高考数学抽象函数专题训练(含答案)

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高考中的抽象函数专题练习(含答案)

定义域为 [
3, 3
3 3
]
故②不成立，因为函数
y
log2
(
x2
2x
3)
的定义域为
x2
2x
3
0,
x
3
或 x 1所以递增区间为 (1, ) 不正确，所以③不成立.因为函数 y f (2x 1) 与函数 y f (1 2x) 的
图像关于 y 轴对称，所以④不正确.故选 A
2.答案：C
分析：由 f (0) 0, f (x) f (1 x) 1，得 f (1) 1 ， f (1) 1，又 f ( x) 1 f x ， f (1) 1 ，
其中正确的个数为 (
)
A. 0 个
B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
2.定义在 R
上的函数
f
(x) 满足
f
(0)
0,
f
(x)
f
(1
x)
1,
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，且当 0
x1
x2
1
时，
f
(x1)
f
(x2 ) ，则
f
( 1 ) 等于（ 2021
）
A. 1 2
B. 1 16
C. 1 32
D. 1 64
3.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (x 3)[1 f (x)] 1 f (x) ， f (2) 3 2 ，则 f 2021
2
值为（
）
A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3
4.已知 f (x 1) f (x 1), f (x) f (x 2) ，方程 f (x) 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x 1 ，则 2

2022届新高考数学抽象函数专题练习

专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =．（1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<，所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=；故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，所以(0)(0)(0)f f f =+，解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立，即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <，故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−，所以()()()42f x f x f x +=−+=，所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=，又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=，则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称，则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=，故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦，所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增，又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点，由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确；对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误，选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误，故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一）【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ；由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+，所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =，所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−，解得：32x ≤−或12x >，故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−，此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−，所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−，所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。

高三数学抽象函数专题练习及答案

第19讲高三数学函数专题练习1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝( )[答案] CA ．－2B ．－1C ．1D ．22．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )[答案] AA ．－2B ．2C ．－98D ．983．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )[答案] BA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f (13)的x 取值范围是( )[答案] AA ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.则( )[答案] AA ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2函数f (x )的值为6为周期重复性出现，所以f (2009)＝f (5)＝1，故选C.7．设函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )[答案]D A ．直线y ＝0对称 B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称8．若函数f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________.[答案] －19．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________．[答案] 4310．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时．f (x )＝________.[答案] －x －x 411．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是________．[答案] (－1,0)∪(1，＋∞)12．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.[答案] －113．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2005.5)＝________.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ f (x ＋1)＋f (x )＝3f (x －1)＋f (x )＝3，∴f (x －1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (x ＋2)，[答案] 1.514．(1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足：2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式15. f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(x y)＝f(x)－f(y)． (1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x ＋3)－f(1x )<2.。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

2019年抽象函数含答案.doc

抽象函数专练1、已知函数()(,0)y f x x R x =∈≠对任意的非零实数1,2x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+,试判断()f x 的奇偶性。

解：令121,x x x =-=，得()(1)()f x f f x -=-+；为了求(1)f -的值，令121,1x x =-=，则(1)(1)f f f -=-+，即(1)0f =,再令121x x ==-得(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-∴(1)0f -=代入()(1)()f x f f x -=-+得 ()()f x f x -=,可得()f x 是一个偶函数。

2、已知定义在[-2，2]上的偶函数，()f x 在区间[0，2]上单调递减，(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围分析：根据函数的定义域，[]2,2m m -∈-，，但是1m -和m 分别在[20][02]-，和，的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。

3、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。

又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。

抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。

掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。

抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。

在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。

下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。

根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。

将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。

将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。

答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。

下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。

解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。

因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

2．己知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，
【解析】设则
∵ ，∴ ．所以函数是R上的减函数，
∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，
∴ ，原不等式等价为，
∴不等式等价，
．∵ 在R上单调递减，∴ ．故选B．
12．定义在上的函数满足，对任意，都有，非零实数，满足，则下列关系式中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，
所以 .故选A.
7．已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项，又，
，，
，的零点至少有个，故选C.
8．定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为()
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，
故，∴函数是上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的周期为6，又为偶函数，
15．已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结【1 】因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑正当：在已知(())()fg xh x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x x x+=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩ 例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f （x ）对随意率性实数x,y,均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞0,f （－1）＝－2,求f （x ）在区间[－2,1]上的值域. 剖析：由题设可知,函数f （x ）是的抽象函数,是以求函数f （x ）的值域,症结在于研讨它的单调性. 解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f （x ）为增函数.在前提中,令y ＝－x,则,再令x ＝y ＝0,则f （0）＝2 f （0）,∴f （0）＝0,故f （－x ）＝f （x ）,f （x ）为奇函数,∴f （1）＝－f （－1）＝2,又f （－2）＝2 f （－1）＝－4, ∴f （x ）的值域为［－4,2］. 例2.已知函数f （x ）对随意率性,知足前提f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞2,f （3）＝5,求不等式的解.剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f （x）为单调增函数. ∵, 又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f （0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f（2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f （2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g （x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g（n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x ＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b 均为常数,函数对一切实数x 都知足,则函数的图象关于点（a,b ）成中间对称图形. 八.收集分解问题例9. 界说在R 上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性; （2）设, ,若,试肯定a 的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R 上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R 上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得.评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值. 解：由f x f x ()()220-+-=,以t x =-2代入,有f t f t ()()-=,∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84 故f x ()是周期为8的周期函数,∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时,f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时,f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔m xm m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立,∴-≤--≥⎧⎨⎪⎩⎪∴-≤≤-m m m m 223115421102为所求。

抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

高中抽象函数练习题

高中抽象函数练习题一、选择题A. 若f(x)为奇函数，则f(x) = f(x)B. 若f(x)为偶函数，则f(x) = f(x)C. 若f(x)为增函数，则f(a) < f(b)，其中a < bD. 若f(x)为减函数，则f(a) > f(b)，其中a < bA. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，0）上单调递增D. f(x)在（0，+∞）上单调递减A. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，1）上单调递增D. f(x)在（1，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(3)的值______。

2. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的最小值______。

3. 已知函数f(x) = |x 2|，求f(x)的零点______。

三、解答题1. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的单调性。

2. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的极值。

3. 设函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

4. 已知函数f(x) = |x 1| + |x + 1|，求f(x)在R上的最小值。

5. 设函数f(x) = x^2 2x + 1，求证：对于任意x ∈ R，都有f(x) ≥ 0。

6. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求证：f(x)在R上单调递减。

7. 设函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的拐点。

8. 已知函数f(x) = |x 2| |x + 1|，求f(x)的零点。

9. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的凹凸性。

10. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

四、应用题1. 某企业的成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 10，其中x为生产的产品数量。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑正当：在已知(())()f g x h x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x xx +=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4) 五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f（x）对随意率性实数x,y,均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且当x＞0时,f（x）＞0,f（－1）＝－2,求f（x）在区间[－2,1]上的值域.剖析：由题设可知,函数f（x）是的抽象函数,是以求函数f（x）的值域,症结在于研讨它的单调性.解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f（x）为增函数.在前提中,令y＝－x,则,再令x＝y＝0,则f（0）＝2 f（0）,∴f （0）＝0,故f（－x）＝f（x）,f（x）为奇函数,∴f（1）＝－f（－1）＝2,又f（－2）＝2 f（－1）＝－4,∴f（x）的值域为［－4,2］.例2.已知函数f（x）对随意率性,知足前提f（x）＋f（y）＝2 + f （x＋y）,且当x＞0时,f（x）＞2,f（3）＝5,求不等式的解. 剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f（x）为单调增函数.∵,又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f （2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f（2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a ＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g （n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m ＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜ f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b均为常数,函数对一切实数x都知足,则函数的图象关于点（a,b）成中间对称图形.八.收集分解问题例9. 界说在R上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性;（2）设,,若,试肯定a的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得. 评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数,例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时, （3）当25<<a 时,综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例 4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模. 解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔ 对x R ∈恒成立, 三. 解不等式这类不等式一般须要将常数暗示为函数在某点处的函数值,再经由过程函数的单调性去掉落函数符号“f ”,转化为代数不等式求解.例 5 已知函数f x ()对随意率性x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=,求不等式f a a ()2223--<的解集. 解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212, 即f x x ()2120-->, 故f x ()为增函数,又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=是以不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 证实某些问题例6 设f x ()界说在R 上且对随意率性的x 有f x f x f x ()()()=+-+12,求证：f x ()是周期函数,并找出它的一个周期.剖析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是依据所给关系式进行递推,若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数,且周期为T.证实： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对随意率性x R ∈都成立,是以f x ()是周期函数,且周期为6.例7 已知f x ()对一切x y ，,知足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，,且当x <0时,f x ()>1,求证：（1）x >0时,01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数. 证实：对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅. 且f ()00≠,令x y ==0,得f ()01=, 现设x >0,则-<x 0,f x ()->1, 而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x (),设x x R 12，∈且x x 12<, 则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12,即f x ()为减函数. 五. 分解问题求解抽象函数的分解问题一般难度较大,常涉及到多个常识点,抽象思维程度请求较高,解题时需掌控好如下三点：一是留意函数界说域的运用,二是运用函数的奇偶性去掉落函数符号“f ”前的“负号”,三是运用函数单调性去掉落函数符号“f ”.例8 设函数y f x =()界说在R 上,当x >0时,f x ()>1,且对随意率性m n ，,有f m n f m f n ()()()+=⋅,当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证实f ()01=;（2）证实：f x ()在R 上是增函数;（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221,B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10,若A B =∅,求a b c ，，知足的前提.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅, ∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=,当m ≠0时,有fm fm f ()()()+=⋅00,这与当m n ≠时,f m f n ()()≠抵触, ∴=f ()01. （2）设x x 12<,则x x 210->,由已知得f x x ()211->,因为x 10≥,f x ()11>,若x 10<时,->->x f x 1101，(),由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2）从（1）.（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<,因为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb , 即a b c222+< 例9 界说在（-11，）上的函数f x ()知足（1）,对随意率性x y ，，∈-()11都有f x f y f x yx y()()()+=++1, （2）当x ∈-()10，时,有f x ()>0,（1）试断定f x ()的奇偶性;（2）断定f x ()的单调性;（3）求证ff f n nf ()()()()15111131122+++++>….剖析：这是一道以抽象函数为载体,研讨函数的单调性与奇偶性,再以这些性质为基本去研讨数列乞降的分解题.解：（1）对前提中的x y ，,令x y ==0,再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩,所所以f x ()奇函数. （2）设-<<<1012x x ,则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，, ∴--<x x x x 121210,由前提（2）知f x xx x ()121210-->,从而有f x f x ()()120->,即f x f x ()()12>,故f x ()()在，-10上单调递减,由奇函数性质可知,f x ()在（0,1）上仍是单调减函数.