高考数学 圆锥曲线之椭圆问题

专题之——椭圆

（一）热点透析

考查目标 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系．

达成目标 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题．

（二）知识回顾

1．椭圆的概念

在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

2．椭圆的标准方程和几何性质

（三）疑难解释

1． 椭圆焦点位置与x 2

，y 2

系数间的关系：

给出椭圆方程x 2m ＋y 2

n

＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0

2． 求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2

＝a 2

－c 2

就可求得e

(0

3． 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据：①中心是否在原点；②对称

轴是否为坐标轴．

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1． 若椭圆x 2

16＋y 2

b

2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．

答案 4 3

解析 ∵点(－2，3)在椭圆上， ∴

416＋3b

2＝1，即b 2

＝4， ∴c 2

＝16－4＝12，故2c ＝4 3.

2． 如果方程x 2＋ky 2

＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．

答案 (0,1)

解析 将椭圆方程化为x 22＋y 2

2

k

＝1，

∵焦点在y 轴上，∴2

k

>2，即k <1，又k >0，∴0

3． 已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1

2

，则m 的值是

( )

A.2

3 B.4

3 C.5

3 D.83

答案 D

解析 由题意知a 2

＝m ，b 2

＝2，∴c 2

＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2

a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83

.

4． 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2

9

＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是

10，则第三边的长度为

( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

答案 A

解析 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6.

5． 椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为

( )

A.

2－2

2 B.22－12

C.3－1

D.2－1

答案 D

解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，

所以有c 2a 2＋

2c 2

b 2

＝1，

整理得b 2c 2

＋4a 2c 2

＝a 2b 2

，

又因为b 2

＝a 2

－c 2

，代入得c 4

－6a 2c 2

＋a 4

＝0， 即e 4

－6e 2

＋1＝0，解得e 2

＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1.

二、高频考点专题链接

题型一 求椭圆的标准方程

例1 (1)若椭圆

短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；

(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__________． 提示：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量． 答案 (1)x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2

12＝1

(2)x 216＋y 2

8

＝1 解析 (1)由已知⎩⎨

⎧

a ＝2c ，

a －c ＝3，

∴⎩⎨

⎧

a ＝23，c ＝ 3.

从而b 2

＝9，∴所求椭圆的标准方程为

x 2

12

＋y 29＝1或x 29＋y 2

12

＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝1

2

.

由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16， 故a ＝4.∴b 2

＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2

8

＝1.

注意 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2

＋ny 2

＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．