【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：主观题专练 解析几何(9)
山东省青岛市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
山东省青岛市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2CD【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.2．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45 B ．42C ．25D ．36【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可. 【详解】 由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=，即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， )13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， )3,1,1D；()10,2,2AC =-u u u u r， )3,1,1CD =--u u u r ；异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u ur u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．5．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥画出该几何体的直观图P ABCD平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可证：平面PAB⊥平面PAD，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 6．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.7．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．25【答案】B【解析】 【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况，因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.8．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ．9．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan12AGAEGGE∠===，当1111AC B D F=I，AC BD G⋂=，取E为1D，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB=，所以四边形1D GBF是平行四边形，所以1//BF D G，所以异面直线,AE BF所成角为AEG∠，且2232tan212AGAEGGE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF所成角不是定值，故错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.10．在ABCV中，角、、A B C的对边分别为,,a b c，若tan2sin()a Bb B C=+．则角B的大小为() A．π3B．π6C．π2D．π4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan2sin sinA B B A=，结合sin0A>，可得tan2sinB B=，结合范围()0,Bπ∈，可得sin0B>，可得1cos2B=，即可得解B的值．【详解】解：∵()tan2sin2sina Bb B C b A=+=，∴由正弦定理可得：sin tan2sin sinA B B A=，∵sin0A>，∴tan2sinB B=，∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．12．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 12比较即可. 【详解】由0.50.50.820.8a =>1sin1sin 23b π<=<==<11lg3lg1022c =<==，所以有c b a <<.选C. 【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021新高考数学(山东专用)二轮复习学案：板块1 应试技巧必备 Word版含解析
姓名，年级：时间：应试技巧必备巧用5招秒杀选择题、填空题妙招1 特值（例)法特值（例）法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，从而得到正确答案的方法．(1）使用前提：满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊情况也一定成立．（2)使用技巧：找到满足条件的合适的特殊例子，有时甚至需要两个或两个以上的特殊例子才可以确定结论．(3）常见问题：求范围,比较大小,含字母求值或区间,恒成立问题,任意性问题等．真题示例技法应用(2020·全国卷Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0当α＝－错误!时，cos 2α＝0,sin 2α＝－1，排除A，B，C,故选D．（2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P。
ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体如图所示,构造边长为错误!的正方体PBJA.CDHG,显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球,从而体积为错误!π。
选D积为( )A．8错误!πB．4错误!πC．2错误!πD．错误!π（2017·全国卷Ⅰ)已知α∈错误!，tan α＝2,则cos错误!＝________.结合三角函数的定义,取角α终边上的特殊点(1,2），求出sin α＝错误!，cos α＝错误!，代入计算．答案：错误!（2017·山东高考）若a〉b〉0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )A．a＋错误!<错误!<log2（a＋b) B．错误!<log2(a＋b)〈a＋错误! C．a＋错误!〈log2（a＋b)〈错误!D．log2（a＋b)<a＋1b<错误!根据条件不妨对a,b选取特殊值验证，如a＝2，b＝12时，选项A，C,D对应的不等式不成立．选B(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝A sin （ωx＋φ)的部分图象如图所示,则( )A．y＝2sin错误! B．y＝2sin错误! C．y＝2sin错误!结合图象，分别取x＝0和x＝错误!验证．选A（2020·全国卷Ⅱ）设函数f （x ）＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在错误!，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在－错误!，错误!单调递减C ．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在－∞，－12单调递减由错误!得函数f (x )的定义域为错误!∪错误!∪错误!，其关于原点对称，因为f (－x ）＝ln ｜2（－x )＋1｜－ln|2（－x ）－1｜＝ln|2x －1|－ln ｜2x ＋1|＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，C ．当x ∈错误!时，f （x )＝ln （2x＋1）－ln(1－2x )，易知函数f (x ）单调递增，排除B ．当x ∈－∞,－错误!时，f （x ）＝ln(－2x －1）－ln （1－2x )＝ln 错误!＝ln 错误!,易知函数f （x )单调递减，故选D（2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝错误!在［－6，6]的图象大致为（ ）由函数解析式易知函数为奇函数，故可排除C ，再取特殊值x ＝4，可排除D ，取特殊值x ＝6，可排除A ．选B验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项中进行检验,从而可否定错误选项，得到正确选项的方法．（1）使用前提：选项中存在唯一正确的答案．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是错误!错误!，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是错误!.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm头顶至脖子下端的长度为26 cm,可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm ，则该人的身高小于178 cm 。
2021年山东省济南市高考数学二模试卷
2021年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x ≥2}，B ={x|log 2(x −1)<1}，则(∁U A)∩B =( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (1,2)D. (1,3)2. 已知(2−i)⋅z =i ，i 为虚数单位，则|z|=( )A. √55B. 1C. 2D. √53. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的一个( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)，若P(X ≤0)=0.2，则P(X <2)=( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.85. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P(1,12)的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB的方程为( )A. 3x −2y −2=0B. 3x +2y −4=0C. 3x +4y −5=0D. 3x −4y −1=06. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点M(√3,−1)和点N(0,1).若点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. −6 C. 2 D. 67. 已知函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，若f(a)=f(b)，则a +b 的最小值是( )A. 2√eB. eC. 1+eD. 2e8. “曼哈顿距离”是由赫尔曼⋅闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)的曼哈顿距离为：L PQ =|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.若点P(1,2)，点Q 为圆C ：x 2+y 2=4上一动点，则L PQ 的最大值为( )A. 1+√2B. 1+2√2C. 3+√2D. 3+2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a >b >0，c ∈R ，下列不等式恒成立的有( )A. (13)a <(13)b B. ac 2>bc 2C. log 21a >log 21bD. (a+b 2)2<a 2+b 2210. 函数f(x)=2cos(2x −π6)+1(x ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若f(x 1)=f(x 2)=3，则x 1−x 2=kπ(k ∈Z)B. 函数f(x)在[−π6,π3]上为增函数 C. 函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称D. 函数f(x)的图象可以由g(x)=2sin(2x −π3)+1(x ∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(1−x)=−f(1+x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2+x −2，则下列说法正确的是( )A. f(x)是以4为周期的周期函数B. f(2018)+f(2021)=−2C. 