非惯性系中的质点动力学

ω 2r
cot θ =
而 本题中：
g
dy = tan θ = g dx
ω 2r ω 2r
dy ω 2 x r = x， = dx g
积分得
y=
ω x
2
2
图 1-5
2g
+ c （c 为积分常数）
当 x=0 时，y=0，则 c=0，故液面曲线方程为
y=
ω 2 x2
2g
，
即
x2 =
2 gy
ω2
设 x=R 处液面边缘的 y 值为 y1，则
O
C
ϕ
a rn FI C
m
vr
a rt
(a) 图 1-10 (b)
aC FIe
235
解
l0 a a 2 = ， sin θ = sin ϕ ， FIe = mae = ml 0ω sin ϕ sin θ l0
&& = −ml 0ω 2 ⋅ && = − FIe sin θ ， mlϕ mlϕ
相对运动微分方程（切向） （不计重力）
ω0 =
g l
式中
ϕ 2 为方程（3）的特解：
p 2a ϕ 2 = 2 l 2 sin pt ω0 − p
故全解
ϕ = A sin(ω 0 t + θ ) +
& = 0 ，解得 由初始条件 t=0 时， ϕ = 0,ϕ
230
p2a l (ω 0 − p 2 )
2
sin pt
A=−
p 3a lω 0 (ω 0 − p 2 )
ω0
= 2π
m k − mω 2
z
O
(a) 图 1-8
FN FIe x
(b)
dx mg
x
解 小球 B 为研究对象，动系固结于直管，动系随 AB 绕轴 Oz 转动。小球 B 受力如图 1-8b 所示，其中与运动方向垂直的 FIC 及管壁水平约束力均未画出。图 1-8b 中
FIe = mxω 2
由动能定理得
第 1 章 非惯性系中的质点动力学
如图 1-1a 所示单摆 AB 长 l，已知点 A 在固定点 O 的附近沿水平作谐振动： x = OO1 = a sin pt ，其中 a 与 p 为常数。设初瞬时，摆静止于铅垂位置，求摆的相对运动 微分方程。 1-1
FT
ϕ
B
mg
τ
FIe
(a) 图 1-1
(b)
解 小球 B 为研究对象。设小球 B 质量为 m，把平移参考系固结于点 A，由相对运动动 力学基本方程
0 = FN + FIe sin θ − m1 g cosθ FN + m1ae sin θ = m1 g cos θ
（2）三棱柱 B 为研究对象，受力如图 1-2c 所示，由质点运动微分方程得
' m2 a e = FN sin θ
（1） （2）
式（1） ， （2）联立，解得三棱柱 B 的加速度
aB = ae =
2
,θ = 0
ϕ=
⎛ ⎞ ap 2 p ⎜ sin pt − sin ω 0t ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ω0 l (ω 0 − p ) ⎝ ⎠
1-2 三棱柱 A 沿三棱柱 B 的光滑斜面滑动， 如图 1-2a 所示。 A 和 B 的质量为 m1 与 m2， 三棱柱 B 的斜面与水平面成 θ 角，如开始时物系静止，摩擦略去不计。求运动时三棱柱 B 的加速度。
M FIe
ξ O
ξ
vr
(b) 图 1-6
FIC
(c)
解 以质点 M 为研究对象，将动系 Oξη 固结在圆盘上，绕定轴 O 转动。质点 M 的运 动和受力分析如图 1-6b、图 1-6c 所示，其中沿铅垂方向的重力及约束力均未画出。把 向轴 ξ 和轴 η 方向投影，得
ma r = F + FIC + FIe
d2r′ = ( FT + mg ) + FIe + FIC （1） dt 2 分析小球 B 的受力情况，因动系平移，故小球的科氏惯性力 FIC = 0 ，而牵连惯性力（如图 m
1-1b 所示) 式（1）向垂直于 AB 的 τ 方向投影，考虑到 得 因 ϕ 角很小，故 方程（2）可改写为
FIe = map 2 sin pt
& &r = ω 2 x r ， x r = C1e ω + C 2 e −ω x
（1） （2）
C1 − C 2 =
式（2） ， （3）联立，解得
v r1
ω
（3）
C1 =
代入式（1） ，得
v v 1 1 (a + r1 ) ， C 2 = (a − r1 ) ω ω 2 2