（3） f n n ()1312++抽象函数问题分类解析我们将没有明白给出解析式的函数称为抽象函数.近年来抽象函数问题一再消失于各类测验题中,因为这类问题抽象性强,灵巧性大,多半同窗觉得迷惑,求解无从下手.本文试图经由过程实例作分类解析,供进修参考. 1. 求界说域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体,相当于f x ()中的x这一特点,问题就会水到渠成.例 1. 函数y f x =()的界说域为(]-∞，1,则函数y f x =-[l o g ()]222的界说域是___.剖析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x,所以l o g()2221x -≤,解得 22<≤x 或-≤<-22x .例 2. 已知f x ()的界说域为(0)，1,则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的界说域是______.剖析：因为x a +及x a-均相当于f x ()中的x,所以(1)当-≤≤120a 时,则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时,则x a a ∈-()，1 2. 断定奇偶性依据已知前提,经由过程恰当的赋值代换,追求f x ()与f x ()-的关系. 例3. 已知f x ()的界说域为R,且对随意率性实数x,y 知足fx y fx f y ()()()=+,求证：f x ()是偶函数.剖析：在fx y fx f y ()()()=+中,令x y ==1, 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1,得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,求证：函数 y f x =()是偶函数.证实：设y f x =()图象上随意率性一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象关于原点对称, ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上, 又y f x 00=() 即对于函数界说域上的随意率性x 都有f x f x ()()-=,所所以y f x =()偶函数.3. 断定单调性依据函数的奇偶性.单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题敏捷获解.例5. 假如奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 剖析：画出知足题意的示意图1,易知选B.图1例6. 已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数,问f x ()在()-∞，0上是增函数照样减函数,并证实你的结论.剖析：如图2所示,易知f x ()在()-∞，0上是增函数,证实如下：任取xx x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数,所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数,所以 f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，, 从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞，0上是增函数. 图24. 寻找周期性这类问题较抽象,一般解法是细心剖析题设前提,经由过程相似,联想出函数原型,经由过程对函数原型的剖析或赋值迭代,获得问题的解. 例7. 设函数f x ()的界说域为R,且对随意率性的x,y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2,并消失正实数c,使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是,求出它的一个周期;若不是,请解释来由.剖析：细心不雅察剖析前提,联想三角公式,就会发明：y x =c o s 知足题设前提,且cos π20=,猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数.故f x()是周期函数,2c是它的一个周期.5. 求函数值紧扣已知前提进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出成果,或者在迭代进程中发明函数具有周期性,运用周期性使问题奇妙获解.例8. 已知f x()的界说域为R+,且fxy fx fy()()()+=+对一切正实数x,y都成立,若f()84=,则f(2)=_______.剖析：在前提fxy fx fy()()()+=+中,令x y==4,得f f f f()()()()844244=+==,又令x y==2,得f f f(4)(2)(2)=+=2,例9. 已知f x()是界说在R上的函数,且知足：f x f x f x()[()]()+-=+211,f()11997=,求f(2001)的值.剖析：紧扣已知前提,并多次运用,发明f x()是周期函数,显然f x()≠1,于是f x f x f x()() ()+=+ -211,所以f xf x f x()()()+=-+=81 4故f x()是以8为周期的周期函数,从而6. 比较函数值大小运用函数的奇偶性.对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后运用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x()是界说域为R的偶函数,x<0时,f x()是增函数,若x 1<,x20>,且||||x x12<,则f x f x()()--12，的大小关系是_______.剖析： x x 1200<>，且||||x x 12<, 又x <0时,f x ()是增函数,f x ()是偶函数,故f x f x ()()->-127. 评论辩论方程根的问题例11. 已知函数f x ()对一切实数x 都知足f x f x ()()11+=-,并且f x ()=0有三个实根,则这三个实根之和是_______.剖析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴. 又f x ()=0有三个实根,由对称性知x 11=必是方程的一个根,其余两根x x 23，关于直线x =1对称,所以x x 23212+=⨯=,故x x x 1233++=. 8. 评论辩论不等式的解求解这类问题运用函数的单调性进行转化,脱去函数符号.例12. 已知函数f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,且对一切实数x,不等式fk x fk x(s i n )(s i n)-≥-22恒成立,求k 的值. 剖析：由单调性,脱去函数记号,得由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立,则有 9. 研讨函数的图象这类问题只要运用函数图象变换的有关结论,就可获解.例13. 若函数y f x =+()2是偶函数,则y f x =()的图象关于直线_______对称.剖析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象,而y f x =+()2是偶函数,对称轴是x =0,故y f x =()的对称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过点（0,1）,则f x ()+4的反函数的图象必过定点______.剖析：f x ()的图象过点（0,1）,从而f x ()+4的图象过点()-41，,由原函数与其反函数图象间的关系易知,f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-. 10. 求解析式例15. 设函数f x ()消失反函数,g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称,则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()剖析：请求y h x =()的解析式,本质上就是求y h x =()图象上任一点Px y ()00，的横.纵坐标之间的关系.点Px y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，合适y f x =-1(),即-=-x g y 00(). 又gx f x ()()=-1,即h x f x ()()=--,选B. 抽象函数的周期问题2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称.对随意率性x x 12012，，∈[]都有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，求f f ()()1214，; （II ）证实f x ()是周期函数. 解析：（I ）解略.（II ）证实：依题设y f x =()关于直线x =1对称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知将上式中-x以x 代换,得这标明f x ()是R 上的周期函数,且2是它的一个周期f x ()是偶函数的本质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称,可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广,我们得到思虑一：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x aa =≠()0对称,证实f x ()是周期函数,且2a 是它的一个周期.证实： f x ()关于直线x a=对称又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，将上式中-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思虑二：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于直线x a =和x ba b =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期. 证实： f x ()关于直线x a x b ==和对称将上式的-x以x 代换得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,f x ()照样不是周期函数？经由摸索,我们得到思虑三：设f x ()是界说在R 上的奇函数,其图象关于直线x =1对称.证实f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.,证实： f x ()关于x =1对称∴=-∈fx f x xR ()()2，又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且4是它的一个周期f x ()是奇函数的本质是f x ()的图象关于原点（0,0）中间对称,又f x ()的图象关于直线x =1对称,可得f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.