函数y =log 2(x +1)的图象与函数f(x)的图象有且仅有3个交点D. 当x ∈[3,4]时，f(x)=x 2−9x +1812. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AB =AA 1=12AD =1，∠BAD =60°，点P 是半圆弧A 1D 1⏜上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC ⏜上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( )A. 四面体PBCQ 的体积是定值B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)C. 若C 1Q 与平面ABCD 所成的角为θ，则tanθ>12D. 若三棱锥P −BCQ 的外接球表面积为S ，则S ∈[4π,13π)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −2x )n 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x 3项的系数是______． 14. 已知tan(π4−α)=12，则cos2α=______． 15. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N.若以MN 为直径的圆经过点F 2且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为______．16. 设函数f(x)=e x −cosx −2a ，g(x)=x ，若存在x 1，x 2∈[0,π]使得f(x 1)=g(x 2)成立，则x 2−x 1的最小值为1时，实数a =______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ；②2asinC =ctanA ；③2cos 2B+C 2=cos2A +1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =√2，___． (1)求A 的值；(2)若sinB =√2sinC ，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1，3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(−1)n log 2a 2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛相互独立． (1)求甲获胜的概率；(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X 局比赛，求随机变量X 的分布列及数学期望．20.如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB=120°，AB=AC=4，AF=√6．(1)证明：平面ADF⊥平面BCF；(2)求二面角F−AD−E的余弦值．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两．点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为12(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2+x，g(x)=(1−a)xlnx−e x−1，a>0．(1)当a=e时，判断函数f(x)在定义域内的单调性；2(2)若f(x)≥g(x)+x恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为B ={x|log 2(x −1)<1}={x|1<x <3}， 又集合A ={x|x ≥2}，全集U =R ， 所以(∁U A ={x|x <2}, 所以(∁U A)∩B =(1,2)． 故选：C ．先利用对数不等式求出集合B ，然后由补集的定义和交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，涉及了对数不等式的解法，补集的定义以及交集定义的理解和应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知可得： z =i2−i =i(2+i)(2−i)(2+i)=−1+2i 5，所以|z|=√(−15)2+(25)2=√55，故选：A ．由已知求出z ，进而可以求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行， 如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线． 故“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 故选：B ．直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行，如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件”可得结论．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X≤0)=0.2，∴P(0≤X≤1)=0.5−0.2=0.3，∴P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.3．所以P(X<2)=0.5+0.3=0.8．故选：D．先求出P(0≤X≤1)，再计算P(1≤X≤2)，然后求解P(X<2)．本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，∴3(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,1)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴3(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−32，∴直线AB的方程为y−12=−32(x−1)，即3x+2y−4=0．由于P在椭圆内，故成立．故选：B．利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，如图点M(√3,−1)和点N(0,1)那么ON =1，MO =2，余弦定理可得∠MON =120°， 点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 那么∠MOP =∠NOP =60°， 可得P 的坐标为(2√3,2)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2)⋅(−√3,2)=−6+4=−2； 故选：A ．根据点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，点M(√3,−1)和点N(0,1)所成夹角∠MON =120°，然后求出P 的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了向量的坐标运算和余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，设b >1≥a >0，由f(a)=f(b)可得−1+2lnb =1−2lna ，即lna +lnb =1，即ab =e ， ∴a +b =a +ea ≥2√a ⋅ea =2√e ，当且仅当a =√e 时，等号成立，但0<a ≤1时，即y =a +ea 在(0,1]上单调递减， 故y =a +ea 在(0,1]上的最小值为：1+e1=1+e ， 故选：C ．根据函数的性质可得ab =e ，再根据基本不等式以及函数的单调性，再代值计算即可 本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．8.【答案】D【解析】解：由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)， 则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|， 当cosθ≥12时，即当θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)时， L PQ =2cosθ−1+2−2sinθ=1+2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)，∴θ+π4∈[π4,7π12]∪[23π12,94π)， 则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2； 当cosθ<12时，即当θ∈(π3,5π3)时，L PQ =1−2cosθ+2−2sinθ=3−2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈(π3,5π3)∴θ+π4∈(7π12,23π12)，则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)，则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|，然后对θ分段去绝对值，再由三角函数求最值．本题考查点与圆的位置关系，考查新定义下的两点间的距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A ：由于a >b >0，函数y =(13)x 为减函数，故(13)a <(13)b ；故A 正确； 对于B ：当c =0时，ac 2=bc 2；故B 错误；对于C ：当a >b >0时，1b >1a >0，由于y =log 2x 在(0,+∞)单调递增，所以log 21b >log 21a ，故C 错误； 对于D ：根据不等式的性质，(a+b 2)2<a 2+b 22恒成立，故D 正确；故选：AD ．直接利用指数函数和对数函数的单调性的应用和基本不等式的应用确定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的单调性，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于函数f(x)=2cos(2x−π6)+1(x∈R)，若f(x1)=f(x2)=3，则x1−x2=kT=kπ(k∈Z)，故A正确；在[−π6,π3]上，2x+π6∈[−π6,5π6]，函数f(x)没有单调性，故B错误；令x=π3，求得f(x)=1，可得函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称；把g(x)=2sin(2x−π3)+1(x∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到y=2sin(2x+π6−π3)+1=2sin(2x−π6)+1(x∈R)的图象，故D错误，故选：AC．