最新物系相关速度(物理竞赛必看)

2
则球角速度

2v R
根据刚体运动的速度法则:
OR
A
45o
B
C
球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!

vmax R 1
2 2

21 v
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2
v1
v0 θ θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是：
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
例 如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑动的滚 动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？这最大 速度为多少？
本题属刚体各点速度问题
球心速度为v， 则对瞬时转轴AB:
v 2 R
vA
α PA α O
α
v0
v0
例3 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A3
以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度vB2．
这是杆约束相关速度问题
分析顶点A2、A1的速度：
A0
B1 A1
B2
B3
A2 A3
v
2
2
v1 2 vA1 v2 2 vA2
沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
vt
θ vn v
vn
A
v1
Oαvv2D1dBd v1d
C v2
v0
v2d
例1
如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一
半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及
征，两者沿接触面法向的分速度相
同，即
α
ωr
r sin v杆 cos
v杆 r tan
B
v杆K
A rα
nM
一人身高h ，在灯下以匀速率vA沿水平直线
行走．如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端Ｍ
点沿地面移动的速度 ．
借用绳杆约束模型
设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影 分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”
顶点B2，既是A1B2杆上的点，
v1v2
又是A2B2杆上的点，分别以A1、 A2为基点，分析B2点速度：
由图示知 2 2 2
A1
2

B2
v1
v1
vA1 A2
vB2 vA2
vB2 2 vA1 2 vA2
由几何关系
v A1

v 2
,
v
A
2

5v 6
vB2
由三位舞者运动的对称性可知， vn A 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视做绕O转动的
Ovt
同时向O运动，
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
C
AO 2l
t

v cos 30o 3v
由于舞者匀速率运动,则
2l s vt
3
小试身手 4 如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，
l
R θβ B
环M的线速度为 vM 2
l 2 3 l
33
另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交
叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个 轴环紧傍第一个轴环．
本题求线状交叉物系交叉点A速度
A
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环 O1、O2的交叉点A处的切线方向
O2 O1
O2
dv
分解成v1、v2两个分量:
v2
由线状相交物系交叉点相关
由一条光线上各点转动角速
度相同：
v影 sin vA sin
R
r
H
r v An
α vA
由几何关系
R H r Hh
hR
M
H v影 H h vA
α
vvn影
小试身手 3 如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、
B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试 问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
对方切向运动分速度的矢量和，
φ
滑环速度即为杆沿圆圈切向分速
u
度:
v u
sin
顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推 动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA＝r，凸轮轮缘与 A接触处法线n与OA之间的夹角为α，试求顶杆的速度．
杆与凸轮接触点有相同的法向速度!
根据接触物系触点速度相关特
♠研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.
♠ 刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
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例4
如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固
定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑
环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解:
M B
φ
滑环速度即交叉点速度,方向沿
O
圆圈切向;
根据交叉点速度是相交双方沿
套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变
D
C
M
套在两杆交点的环M所在圆周半径为
R

l 2cos 30o

l 3
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角
A
2θ
60° O
α
环M的角速度为2ω!
速度规律可知，交叉点A的速度Av即为沿对方速度分量v1! 由图示几何关系可得:
R
θ
vA

v
2 sin

v 2
R
O1 θ
d
R2


d 2
2

R v
4R2 d2
v1
O2
小试身手 5图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、
Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M
杆上与半圆相切点C的速度．
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 B
静止,C点速度必沿杆!
C
杆A点速度必沿水平!
以C为基点分解v:
R
由杆约束相关关系: vc v1 v cos
θ
v2 θ
A
v
v2是A点对C点的转动速度,故
v sin R cot
v sin2 R cos
例2
如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面
向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其
顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
这是接触物系接触点相关速度问题 B
根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA cos v0 sin
vA v0 tan