由此进行一般化推广,我们得到思虑四：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0中间对称,且其图象关于直线x bb a =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且4()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于点M a ()，0对称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()关于直线x b =对称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x Rf b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x以x 代换,得 f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数且4()b a -是它的一个周期由上我们发明,界说在R 上的函数f x (),其图象如有两条对称轴或一个对称中间和一条对称轴,则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到,界说在R 上的函数f x (),其图象假如有两个对称中间,那么f x ()是否为周期函数呢？经由摸索,我们得到思虑五：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于Ma Nb ()()，，，00对称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x 以x 代换,得f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期抽象函数解法规谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其知足的前提的函数,如函数的界说域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高级数学函数部分的一个连接点,因为抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,是以懂得研讨起来比较艰苦.但因为此类试题即能考核函数的概念和性质,又能考核学生的思维才能,所以备受命题者的青睐,那么,如何求解抽象函数问题呢,我们可以运用特别模子法,函数性质法,特别化办法,联想类比转化法,等多种办法从多角度,多层面去剖析研讨抽象函数问题, 一:函数性质法函数的特点是经由过程其性质(如奇偶性,单调性周期性,特别点等)反响出来的,抽象函数也是如斯,只有充分发掘和运用题设前提和隐含的性质,灵巧进行等价转化,抽象函数问题才干转化,化难为易,经常运用的解题办法有:1,运用奇偶性整体思虑;2,运用单调性等价转化;3,运用周期性回归已知4;运用对称性数形联合;5,借助特别点,布列方程等. 二:特别化办法1在求解函数解析式或研讨函数性质时,一般用代换的办法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特别值代入3研讨抽象函数的具体模子,器具体模子解选择题,填空题,或由具体模子函数对分解题,的解答供给思绪和办法.总之,抽象函数问题求解,用通例办法一般很难凑效,但我们假如能经由过程对标题标信息剖析与研讨,采取特别的办法和手腕求解,往往会收到事半功倍之功能,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1．已知函数f(x)对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为天然数,(t>0)试求f(t)的表达式②知足f(t)=t 的所有整数t 可否组成等差数列?若能求出此数列,若不克不及解释来由 ③若t 为天然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m 的最大值. 2．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)界说域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m.n ∈R)求证：①f(x)是R 上的增函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的增函数②g(x) 知足g(m) · g(n)= g(m+n)(m.n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ,1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1 ∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的随意率性两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0.b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证实:设 x1>x2>0f1(x) 在(0,+∞)上单增f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a>0.b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+∞)上单增∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y ＝f(x)知足 ①f(a+b)＝f (a)·f (b),②f(4)＝16, m.n 为互质整数,n≠0 求f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(抵触)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)长短负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a f n ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25．界说在（-1,1）上的函数f (x)知足 ① 随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),②x ∈（-1,0）时, 有f(x) >01) 剖断f(x)在（-1,1）上的奇偶性,并解释来由 2) 剖断f(x)在（-1,0）上的单调性,并给出证实3) 求证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n )或f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*) 解:1)界说在（-1,1）上的函数f (x)知足随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1,1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1,0）时,有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)在（-1,0）上单调递增.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n ) =f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1,0）时,有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6．设 f (x)是界说在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对随意率性x1.x2∈[0,12]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f (12)及 f (14);②证实f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 求lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). ∴f(x)是以2为周期的周期函数.③an=f(2n+12n )= f (12n)=n a 21∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =07．设)(x f y =是界说在R 上的恒不为零的函数,且对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0),②设当x<0时,都有f(x)>f(0)证实当x>0时0<f(x)<1, ③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ）,sn 为数列｛an ｝前n 项和,求lim ∞→n sn.解：①②仿前几例,略. ③an ＝f(n),∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an∴数列｛an ｝是首项为21公比为21的等比数列∴sn ＝1-n⎪⎭⎫ ⎝⎛21∴lim ∞→n sn ＝18．设)(x f y =是界说在区间]1,1[-上的函数,且知足前提：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对随意率性的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证实：对随意率性的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证实：对随意率性的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1,1]上是否消失知足题设前提的奇函数)(x f y =,且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若消失,请举一例：若不消失,请解释来由.（Ⅰ）证实：由题设前提可知,当]1,1[-∈x 时,有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对随意率性的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时无妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以,|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得,当.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时所以,当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时是以,对随意率性的],1,1[,-∈v u当1||≤-v u 时,.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时,有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：知足所述前提的函数不消失.来由如下,假设消失函数)(x f 知足前提,则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

