高考数学抽象函数专题训练(含答案)

抽象函数训练

1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数f （x ）对任意

???∈21,0,21x x 都有f （)21x x +=f （)()21x f x ?，

已知f （1）=2，求f （);41

(),21

5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b

a b f a f ++)

()(＞0

（1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k )

293()3--+?x

x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取

值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()

f a b af b bf a ?=+.

(1)求(0),(1)f f 的值;

(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*

(2)

()n

n f u n N n

-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .

12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求

(2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.

13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2

f m n f m f n +=++,

且1

()02f =,当12

x >

时, ()f x >0.

(1)求(1)f ;

(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.

14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意

,x y R

∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >.

(1)求(0)f 的值;

(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.

15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=?,且当

0x >时,0()1f x <<.

(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减;

(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ?>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.

16.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; (2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a

成中心对称图形.

17.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值;

(2)证明: 函数()f x 是周期函数;

(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数

()f x 至少一个周期的图象.

18．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；

（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

19．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

20.已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得

，对任何x和y，成立。求：

（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

23.是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②

；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

24.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

25.己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

1. 解：令1x = -1，2x =x ，得f (-x )= f (-1)+ f (x ) ……①为了求f (-1)的值，令

1x =1，2x =-1，则f (-1)=f (1)+f (-1),即f (1)=0,再令1x =2x =-1得

f (1)=f (-1)+f (-1)=2f (-1) ∴f (-1)=0代入①式得 f (-x )=f (x ),可得f (x )是一个偶函数。

2. 分析：根据函数的定义域，-m ，m ∈[-2,2]，但是1- m 和m 分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )

-，∴f (x )在[0，2]上是

单调递减的，于是 ??

???≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即???

??≤≤-≤-≤->+-22212212

2m m m m m 化简得-1≤m <

1。

3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一

个周期。又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

4. 解：由f （)21x x +=f （)()21x f x ?，??

????∈21,0,21

x x 知 f （x ）=f （)2()2x f x ?≥0，x []1,0∈

)]2

1([)21()21()21

1()1(f f f f f =?=+

= ， f （1）=2，

.2)2

(21

=∴

f 同理可得4

2)41

(=f

5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f （x ）

是周期函数。由条件得f （x ）≠1，故 f （x+2）=

(1)(1x f x f -+f （x+4）=

)

(1)

(1)(11)(1)(11x f x f x f x f x f -

=-+-

-++

. 所以f （x+8）=)()

4(1x f x f =+-

所以f （x ）是以8为周期的周期函数，从而f （2001）=f （1）=1997

说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。

（2）问题中令x=0即得f （y ）+f （- y ）=2f （0）f （y ），且f （0）=1.所以f （y ）+f （-y ）=2f （y ），因此y=f （x ）为偶函数.

说明：这类问题应抓住f （x ）与f （-x ）的关系，通过已知条件中等式进

行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递

减。令u=2-x ，则当x ∈(4,8)时，u 是减函数且u ∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）.因为a ＞b ，所以a-b ＞0，由题意得

a b f a f --+)

()(＞0，所以f （a ）+f （－b ）＞0，又f （x ）是定义在R 上的奇函

数，所以f （－b ）=－f （b ）， f （a ）－f （b ）＞0，即f （a ）＞f （b ）

（2）.由（1）知f （x ）在R 上是单调递增函数，又f )3(x k ?＋f )293(--x x ＜0，得f )3(x k ?＜f )239(+-x x ，故x k 3?＜239+-x x ，所以k ＜13

23-+

令t ＝]3,3

[3∈x

,所以k ＜t+

12-t

，而

t+t

≥22，即k ＜22－1

9.解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于

222

2222

2sin 33sin 311cos 32cos 20

5sin 1cos 1cos sin 14

a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ???-≤-≤?-≤-???++≤?-≤-?-≤??????-≥++--≥+???--≥

2222

a a a a a ?

?≤≤??≤?≤≤?

?≤≥??

10.（1）证明：令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-?()()(0)f x f x f +-= 令0x y ==，则(0)2(0)f f =()00f ?=

∴()()0f x f x +-=()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数。（2）∵(24)(3)(21)2(3)(18)...8(3)f f f f f f =+=+== 又∵(3)(3)f a f a -=?=-?(24)8f a =- 11.（1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =?=

（2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)0f -=

令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。（3）当0ab ≠时，

()()()f a b f b f a ab

?=+，令()()f x g x x

，则()()()g a b g a gb ?=+

故()()n g a ng a =，所以1()()()()n n n n n f a a g a na g a na f a -=?== ∴1

(2)

11()22

n n

n f u f n

--??

=? ???

∵()1

11(2)2,(1)(2)220

f f f f f ??==?=+

= ???

∴

111(2)242f f ??

=-=-

???

，故()1

1122n n u n N -????

=-?∈* ? ?

????

∴()11122111212

n s n N ????--?? ?????????

