3-4 高阶系统的时域分析

进行拉氏反变换：
A0 L ( ) A0 s q q q Aj Aj pt L1 ( ) L1 ( ) Aj e j s pj j 1 s p j j 1 j 1
1
00:35
Bk s Ck L [ 2 ] 2 s 2 k k s k
1
Bk ( s k k ) Bk k k Ck L [ ] 2 2 2 2 ( s k k ) k k k
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 那些靠近虚轴而又远离零点的极点(主导极点) 来决定。
00:35
二、高阶系统的二阶近似
※主导极点
1、离虚轴最近; 2、附近没有零点存在; 3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离 都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。
j
5

主导极点 主导极点
00:35
j
-10
-1

s =-1为主导极点，忽略极点s =-10的影响。为了保持 G(0)值不变，应将系统简化为：
00:35
1 G(s) s 1
简化前后稳态增益不变
Step Response 1 0.9 0.8 0.7 0.6 System: untitled2 Rise Time (sec): 2.22 System: untitled1 Rise Time (sec): 2.2
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91 System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 G1 ( s) s 1
10 G2 ( s) ( s 1)( s 10)
00:35
Ai [C ( s)( s pi )]s pi
进一步理解
Ai [C ( s)( s pi )]s pi
a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离 虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小； b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响； c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响； d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 c(t)影响大。
20
25
30
传递函数：
A1s B1 ( s ) 2 s b2
运动模态4
c(t ) A sin(bt )
s 1 s2 1
零极点分布图：
Impulse Response 1.5
( s )
j b
Amplitude
1
0.5
0
0
-0.5
-1
00:35
-1.5
0
5
10
15
n
00:35
传递函数：
A ( s) s p
运动模态1
c(t ) Ae
pt
零极点分布图：
Impulse Response 1
j
0.9
0.8
( s)
1 s 1
0.7
0.6
Amplitude
0.5
-p
0
0.4
0.3
0.2
0.1
00:35
0
0
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
传递函数：
指令：step(tf(1,[1,1])),hold on step(tf(10,conv([1,1],[1,10])))
00:35
0
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。
1 G( s) ( s 5)( s 2 0.8s 1)
运动模态3
c(t ) Ae
at
sin(bt )
零极点分布图：
1.2 1
Impulse Response
j
( s)
0.8
s 1 ( s 0.2) 2 1
b
Amplitude
0.6
0.4
0.2
-a
0
0
-0.2
-0.4
-0.6
00:35
-0.8
0
5
10
15 Time (sec)
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 的主导极点决定。
原因：

离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其 它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然 存在，并逐渐显现出来；
周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应 中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)； 其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态 和主导极点决定的模态相比衰减很快。
A ( s) s p
运动模态2
c(t ) Ae
pt
零极点分布图：
Impulse Response 14
j
Amplitude
12
( s)
10 8
1 s 1
6
0 p
4 2
00:35
0
0
0.5
1 Time (sec)
1.5
2
2.5
传递函数：
A1s B1 (s) 2 2 (s a) b
r(t)
1 c(t)
t
G(s)
t
Step Response
0.4
0.35
G(s)
1 s 3 2s 2 3s 4
0.3
0.25
Amplitude
0.2
0.15
0.1
0.05
00:35
0
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
高阶系统的主导极点常常是共轭 复数极点，因此高阶系统可以常用主 导极点构成的二阶系统来近似。相应 的性能指标可按二阶系统的各项指标 来估计。在设计高阶系统时，常利用 主导极点的概念来选择系统参数，使 系统具有预期的一对共轭复数主导极 点，这样，就可以近似的用二阶系统 的性能指标来设计系统。
j 1 q p jt
1
Ak e k k t sin dk t k
k 1
r
结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定
如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它 决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平 面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳 定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个 系统对外显示是发散的。
讲授技巧及注 尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲 清楚，再将表达式和图形一一对应起来。 意事项
00:35
描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系
统。 工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。 原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
00:35
c(t ) L1[C ( s )] A0 A j e
j 1 q p jt
Ak e k k t sin dk t k
k 1
r
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极 点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越 迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关) 在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有 闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留 数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
cos(k 1 )t
2 k
Ck Bk k k
k 1 k2
e k k t sin(k 1 k2 )t
Ak e k k t sin dk t k
00:35
Dk
c(t ) L1[C ( s )] A0 A j e
6
4
2
0
a
0
-2
-4
-6
00:35
-8
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
运动模态总结
j
0
j
0
j
0
j
0
j
0
Impulse Response 1 1.2
Impulse Response 1.5
Impulse Response 12
Impulse Response 14
Impulse Response
00:35
※高阶系统的降阶简化思路： 1、去除传递函数中影响较小的极点；
2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为 二阶或三阶系统。
注意保持系统稳态放大倍数不变，即Φ(0)不变 或A0不变。
00:35
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。 10 G(s) ( s 1)( s 10)
00:35
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：

一阶模态 e p t pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
j

二阶模态 e t sin(bt ) n 0 二阶收敛模态 n 0 二阶等幅振荡模态 n 0 二阶发散模态
第三章 时域分析法
第四节 高阶系统的时域分析
00:35
3-4 高阶系统的时域分析
项目 内容
掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的
教 学 目 的 五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。
教 学 重 点 高阶系统的降阶处理方法以及matlab图形分析方法。 教 学 难 点 高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
-0.8
-1.5 0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30
0
5
10
15
20 Time (sec)
25
30
35
40
-8
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
0
0
0.5
1 Time (sec)
1.5
2
2.5
c(t ) L [C ( s )] A0 A j e
进行拉氏变换可得：
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm (s) a0 s n a1s n 1 an 1s an

00:35
K r ( s zi )
i 1
m
( s p j ) ( s 2 2 k k s k2 )
j 1 k 1
q
r
在单位阶跃信号下的响应：
C ( s) K r ( s zi ) s ( s p j ) ( s 2 2 k k s k2 )
j 1 k 1 q i 1 r m
1 s
r A0 q Aj Bk s Ck 2 s s p j k 1 s 2 k k s k2 j 1
20 Time (sec)
25
30
35
40
传递函数：
A1s B1 (s) 2 2 (s a) b
运动模态5
c(t ) Ae sin(bt )
at
零极点分布图：
Impulse Response 12 10
j b
Amplitude
8
(s)
s 1 ( s 0.1) 2 1
1
(Ck Bk k k )
k 1 k2 k 1 k2
2 2 k
L [
Baidu Nhomakorabea1
Bk ( s k k ) ( s k k ) (k 1 )
2 2 2 k

( s k k ) (k 1 )
2
]
Bk e
k k t
j 1 q p jt
Ak e k k t sin dk t k
k 1
r
结论(性能分析)： 1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶 振荡子系统的时间响应函数项组成； 2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳 态输出为A0。


00:35
※偶极子： 定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的 对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相 互抵消，这对零极点叫做偶极子。
j
偶极子
5


作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极 点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环 节使某些零点的作用减小或消失。
00:35
高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应
00:35
一、高阶系统的单位阶跃响应
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
0.9
1 1
10 12 8
0.8
0.8
0.7
0.6 0.5
6
10
0.6
Amplitude
0.4
Amplitude Amplitude
4 8
Amplitude
0.5
Amplitude
0.2
0
2
6 0.4 0 -0.5 0.3 -0.2 -2 4 0
0.2
-0.4 -1
-4 2 -6
0.1
-0.6
0
0
00:35