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)满足f(1−x)=−f(1+x)，即f(−x)=−f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则f(2+x)=−f(x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2018)=f(2)=−f(0)=−(−2)=2，f(2021)=f(1)=0，则f(2018)+f(2021)=2，B错误；对于C，根据题意，作出函数y=log2(x+1)的图象与函数f(x)的图象，结合图象可得两个函数有3个交点，C正确；对于D，当x∈[3,4]时，则4−x∈[0,1]，则f(4−x)=(4−x)2+(4−x)−2=x2−9x+18，又由f(x)为周期为4的周期函数且f(x)是偶函数，则f(x)=f(x−4)=f(4−x)=x2−9x+18，D正确；根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的判断，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对A ：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 到面ABCD 的距离为1，则V P−BCQ =13d ×12BC ×ℎ=13ℎ，由于h 不为定值，故V P−BCQ 不为定值，故A 错误；对B ：在Rt △A 1PD 1中，cos∠D 1A 1P =A 1PA 1D 1，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠D 1A 1P =4cos²∠D 1A 1P ，因为∠D 1A 1P ∈(0,π2)，所以cos∠D 1A 1P ∈(0,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)，故B 正确；对C ：由于CC 1⊥面ABCD ，所以C 1Q 与面ABCD 所成的角为∠C 1QC ， 所以tanθ=C 1C CQ=1CQ ，因为CQ ∈(0,2)，所以tanθ>12，故C 正确；对D ：以D 为坐标原点，DB 、DC 、DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系， 则B(√3,0，0)，C(0,1，0)，A 1(√3,−1,1)，D 1(0,0，1)， 线段BC 的中点M(√32,12,0)，线段A 1D 1的中点N(√32,−12,1)，设球心O(√32,12,t)，点P(x,y ，1)，则(x −√32)²+(y +12)²=1，由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得(x −√32)²+(y +12)²+(1−t)²=1+t²， 整理可得2t =(x −√32)²+(y −12)²=1−(y +12)²+(y −12)²=1−2y ，则t =12−y ，因为−1<y ≤12，则t =12−y ∈[0,32)，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+t 2∈[1,√132)， 所以S =4π|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²∈[4π,13π)，故D 正确；利用椎体的体积公式可判断A；利用空间向量数量积的定义可判断B；利用线面角的定义可判断C；利用建系的方法计算出三棱锥P−BCQ的外接球半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D．本题考查了命题真假判断，涉及空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】84【解析】解：∵2n=128，∴n=7，∴(x−2x )7的展开式中的通项T r+1=C7r⋅(−2x)r⋅x7−r=(−2)r⋅C7r⋅x7−2r，令7−2r=3，得r=2，∴(x−2x)7的展开式中x3项的系数为：4C72=84，故答案为：84．利用二项式系数的性质可求得n=7，再利用(x−2x)7的展开式中的通项公式可求得答案．本题考查二项式定理及其通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】45【解析】解：因为tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=12，则tanα=13，cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=45．故答案为：45．由已知结合两角差的正切公式可求tanα，然后结合同角基本关系即可求解．本题主要考查了两角差的正切公式及同角基本关系，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，所以∠F1NF2=45°如图所示；设|NF2|=t，则|MF2|=t，由双曲线的定义可得：|MF1|=t−2a，|NF1|=t+2a所以|MN|=|NF1|−|MF1|=4a=√2t，解得t=2√2a，所以|NF1|=t+2a=(2√2+2)a，在△F1NF2，由余弦定理可得：|F2F2|2=|NF1|2+|NF2|2−2|NF1||NF2|cos45°，即4c2=(2√2+2)2a2+ 8a2−8(1+√2)a2，可得e2=3，所以离心率为√3；故答案为：√3．由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，设一个焦半径，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．16.【答案】−12【解析】解：令F(x)=f(x)−g(x)=e x−cosx−x−2a，由f(x1)=g(x2)得x2=e x1−cosx1−2a，则x2−x1=e x1−cosx1−x1−2a，则x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，F′(x)=e x+sinx−1≥0恒成立，x∈[0,π]，∴F(x)在[0,π]上单调递增，∴F(x)min=F(0)=−2a=(x2−x1)min=1，∴a=−1，2故答案为：−1．2令F(x)=f(x)−g(x)，x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，得到关于a的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)若选①：∵(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，∴由正弦定理得(b−c)2=a2−bc，整理得b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，且0<A<π，∴A=π3；若选②：∵2asinC=ctanA，∴根据正弦定理得2sinAsinC=sinC⋅sinAcosA，且sinA>0，sinC>0，∴cosA=12，且0<A<π，∴A=π3；若选③：∵2cos2B+C2=cos2A+1，∴cos(B+C)+1=2cos2A−1+1，∴2cos2A+cosA−1=0，解得cosA=12或cosA=−1，且0<A<π，∴A=π3；(2)∵sinB=√2sinC，∴由正弦定理得b=√2c，且b=√2，∴c=1，∴S△ABC=12bcsinA=12×√2×1×√32=√64．【解析】(1)若选择条件①：根据正弦定理可得出b2+c2−a2=bc，然后根据余弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件②：根据正弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件③：根据二倍角的余弦公式即可得出2cos2A+cosA−1=0，然后可求出cosA=12，进而解出A=π3；(2)根据正弦定理可得出b=√2c，从而求出c=1，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．本题考查了正余弦定理，二倍角的余弦公式，弦化切公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4=16，设数列的公比为q，则2a1q2=2a1⋅3a1q，由于a 1≠0，故2q 2−3q −2=0，解得q =2或−12． 由于数列为正项数列， 所以q =2． 则a n =2n ．(2)由(1)知：a 2n+1=22n+1，所以b n =(−1)n log 2a 2n+1=(−1)n ⋅(2n +1)，当n 为偶数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n2=n ， 当n 为奇数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n−12−(2n +1)=−n −2．故T n ={n (n 为偶数)−n −2(n 为奇数)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式； (2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为P 1=(23)3=827，比赛四局且甲获胜的概率为P 2=C 32(23)2×(1−23)×23=827， 比赛五局且甲获胜的概率为P 3=C 42(23)2×(1−23)2×23=1681， 所以甲获胜的概率为P =P 1+P 2+P 3=827+827+1681=6481； (2)随机变量X 的取值为3，4，5， 则P(X =3)=(23)3+(13)3=13，P(X =4)=C 32(23)2×13×23+C 32(13)2×23×13=827+227=1027，P(X =5)=C 42(23)2×(13)2×23+C 42×(13)2×(23)2×13=827，所以随机变量X 的分布列为：X 3 4 5 P131027827则随机变量X 的数学期望为E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727．【解析】(1)甲获胜分为三种情况：比赛三局且甲获胜，比赛四局且甲获胜，比赛五局且甲获胜，分别求解概率，然后由分类计数原理求解即可．(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∵ABEF 是矩形，∴FA ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF =AB ， AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC ，∵BC ⊥AF ，AD ⊂平面ADF ，AF ∩AD =A ，∴BC ⊥平面ADF ， 又BC ⊂平面BCF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ． (2)由(1)知AF ⊥平面ABC ，∴以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0，0)，F(0,0，√6)，B(0,4，0)，C(2√3,−2,0)，E(0,4，√6)， ∴D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√6)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)， 由(1)知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)是平面ADF 的一个法向量， 设平面ADE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +√6x =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,2√2)， ∴cos <n ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√32√3⋅4√3=√33， ∵二面角F −AD −E 是平面角是锐角， ∴二面角F −AD −E 的余弦值为√33．【解析】(1)推导出AD ⊥BC ，FA ⊥AB ，从而AF ⊥平面ABC ，进而AF ⊥BC ，BC ⊥平面ADF ，由此能证明平面ADF ⊥平面BCF ．(2)由AF ⊥平面ABC ，以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AD −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)因为x 2=2py(p >0)可化为y =x 22p ，所以y′=xp ，因为当A 点的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p =12， 所以p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0， 设直线l 1的方程为y =kx +2，由{y =kx +2x 2=4y ，联立消去y 并整理可得x 2−4kx −8=0， 所以△=(−4k)2+32=16k 2=32>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8， 所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4， 因为M 为AB 的中点，所以M(2k,2k 2+2)， 因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N(−2k ,2k 2+2)， 所以直线MN 的方程为y −(2k 2+2)=2k 2+2−(2k 2+2)2k+2k⋅(x −2k)=(k −1k)⋅(x −2k)，整理可得y =(k −1k )x +4， 所以直线MN 恒过定点(0,4)，所以△OMN 的面积S =12×4×|2k −(−2k )|=4|k +1k |≥8， 当且仅当k =1k ，即k =±1时，△OMN 面积取得最小值为8．【解析】(1)将抛物线方程化为y =x22p ，求导得y′=x p ，由导数的几何意义可得1p =12，解得p ，进而可得抛物线C 的标准方程．(2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 1的方程为y =kx +2，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得y 1+y 2，由中点坐标公式可得M(2k,2k 2+2)，N(−2k ,2k 2+2)，写出直线MN 的方程，得y =(k −1k )x +4，即可得出直线MN 恒过定点(0,4)，再计算△OMN 的面积S =4|k +1k|，由基本不等式，即可得出答案．