电磁场与电磁波第四章静态场分析
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电磁场与电磁波第四章静态场分析
静态场分析
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性 1.静态场基本概念 静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随 时间发生变化的场。 时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变
积分法
边值问题研究方法
解析法
分离变量法 镜像法、 镜像法、电轴法 微分方程法
计算法
保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边值问题 研究方法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
三、静态场的重要原理和定理 1.对偶原理 1.对偶原理 （1）场源的概念
E = −∇ φ
∇ ⋅ J c = σ∇ ⋅ E = 0
σ∇ ⋅ ( −∇ φ ) = 0
∇ φ = 0 ——拉普拉斯方程 ——拉普拉斯方程
2
3.恒定磁场的矢量泊松方程 3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
∫ H ⋅ dl = ∫ J ∫ B ⋅ dS = 0
l S S
c
⋅ dS
B = µH
3.惟一性定理 惟一性定理 （1）边值问题的分类 第一类 边值问题 第二类 边值问题 第三类 边值问题
ϕ S = f1(s)
∂ϕ ∂n = f2 (s)
S
狄里赫利问题 诺伊曼问题 混合边值问题
(ϕ + β
∂ϕ ) = f3 (s) ∂n S
（2）惟一性定理 惟一性定理：在给定边界条件下， 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 理解
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性 1.静态场基本概念 静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随 时间发生变化的场。 时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变
积分法
边值问题研究方法
解析法
分离变量法 镜像法、 镜像法、电轴法 微分方程法
计算法
保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边值问题 研究方法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
三、静态场的重要原理和定理 1.对偶原理 1.对偶原理 （1）场源的概念
E = −∇ φ
∇ ⋅ J c = σ∇ ⋅ E = 0
σ∇ ⋅ ( −∇ φ ) = 0
∇ φ = 0 ——拉普拉斯方程 ——拉普拉斯方程
2
3.恒定磁场的矢量泊松方程 3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
∫ H ⋅ dl = ∫ J ∫ B ⋅ dS = 0
l S S
c
⋅ dS
B = µH
3.惟一性定理 惟一性定理 （1）边值问题的分类 第一类 边值问题 第二类 边值问题 第三类 边值问题
ϕ S = f1(s)
∂ϕ ∂n = f2 (s)
S
狄里赫利问题 诺伊曼问题 混合边值问题
(ϕ + β
∂ϕ ) = f3 (s) ∂n S
（2）惟一性定理 惟一性定理：在给定边界条件下， 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 理解
电磁场理论2019第4章-39页文档
（3）c1c2k2 c2为正数， c1 为负数
d2g
d 2
k2g
0
gA kch kB ksh k
该解不合理
例 题：
为ε在的均无匀限电长场均匀E0 介中质，圆放柱置体一，根它半的径轴为线a、与介电垂E常直0 ，数 柱外是自由空间，介电常数为ε0，求圆柱内外的电 位函数和电场强度。
三、唯一性定理
唯一性定理：满足给定边界条件的泊松方程或 拉普拉斯方程的解是唯一的。
4.2 分离变量法
概述
分离变量法是求解偏微分方程的一种数学方法。 直接使用分离变量法的适用条件： 1、偏微分方程为齐次方程； 2、方程各项是仅对一个变量的偏微分。
解题步骤：
1、根据已知导体与介质分界面的形状，选择适当
y
E0
a
x
2
0
1
4.3 镜 像 法
主要内容
静电场中的镜像法 恒定磁场中的镜像法 电轴法
一、静电场中的镜像法
镜像法的根据是唯一性定理 用镜像法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜 像电荷 寻找镜像电荷的方法是从边界条件出发
1、平面导体与点电荷
设一个接地的无限大导体平板前方有一个点电荷q， 它到平板的垂直距离是x0，取直角坐标系，x=0的 平面与导体平面重合。求x>0区域的电位函数Φ
反向问题：已知 EHA等，求电荷、电流分布。
2、边值型问题：已知给定区域的边界条件，求该区域中的 场量和位函数。归结为在一定边界条件下求解泊松方程 或拉普拉斯方程。
根据已知边界条件的不同，边值问题分为三种类型：
第一类边值问题（狄里赫利问题）：
已知全部边界上各点的 值。
第二类边值问题（牛曼（诺诶曼）问题）： 已知全部边界上各点的 值。 n
电磁场与电磁波 第4章
