第3章讲义(2010)

第三章 不确定项下的投资决策风险和不确定性风险、不确定性与确定的定义金融决策是时序决策，它们包括：选择，选择的结果向将来延伸。

由于将来是未知的，金融决策不可避免的在不确定条件下进行。

为了开始我们对投资决策准则的研究，必须对“确定”、“风险”和“不确定”进行概念上的区分。

在此基础上，我们然后才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构。

奈特（Knight ）《风险、不确定性与利润》(1921) Frank H. Knight (1885-1972)Knight 不承认“风险=不确定性”，提出“风险(risk)”是有概率分布的随机性（randomness with knowableprobabilities ） ，而“不确定性(uncertainty)”是不可能有概率分布的随机性(randomness with unknowable probabilities )。

Knight 的观点被普遍接受。

但是这一观点成为研究方法上的区别。

风险来自于未来结果的不确定性，但是风险又与不确定性不同。

确定性排除了任何随机事件发生的可能性,它是哲学意义上的前因后果必然关系的体现. 风险则意味着我们对未来可能发生的所有事件,以及他们发生概率的大小有准确地认识,但是对于究竟哪一种事件会发生一无所知.换句话说,我们知晓未来的概率分布,这种概率分布也许来自于经验或者客观事物本身的规律不确定性意味着即便我们能够知道未来世界的可能状态(结果), 但是它们发生的概率仍然是不清楚的。

风险与不确定性在实际应用中的区别对于风险形象的理解是：想象我们在掷一枚质地均匀的硬币，我们知道只会出现字或者花两种结果，而且其可能性各为50%，但是在硬币落地前，我们不会知道究竟哪一种结果会出现，这实际上是一个古典概率随机试验模型。

注意到这与我们在日常生活中，赋予风险这个词的明显负面意义有所不同。

而不确定性则意味着：即便是我们能够知道未来世界的可能状态（结果），它们发生的概率大小仍然是不清楚的，但是如果引入主观概率（subjective probability ），即人为的为每一种状态分配一个概率，则风险与不确定性的界限就变得模糊起来。

特别是在进行动态决策时，几乎所有概率评价都呈现主观色彩，因而在行文中，我们往往会不加区分地交替使用这两个词。

我们必须在这样一个存在各种不确定性的环境中做出决策。

以下的任务就是把不确定性或者风险，植入我们在上一章中获得的关于理性决策的分析框架。

期望效用理论 (The Expected Utility Theorem)不确定性下理性决策的原则讨论（一）几种决策准则当我们考察一项项目的风险时，我们通常考察的是这项投资产生未来现金流量的不确定性。

依赖于未来的不同状态，我们会得到不同的报酬。

例如考虑以下投资，其下一期的报酬如下表所示，并且两种报酬的状态具有等可能性。

我们用1,2θ=来表示两种状态，他们各自的概率用1π和2π表示。

在t=0时期的成本在t=1时期的价值1212ππ==1θ=2θ=投资1 -1000 1050 1200 投资2 -1000 500 1600 投资3-100010501600“占优(dominance)”，投资3明显优于投资1和投资2，在所有状态下，它的报酬都至少和这两种投资一样多，且至少在一种状态下要严格多于它们。

此处所示的各态占优(state-by-state dominance)是一种最强的占优形式。

这需要我们假定典型的投资者个体对消费是非满足的：只要在其他收入许可的范围内，其希望能消费更多的商品而不是更少。

但是由占优概念确定的排序是很不完备的，比较投资1和2，可以看出任一投资都不优于另一投资。

虽然投资2在状态2要好一些，但在状态1下却差得多。

若按占优的标准，则无法对二者排序。

不同的未来状态需要从不同的角度加以描述，这就需要引入风险的概念。

就风险而言，我们都同意投资2和投资3要比投资1的风险相对较大。

当然，对投资3而言，占优性意味着唯一的风险是向上风险，然而，按照上一章对平滑消费偏好的讨论，投资3在第2期报酬的较大波动是人们所不希望的。

在比较投资1和投资2时，“风险大”这个词无疑适用于后者，在最糟状态下，投资2的报酬更差，而在最佳状态下，其报酬则又更好一些。

我们通过投资收益率来对上面的例子进行改写，如下表：1θ=2θ=投资1 5% 20% 投资2 -50% 60% 投资35%60%从上表可以清楚的看出，所有理性的风险厌恶都更偏好投资3而不是投资1和2。

但比较投资1和2时，就无法用占优来表述。

投资2的风险更大，但这一事实并不意味着所有理性的风险厌恶者都一定偏好投资1,风险并不是唯一的考虑因素，原则上，两个项目的排序取决于偏好。

根据占优对未来前景加以排序通常是一种很不完备的方法。

这就是我们转而用偏好来描述的原因。

最广为人知的方法是用投资收益（即代表投资收益的随机变量）的均值i Er 和方差2,1,2,3i i σ=来表示这样的投资收益分布。

收益率的方差就自然而然的作为投资的“风险”的测度。

对前述三项投资而言，我们有：222211122331112.5%;(512.5)(2012.5)7.57.5%225%;55%32.5%;27.5%Er Er Er σσσσ==-+-======或如果我们仅仅用均值和方差来表示收益分布，则投资1明显比投资2更具有吸引力。

