三角函数诱导公式一-四

数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如 1＝sin2α＋cos2α＝tan
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类型三 三角函数式的化简
【例 3】 化简下列各式．
tan (1)
2π－coαssαin－－πs2iπn－5απ－coαs6π－α；
1＋2sin 290°cos 430° (2) sin 250°＋cos 790° .
[思路探索] (1)直接利用诱导公式化简即可． (2)可用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数值的正 负，从而达到化简目的．
1．3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数诱导公式一～四
【课标要求】 1．了解π＋α，π－α，－α的终边与角α的终边的关系，会推导π＋
α的正弦、余弦、正切公式． 2．掌握π＋α，π－α，－α的正弦、余弦、正切公式并能正确运
用． 【核心扫描】 1．理解诱导公式的推导．(难点) 2．诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用．(重点) 3．各种诱导公式的特点．(易混点)
＝
－1－sin2s7i0n°7＋0°ccooss7700°°＝|ccooss
70°－sin 70°－sin
70°| 70°
＝scions
70°－cos 70°－sin
7700°°＝－1.
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[规律方法] 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函
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解
sin (1)原式＝cos
2π－α 2π－α·sin
－αcos
－α
cos π－αsin π－α
＝－cossinαα－－csoisnααscinosαα＝－csoins αα＝－tan α.
(2)原式＝
1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70° sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°
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类型一 给角求值问题
【例 1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°； (2)cos －316π； (3)tan (－945°)． [思路探索] 利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的 三角函数．
解 (1)法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°
π6＝－
3 2.
法二 cos －316π＝cos －6π＋56π
＝cos
π－π6＝－cos
π6＝－
3 2.
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(3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. [规律方法] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意 角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先 将负角的三角函数化为正角的三角函数．
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温馨提示：公式一～四可概括如下：k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－ α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象 限”(把α视为锐角)．
互动探究 探究点1 诱导公式中的角α只能是锐角吗？ 提示 角α不仅仅是锐角，可以是任意角．
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探究点2 诱导公式一～四主要有什么作用？ 提示 公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围 内的角； 公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三 角函数； 公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角的三角函数； 公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三 角函数． 因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三 角函数.
＝sin
(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
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法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin
(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)法一 cos －316π＝cos 316π＝cos 4π＋76π
＝cos (π＋π6)＝－cos
化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式
的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当
地选择诱导公式．
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【活学活用 2】 已知 cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求 sin(α－3π)＋ cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α) ＝－－45＋35＝15.
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【活学活用 1】 求 sin 2nπ＋23π·cos nπ＋43π的值(n∈Z)．
解
①当 n 为奇数时，原式＝sin
23π·－cos
4 3π
＝sin π－π3·－cos π＋π3
＝sin
π 3·cos
π3＝
23×12＝
3 4.
②当 n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π
＝sin π－π3·cos π＋π3
＝sin
π3·－cos
π3＝－
3 4.
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类型二 给值求值问题 【例 2】 (2012·商丘高一检测)已知 cos (α－75°)＝－13，且 α 为第
四象限角，求 sin (105°＋α)的值．
[思路探索] 利用同角三角函数的基本关系式，由cos(α－75°)的值 求sin (α－75°)的值，再结合诱导公式求sin(105°＋α)的值．
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解 ∵cos (α－75°)＝－13<0，且 α 为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin (α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2
3
2 .
∴sin (105°＋α)＝sin 180°＋α－75°
＝－sin
(α－75°)＝2
3
2 .
[规律方法] 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行