本题考查直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =e 2时，f(x)=xlnx −e2x 2+x ，所以f′(x)=lnx −ex +2，令p(x)=lnx −ex +2，则p′(x)=1x −e =1−ex x，若p′(x)>0，则0<x <1e ，若p′(x)<0，则x >1e ， 所以p(x)在(0,1e )上为增函数，在(1e ,+∞)上为减函数， 则p(x)≤p(1e )=0，即f′(x)≤0，仅在x =1e 时，f′(x)=0， 所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减．(2)因为f(x)=xlnx −ax 2+x ，g(x)=(1−a)xlnx −e x−1，a >0， 若f(x)≥g(x)+x 恒成立，即对任意x >0，e x−1−ax(x −lnx)≥0恒成立， 即对任意的x >0，e x−1x−a(x −lnx)≥0恒成立，即e x−lnx−1≥a(x −lnx)，令t =t(x)=x −lnx ，则t(x)′=1−1x =x−1x，所以当x ∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 所以t =t(x)≥t(1)=1，若e x−lnx−1≥a(x −lnx)对任意x >0恒成立， 则a ≤e x−lnx−1x−lnx =e t−1t恒成立，设g(t)=e t−1t，t ≥1，则g′(t)=e t−1(t−1)t 2≥0，所以当t ∈[1,+∞)时，g(t)单调递增，所以g(t)≥g(1)=1，所以a≤1，所以若f(x)≥g(x)+x恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)对f(x)求导，利用导数即可判断函数的单调性；(2)不等式恒成立转化为e x−lnx−1≥a(x−lnx)，令t=x−lnx，利用导数可求得t≥1，则不等式进一步转化为a≤e t−1t 恒成立，令g(t)=e t−1t，利用导数求出g(t)的最小值，从而可求得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
山东省济南市2021届新高考数学二月模拟试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B【解析】 分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.2．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-，A B ∴子集的个数为328=.故选：B .【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．3．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A【解析】 分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514y x -=D ．225514x y -= 【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程.【详解】解：抛物线24x y =的焦点为0,1 可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =由题意可得2b a =-，即4b a =- 又21c =，即1b a -=解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=. 故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】 列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=；58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( ) A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
山东省聊城市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
山东省聊城市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】 【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()xf x y e =的导数为()()xf x f x y e'='-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对应的x 的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.2．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.3．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 5．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]【答案】C 【解析】 【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b+-++-=+， 通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+， 整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)2c a b >+，即3a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7．已知集合{lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 10．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题11．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2021届新高考二诊数学试题含解析
山东省济南市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“//lα”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．325C．10 D．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：809200Sp==，故185S=.本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．63【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==， 若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（）223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．5．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.6．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n值.根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 8．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020140396a a a =⋅= ∴202066loglog61a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.9．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ） AB．C．12-D．2【答案】D 【解析】 【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223rr =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养12．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A 【解析】 【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【详解】解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<，则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ． 【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市2021届新高考数学二模考试卷含解析
山东省临沂市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 2．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】解: )()())1111112ii i z i i i ---=====++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.3．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．233【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 4．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42RA x x =-≤≤， ∴()()0,2RA B =.故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 5．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=，所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 6．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-=====11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
2021年高考数学题型秒杀之解析几何-题型09 圆锥曲线中的直角弦(解析版)
（1）证明：坐标原点 在圆 上；
（2）设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程。
【解析】：（1）Step1：设直线方程：当直线斜率为 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意，设 ;
Step2：直线与曲线联立：联立： ，得 ;
【解析】：（1）设 ，则切线方程为： ， ， ，当且仅当 时等号成立，即 ，代入双曲线方程中，可得 ， 的方程为 。
（2)可得椭圆方程为： ；
step1：设直线方程：斜率为0的直线不满足，设 ;
Step2：直线与曲线联立：直线与曲线联立得： ，设交点A 、B ；
Step3：写出根与系数的关系：由韦达定理得： ， ；
与椭圆方程联立利用根与系数的关系pbpa会出现一个固定型关系式kx记住kxab恒过定点pbpa或以ab1求c的方程
秒杀高考题型之圆锥曲线中的直角弦
直角弦定义：直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若存在点P，使得PA PB，则弦AB叫做相对于点P的直角弦。
直角弦有三种考法：
PA PB 以AB为直径的圆过点P ；
秒杀公式 ： 上一点 ，过 作互相垂直的两条直线 ，与椭圆交于 两点，则 恒过定点 。
秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，使 ，会出现一个固定型关系式： （记住，因运算较繁琐.)，即 ，AB恒过定点 （舍去），注意：若条件中以 或以AB为直径的圆过点P的形式给出，则不能舍去，答案有两个值。或 ，AB恒过定点 。
（2）由 ，所以 ，
step1：设直线方程：设 : ;
Step2：直线与曲线联立：直线 与椭圆 联立： ，化简得： ；
【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：主观题专练 三角函数与解三角形(2)
13 5，
5
所以 sin∠ADB＝2 13. 13
所以 sin∠ADC＝2 13，cos∠ADC＝3 13，所以 tan∠ADC＝2，所以 AC＝2.