实际上，边界条件(即边值)除了给定电位在边界上的值
以外，也可以是电位在边界上的方向导数。根据不同形式的
边界条件，边值问题通常分为三类:
第一类边值问题，也叫狄利克雷(Dirichlet)问题: 给定整
个边界上的位函数值； 即
S f (r)
第二类边值问题，也叫诺伊曼(Neumann)问题: 给定边界
上每一点位函数的法向导数
n
S g(r)
第三类边值问题，也叫罗宾斯(Robins)问题，属于混合
型问题: 给定边界上电位和电位法向导数的线性组合，即在
边界面S上，
F(r)
n
也可以是给定一部分边界上的电位值，同时给定另一部分边 界上的电位法向导数。
给定导体上的总电量也属于第二类边值问题。 在分析时变场时，除了要知道边界条件，还必须知道一 个过程的起始状态。如果定解时，不需要起始状态，仅仅用 到边界上的函数值或函数的偏导数，就叫做边值问题。也就 是我们前面谈到的静态场的拉普拉斯方程或者泊松方程的边 值问题。如果定解时，不需要边界条件，仅仅用到起始状态 物理量的分布，就叫做初值问题。初值问题也叫做柯西 (Cauchy)问题。
4.2.3 拉普拉斯方程解的叠加原理 拉普拉斯方程解的叠加原理是拉普拉斯方程的另一个重
要特性。叠加原理是由拉普拉斯方程的线性特性导致的必然
结论。假设1和2均是拉普拉斯方程的解，则由这两个解的 线性组合C11+C22也是拉普拉斯方程的解。依次类推，若 1、2、…、n都满足拉普拉斯方程，则这些解的线性组合
整个区域内=0，即1≡2。
关于第二、三类边值问题，唯一性定理的证明和第一类 边值问题类似。附带指出，对于第二类边值问题，所得的电 场是唯一的，电位可以相差一个常数。
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
![[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/27deae7a26fff705cd170aa2.png)
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
电磁场与电磁波4
0 ( ) C0 D0
当 n 0 时，Rn (r ) An r Bn r
2 1 1
r 0 r r a
0 Ex Er cos
r a
（3） （4） (5）
r a
2
r a
1 0 r 11:35:59
2 r
（6）
根据场分布的对称性 (r , ) (r , )及 (r , ) 0 2 ②分离变量
Dn ,m e
n 2 m 2 ( ) ( ) z a b
Z n,m (0) Cn,m Dn ,m 0, Cn ,m Dn ,m n 2 m 2 Z n,m ( z ) En ,m sh ( ) ( ) z a b
•满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特 解为
X '' 1 X 0 X (0) X (a ) 0 Y '' 2Y 0 Y (0) Y (b) 0
•根据边界条件可求出
11:35:59
n 2 n x 1n k xn ( ) , X n ( x) An sin a a m 2 m y 2 2 m k ym ( ) , Ym ( y ) Bm sin b b
设
2 2
(r, ) R(r ) ( )
2
11:35:59
r d R r dR 1d 2 n 2 2 R dr R dr d 2 dR 2 d R 2 r r n R 0 2 dr dr 或 2 d 2 n 0 2 d
代入式（1）得
③解常微分方程，将各特解线性叠加得通解 当 n 0 时， R0 (r ) A0 ln r B0
静态场分析
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E D E V
() V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0 ——拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 S Jc dS 0
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2A Jc
分解
2 Ax J x 2 Ay J y
Jc 0
2 Az J z
2 A 0 ——矢量拉普拉斯方程
在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场 的性质，引入标量磁位 m来表示磁场强度。即 H m
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 静态场的麦克斯韦方程组 – 静态场与时变场的最本质区别： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
H dl l
S
ห้องสมุดไป่ตู้
(
JC
D t
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
一、静态场特性
1. 静态场基本概念
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
4π1R
D1
q 4πR2
aˆR
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
电磁场与电磁波CAI课件第四章
d 0≤ y≤ 2 d ≤ y≤d 2
0 则在x=0处 1 + 2 = U 0
d 0≤ y≤ 2 d ≤ y≤d 2
这样,在y=0,y=d,x=0处均与原题一致 ∴=1+2为原题的解.