【解析】记，则
因为当时，，
所以在上单调递减
又因为，所以为偶函数
因为
所以，即，故选D.
二、填空题
13.已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由是偶函数，所以当时，由得，
设，则，
即当时，函数为减函数，
则且，则有，可得，
，故答案为0.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，
故，∴函数是上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的周期为6，又为偶函数，
【答案】A
【解析】由，令，，则
时，
当时，令，则，即
又当时，
令，则
，即
在上单调递减
又
令，；令，；令，
数列是以为周期的周期数列
，，，，
在上单调递减
，，，
故选 .
10．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()
A． B． C． D．
，
，
, ，
又在内单调递减，
，，故选A.
6．已知定义在实数集上的函数的图象经过点，且满足，当时不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，

高中数学抽象函数及其应用练习题含答案

高中数学抽象函数及其应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−4，则不等式f(x−2)>0的解集为（）A.{x|x<0或x>4}B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<−2或x>2}2. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+2，则f(4)=( )A.16B.8C.4D.23. 给出如下三个等式：①f(a+b)=f(a)+f(b)；②f(ab)=f(a)+f(b)；③f(ab)=f(a)×f(b)．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是( )A.f(x)=x2B.f(x)=3xC.f(x)=2xD.f(x)=ln x4. 若函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)内是增函数，又f(2)＝0，则不等式xf(x−1)>0的解集为（）A.(−∞, −2)∪(0, 2)B.(−1, 1)∪(3, +∞)C.(−1, 0)∪(3, +∞)D.(−2, 0)∪(2, +∞)5. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是（）A.(−1, 1)B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−1, 0)∪(1+∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)6. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1+x)＝f(1−x)对所有x∈R恒成立，则下列函数值一定正确的是（）A.f(1)＝0B.f(2)＝1C.f(2020)＝0D.f(2021)＝17. 已知f(x)是R上的奇函数，且对x∈R，有f(x+2)＝−f(x)．当x∈(0, 1)时，f(x)＝2x−1，则f(log241)＝（）A.40B.C.D.f(1)≠0，则g(0)等于( )A.−1B.0C.1D.29. 若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)≤0的解集为( )A.(−∞,4]B.(−∞,−4]∪[0,4]C.[−4,0]∪[4,+∞)D.[−4,4]>0的10. 若f(x)是奇函数，且在(−∞,0)上是减函数，又f(−4)=0，则f(x+2)−f(−x−2)x解集是( )A.(−4,0)∪(4,+∞)B.(−6,−2)∪(0,2)C.(−6,−2)∪(2,+∞)D.(−∞,−4)∪(0,4)11. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.6D.812. 奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(24)+f(25)=（）A.−2B.−1C.1D.013. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.5D.814. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)．当0≤x≤2时，f(x)= x2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=（）A.−5B.5C.−2D.215. 已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)= f(x−5)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 45，则a1+a2+⋯+a9=（）A.45B.15C.10D.016. 定义在R上的偶函数f(x)满足，则f(2021)＝（）17. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)＝f(1+x)，若f(1)＝2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝________．18. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝________．19. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则使不等式f(x)+f(x−3)≤2成立的x的取值范围是________.20. 函数f(x)在[−1, 1]上为奇函数并在[0, 1]上单调递减，且f(1−a)+f(1−2a)<0，则a的取值范围为________．21. 已知f(x−)＝x2+，则f(3)＝________.22. 偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，则f(2021)=________．23. 研究表明，函数g(x)=f(x+a)−b为奇函数时，函数y=f(x)的图象关于点P(a, b)成中心对称，若函数f(x)=x3−3x2的图象对称中心为P(a, b)，那么a=________；b=________．24. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R,f(x+2)=3f(x)恒成立，且当x∈(0,2]时，f(x)=2x，则f(7)=________ .25. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1，x2，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，则1a +2b的最小值为________.26. 已知函数f(x)的定义域为R，在(−∞, 0)上单调，且为奇函数．若f(−3)＝−2，f(−1)＝2，则满足−2≤f(1−x)≤2的x的取值范围是________．27. 设函数y＝f(x)的定义域为R，满足f(x+1)＝2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有，则m的取值范围是________．①f(x)+f(−x)=0；②f(x)=f(x +2)；③当0≤x <1时，f(x)=2x −1．则f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=________.29. 已知函数 f(x) 满足对任意实数m ,n ，都有 f(m +n)=f(m)+f(n)−2，设g(x)=f(x)+a x a x +1，(a >0, a ≠1) ，若g(ln 2020)=2019 ，则g(ln 12020)=________.30. 求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x +1)−f(x)＝x −1，求f(x)；（2）已知3f(x)+2f(−x)＝x +3，求f(x)．31. 已知f (x )是定义在R 上的函数，若对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x >0时，有f (x )>0．(1)求证:f (0)=0；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论．32. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f(x)+f(y)＝f(x +y)②当x <0时，有f(x)<0（1）利用奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；（2）利用单调性的定义判断f(x)的单调性；（3）若关于x 的不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)>0在R 上有解，求实数k 的取值范围．33. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，且满足f(x ⋅y)＝f(x)+f(y)，当x >1时，f(x)>0．（1）求f(1)的值：（2）判断并证明f(x)的单调性．34. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f (1−x)＝f (1+x)．（1）证明：f (4+x)＝f(x)；（2）若f (1)＝2，求式子f (1)+f (2)+f (3)+...+f (50)的值．35. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)<2．36. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x−1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[−1, 2]时，求函数的最大值和最小值．37. 已知f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1．(1)求证：f(8)=3；(2)求不等式f(x)−f(x−2)>3的解集．38. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(−2)=−3.当x> 0时，f(x)>0.(1)证明：f(x)是R上的增函数．(2)求关于x的不等式f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3的解集．39. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1．(1)求f(1)的值；(2)求证:f(x)在定义域上单调递增；40. 已知函数f(x)的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞)，且对于任意x1，x2∈D，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．（1）求f(1)与f(−1)的值．判断f(x)在(0, +∞)上的单调性（不证明）；（2）试证明y=f(x)在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇偶性；（3）若f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学抽象函数及其应用练习题含答案一、选择题（本题共计 16 小题，每题 3 分，共计48分）1.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，综合可得f(x)>0的解集，对于f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x−4，则f(x)在区间(0, +∞)上为增函数，且f(2)=0，则当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0.