v v 1 1 x r = [(a + r1 )eωt + (a − r1 )e −ωt ] = [(aω + v r1 )e ωt + (aω − v r1 )e −ωt ] ω ω 2 2ω
1 2 mvr0 = WN + WP + WFIe 2 0 0 1 其中 WFIe = ∫ FIe dx = ∫ mxω 2 dx = − mω 2 l 2 l l 2 WN = WP = 0 因 vr 0 = ωl 解得 1-9 如图 1-9a 所示，直管 AB 长 l ，以匀角速度 ω 在水平面内绕固定点 O 转动，其中 OA = R1 ， OB = R2 ， R1 和 R2 为常数。1 质量为 m 的小球 M 在管内不受摩擦而运动，开 始时球在点 A，其相对速度为 v r1 。求球的相对运动规律，管对球的水平约束力 FN ，球离开 管子时所需的时间和在此瞬时球的相对速度 v r 2 。 0−
FN 90° − θ ae mg
(a) 图 1-4 (b)
M
FIe
解 设 AOB 内壁光滑并假设静止处容器内壁切线与水平夹角为 θ 。以质点 M 为研究对 象，转动参考系 Ox′y ′z ′ 固结在容器上，使轴 z ′ 与轴 z 重合，质点受力如图 1-4b 所示。把相 对运动动力学方程向切线方向投影，得 FIe cos θ − mg sin θ = 0 （1）
&& = − kξ + mξ
mω 2 ξ cosθ cosθ
η ξ
FIe Fk 2
M
θ
A
Fk1
O C
M
θ
B
ξ
FIC
ω
(c)
(a)
(b) 图 1-7
即 故质点的自由振动周期为
&& + ω 2ξ = 0 ， ξ 0
T= 2π
其中： ω 0 =
2
k −ω2 m
1-8 如图 1-8a 所示，光滑直管 AB，长 l，在水平面内以匀角速 ω 绕铅直轴 Oz 转动， 另有 1 小球在管内作相对运动。初瞬时，小球在 B 端，相对速度为 v r0 指向固定端 A。问 v r0 应为多少，小球恰能达到 A 端。
∑ Fy = 0 ， FN = mg
ma r = Fs − FIe = 0 Fs ≤ fmg ， fmg ≥ m ⋅ Rω 2 fg R≤ 2
ω
1-4
质点 M 质量为 m，被限制在旋转容器内沿光滑的经线 AOB 运动，如图 1-4a 所示。
231
旋转容器绕其几何轴 Oz 以角速度 ω 匀速转动。求质点 M 相对静止时的位置。
解 水平面内受力如图 1-9b 所示
&r = FIe cosθ ， m& &r = mRω 2 ⋅ x m& x
xr R
234
y O
R2 aC xr B ar FIe FN ae
M
ω
R1
FI C
A
xr
a O 1
(a) 图 1-9
(b)
t = 0 时， x r = a = C1 + C 2 & r = C1ω − C 2ω = v r1 t = 0 时， x
FIe = mω 2 r
式（2）代入式（1） ，得
（2）
cot θ =
g
1-5 如图 1-5a 所示离心分离机，鼓室半径为 R，高 H，以匀角速 ω 绕轴 Oy 转动。当 鼓室无盖时，为使被分离的液体不致溢出。求： （1）鼓室旋转时，在平面 Oxy 内液面所形 成的曲线形状； （2）注入液体的最大高度 H ′ 。 解 （1）设液面曲线方程为 y = F ( x) 。将动系 Ox′y ′z ′ 固结在鼓室上，点 O 取在液面中 心的最低点，使 y ′ 与 y 轴重合，由上题结果，液体相对平衡时，在平面 Oxy 内，液面曲线 ，且有 的切线与轴 Oy 夹角为（ 90° − θ ）
2
解得
H′ = H −
ω 2R2
4g
1-6 如图 1-6a 所示，水平圆盘绕轴 O 转动，转动角速度 ω 为常量。在圆盘上沿某直径 有滑槽，1 质量为 m 的质点 M 在光滑槽内运动。如质点在开始时离轴心的距离为 a，且无初 速度。求质点的相对运动方程和槽的动约束力。
η
O
(a)
ξ
ae
aC
M
η
ar
ξ
F
1
∑ Fy = 0
FN = FIC + FIe sin θ = m(2ωv r + Rω 2 ⋅ R12 − a 2 R
& r + ω 2 R12 − a 2 ) ) = m(2ωx