求2 :显然关于Χ对称, 因此只需求Χε0的解即可.
sπ ∴ 2 (x, y ) = ∑ As exp d s =1
∴通解为 ∞
=
n =1
∑ {r [A
n
n
sin (n φ ) + B n cos (n φ
)] + )]}
4 .2 .8
r n [C n sin (n φ ) + D n cos (n φ
例4.2.1半径为a, 介点常数ε的无限长介质棒置于
外电场E0中,且垂直于E0.设外电场方向为x轴方向 圆柱轴与z轴相合,求柱内外电位函数.
0
= 常数
a
sπ x 仅当 s , t 为奇数时, cos a ∴ c nm 16 U 0 = (2 n 1 )(2 m 1 )π
2
≠ 0
0
若有多个表面不为零,可用叠加原理计算
x = a U 1 → 保留 U 1,其余为零,得 如 y = b U 2 → 保留 U 2,其余为零,得 z = c U → 保留 U ,其余为零,得 3 3 则 = 1 + 2 + 3
∞
sπ x sin y d
代入x=0边界条件,有:
U0 ∞ d y sπ 2 = ∑ As sin y = d U U 0 y s =1 0 d
d 0≤ y≤ 2 d ≤ y≤d 2
π sin ( sd y ) 乘上式并在0→d积分,有 用
sπy ∫0 As sin d dy d d U 0 sπy U0 2 = ∫ y sin dy + ∫d U 0 0 2 d d d
电磁场理论-静态场的解法
V
2
dV
S
n
dS
— 格林第一公式
第4章 静态场的解法
若1 、2 都满足 Laplace 方程（或 Poisson 方程），则 1 2 满足 Laplace 方程，即：
2 0
令格林公式中 、 都是 ，则：
2 dV dS
V
S n
第一种情况（Dirichlet 问题）：
1 、2 在
q
r2
d2
2rd c os
由于 r a 时电位为 0，有
q
q
0
a2 d 2 2ad cos a2 d2 2ad cos
第4章 静态场的解法
上式对任意的 都成立，必有
q q 0 d a ad
q q 0 d a ad
( 0) ( )
由此解得
d
a2 d
,
q a q d
因此，球外任一点的电位为
第4章 静态场的解法
4.1 静态场唯一性定理
1、边值型问题的分类
边值型问题按其边界条件不同可分为三类：
(1)已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题：
2 或0
|S 0
— 荻利克利特(Dirichlet)问题
(2)已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即：
2
n
S
0
— Neumann 问题
第4章 静态场的解法
1、接地导体平面的镜像法
(1) 点电荷对接地导体平面的镜像法
设在无限大导体平面的上半空间放置一点电荷 q，导体
接地，电位为 0。在计算上半空间某点 P 的电位时，由于
导体表面存在与点电荷符号相反的感应电荷，因此不能用
无界空间点电荷的电位公式来计 算。
电磁场与电磁波第四章
第四章 恒定电流的磁场
本章提要
静磁场的基本方程 安培环路定律的应用 导体的自感和互感 恒定磁场的边界条件 静磁场的能量
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由毕奥－萨伐定律，可知磁场强度为
B 0 J (r ' ) eR dV '
4 V R2
1 R
eR R2
（4. 1）
B 0 J (r' ) 1dV '
第四章 恒定电流的磁场
例4.4 已知磁导率为 、带气隙的环形磁芯的气隙宽度为
d，比圆形磁芯材料截面半径小得多，磁芯上密绕了N匝线 圈，如图所示。当线圈中的电流为I时，求气隙中的磁感应 强度。
解 忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力线 也是与磁芯表面同轴的圆环。在磁芯的气 隙表面，磁场近似为界面的法向，根据边 界条件，气隙中的磁感应强度与磁芯中的 磁感应强度相等。对磁芯中半径为r的磁力 线圆环，磁场强度满足
er1 r1
当媒质 2 为理想导磁体时，其中得磁感应强度为
B2
1I
ei
er1 r1
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
假设在电感为L的导线回路电流增加过程中的某时刻t，导线回
路的电流为i。如果在从t到t+dt时间内使电流增加到di，导线回
路的磁链就增加 d m Ldi
回路产生磁感应电动势 ε d m L di
解 假设同轴电缆中的电流为I，如果电流在导线截面上均匀分布，
则利用安培环路定律可以计算出同轴电缆中的磁场分布为
H
e
I 2 a2
,
e
I
2
,
a a
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
本章提要