13
13
3
3
所以△ABC 的面积为1×2 5×2×2 5＝4.
2
353
若选条件②，
sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝2 5， 5
2．[2020·山东济南历城二中模拟]在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， bcos C＋ccos B＝4，B＝π.
4 请在下列三个条件①(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，②b＝4 2，③ 3csin B＝
bcos C 中任意选择一个，添加到题目的条件中，求△ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
－1 得 a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7× 7 ， ∴a＝8.
(2)∵cos A＝－1，A∈(0，π)，∴sin A＝4 3.
7
7
由正弦定理 a ＝ c ，得 sin C＝csin A＝7×473＝ 3，
sin A sin C
a
8
2
由(1)知 b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝1absin C＝1×8×3× 3＝6 3.
在△ABC 中，由正弦定理得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，整理得 a2
＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得 cos C＝1，又 C∈(0，π)，故 C＝π.
2
3
又 B＝π，所以 A＝π－π－π＝5π.
4
3 4 12
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 ． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为 ．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+， 得211222i z i i i -===--． 故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件， 在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=， 曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆， 圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ， 故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增， 因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-， 所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-， 即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱 【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ， 正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确； 对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==， 因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=， 由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误； 对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅， 故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ， 故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==， 所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5， 故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-， 由()(0)f x kx k e e x ->恒成立， 若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值， 所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ． 【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-， 故它的展开式的常数项为4523C -=， 故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49． 【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)， 所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===． 故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ， 由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=， 则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ． 【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=， 故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-， 则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =． （2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--； （3）当4000b =时，14000(2)2n na =-， 设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--， 欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分） 则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分） 又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分） 所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒， 可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分） 又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ， 所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分） 所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分） 则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分） 又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分） 所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+， （2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=， 且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”． （3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<． （1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<， 故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增， 所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下： 由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②， 由①②1=， 由B ，Q ，M=， 由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=， 将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=， 所以MFN ∠为定值2π．。
山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．tan570°=（）A．3B．-3C．3D．3【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=33．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.2．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图P ABCD-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题. 4．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】 【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。
山东省枣庄市2021届新高考二诊数学试题含解析
山东省枣庄市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M,N 两点,若||6MN =,则MNF 的面积为( )A ．28B ．38C ．328D ．324【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32p =， ∴3(,0)4F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．2．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.3．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥， 又因为PA BC ⊥，且PAAM A =，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 【详解】由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易. 5．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +【答案】B 【解析】 【分析】 由13AD DC =，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可. 【详解】 因为13AD DC =，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA +=133()244BC BA BC -+-=3788BA BC -. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.6．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】 【分析】计算{}M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}2|4,2,3,0M y y x x ==-∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 8．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．10．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．83C．4 D．43【答案】D【解析】【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323 V=⋅⋅=.故选：D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.11．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 12．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】()12,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩Q ，则12 5.x yi i -=-+= 故选D.6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.7．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．