．27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF ⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．28．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．29．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．30．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE是正方形；（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN＝PB．参考答案1．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，∵B（1，3），∴DE＝3，BF＝1，设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，∵四边形ABCO为正方形，∴∠BCO＝90°，CB＝CO，∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠OCD＝∠CBE，在△OCD和△CBE中，∴△OCD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，OD＝CE，即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，∴m＝﹣1，n＝2，∴C点坐标为（﹣1，2）．故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．3．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；正方形具有菱形和矩形的性质，∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，故选：A．4．解：∵正方形ABCD的面积是405，∴AB＝＝9，∵AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝3，∴阴影部分的面积＝4×6×3＝360，故选：B．5．解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意；B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项符合题意；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项不符合题意；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项不符合题意；故选：B．6．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．故选：B．7．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．8．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：B．9．解：A、当AB⊥BD时，∠ABD＝90°，则∠ABC＞90°，当AC⊥BD，四边形ABCD是菱形，故A错误；B、由四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则四边形ABCD为矩形，故B错误；C、当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；D、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，则四边形ABCD为菱形，故D错误．故选：C．10．解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，∴PQ2＝AQ2+AP2，即PQ＝＝＝，x取值不同则PQ的长度不同，∴甲不正确，若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QP A＝90°，在△QMD和△PQA中，，∴△QMD≌△PQA（ASA），∴QD＝AP，同理QD＝AP＝MC＝BN，又∵BP＝MD＝AQ，∴QD﹣AD＝P A﹣AB，∴AB＝CD，同理AB＝CD＝AD＝BC，∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，则四边形ABCD为正方形，∴乙正确，故选：B．11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵AB＝2，点E是AB的中点，∴BE＝AB＝1，∵EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∴EF＝BE＝，故答案为：．12．解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∵等边△ADE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝15°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝75°，故答案为：75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，∵EF⊥BD于点F．BE＝，∴EF＝BE•sin45°＝1，∵DE平分∠CDB，∴CE＝EF＝1，∴BC＝+1．故答案为：+1．14．解：如图，延长AE，BC交于点H，连接AG，设EG与AF交于点N，∵E为CD中点，∴DE＝CE＝2，在△ADE和△HCE中，，∴△ADE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AD＝CH＝4，∵CF＝1，∴FH＝FC+CH＝5，BF＝3，∵AF＝＝＝5，∴AF＝FH，又∵AE＝EH，∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，又∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，∴EC＝EN＝2＝DE，在Rt△ADE和Rt△ANE中，∴Rt△ADE≌Rt△ANE（HL），∴AD＝AN＝4＝AB，在Rt△AGN和Rt△AGB中，，∴Rt△AGN≌Rt△AGB（HL），∴BG＝GN，∵EG2＝EC2+CG2，∴（2+BG）2＝4+（4﹣BG）2，∴BG＝，故答案为：．15．解：①对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，说法错误；②矩形的对角线互相垂直，说法错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确；④对角线垂直的矩形是正方形，说法正确．故答案为：③④．16．解：由于四边形ABCD是菱形，如果∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：∠BAD＝90°．17．解：如图，已知AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为正确．18．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．19．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，故②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．20．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝a，故答案为：a，21．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．22．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，由图可知：AG＝AF+FG，∴BF＝FG+DG．23．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS）；∴BE＝DG．∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，即AB＝CE+DG．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．25．（1）证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）解：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴GA＝GB，∴平行四边形AHBG是菱形．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAG＝45°，又∵△ABC≌△BAD，∴∠ABG＝∠BAG＝45°，∴∠AGB＝90°，∴菱形AHBG是正方形．26．证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）连接GH．∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，F是BC的中点，∴EF＝BC，∵G、H分别是BE、CE的中点，∴GH＝BC，∴EF＝GH，∴平行四边形EGFH是正方形．27．证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．28．证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．29．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴DF＝CE，∴∠DEF＝∠CEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠ABE＝∠DEF．30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝AB，∴BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形，∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE，∴平行四边形BDCE是正方形；（2）∵四边形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°，∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM，在△DBP和△NMP中，，∴△DBP≌△NMP（ASA），∴DB＝MN，∴AB＝NM，∴AN＝BM，∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝BP，∴AN＝BP．。

