材料力学轴向拉伸和压缩第6节 应力集中的概念
材料力学 轴向拉伸
轴向拉伸和压缩
无明显屈服阶段的，规定以塑 性应变s=0.2%所对应的应力作为 名义屈服极限，记作0.2
A 0.2 S
铁
4、低碳钢
特点： 较大，为塑性材料 。
O
0.2%
Ⅲ、测定灰铸铁拉伸机械性能 b
P
轴向拉伸和压缩
强度极限：
Pb
L
O
Pb b = A0
① b—拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指 标。 ② 应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很 小且b很低。
强度条件
u
n
σu---- 极限应力
n----安全因数
max
FN，max = A
根据强度条件可进行强度计算： ①强度校核 (判断构件是否破坏)
②设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏)
③求许可载荷 (构件最大承载能力)
轴向拉伸和压缩
例五 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽钢。
其中：E----弹性模量，单位为Pa;
EA----杆的抗拉（压）刚度。 胡克定律的另一形式：
= E
实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数ν----称为横
向变形系数（泊松比）
| ' | ' = =||
= - = -
'
E
轴向拉伸和压缩
例三 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D
FN=F
单位：
SFX=0：-FN’+F=0FN’
FN’=F
II
F
x
N(牛顿)或 kN(千牛)
规定： 轴力拉为正，轴力压为负。
3、轴力图
轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
第五章-轴向拉伸与压缩讲解
它与垂直面的夹角为a。取左段为脱离体，
F
k pa FN
可求出该截面的轴力FN，且FN=F。则斜截 面上的应力P a为
k
Pa
FN Aa
式中，A a为斜截面面积。设横截面面积为A，则有：
Aa
A
cosa
可得：
Pa
FN A
cosa
Pa s cosa
16
建筑力学
应力可分解为斜截面上的正应力和平行于截面的切应力(如 下图)，它们分别为：
建筑力学
第五章 轴向拉伸和压缩
➢ 轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图
➢ 应力和应力集中的概念
➢ 轴向拉(压)杆的强度计算
➢ 轴向拉(压)杆的变形计算
➢ 材料在拉伸、压缩时的力学性能
➢ 轴向拉(压)超静定问题
1
建筑力学
6.1 轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图
F
F
2
建筑力学
F F
3
建筑力学
轴向拉伸：在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸。 轴向压缩：在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。
pm
lim
ΔA0
ΔF ΔA
dF dA
式中，p为点C 的应力， △F 为小面积△A上的合内力。
12
建筑力学
一点处的应力可以分解成两个应力分量：垂直于截面的分
量称为正应力，引起长度变化，用符号σ表示；与截面相切的 分量称为切应力，引起角度变化，用符号τ表示。如下图所示。
应力的单位为帕斯卡(简称帕)，符号Pa。常用的单位有千 帕(kPa)、兆帕(MPa)、或吉帕(GPa)。
17
建筑力学
❖ 应力集中的概念 在实际工程中，由于结构和工艺上的要求，构件的截面尺寸
材料力学应力集中知识点总结
材料力学应力集中知识点总结材料力学是研究材料的强度、刚度和稳定性等力学性能的科学。
在材料力学中，应力集中是一个重要的概念，指的是材料中某个区域的应力远高于周围区域的现象。
在实际工程中，应力集中会导致材料的破坏和失效。
本文将针对材料力学中的应力集中问题进行总结和探讨。
1. 应力集中的分类及原因(1) 平面应力集中：平面内某一点的应力值远大于其周围区域的现象。
(2) 空间应力集中：材料内部某一点的应力值远大于其周围区域的现象。
应力集中的原因主要有几个方面：几何形状、外界载荷和材料本身的性质。
2. 应力集中系数应力集中系数是衡量应力集中程度的参数。
对于某些典型几何形状，应力集中系数已有经验公式。
例如，对于圆孔应力集中系数为3，对于V形切口应力集中系数为2等。
3. Kt因子Kt因子是应力集中系数的一种常用形式，通过Kt因子可以计算出应力集中区域的应力。
Kt因子与几何形状和载荷有关。
常见的材料标准中往往给出了不同几何形状的Kt因子数值。
4. 应力集中的影响应力集中会导致材料的破坏和失效，主要表现为以下几个方面：(1) 应力集中引起的局部应力过大，可能导致材料发生塑性变形或断裂。
(2) 应力集中可能导致疲劳寿命的降低，引起疲劳断裂。
(3) 应力集中可能导致材料的强度和刚度下降，影响结构的稳定性。
5. 应力集中的改善措施为了减小或避免应力集中，可以采取以下的改善措施：(1) 合理设计和优化几何形状，避免出现应力集中的部位。
(2) 利用合适的材料，提高材料的强度和韧性，减少应力集中的影响。
(3) 在应力集中区域设置适当的补强措施，如添加加强结构或补强材料。
6. 数值模拟方法与应力集中数值模拟方法，如有限元分析，可以帮助工程师预测和分析应力集中问题。
通过数值模拟，可以获得应力集中区域的应力分布情况和应力集中系数，从而指导实际工程中的设计和改进。
总结：材料力学中的应力集中是一个重要而复杂的问题，在工程实践中具有重要的意义。
(完整版)建筑力学第六章轴向拉伸与压缩
会使杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。” 也就是
说，离开荷载作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用
方式的影响。
q
F
a
q F
a
F
F
a
a
如果只考察中间段，则不管受力方式如何（均布力或集中力）， 均可得到相同的应力分布。
我们研究的杆件的横向尺寸相比纵向尺寸来说一般很小，因 此，如非特别说明，可以忽略杆端不同力作用方式的影响。
x
O
5
FNmax 50( kN ) 发生在BC段内任一横截面上
18
轴力注意事项
1. 与杆平行对齐画
40kN
A 600 B
FN(kN)
55kN 25kN
300 C 500 50
D 400
2. 标明内力的性质 20kN （FN） E 3. 正确画出内力沿
