高考数学抽象函数专题训练(含答案)

抽象函数训练

1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数f （x ）对任意

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡∈21,0,21x x 都有f （)21x x +=f （)()21x f x ⋅，

已知f （1）=2，求f （);41

(),21

f

5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b

a b f a f ++)

()(＞0

（1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )

293()3--+⋅x

x

x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取

值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()

f a b af b bf a ∙=+.

(1)求(0),(1)f f 的值;

(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*

(2)

()n

n f u n N n

-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .

12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求

(2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.

13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2

f m n f m f n +=++,

且1

()02f =,当12

x >

时, ()f x >0.

(1)求(1)f ;

(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.

14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意

,x y R

∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >.

(1)求(0)f 的值;

(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.

15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当

0x >时,0()1f x <<.

(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减;

(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.

16.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; (2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a

成中心对称图形.

17.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值;

(2)证明: 函数()f x 是周期函数;

(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数

()f x 至少一个周期的图象.

18．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；

（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

19．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==． （1）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．