2020—2021年新浙教版八年级数学下册《正方形》单元考点练习及答案解析一精品试卷.docx

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5．3 正方形(二)(第1题)1．如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向内作等边三角形ABE ，连结EC ，则∠BEC 的度数为(D)A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．75°2．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则S △AEF ＝(B) A.52 B.32 C ．2 D.3553．有下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤三角形．其中一定能够找到一点，使该点到各边距离都相等的是(D)A. ①②B. ②③④⑤C. ②④D. ②④⑤4．在正方形ABCD中，对角线长为2 cm，E是AB边上任意一点，则点E到两条对角线的距离之和是(B)A. 22cmB. 1 cmC. 2 cmD. 2cm5．已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝16 cm，则DO＝__8__cm，BO＝__8__cm，∠OCD＝__45°__．(第6题)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是__1__，△BPD的面积是．(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H.求证：(1)△BCG≌△DCE.(2)BH⊥DE.【解】(1)∵四边形ABCD，四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)由(1)知，△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC.又∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BH⊥DE.8．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，求DE的长．(第8题)【解】 过点E 作EF ⊥DC 于点F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD. ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF. ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22. ∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22. ∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.9．若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【解】 设正方形的边长为1，则矩形的长为12，该矩形的宽为x ，根据题意，得 x ＋12＋x ＝1， 解得x ＝14.∴k ＝2＋2＋1÷14＝8.(第9题) (第10题)10．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C【解】 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E. ∵四边形OABC 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°， ∴∠COE ＋∠AOD ＝90°. 又∵∠OAD ＋∠AOD ＝90°， ∴∠OAD ＝∠COE. 在△AOD 和△OCE 中，∵⎩⎨⎧∠OAD ＝∠COE ，∠ADO ＝∠OEC ＝90°，AO ＝OC ，∴△AOD ≌△OCE(AAS)． ∴OE ＝AD ＝3，CE ＝OD ＝1. ∵点C 在第二象限， ∴点C 的坐标为(－3，1)．(第11题)11．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是45°．【解】 过点E 作HI ∥BC ，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE ＝∠EIF ＝90°. ∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点， ∴BE ＝EF.∵E 是正方形对角线AC 上的点，即E 是∠BCD 的平分线上一点， ∴点E 到BC 和CD 的距离相等，∴BH ＝EI.在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，∵⎩⎨⎧BE ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EIF(HL)． ∴∠HBE ＝∠IEF. ∵∠HBE ＋∠HEB ＝90°， ∴∠IEF ＋∠HEB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝EF ， ∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.12．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为BC 边上任意一点(可与点B ，C 重合)，分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′，C ′，D ′，求BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值与最小值．(第12题) (第12题解) 【解】 如解图，连结AC ，DP. 由题意，得S △ACD ＝S △ADP ＝12AP ·DD ′.∵S △ABP ＋S △ACP ＋S △ACD ＝1，∴12AP ·BB ′＋12AP ·CC ′＋12AP ·DD ′＝1， ∴BB ′＋CC ′＋DD ′＝2AP.易知1≤AP ≤2(当点P 与点B 重合时，AP ＝1；当点P 与点C 重合时，AP ＝2)， ∴2≤BB ′＋CC ′＋DD ′≤2.即BB′＋CC′＋DD′的最大值为2，最小值为 2.(第13题)13．如图，正方形ABCD的周长为40 m，甲、乙两人分别从A，B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 m，乙按顺时针方向每分钟行30 m.(1)出发几分钟后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)如果用记号(a，b)表示两人走a(min)，并相遇b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是多少？【解】(1)设出发x(min)后，甲、乙第y次相遇(y是正整数)，则有：(55＋30)x＝40(y－1)＋10，即85x＝40y－30，17x＝8y－6，∴y ＝17x ＋68＝2x ＋x ＋68.∵当甲、乙都在顶点处时，甲、乙的路程都必须为10的倍数，即55x 和30x 都为10的倍数，∴x 为2的倍数．又∵y 是正整数， ∴x 最小为2.∴出发2 min 后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇． (2)∵当甲、乙处在正方形的两个相对顶点位置时，他们相差20 m ， ∴(55＋30)a ＝40(b －1)＋10＋20， 即85a ＝40b －10， 17a ＝8b －2，∴b ＝17a ＋28＝2a ＋a ＋28.由(1)知a 为2的倍数，且b 为整数， ∴a 最小为6. 当a ＝6时，b ＝13， ∴对应的记号为(6，13)．。