=-∈* ???- 12.解：(1)∵对任意x R ∈，函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+，且

(2)2f =

∴ 22((2)22)(2)22,(1)1f f f f -+=-+=则

∵(0)f a =，∴22((0)00)(0)00f f f -+=-+=200a -+?f(a)=a

(2) ∵对任意x R ∈，函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+,有且仅有一

个实数0x ,使得00()f x x = ∴对任意x R ∈，有20()f x x x x -+= 上式中，令0x x =，则20000()f x x x x -+= ∵00()f x x =，故2000x x -=?0001x x ==或

若00x =，则2()0f x x x -+=，则2()f x x x =-，但方程2x x x -=有两个不相同的实根与题设茅盾，故00x ≠

若01x =，则2()1f x x x -+=，则2()1f x x x =-+，此时方程

1(1)0x x x x -+=?-=有两个相等的实根，即有且仅有一个实数0x ,使得

00()f x x =

∴()2()1f x x x x R =-+∈ 13.（1）解：令12

m n ==，则1111()2()2

f f +=+

1(1)2

f ?=

（2）∵1(1),2

f =

111(1)(1)()()()122

f n f f n f n f n +=++=++

∴(1)()1f n f n +-= ∴数列{}()f n 是以

为首项,1为公差的等差数列,故

(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=

(1)2

n n n -+

(3)任取1212,,x x R x x ∈<且,则

21211121112111()()[()]()()()()()2

f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-++

-=-+

=211

()02

f x x -+>

∴12()()f x f x <

∴函数()f x 是R 上的单调增函数.

14.(1)解: ∵对任意x R ∈,有()f x >0, ∴令0,2x y ==得,2(0)[(0)](0)1f f f =?=

(2)任取任取1212,,x x R x x ∈<且,则令112211,33

x p x p =

,故12

p p <

∵函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13f >

∴1

12121111

()()()()[()][()]3333

p p f x f x f p f p f f -=-=-0>

∴12()()f x f x >

∴函数()f x 是R 上的单调减函数.

(3) 由（1）（2）知，()(0)1f b f >=，∴()1f b > ∵[][]()()(),()()a

c f a f b f b f c b f b b

b ?

?=?==?= ??

∴[][]()()()()a

b b f a f

c f b f b +=+>，而2a c b +>==

∴2()f b >=

∴()()2()f a f c f b +>

15. (1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=?

∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x << ∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()

()

f f x x f x f x f x f x f x -+=-??==

>--

(2)证明: 任取1212,,x x R x x ∈<且,则

2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-?-211[()1]()f x x f x =--

∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x > ∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x > ∴函数()f x 是R 上的单调减函数.

(3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =?>?+> 由（2）知，()f x 是R 上的减函数，∴221x y +<

∵B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈}=(){},20,x y ax y a R -+=∈ 又∵A B = ?，

∴方程组221

x y ax y ?+

共点

1≥?2

3a ≤?-

a ≤≤

的取值范围是a ≤≤

16.(1)任取1212,,x x R x x ∈<且,则

F 121122()()[()()][()()x F x f x f a x f x f a x -=-----=[

1212[()()][()()]f x f x f a x f a x -+---

∵12x x <, ∴12,x x ->-∴12,a x a x ->- 又∵函数()f x 是定义在R 上的增函数, ∴

12()()f x f x ->-,12()()f a x f a x ->-

故1212()()0,()()0f x f x f a x f a x ->---> ∴1212[()()][()()]f x f x f a x f a x -+--->0 ∴()F x 是R 上的增函数;

(2)设00(,)M x y 为函数y =()F x 的图象上任一点,则点00(,)M x y 关于点(,0)2a

的

对称点为N(,m n ),则

00,022

x m y n a ++==

,故00,m a x n y =-=-

∵把0,m a x =-代入F ()()()x f x f a x =--得,

0000()()()()f a x f a a x f a x f x ---+=--=-0y

∴函数y =()F x 的图象关于点(,0)2

成中心对称图形.

17.(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令

0,x =则(0)(0)f f -=-

∴(0)f =0

(2)证明: ∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-, ∵()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴对任意,x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-, ∴ 用1x +代x 得,(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=- ∴[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x ++=-+=--=,即(4)()f x f x +=

∴()f x 是周期函数,4是其周期. (3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)

x x f x x x -≤≤?=?

-+<

当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈ ∴4(4141)(),24(4143)

x k k x k f x z R

x k k x k --≤≤+?=∈?

-+-+<<+?

图象如下：

18.(1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ?=+，故(1)0f =

（2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f ?=+=， ∴(4)2f = ∴

()(3)2f x f x +-≥?

[(3)](4)(3)(4)3414

f x x f f x x f x x x -≥?-≥?-≤?-≤≤

∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤。

19．解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,

由)14()4()

14()()4()()7()7()

2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=???

?+=-+=-

)10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T

又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数; (2)

由

)14()4()

14()()

4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-???

?-=-=????+=-+=-)10()(+=?x f x f

又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.

20. 解：设，∵当

，∴

，

∵，

∴

，即，∴f （x ）为增函数。在条件中，令y ＝－x ，则

，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f

（0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数， ∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。

21. 解：设

，∵当

，∴

，则

，

即

，∴f （x ）为单调增函数。 ∵

，又∵f

（3）＝5，∴f （1）＝3。∴

，∴，即

，解得不等式的解为－1 < a < 3。

22. 解：（1）令y＝0代入，则，∴

。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。

23. 分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：

（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。

（2）假设时有，则x＝k＋1时，

，∴x＝k＋1时，结论正确。

综上所述，x为一切自然数时。

24.解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g （n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g （b）。

25.解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有

，∴在定义域中。∵

，

∴f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的

，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。

又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f （x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大

于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。 []11log ,13 评析：已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1)0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( ) A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）整理：河南省郸厂城县才源高中王保社抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0