又由f(x)为奇函数，当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，则f(x)>0的解集为{x|−2<x<0或x>2}.不等式f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解得：0<x<2或x>4，即不等式f(x−2)>0的解集为{x|0<x<2或x>4}.故选B.2.【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．【解答】解：∵函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，∴f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4).又∵f(5)=3f(3)+2，∴2f(4)=3×1f(4)+2，2∴f(4)=4.故选C.3.【答案】C抽象函数及其应用【解析】本题可以用排除法来解答，根据f(ab)＝f(a)⋅f(b)，可排除A；根据f(a+b)＝f(a)+ f(b)，可排除B；f(ab)＝f(a)+f(b)可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．【解答】解：A中，若f(x)=x2，f(ab)=(ab)2，f(a)⋅f(b)=a2⋅b2，f(ab)=f(a)⋅f(b)，故③成立.B中，若f(x)=3x，f(a+b)=3(a+b)，f(a)+f(b)=3a+3b，f(a+b)=f(a)+f(b)，故①成立.D中，若f(x)=ln x，f(ab)=ln ab=ln a+ln b=f(a)+f(b)，故②成立．C中，若f(x)＝2x，f(a+b)=2a+b，f(a)+f(b)=2a+2b，f(a+b)=f(a)+f(b)不一定成立，故①不成立；f(ab)=2ab，f(a)+f(b)=2a+2b，f(ab)=2a⋅2b，f(ab)=f(a)+f(b)不一定成立，故②不成立；f(ab)=f(a)⋅f(b)不一定成立，故③不成立.故选C.4.【答案】C【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析满足f(x)>0与f(x)<0的区间，而xf(x−1)>0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)在(0, +∞)内是增函数且f(2)＝0，则在区间(0, 2)上，f(x)<0，在区间(2, +∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在区间(−2, 0)上，f(x)<0，在区间(−∞, −2)上，f(x)>0，xf(x−1)>0⇒或，则有−1<x<0或x>3，即不等式的解集为(−1, 0)∪(3, +∞)，5.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用根据题意，由函数f(x)的奇偶性与单调性作出其草图，又由xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，分析可得答案．【解答】根据题意，奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，则f(x)在(0, +∞)上也递减，又由f(1)＝0，则f(−1)＝0，其大致图象如图：xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，则有x<−1或x>1，即不等式的解集为(−∞, −1)∪(1, +∞)，故选：B．6.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【考点】函数的求值抽象函数及其应用【解析】分别令m=0，n=0和m=1，n=0，结合题中条件即可得解. 【解答】解：由题意得，令m=0，n=0，则f(0−0)=f(0)g(0)−f(0)g(0)，即f(0)=0，令m=1，n=0，f(1−0)=f(1)g(0)−f(0)g(1)，即f(1)=f(1)g(0)，∴g(0)=1.故选C.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(−2)=0，所以当x∈(−2,2)时，f(x)<0，当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x−2)≤0，可得{x<0,x−2≤−2或x−2≥2,或{x>0,−2≤x−2≤2,或x=0，解得x≤4．故选A．10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】所以f (−4)=−f (4)=0，即f (4)=0.因为函数f (x )在(−∞,0)上是减函数，所以函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，作出函数f (x )的大致图象如图所示，所以对于f (x+2)−f (−x−2)x >0，等价于f(x+2)−f[−(x+2)]x >0，即2f (x+2)x >0，则{x <0,f (x +2)<0或{x >0,f (x +2)>0,即{x <0,−4<x +2<0或{x >0,0<x +2<4,解得−6<x <−2或0<x <2，综上，f (x+2)−f (−x−2)x >0的解集是(−6,−2)∪(0,2)．故选B ．11.【答案】D【考点】函数的周期性函数的求值抽象函数及其应用【解析】由函数y =f (x +2)关于直线x =−2对称，得到函数f (x )为偶函数，再由题设条件，得到f (x )的最小正周期为2，即可求解．【解答】解：由函数y =f (x +2)的图象关于直线x =−2对称，所以y =f (x )的图象关于直线x =0对称，即f (x )为偶函数.因为f (x −2)−f (x )=f (1)，所以f (−1+2)−f (−1)=f (1) ，f (1)=0，可得f (x +2)=f (x )，那么f (x )的最小正周期为2，所以f (100)=f (0)=8 ，f (99)=f (1)=0 ，则f (99)+f (100)=8.故选D .12.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由3f(x+2)为偶函数，则f(−x)=f(4+x)，分析可得f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，据此可得f(24)=0，f(25)=f(1)=1，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，即f(x+2)=−f(x−2)，则f(−x)=f(4+x)，分析可得：f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，f(24)=f(0)=0，f(25)=f(1)=1，则f(24)+f(25)=1．故选C．13.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．14.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的求值【解析】【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)，所以f(2−x)=−f(x−2)=f(2+x)．又因为当0≤x≤2时，f(x)=x2，所以f(1)=1，f(2)=4，f(3)=f(1)=1，f(4)=f(0)=0，f(5)=f(−1)=−f(1)=−1，f(6)=f(−2)=−f(2)=−4，f(7)=f(−3)=−f(3)=−1，f(8)=f(−4)=−f(4)=0，f(9)=f(−5)=−f(5)=1，f(10)=f(−6)=−f(6)=4.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=5．故选B．15.【答案】A【考点】抽象函数及其应用等差数列的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以y=f(x−5)的图象关于点(5,0)对称，由等差中项的性质和对称性可知：a1−5+a9−5=a5−5，2故f(a1−5)+f(a9−5)=0,由此f(a2−5)+f(a8−5)=f(a3−5)+f(a7−5)=f(a4−5)+f(a6−5)=2f(a5−5)=0，由题意，g(x)=f(x−5)+x，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)=45，则f(a1−5)+a1+f(a2−5)+a2+⋯+f(a9−5)+a9=45，即f(a1−5)+f(a2−5)+⋯+f(a9−5)+(a1+a2+⋯+a9)=45，则a1+a2+⋯+a9=45.故选A.16.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，利用特殊值分析可得f(1)＝，解可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+4)＝f(x)，即可得函数的周期性，则有f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)，即可得答案．【解答】根据题意，偶函数f(x)满足，则f(x)≥0，若x＝−1，则f(1)＝＝，解可得f(1)＝4或−3，又由f(x)≥0，则f(x)＝4，f(x)为偶函数，则＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+ 4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)＝4，故选：D．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性分析可得f(x)为周期为4的函数，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】又由f(1−x)＝f(1+x)即有f(x+2)＝f(−x)，则f(x+2)＝−f(x)，进而得到f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0−2+0＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]＝0(1)故答案为：018.【答案】2.5【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】3<x≤4【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】利用赋值法先求出f(4)=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．【解答】解：∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2，则不等式f(x)+f(x−3)≤2等价为f[x(x−3)]≤f(4).∵f(x)是定义在(0, +∞)上的单调递增函数，∴{x>0,x−3>0, x(x−3)≤4,即{x>0, x>3,x2−3x−4≤0,则{x>0, x>3,−1≤x≤4,解得3<x≤4，故答案为：3<x≤4.20.【答案】[0,2 3 )【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，进而可得原不等式等价于{1−a2a−1−1≤1−a≤1−1≤2a−1≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数且在[0, 1]上单调递减，则f(x)在区间[−1, 0]上也是减函数，故f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，则f(1−a)+f(1−2a)<0⇒f(1−a)<−f(1−2a)⇒f(1−a)<f(2a−1)⇒{1−a>2a−1,−1≤1−a≤1,−1≤2a−1≤1,可得：0≤a<23，即a的取值范围为[0, 23).