浙教版数学八年级下5.3正方形练习题含答案

浙教版数学八年级下5.3正方形练习题含答案

正方形——第二课时班级：___________姓名：___________得分：__________一、选择题1、下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直2、如图，矩形ABCD 中，AB>AD ，AB ＝a ，AN 平分∠DAB.DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，则DM ＋CN 的值为(用含有a 的代数式表示)( )A ．a B.45a C.22a D.32a3、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连结AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝5，则四边形EFGH 的面积是( )A ．30B ．34C ．36D ．40二、填空题1、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为________度．2、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为______________．3、如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为__________．三、解答题1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.3、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．4、如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．5、如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6、如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．参考答案一、选择题1、C【解析】注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，B错在等腰梯形不是中心对称图形，D错在结论应是互相平行．2、C【解析】设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝22a－x，∴DM＋CN＝22a.3、B【解析】与∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3个．4.B【解析】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4××5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2，选B．二、填空题1、125．【解析】∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF＝180°－70°2＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°.2、7.Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)【解析】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），根据题意得： b=1，k+b=2，解得： b=1，k=1．则直线的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．由图知，A n的纵坐标与B n的纵坐标相等，B3的横坐标为1+2+4=7∴B n的横坐标为2n-1则B n的坐标是(2n-1, 2n-1)3、【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴。

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正方形——第二课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下列命题中，真命题是( )
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C ．圆的切线垂直于经过切点的半径
D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2、如图，矩形ABCD 中，AB>AD ，AB ＝a ，AN 平分∠DAB.DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，则DM ＋CN 的值为(用含有a 的代数式表示)( )
A ．a B.45a C.22a D.3
2
a
3、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，
现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连结AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝5，则四边形EFGH 的面积是( )
A ．30
B ．34
C ．36
D ．40
二、填空题
1、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为________度．
2、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为______________．
3、如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为__________．
三、解答题
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
3、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
4、如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
5、如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
6、如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1、C
【解析】
注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，B错在等腰梯形不是中心对称图形，D错在结论应是互相平行．
2、C
【解析】设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝
2
2
a－x，
∴DM＋CN＝
2
2
a.
3、B
【解析】
与∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3个．
4.B
【解析】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4××5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2，选B．
二、填空题
1、125．
【解析】
∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF
＝180°－70°
2
＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.
∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°.
2、7.Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
由图知，A n的纵坐标与B n的纵坐标相等，
B3的横坐标为1+2+4=7
∴B n的横坐标为2n-1
则B n的坐标是(2n-1, 2n-1)
3、
【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴。

同理
∴。

三、解答题
1、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
2、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.
3、解：(1)四边形OCED 是菱形．
∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形， 又在矩形ABCD 中，OC ＝OD ，∴四边形OCED 是菱形．
(2)连结OE.由菱形OCED 得CD ⊥OE ， ∴OE ∥BC ，又CE ∥BD ，
∴四边形BCEO 是平行四边形． ∴OE ＝BC ＝8，
∴S 四边形OCED ＝12OE ·CD ＝1
2×8×6＝24.
4、解：(1)在等边三角形ABC 中，
∵点D 是BC 边的中点，∴∠DAC ＝30°. 又∵△ADE 为等边三角形，∴∠DAE ＝60°. ∴∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ＝30°. (2)由(1)知，∠EAF ＝90°，
由F 为AB 的中点知，∠CFA ＝90°，∴CF ∥EA. 在等边三角形ABC 中，CF ＝AD. 在等边三角形ADE 中，AD ＝EA. ∴CF ＝EA.
∴四边形AFCE 为平行四边形．
又∵∠CFA ＝90°，∴四边形AFCE 为矩形．
5、证明：(1)在△ADF 和△CDE 中，∵AF ∥BE ，∴∠FAD ＝∠ECD.又∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∵∠ADF ＝∠CDE ，∴△ADF ≌△CDE ，∴AF ＝CE.
(2)若AC ＝EF ，则四边形AFCE 是平行四边形．由(1)知AF ∥CE ，AF ＝CE ，∴四边形的AFCE 是平行四边形，又∵AC ＝EF ，∴四边形AFCE 是矩形．
6、解：(1)在矩形ABCD 中，AC ∥DE ，∴∠DCA ＝∠CAB.∵∠EDC ＝∠CAB ，∴∠DCA ＝∠EDC ，∴AC ∥DE.
(2)四边形BCEF 是平行四边形．
理由：由∠DEC ＝90°，BF ⊥AC ，可得∠AFB ＝∠DEC ＝90°， 又∠EDC ＝∠CAB ，AB ＝CD ，
∴△DEC ≌△AFB ，∴DE ＝AF ，由(1)得AC ∥DE ，
∴四边形AFED 是平行四边形，∴AD ∥EF 且AD ＝EF ， ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC 且AD ＝BC ， ∴EF ∥BC 且EF ＝BC ，
∴四边形BCEF 是平行四边形．。

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