= mω [(aω + v r1 )e − (aω − v r1 )e
ωt
−ωt
+ ω R12 − a 2 ]
1-10 为减弱发动机的扭振， 在图 1-10a 所示曲轴上点 C 加装 1 单摆 CA。 设摆质量为 m ， CA = l ， OC = a ，曲轴以匀角速度 ω 绕轴 O 转动时，此单摆可作微幅摆动，忽略重力， 求此单摆的振动频率。
微振动时 ϕ ≈ sin ϕ ，上式化为
a aω 2 && + sin ϕ ， ϕ sin ϕ = 0 l0 l
aω 2 aω 2 2 ϕ = 0 ，ω0 = l l 1-11 1 河流自北向南流动，在北纬 30° 处，河面宽 500 m，流速为 5 m/s，问东西两岸
y1 =
（2）求注入液体的最大高度 凹液面包围的空体积就是曲线 y =
ω 2R2
2g
ω 2 x2
2g
绕轴 y 旋转包围的体积，记作 V，则
232
2 y y 2π gy π gy1 π g ⎛ ω 2 R 2 ⎞ π ω 2 R 4 ⎟ = = 2⎜ V = ∫ 1π x 2 dy = ∫ 1 d y ⎟ = 4g 0 0 ω2 2 g ω2 ω ⎜ ⎝ ⎠ 设注入液体达容许的最大高度 H ′ ，则旋转时液面边缘达到容器口。因液体体积不变，故有 π R2H −V =π R2H ′
&& art = lϕ
&& = −mg sin ϕ + map 2 sin pt cos ϕ mlϕ
（2）
sin ϕ ≈ ϕ , cosϕ ≈ 1
&& + ϕ = ϕ
设方程（3）的解为 其中 ϕ1 为方程（3）的齐次方程的通解：
g l
p2 a sin pt l
（3） （4）
ϕ = ϕ1 + ϕ 2
ϕ 1 = A sin(ω 0 t + θ )
（1） （2）
maξ = FIe 0 = F − FIC FIe = mω ξ
2
代入式（1） ，得
&& − ω 2ξ = 0 ξ & = 0 ，解得质点相对运动方程 按初始条件，t=0 时， ξ = a, ξ
因 代入式（2） ，得槽的动约束力 1-7 质点 M 质量为 m，在光滑的水平圆盘面上沿弦 AB 滑动，圆盘以等角速度 ω 绕铅 直轴 C 转动，如图 1-7a 所示。如质点被 2 个弹簧系住，弹簧的刚度系数各为 k/2，设点 O 为质点相对平衡的位置。求质点的自由振动周期。 解 质点 M 为研究对象，动系 Oξη 固结于圆盘，绕定轴 C 转动，受力如图 1-7b，其中 重力和圆盘的铅垂约束力均未画出，将相对运动动力学方程向轴 ξ 投影得
此即相对运动规律。
l+a =
&r 得 将 t 2 代入 x
1 [(aω + v r1 )eωt Βιβλιοθήκη Baidu (aω − v r1 )e −ωt )] 2ω
2 v r2 = v r1 + l 2ω 2 + 2alω 2
得
2 ω (a + l ) + v r1 + l 2ω 2 + 2alω 2 t 2 = ln （已舍弃不合理的另 1 根） ω aω + v r1
ξ = a chωt & aC = 2ωvr = 2ωξ
& = 2mω 2 ashωt F = FIC = maC = 2m ⋅ ωξ
&& = −( F + F ′) + F cos θ mξ IC
式中
k ⎛ ξ ⎞ F = F ′ = ξ , FIe = mω 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ cosθ ⎠
233
FN
ae
A
FIe
B
m2 g
F (c)
a a = ae
θ
FN m1 g ar
(a) 图 1-2
(b)
解 （1）三棱柱 A 为研究对象，受力如图 1-2b 所示，动系固结于 B，设三棱柱 B 的加 速度 aB 方向向左，因动系平移，故 FIC=0 而 FIe=m1ae 把质点相对运动动力学基本方程向垂直于斜面方向投影，得 即
1-3 如图 1-3a 所示，重物 M 放在粗糙的水平平台上，平台绕铅直轴以匀角速度 ω 转 动，重物与平台间摩擦因数为 f ，求重物能在平台上保持相对静止时的位置。
m1 sin 2θ g 2(m2 + m1 sin 2 θ )
mg ae Fs FN
(a) 图 1-3 (b)
M
FIe
解
受力如图 1-3b 所示