静磁场的基本方程 安培环路定律的应用 导体的自感和互感 恒定磁场的边界条件 静磁场的能量
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由毕奥－萨伐定律，可知磁场强度为
B 0 J (r ' ) eR dV '
4 V R2
1 R
eR R2
（4. 1）
B 0 J (r' ) 1dV '
第四章 恒定电流的磁场
例4.4 已知磁导率为 、带气隙的环形磁芯的气隙宽度为
d，比圆形磁芯材料截面半径小得多，磁芯上密绕了N匝线 圈，如图所示。当线圈中的电流为I时，求气隙中的磁感应 强度。
解 忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力线 也是与磁芯表面同轴的圆环。在磁芯的气 隙表面，磁场近似为界面的法向，根据边 界条件，气隙中的磁感应强度与磁芯中的 磁感应强度相等。对磁芯中半径为r的磁力 线圆环，磁场强度满足
er1 r1
当媒质 2 为理想导磁体时，其中得磁感应强度为
B2
1I
ei
er1 r1
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
假设在电感为L的导线回路电流增加过程中的某时刻t，导线回
路的电流为i。如果在从t到t+dt时间内使电流增加到di，导线回
路的磁链就增加 d m Ldi
回路产生磁感应电动势 ε d m L di
解 假设同轴电缆中的电流为I，如果电流在导线截面上均匀分布，
则利用安培环路定律可以计算出同轴电缆中的磁场分布为
H
e
I 2 a2
,
e
I
2
,
a a
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
4电磁场与电磁波-第四章
4.4 镜像法
镜像法是在我们所研究的区域外,用假想电荷代替 镜像法是在我们所研究的区域外 用 场问题的边界,这些电荷和原有电荷一起产生的场满足 场问题的边界 这些电荷和原有电荷一起产生的场满足 原问题的边界条件,那么它们的电位叠加就得所求解 那么它们的电位叠加就得所求解. 原问题的边界条件 那么它们的电位叠加就得所求解 最简单的是点电荷或线电荷对无限大平面的问题. 最简单的是点电荷或线电荷对无限大平面的问题 点电荷或线电荷对无限大平面的问题
` 2 2
2 1/ 2
R2 = [ x 2 + y 2 + ( z h) 2 ]1/ 2
(镜像电荷求出后就可 解决电场的问题了) 解决电场的问题了)
复习: 复习:直角坐标中的分离变量法
要求：首先,给定边界与适当的坐标系相合（至少 边界与适当的坐标系相合（ 要求：首先,给定边界与适当的坐标系相合 分段相合） 再次, 分段相合）,再次,待求偏微分方程的解可分三个坐 标函数的乘积. 标函数的乘积. 当边界为直角坐标时，电位的拉普拉斯方程表为 表为: 当边界为直角坐标时，电位的拉普拉斯方程表为:
将待求的电位用三个函数的积表为: 将待求的电位用三个函数的积表为: 表为
= f ( x ) g ( y ) h( z )
4.1.2
其中f,g,h分别是x,y,z的函数,将式4.1.2代入式4.1.1: 其中f,g,h分别是x,y,z的函数,将式4.1.2代入式4.1.1: f,g,h分别是x,y,z的函数 4.1.2代入式
3.10.5
n E1t Θ１ θ1
θ２ θ E2t
2
J 1 cosθ1 = J 2 cosθ 2 ( J 1n = J 2 n ) 由边界条件 E1 sinθ 1= E2 sinθ 2 ( E1t = E2t )
电磁场理论_第四章_静态场的解
解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否 会发生很大的变化。 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否唯一。 电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。
唯一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是唯一的。
q
导体平面
q 4π 0
1 1 r1 r2
导体平面
z
q
r1
r2
p
导体平面边界上：
d
d q
o
r1 r2
0
x
电位满足边界条件
电位： q 4π 0
1 1 2 1/ 2 2 2 2 2 2 1/ 2 x y (z d ) x y (z d )
S
H Jc E 0 D v B 0 Jc 0
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0 D dS v dV
S v
D E
由边界条件
R1
U A ln R1 B
0 Aln R2 B
U A R ln 1 R2
U B ln R2 R ln 1 R2
R2 U ln 则： R2 r ln R1
E
E