故答案为：[0,23).21.【答案】11【考点】抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】利用配方法，即可求得函数解析式，再代入自变量求解即可．I加加加加x−1x)=(x−1x)2+2，f(3)=32+2=1【解答】此题暂无解答22.【答案】【考点】抽象函数及其应用函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】先求出函数的周期为4，再根据f(2021)=f(1)，求得结果．【解答】解：由f(x)是偶函数得，f(x)=f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故函数的周期为4，f(−1+2)=−f(−1)，即f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，则f(2021)=f(1)=0．故答案为：0．23.【答案】1,−2【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】设f(x)＝x3−3x2的对称中心为点P(a, b)，则g(x)＝f(x+a)−b为奇函数，由函数奇偶性的性质可得f(−x+a)+f(x+a)＝2b，即[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+ a)3−3(x+a)2−b]＝2b，变形可得(6a−6)x2+2a3−6a2−2b＝0，则有{6a−6=02a3−6a2−2b=0，解可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：设g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−3(x+a)2−b，则g(x)为奇函数，依题可知，g(−x)=f(−x+a)−b且g(−x)=−g(x)，则f(−x+a)−b=b−f(x+a)，即f(−x+a)+f(x+a)=2b，则有[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+a)3−3(x+a)2]=2b，即(6a−6)x2+2a3−6a2−2b=0，则有{6a−6=0,2a3−6a2−2b=0,解可得：a=1，b=−2.故答案为：1；−2.24.【答案】54【考点】抽象函数及其应用函数的求值函数的周期性【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力．【解答】解：∵ f(x+2)=3f(x)，∴ f(7)=3f(5)=32f(3)=33f(1)=54．故答案为：54．25.【答案】9【考点】基本不等式在最值问题中的应用抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f(x)=f(1−2b)，再由f(x)单调递增可得a=1−2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：不妨令x1=0，x2=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，当x1=x，x2=−x时，有f(0)=f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)是奇函数.∵单调奇函数满足对任意实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，∴f(a)=f(1−2b)，∴a+2b=1，∴1a +2b=(1a+2b)(a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba ⋅2ab=9，当且仅当2ba =2ab，a+2b=1，即a=b=13时，等号成立.∴1a +2b的最小值为9.故答案为：9.26.【答案】[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】根据函数的奇偶性和单调性大小将不等式进行转化求解即可．【解答】因为函数f(x)为奇函数，f(−3)＝−2，f(−1)＝2，f(0)＝0所以f(3)＝2，f(1)＝−2，f(x)在(−∞, 0)、(0, +∞)上单调递增，则−2≤f(1−x)≤2⇔1≤1−x≤3或1−x＝0或−3≤1−x≤−1，所以−2≤x≤0或x＝1或2≤x≤4．故答案为：[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}．27.【答案】(−∞，）【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】√2−1【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】由①②可知，f(x)是周期为2的奇函数，再利用③，将所求关系式中的f(32)、f(2)、f(52)转化为能求值的即可．【解答】解：∵ f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴ f(x)为奇函数.又f(x)=f(x +2)，∴ f(x)是周期为2的函数，∴ f(−1)=f(−1+2)=f(1).又f(−1)=−f(1)，∴ f(1)=0.又当0≤x <1时，f(x)=2x −1，f(32)=f(32−2)=f(−12)=−f(12)；同理可得，f(2)=f(0)=20−1=0；f(52)=f(12)，∴ f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52) =f(12)+0−f(12)+0+f(12) =f(12)=√2−1.故答案为：√2−1．29.【答案】−2014【考点】抽象函数及其应用对数的运算性质函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)满足对任意实数m,n ，都有f(m +n)=f(m)+f(n)−2，令m =n =0，则f(0)=2f(0)−2，解得：f(0)=2，令m =x ，n =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)−2，即f(x)+f(−x)=4，∵ g(x)=f(x)+a x a x +1(a >0，a ≠1)，∴g(−x)=f(−x)+a−xa−x+1=f(−x)+1a x+1，故g(x)+g(−x)=f(x)+f(−x)+1=5，∴g(ln2020)+g(ln12020)=2019+g(ln12020)=5，即g(ln12020)=−2014.故答案为：−2014.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】（1）f(x)=12x2−32x+2（2）f(x)=x−35【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质抽象函数及其应用【解析】（1）设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，将f(0)=2与f(x+1)−f(x)=x−1代入化简，可求得a,b,c的值．（2）将一代入原方程得到一个新的方程，和原方程组成方程组，解方程组来求得f(x)的值．【解答】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=2，得kc=2．由f(x+1)−f(x)=x−1得恒等式:2ex+a+b=x−1，得b=12b=−32故所求函数的解析式为f(x)=12x2−32x+2（2）由3f(x)+2tf−x)=x+3，①x用−x代换得3f(−x)+2f(x)=−x+3，②解①⑦得f(x)=x+3531.【答案】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．32.【答案】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】本题（1）利用奇偶性的定义，结合条件f(x)+f(y)＝f(x+y)，用赋值法，得到f(−x)与−f(x)的关系，判断出f(x)的奇偶性；（2）利用函数单调必的定义，证明出f(x)的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0转化为3x的不等式，通过变量分离，求出最值，得到k的取值范围，得到本题结论．【解答】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．33.【答案】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）利用赋值法，令x＝y＝1，进行求解即可．（2）利用抽象函数关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．【解答】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．34.【答案】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及f(1+x)＝f(1−x)分析可得f(x+2)＝−f(x)，进而变形可得答案；（2）由（1）的结论分析可得f(2)、f(3)、f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．35.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】(1)直接取x=y=1，即可解出.(2)利用函数单调性的性质，构造不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).36.【答案】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．【考点】抽象函数及其应用函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数f(x)的解析式；（2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f(x)的单调区间；（3）利用函数的对称轴与x∈[−1, 2]，直接求解函数的最大值和最小值．【解答】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．37.【答案】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】（1）由已知利用赋值法及已知f(2)=1可求证明f(8)（2）原不等式可化为f(x)>f(8x−16)，结合f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数可求【解答】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.38.【答案】(1)证明：设x>y，则x−y>0. 因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．【考点】函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】【解答】(1)证明：设x>y，则x−y>0.因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．39.【答案】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．40.【答案】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)可得f(1)=0，再令x1=x2=−1，代入题中的条件可得f(−1)=0；（2）令x1=x，x2=−1，并且结合（1）中的结论可得答案；（3）设g(x)=f(x)−x2，判断g(x)的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．【解答】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．。

抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求证：是偶函数。

2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ､y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0,f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减5、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a ∙=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0.(1)求(1)f ;(2) 判断函数()f x 的单调性,并证明.8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;9、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减; 10、函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

抽象函数+练习(含答案)教师版

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如()()()f x y f x f y +=+就是从正比例函数抽象出来的; ()()()f xy f x f y =+根据对数函数的性质抽象出来的; ()()()f x y f x f y +=根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.一、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。

常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。

若()x f 的定义域是[]b a ,，则对()[]x g f 来说，必有()[]b a x g ,∈，从而可以得到函数()[]x g f 的定义域。

若()[]x g f 的定义域是[]b a ,，则[]b a ,应作为函数()x g 的定义域，进而求出()x g 的值域，从而得到函数()x f 的定义域。

总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。

抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。

对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。

【例1】函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f【难度】★★【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f【例2】函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___.【难度】★★【答案】2][2,⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x .【例3】已知()211x f x x =++,求()f x . 【难度】★ 【答案】1()1x f x x +=- 【解析】设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=--∴1()1x f x x+=- 【例4】如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且有最小值为5，那么()x f 在[]3,7--上是（）A .增函数且有最小值为5-B .增函数且有最大值为5-C .减函数且有最小值为5-D .减函数且有最大值为5-【难度】★★【答案】B【例5】设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为．【难度】★★【答案】]1,3(--【解析】在()()f x g x -代入x -，因为)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，()()[()()]f x g x f x g x ---=-+，所以值域为]1,3(--，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，)()(x g x f -值域为]1,3(--【巩固训练】1.定义在R 上的函数()x f 满足()()()xy y f x f y x f 2++=+，()21=f ，则()=-3f【难度】★★【答案】62.已知函数)1(-x f 的定义域为[2，4],求函数)2(x f 的定义域.【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,213.若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域.【难度】★【答案】]1,1[-.【解析】函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-.4.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 【难度】★★ 【答案】21()1f x x =-.2()1x g x x =- 【解析】∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.【难度】★★【答案】[]-42，【解析】设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00= ∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理()()21x f x f -与0的大小比较，如将1x 变形成()221x x x +-、221x x x ⋅等。