轴线的变化规律
4. 标明内力的符号
10
O
+
5
20kN
A 600
B
C 300
500
D 400 E
R
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
13
轴力图—例题1
求AB段内的轴力
R
40kN
A
B
1
R
FN1
55kN 25kN
C
D
20kN E
FN1 R 0
FN1 R 10(kN) ()
14
轴力图—例题1
求BC段内的轴力
R
40kN
55kN 25kN
1. 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
材料力学-第8章 轴向拉伸与压缩
0
45
max
2
0
max
2
90
0
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
圣维南原理 ——加力点附近区域的应力分布问题
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，杆件并 非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。在 这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都 适用。
拉伸与压缩时材料的力学性能
单向拉伸时材料的力学行为
第8章 轴向拉伸与压缩
拉伸与压缩时材料的力学性能
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成 标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使 试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记 录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称 为应力-应变曲线(stress-strain curve)。;
F1
F
C
x
0
C
F2 F2
FNB＝F2－F1 5kN
第8章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
A FN B' B" B l
F1
l
B'
B'
3. 应用截面法求控制面上的轴 力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B"、C处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
l
B'
FN C C
F2
C
F2
F
x
0
FNC＝F2 10kN
建筑力学 第六章 轴向拉伸与压缩
6.1 轴向拉伸与压缩的概念
在工程中以 拉伸或压缩 为主要变形 的杆件， 称为： 拉、压杆 若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴 线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。
6.2 轴向拉(压)杆的内力与轴力图 6.2.1 拉压杆的内力
唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截 面沿杆轴线并通过形心。
材料的力学性能：是材料在受力过程中表现出的 各种物理性质。
6.5.1 标准试样 试样原始标距与原始横截面面积有
l0 k A 关系者
为比例试样。国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可 以采取较高的值（优先采用11.3的值）。
采用圆形试样，换算后 l0 5d 和 l0 10d 两种
表6.1 常用材料的E值
材料名称 低碳钢 中碳钢 低合金钢 合金钢 灰口铸铁 球墨铸铁 铝合金 硬铝合金 混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹） LY12 牌号 Q235 45 16Mn 40CrNiMoA E 200 ~ 210 205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例题6.1 一等直杆及受力情况如图（a）所示， 试作杆的轴力图。 解： 1）求AB段轴力 1–1截面：
FN1 5 kN
2–2截面：
FN2 5 kN 10 kN 15 kN
3–3截面：
FN3 30 kN
（4）按作轴力图的规则，作出轴力图，
6.3
轴向拉(压)时横截面上的应力
杆件1 ——
注意：
1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不成立
（变形体，不是刚体）
05.材料力学-拉伸与压缩-
F
FN
A FN
FN A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
26
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
FN 变直杆： max A max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
41
5、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能
1200 MPa
30铬锰硅钢
50钢 硬铝
600
400 200
5
10 (%)
15
20
42
共有的特点：断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。 有些材料没有明显的屈服阶段。 对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力 0.2 表示。 产生 0 .2 0 0 的塑性应变时所对应的应力值。
② 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
10
例：已知外力 F，求：1-1截面的内力FN 。
解： ①截开。 F 1—1 F
k F k
k
F
A A cos A 由几何关系： 代入上式，得： A cos F F p cos cos 斜截面上全应力： p cos A A 30
F 则：应力 p A
k
A：斜截面面积；F：斜截面上内力。
斜截面上全应力：p 分解： p
(横截面上存在最大正应力)
( ) min 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) | |max 当 = ± 45°时， 2
应力集中的定义