163【答案】C 【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V ， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v由题意得：12a b⋅=vv，12b c⋅=v v，12a c⋅=v v1AB a c=+u u u v v vQ，11BC BC BB b a c=+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v vv v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c=+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a c b a c a b b c a c=-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v v v v vv v v v v v v v1111116cos,66AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：6本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85【答案】D【解析】【分析】根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin ,cos 55αα==，所以2cos sin 2αα+=4825555+⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 11．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021新高考数学(山东专用)二轮复习学案：板块1命题区间精讲精讲9空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积命题点1 空间几何体的直观图和截面图1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎨⎧ 坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变“三不变”⎩⎨⎧ 平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变2．常见三类空间几何体的截面图 轴截面、横截面与斜截面： 利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决，确定截面的形状是解决此类问题的关键．[高考题型全通关]1．[教材改编]水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝12＋(3)2＝2，同理AC ＝2，所以△ABC 是等边三角形．]2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A ．2B ．98C ．3D ．62B [取C 1D 1，B 1C 1的中点分别为P ，Q ，连接PQ ，PD ，NP ，QB ，B 1D 1.易知MN ∥B 1D 1∥BD ，AD ∥NP ，AD ＝NP ，所以四边形ANPD 为平行四边形，则AN ∥DP .又BD 和DP 为平面BDPQ 的两条相交直线，所以平面BDPQ ∥平面AMN ，即平面α为平面BDPQ .由PQ ∥DB ，PQ ＝12BD ＝22，得四边形BDPQ 为梯形，其高h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324. 所以平面α截该正方体所得截面的面积为12(PQ ＋BD )·h ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋22×324＝98.故选B ．]3．已知表面积为12π的圆柱的上下底面的中心分别为O 1，O 2.若过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则O 1O 2＝( )A ．23B ．22C ．3D ．2B [因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为r ，则母线长为2r ，所以圆柱的表面积为2πr 2＋2πr ·2r ＝12π，解得r ＝2，所以O 1O 2＝2r ＝22，故选B ．]4．[多选]如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则( )A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D．点C与点G到平面AEF的距离相等BC[假设D1D⊥AF，因为DD1⊥AE，所以D1D⊥平面AEF，又D1D⊥平面ABCD，所以平面AEF∥平面ABCD，显然不正确，故选项A不正确；连接AD1，D1F(图略)，因为EF∥AD1，所以平面AEF即平面AEFD1，因为A1G∥D1F，所以A1G∥平面AEFD1，所以选项B正确；平面AEF截正方体的截面为梯形AEFD1，EF＝22，AD1＝2，梯形的高为⎝⎛⎭⎪⎫522－⎝⎛⎭⎪⎫242＝324，所以其面积为2＋222×324＝98，故选项C正确；连接CG交EF于点H(图略)，显然H不是EF的中点，所以C，G到平面AEF的距离不相等，选项D不正确．]5．(2020·四川五校联考)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．613＋32[如图，延长EF和A1B1相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE和A1D1相交于N，连接AN交DD1于G，连接FH，EG，可得截面五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，所以EF＝32，AG＝AH＝213，EG＝FH＝13，截面的周长为AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝613＋3 2.]6．已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．2π[如图，设△BCD的中心为点O1，球O的半径为R，则A，O，O1三点共线．连接O1D，O1E，OD，OE，则O1D＝3，AO1＝AD2－O1D2＝3.在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，即R＝2，所以OO1＝1.在△O1DE中，DE＝23BD＝2，∠O1DE＝30°，所以由余弦定理得O1E＝3＋4－2×3×2×cos 30°＝1.所以OE＝ 2.过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为22－(2)2＝2，所以截面圆的面积为2π.]命题点2空间几何体的表面积、体积1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2．求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体[高考题型全通关]1．已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()A．5B．5C．9D．3B[∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝ 5.故选B．]2．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈B[由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B．]3．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E 是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1-AEF的体积为2，则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为()A．12 B．8 C．20 D．18A[设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1-AEF ＝VF-A1AE.又VF-A1AE＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD -A 1B 1C 1D 1，所以V ABCD -A 1B 1C 1D 1＝6V A 1-AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A ．]4．已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝2，点D 是斜边AB 上一点(不同于点A ，B )．沿线段CD 折起形成一个三棱锥A -CDB ，则三棱锥A -CDB 体积的最大值是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [设AD ＝x ，将△ACD 折起使得平面ACD ⊥平面BC D ．在△ACD 中，由面积公式得12CD ·h 1＝12AD ·1(h 1为点A 到CD 的距离)，则h 1＝x 1＋(x －1)2. 由题易知h 1为点A 到平面BCD 的距离，故三棱锥A -CDB 体积为V ＝13S △BCD ·h 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD ·1·h 1＝16·2x －x 2x 2－2x ＋2，x ∈(0，2)． 令t ＝x 2－2x ＋2，则t ∈[1，2)，故V ＝16·2－t 2t ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －t . 由于2t －t 是减函数，故当t ＝1时，V 取得最大值为16×(2－1)＝16.故选D ．]5．2020年山东省某镇重点打造运动休闲小镇品牌，修建了运动休闲广场，广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳可看成是由一个正方体截去8个相同的四面体得到的，如图．若被截正方体的棱长是50 cm ，则石凳的表面积为( )A ．2 500(3＋3)cm 2B ．17 500 cm 2C ．7 500 3 cm 2D ．5 000(3＋3)cm 2A [由题意知石凳的表面由6个正方形和8个正三角形构成，每个正方形的面积为(252)2cm 2，每个正三角形的面积为34×(252)2cm 2，所以石凳的表面积为6×(252)2＋8×34×(252)2＝2 500(3＋3)cm2.]6．(2020·江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.123－π2[正六棱柱的体积为6×34×22×2＝123(cm3)，圆柱的体积为π×0.52×2＝π2(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为(123－π2)cm3.]7．(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．1[法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为12·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.]莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
山东省临沂市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
山东省临沂市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且cos θ=率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】A【解析】【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又cos 5θ=，则sin 5θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．C ．D ． 【答案】A【解析】【分析】 由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩， 又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--， 所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以36,33e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD ．43π【答案】A【解析】【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =,可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22R ==,所以1R =, 所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.4．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ） A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<< 【答案】A【解析】【分析】求出集合B ，然后进行并集的运算即可.【详解】∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<，∴{}|2A B x x =>-.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.5．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】 易得2i 1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68πB ．64πC ．32πD ．