按均值－方差的标准，投资1优于投资2：称投资1均方优于（mean-variance dominance ）投资2。

投资3均方优于投资2，但并不优于投资1，虽然按照各态占优的标准投资3优于投资1和2！这是令人吃惊的，这告诉我们在是用均方收益标准的时候要小心谨慎。

由此，我们认为均方标准并不是普遍适用的，在使用时需要加上一定的限制条件。

均方占优的概念可以作为同等数量投资之间的一个选择标准，它在现代投资组合理论中具有突出的作用：1、 对于Er 相同的投资，则选择σ最小者；2、对于σ相同的投资，则选择Er 最大者。

在现代投资组合理论的框架下，我们无法理解一个理性人会选择投资2而不是投资1。

然而，我们不能就此限制对占优概念的探索。

均方占优提供的仅仅是在不确定前景下的一个不完全排序，如下表：1θ=2θ=投资4 3% 5% 投资52%8%1212ππ==444%;1%Er σ==555%;3%Er σ==在比较上述两种投资时，我们不能清楚的看出谁更好：没有哪一项投资是各态占优或均方占优的。

只能取决于偏好来解决这一问题。

假定对一个特定的个人，这种取舍可以通过指数Eσ（称为“夏普比率”）来很好的描述。

此时投资4优于投资5。

当然另一位投资者也许对风险不那么厌恶，他对同样的预期收益愿意承担更多的风险。

比如他的偏好通过13E σ-来表示，此时，他会将投资5排在投资4之前。

所有这些考虑充分表明，我们必须采用一种一般化的观点来比较潜在的收益分布。

（二）“圣彼德堡悖论”是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢？在带概率的不确定环境下的决策问题与概率论这门学科的历史一样古老。

当时，这类问题大多用赌博的形式提出，既然是赌博问题，就不需要效用函数之类的概念，只需考虑局中人的输赢。

赌博通常是不断重复的博弈游戏，各种事件反复出现使人们逐渐形成随机变量及其分布、均值（数学期望）、方差等概念。

而期望收益很自然的就称为刻画赌博输赢的总体指标。

期望收益为0的赌博，则意味着一场“公平赌博”。

因此期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策的主要依据。

然而，这样的决策判断很快就被质疑，这是由瑞士数学家尼古拉斯.贝努利（Nicolaus Bernoulli ）与1713年提出的。

这个问题由尼古拉斯.贝努利的堂弟、当时的圣彼得堡科学院院士丹尼尔.贝努利解决。

而这个问题后来也以“圣彼得堡悖论”而著称。

圣彼得堡悖论——18世纪的一个经典的例子——圣彼得堡悖论，这个例子告诉18世纪的学者期望收益最大化原则不是最合适的在不确定性下的决策原则。

1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。

指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。

应该用“钱的函数的数学期望”。

Daniel Bernoulli （1700-1782)▪ 如果有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你1元，出现反面惩罚你1元。

假如这个游戏是一个投资工具，那么这个游戏应该怎样定价（即花多少前来买这个游戏的参加权）？我们先看这个游戏的期望收益（硬币出现正反面的概率相同，各为1/2）：期望收益=（1/2）×1+（1/2）×（-1）=0▪ 现在，如果出现正面奖励2元，出现反面奖励1元，问该项游戏如何定价？期望收益=（1/2）×2+（1/2）×1=1.5▪ 对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性投资者，投资的价格不能高于游戏的期望收益，即不能高于1.5元。

如果低于1.5元，可能会赚钱；如果高于1.5元，就不太可能赚钱。

如果价格定在1.5元，买卖双方来说就是一个公平游戏，按照公平游戏规则定价，就是一种均衡定价的思想。

▪ 有这样一场掷硬币的赌博：第一次赢得 2元，第一次输第二次赢得 4 元，前两次输第三次赢得 8 元，……一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n 次方元。

请问你愿意先付多少钱来参加这个赌博？第一次出现正面结果描绘结果的概率奖励1H（head）1/222（Tail）TH1/443TTH1/884TTTH1/1616………………………………………………………………n((n-1)个T)H (½)n2n如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在2-3之间。

Daniel Bernoulli （1700-1782)1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。

指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。

应该用“钱的函数的数学期望”。

贝努力提出期望效用准则方法：用期望效用作为最大化的目标，假设投资者关心的是期末财富的效用，从而成功解决了圣彼得堡悖论问题。

在不带不确定性的一般经济均衡的讨论中，经济活动者的行为是通过对他的效用函数的最大化来决策的。

在带不确定性的一般经济均衡中，一种处理不确定性的办法是假定商品量都是随机变量，即它们的大小将以来于不确定的状态。

如果仍然用原来的效用函数，那么效用函数的值也将依赖于状态的随机变量，使得人们无法直接通过效用函数的值来决策。

在这种情况下，人们可以希望，只要对这样的效用函数求均值（数学期望）以后，就能比较效用的大小。

也就是说，在所涉及的随机商品量x 集合上直接定义效用函数u ，它应该满足下列等式：(())()E u x u x =期望效用函数（expected utility ）John von Neumann (1903-1957) Oskar Morgenstern (1902-1977)1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。