应力集中的定义应力集中的定义应力集中是指在材料中存在着一些几何形状或载荷形式不均匀的部位，使得在这些部位处产生了较大的应力集中。
这种现象会导致材料的疲劳寿命降低、裂纹扩展加速、甚至引起断裂等严重后果。
因此，对于工程设计和材料选择来说，应力集中问题是非常重要的。
应力集中的原因应力集中主要是由于几何形状和载荷形式不均匀引起的。
例如，在悬臂梁上施加一个重物时，梁上距离重物最近处会出现较大的弯曲应力；在孔洞附近施加载荷时，孔洞周围也会出现较大的拉伸或压缩应力。
此外，材料内部存在缺陷、夹杂物或焊接缺陷等也会导致局部应力集中。
影响因素影响应力集中程度的因素很多，主要包括：载荷大小、载荷类型（拉伸、压缩、剪切等）、几何形状（尺寸、角度等）、材料性质（弹性模量、屈服强度等）、表面处理等。
这些因素的改变都会影响应力集中的程度和位置。
应力集中的危害应力集中会导致材料的疲劳寿命降低，裂纹扩展加速，甚至引起断裂等严重后果。
在工程设计和材料选择时，必须考虑应力集中问题。
如果忽略了这个问题，可能导致工程事故的发生。
应力集中的评估方法为了评估应力集中问题，可以采用有限元分析、试验测试、理论计算等方法。
其中有限元分析是最常用的方法之一，它可以通过数值模拟得到局部应力和变形情况，并进一步评估材料的疲劳寿命和断裂风险。
试验测试则是通过实验测量得到局部应力和变形情况，并验证有限元分析结果的准确性。
理论计算则是根据材料力学理论进行计算，但由于其假设条件比较苛刻，通常只适用于简单几何形状。
应对措施为了避免或减轻应力集中问题带来的危害，可以采取以下措施：一是优化设计，尽量避免出现几何形状不均匀的部位；二是加强材料的表面处理，提高材料的抗蚀性和抗疲劳性；三是采用减载、增加支撑等方法，降低局部应力集中程度；四是选择合适的材料，提高材料的强度和韧性。
这些措施可以有效地减轻应力集中问题带来的危害。
结语应力集中问题在工程设计和材料选择中非常重要。
了解应力集中问题的原因、影响因素、评估方法和应对措施，对于提高工程质量、延长设备寿命具有重要意义。
《建筑力学》第五章轴向拉伸和压缩
图 5-16
图 5-17
3、铸铁拉伸时的力学性质
铸铁试样拉伸时的 曲线如图 5—18 所示，从开始受拉到断裂，没有明显直
线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，断口垂直于试样轴线，即发生在最 大拉应力的作用面。断裂时的应交仅为 0．4％一 0．5％，说明铸铁是典型的脆性材料。
一般说 m—m 截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力 pm 随所取 A的大
小而不同。所以它并不能真实的表明内力在 M 点的强弱程度。随着 A的逐渐缩小，分 布于 A内的力也逐渐均匀。当 A趋近零时，极限值：
p lim p dp A dA
称为 M 点处的内力集度，也称 M 点处的总应力。p 是一个矢量，一般说不与截面 垂直，也不与截面相切。通常将 p 分解为垂直截面的分量σ 和切于截面的分量 τ （图 5-2）。σ 称为正应力。τ 称为剪应力。
程度。为了消除杆件尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的
纵向变形量 l 除以杆的原始长度 l ，得到杆件单位长度的纵向变形
l
l
（5-2a）
ε 称为纵向线应变，简称线应变。ε 的正负号与 l 相同，杆在轴向拉伸时为
正值，压缩时为负值。ε 是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量 a 除以杆的
前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的 应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引 起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然 后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。
现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线 ab 和 cd（图 5-7）。
材料力学轴向拉伸和压缩
故不同截面的变形不同。
x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x x
第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f(xx)
f
x
l
x
x
fx
沿杆长均匀分布
轴力图
微段的分离体
的荷载集度为 f
x截面处沿x方向的纵向线应变为
x
limx x0 x
dx
dx
一般情况下，杆沿x方向的总变形 l 0lx dx
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
pF A A/c Fo sF Aco ss0co s
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后
的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。
2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
第二章 轴向拉伸和压缩
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
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• 对于各种典型的应力集中情形，如洗槽、钻孔和螺 纹等， 的数值可查有关的机械设计手册。
• 对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生 应力集中的主要因素，而构件外形改变所引起的应 力集中是次要因素，可以不考虑应力集中的影响。
• 应力集中：工程中常在一些构件上钻孔、开槽（如 退刀槽、键槽等）及车削螺纹等，有些则需要制成 阶梯轴。研究表明，在杆件截面突变处附近的小范 围内，应力的数值急剧增大，而离开这个区域稍远 处，应力就大为降低。并趋于均匀分布，这种现象 称为应力集中。
• 应力集中的程度用理论 应力集中系数表示：
max a
式中max 为最大拉应力， a 为假设应力均匀分布时 该截面上的名值取决于截面的几何形状与尺寸， 截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。 因此，在杆件上应尽量避免带尖角、槽或小孔，在 阶梯轴肩处，过渡圆弧的半径以尽可能大些为好。
• 塑性材料对应力集中不敏感，实际工程计算中可按 应力均匀分布计算。