23π 【答案】A【解析】【分析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】由题意等腰梯形中DA AE EB BC CD ====，又60DAB ∠=︒，∴AED ∆，BCE ∆是靠边三角形，从而可得DE CE CD ==，∴折叠后三棱锥F DEC -是棱长为1的正四面体，设M 是DCE ∆的中心，则FM ⊥平面DCE ，2331323DM =⨯⨯=，2263FM FD DM =-=， F DCE -外接球球心O 必在高FM 上，设外接球半径为R ，即OF OD R ==，∴22263()()33R R =-+，解得64R =， 球体积为334466()3348V R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．7．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()AB =R A ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+ 【答案】C【解析】【分析】 根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可.【详解】 解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+= 55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg 3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lg lg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+>故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.9．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的右上方时，E 到平面BCD 的距离最大，当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的左下方时，E 到平面BCD 的距离最小，∴四面体E ﹣BCD 的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE ，若存在某个位置，使得AE ⊥BD ，又AE ⊥BE ，则AE ⊥平面BDE ，可得AE ⊥DE ，进一步可得AE ＝DE ，此时E ﹣ABD 为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB 中点O ，连接DO ，EO ，则∠DOE 为二面角D ﹣AB ﹣E 的平面角，为θ，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE ∈[，π），所以θ≥∠DAE 不成立．（3）不正确； 对于（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，P 到BC 的距离为：d P ﹣BC ，因为＜1，所以点P 的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C ．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.10．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x = 【答案】C【解析】【分析】 分析函数y x =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】 函数y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】 由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.12．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：客观题专练 解析几何(13)
解析几何(13)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2020·山东日照模拟]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin θ＝( ) A ．－55 B.55 C ．－255 D.2552．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020·山东名校联考]已知圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝r 2截y 轴所得的弦长为22，过点(0,4)且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝22，则k 的值为( )A ．－14 B.14C ．－34 D.344．[2020·山东泰安质量检测]若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长为1，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x5．[2020·山东名校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为M ，N ，若四边形OMFN 的面积为3，其中O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为( )A ．2 B. 3 C ．3 D ．46．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线y ＝3x 垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.72B.103C ．3 D.72或1037．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，PF 的延长线交l 于点Q ，且PF →＝FQ →，|PQ →|＝8，则直线PQ 的方程为( )A ．x －3y －1＝0B ．x －y －1＝0 C.3x －y －23＝0 D.3x －y －3＝0 8．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．[2020·山东青岛检测]已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个 C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为4 210．[2020·山东名校联考]与双曲线x 23－y 22＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 218－y 212＝1B.x 212－y218＝1 C.y 28－x 212＝1 D.y 212－x 28＝1 11．[2020·山东淄博部分学校联考]已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则下列结论正确的是( )A ．若a ＝2b ，则Ω的离心率为22B ．若Ω的离心率为12，则b a ＝32C ．若F 1，F 2分别为Ω的两个焦点，直线l 过点F 1且与Ω交于点A ，B ，则△ABF 2的周长为4aD ．若A 1，A 2分别为Ω的左、右顶点，P 为Ω上异于点A 1，A 2的任意一点，则P A 1，P A 2的斜率之积为－b 2a 212．[2020·山东威海模拟]设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则下列选项不正确的是( )A ．|OM |＋|ON |≥4 2B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2020·浙江卷]已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.14．[2020·山东名校联考]已知抛物线C ：y 2＝42x 的焦点是双曲线E ：x 2－y 2＝a 2的右焦点，则双曲线E 的标准方程为________．15．[2020·山东日照校际联考]倾斜角为30°的直线l 经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线过右焦点F 2，则此双曲线的渐近线方程为________．16．[2020·山东烟台、渮泽联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AF →＝FB →，点A 到直线l 的距离为2，则p ＝________；若点A ，B 在l 上的投影分别为M ，N ，则△MFN 的内切圆半径为________．(本题第一空2分，第二空3分)解析几何(13)1．答案：D解析：因为θ为直线l 的倾斜角，且直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，所以tan θ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，tan θ＝2，由同角关系得sin θ＝255，故选D.2．答案：C解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 3．答案：D解析：由题意知：圆心C (4,2)到直线l 的距离d ＝|4k －2＋4|k 2＋1＝|4k ＋2|k 2＋1＝4.解得k ＝34，故选D.4．答案：D解析：由题意知2a ＝1，得a ＝12，又b ＝1，则ba＝2，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.5．答案：D解析：由双曲线的离心率为2可得c 2a 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，所以ba＝ 3.因为F (c,0)到渐近线y ＝±b ax 的距离d ＝|FM |＝|FN |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝|ON |＝c 2－b 2＝a ，故S 四边形OMFN ＝2S △OMF ＝2×12ab ＝3，得ab ＝ 3.又ba ＝3，所以a ＝1，b ＝3，得c ＝2，故该双曲线的焦距为2c ＝4.故选D.6．答案：B解析：由题意知－ba ×3＝－1∴a ＝3b ∴c ＝10b∴e ＝c a ＝103，故选B.7．答案：D解析：根据PF →＝FQ →，|PQ →|＝8，得F 是PQ 的中点，且|PF |＝4，过P 作PM ⊥l 于点M ，则由抛物线的定义，得|PM |＝|PF |＝4，所以∠QPM ＝60°，即直线PQ 的倾斜角为60°，设直线l 交x 轴于点N ，根据FN ∥PM 及F 是PQ 的中点，得|FN |＝12|PM |＝2.又|FN |＝p ，所以p ＝2，即F (1,0)，因此直线PQ 的方程为3x －y －3＝0，故选D.8．答案：D解析：如图，由题可知，AB ⊥PM ，|PM |·|AB |＝2S 四边形APBM ＝2(S △P AM ＋S △PBM )＝2(|P A |＋|PB |)， ∵|P A |＝|PB |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－|AM |2＝4|PM |2－4，当|PM |最小时，|PM |·|AB |最小，易知|PM |min ＝54＋1＝5，此时|P A |＝1，AB ∥l ，设直线AB 的方程为y ＝－2x ＋b (b ≠－2)， 圆心M 到直线AB 的距离为d ＝|3－b |5，|AB |＝4|P A ||PM |＝45，∴d 2＋⎪⎪⎪⎪AB 22＝|MA |2， 即(3－b )25＋45＝4，解得b ＝－1或b ＝7(舍)．综上，直线AB 的方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.故选D. 9．答案：ACD解析：因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D 正确．故选ACD. 10．答案：AC解析：易知双曲线x 23－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±23x .对于选项A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，符合题意；对于选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ，不符合题意；对于选项C ，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，符合题意；对于选项D ，双曲线的渐近线方程是y ＝±32x ，不符合题意．故选AC. 11．答案：BCD解析：若a ＝2b ，则c ＝3b ，e ＝32，选项A 不正确；若e ＝12，则a ＝2c ，b ＝3c ，ba＝32，选项B 正确；根据椭圆的定义易知选项C 正确；设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b2＝1，易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，所以P A 1，P A 2的斜率之积为y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 20－a 2＝－b 2a 2，选项D 正确．故选BCD.12．答案：ABC 解析：当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，由斜率之积为－12可得y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－y 20x 20＝－1y 20＝－12，即y 20＝2.∴直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM |＋|ON |＝26，以M ，N 为直径的圆的面积为2π，抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫14，0，故A ，B ，C 错误；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，消去x ，可得ky 2－y ＋m ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝1k ，y 1y 2＝m k ，故x 1x 2＝m 2k 2，∴k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k m ＝－12，即m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝kx －2k ＝k (x －2)，∴直线MN 过定点(2,0)，∴点O 到直线MN 的距离不大于2，故D 正确，故选ABC.13．答案：33 －233解析：解法一：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k >0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. 14．答案：x 2－y 2＝1解析：由题意知抛物线C ：y 2＝42x 的焦点坐标为(2，0)，所以双曲线E ：x 2－y 2＝a 2的右焦点为(2，0)，即c ＝2，所以a 2＋a 2＝2，解得a 2＝1，所以双曲线E 的标准方程为x 2－y 2＝1.15．答案：y ＝±x解析：如图，令点B 在第一象限，记点M 为线段AB 的中点，则MF 2为线段AB 的垂直平分线，连接AF 2，BF 2，则可得|AF 2|＝|BF 2|.因为直线l 的倾斜角为30°，所以∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 2|＝2c ·sin 30°＝c ，|MF 1|＝2c ·cos 30°＝3c .由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，所以|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 2|＋2a －(|AF 2|－2a )＝4a ，所以|MA |＝2a ，|AF 2|＝|MA |2＋|MF 2|2＝4a 2＋c 2，|AF 1|＝|MF 1|－|MA |＝3c －2a .由|AF 2|－|AF 1|＝2a ，可得4a 2＋c 2－(3c －2a )＝2a ，可得4a 2＋c 2＝3c 2，得c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝a ，所以此双曲线的渐近线方程为y ＝±x .16．答案：2 2(2－1)解析：由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，因为AF →＝FB →，所以A ，B 关于x 轴对称，且x A ＝x F ＝p 2，又点A 到直线l 的距离为2，所以p 2＋p2＝p ＝2；不妨设A (1,2)，B (1，－2)，l 与x 轴的交点为C ，所以M (－1,2)，N (－1，－2)，△MFN 是等腰三角形，且|MN |＝4，|FC |＝2，|FM |＝|FN |＝2 2.令△MFN 的内切圆半径为r ，则12×4×2＝12×(22＋22＋4)r ，得r ＝2(2－1)．。
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解析几何(9)1．[2020·山东日照校际联考]如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (4,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且cos 〈OA →，CA →〉＝21313，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|.(1)求椭圆E 的方程．(2)过椭圆E 的右焦点F 的直线l 交椭圆E 于A 1，B 1两点，交直线x ＝8于点M ，判定直线CA 1，CM ，CB 1的斜率是否构成等差数列，请说明理由．2．[2020·山东师大附中模拟]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M的方程；(2)过F 且斜率为43的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．3．[2020·山东高考第一次大联考]设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E且离心率为32.F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程．(2)若直线l：y＝k(x－3)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C 在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．4．[2020·全国卷Ⅰ]已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．5．[2020·山东淄博部分学校联考]已知圆O：x2＋y2＝4，抛物线C：x2＝2py(p>0)．(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，设M(x0，y0)，当y0∈[3,4]时，求|MN|的最大值．6．[2020·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点A(2,1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．解析几何(9)1．解析：(1)∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，∴|BC →|＝2|AC →|.又|OB →|＝|OC →|，∴△AOC 是等腰三角形．∵A (4,0)是长轴的一个端点，∴a ＝4.∵cos 〈OA →，CA →〉＝21313，∴cos ∠OAC ＝21313，则易知x C ＝2，y C ＝3，∴C (2,3)．∵点C 在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，∴b 2＝12，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，＋y 212＝1，k (x －2)，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16(k 2－3)＝0.设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 24k 2＋3，x 1x 2＝16(k 2－3)4k 2＋3.设直线CA 1，CB 1，CM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝y 1－3x 1－2，k 2＝y 2－3x 2－2，k 3＝6k －38－2＝k －12，又y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，∴k 1＋k 2＝k (x 1－2)－3x 1－2＋k (x 2－2)－3x 2－2＝k ＋k －2k －3×x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝2k －3×16k 24k 2＋3－416(k 2－3)4k 2＋3－32k 24k 2＋3＋4＝2k －1.又k 3＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3，故直线CA 1，CM ，CB 1的斜率成等差数列．2．解析：(1)如图：由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F p 2，0Q －p2，3p 点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M 3p 2，3p ，|MF |＝|MQ |＝2p ，由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点，又E (5,0)，故3p 2＝p2＋52，解得p ＝2，则M (3,23)，Q (－1,23)，圆M 的半径|MQ |＝4，故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16；(2)由(1)可知F (1,0)，直线n ：y ＝43(x －1)，y 2＝4xy ＝43(x －1)，x ＝4y ＝4x ＝14y ＝－1，如下图：设A 14，－1B (4,4)，则|AB |＝254，Q 到直线n 的距离d ＝8＋635，所以△ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝20＋1534.3．解析：(1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32.解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12.所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外．在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将l 的方程代入E 的方程得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋44k 2＋1>1，又⊙F 的直径|AB |＝1，所以|BD |－|AC |＝|CD |－|AB |＝|CD |－1>0，故不存在正数k 使|AC |＝|BD |.4．解析：(1)由题设得A (－a,0)，B (a,0)，G (0,1)．则AG →＝(a,1)，GB →＝(a ，－1)．由AG →·GB →＝8得a 2－1＝8，即a ＝3.所以E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t )．若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3.由于直线PA 的方程为y ＝t 9(x ＋3)，所以y 1＝t 9(x 1＋3)．直线PB 的方程为y ＝t 3(x －3)，所以y 2＝t 3(x 2－3)．可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3)．由于x 229＋y 22＝1，故y 22＝－(x 2＋3)(x 2－3)9，可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)，即(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.①将x ＝my ＋n 代入x 29y 2＝1得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0.所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入①式得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0.解得n 1＝－3(舍去)，n 2＝32.故直线CD 的方程为x ＝my ＋32，即直线CD若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0综上，直线CD 5．解析：(1)由题意知F (0,2)，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .将x 2＝8y 与x 2＋y 2＝42＝8y ，2＋y 2＝4，得y ＝2(5－2)，所以点A 的纵坐标为y A ＝2(5－2)，结合抛物线的定义得|AF |＝y A ＋p 2＝25－2.(2)由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ′＝x p ，所以直线l 的斜率为x 0p ，故直线l 的方程为y －y 0＝x 0p(x －x 0)，即x 0x －py －py 0＝0.连接OM ，ON ，则|ON |＝|－py 0|x 20＋p 2＝2，得p ＝8y 0y 20－4，且y 20－4>0，所以|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝x 20＋y 20－4＝2py 0＋y 20－4＝16y 20y 20－4＋y 20－4＝16(y 20－4＋4)y 20－4＋y 20－4＝16＋64y 20－4＋y 20－4.令t ＝y 20－4，y 0∈[3,4]，则t ∈[5,12]，令f (t )＝16＋t ＋64t ，则f ′(t )＝1－64t2，当t ∈[5,8]时，f ′(t )≤0，f (t )单调递减，当t ∈(8,12]时，f ′(t )>0，f (t )单调递增．又f (5)＝16＋5＋645＝1695，f (12)＝16＋12＋6412＝1003，所以f (x )max ＝1695，即|MN |的最大值为1355.6．解析：(1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2.①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k－2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0.整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.于是MN 的方程为y ＝－13(k ≠1)．所以直线MN 过点若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23此时直线MN 过点令Q为AP的中点，即若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝12|AP|＝223.若D与P重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点|DQ|为定值．。