U R2 r ln R1
er
2. 叠加定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则1和 2 的线性组合
D1
q q ˆ ˆ a a 2 R 2 R 4πR 4πR
当待求区域为介质2所在区域时， 设一镜像电荷q″位于区域1中，且 位置与 q 重合，同时将整个空间视 为均匀介质2。于是区域2中任一点 的电位和电位移矢量分别为： q q q q 2 ˆ D2 a 2 R 4πR 4π 2 R
唯一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是唯一的。
q
导体平面
q 4π 0
1 1 r1 r2
导体平面
z
q
r1
r2
p
导体平面边界上：
d
d q
o
r1 r2
0
x
电位满足边界条件
电位： q 4π 0
1 1 2 1/ 2 2 2 2 2 2 1/ 2 x y (z d ) x y (z d )
S
H Jc E 0 D v B 0 Jc 0
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0 D dS v dV
S v
D E
由边界条件
R1
U A ln R1 B
0 Aln R2 B
U A R ln 1 R2
U B ln R2 R ln 1 R2
R2 U ln 则： R2 r ln R1
E
E
U R2 r ln R1
er
2. 叠加定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则1和 2 的线性组合
D1
q q ˆ ˆ a a 2 R 2 R 4πR 4πR
当待求区域为介质2所在区域时， 设一镜像电荷q″位于区域1中，且 位置与 q 重合，同时将整个空间视 为均匀介质2。于是区域2中任一点 的电位和电位移矢量分别为： q q q q 2 ˆ D2 a 2 R 4πR 4π 2 R
电磁场与电磁波(西电)第4章 静态场的解
l 4
0
1n
(x (x
d )2 d )2
y2 y2
第四章 静 态 场 的 解
等位线方程为
(x d )2 (x d )2
y2 y2
m2
x
m2 m2
1d 1
2
y2
2md
2
m2
1
这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中：
A1’处。由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对
称。以下仅分析右面的。左面的q1在右导体球上也要成像，这个
镜像电荷记为q2, 位于A2处。
AA2
a2 AA1&a 3
, q2
a AA1'
q1
1q 3
第四章 静 态 场 的 解
依此类推，有
q3
1 4
q, q4
第四章 静 态 场 的 解
第四章 静 态 场 的 解
4.1 边值问题的分类 4.2 唯一性定理 4.3 4.4 分离变量法 4.5 复变函数法 4.6 格林函数法 4.7 有限差分法
第四章 静 态 场 的 解
4.1 边值问题的分类
第一类边值问题： 第二类边值问题： 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 同时给 定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。
当α2<0 时，令α=jkx(kx为正实数)，则
X (x) a1 sin kx x a2 coskx x
或
X ( x) b1e jkxx b2e jkxx
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
例3.2 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位
为100 sin x ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。
a
解：选定直角坐标系 边值问题
图 接地金属槽的截面
2
2 x 2
2 y 2
0
( x0,0 ya) 0
( y0,0xa) 0
( ya,0xa)
。等式两端同乘 sin m a
x
，然后从 0到
a对 x积分
a 100sin m xdx
0
a
n1
a
n
0 Fn ' 'sin a
x sin m
a
xdx
400
Fn '' Fn ' shn n
d2 dr
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)
r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)
C3 r
C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
C3
a 2 2 0
,
C2
a3 3 0
电位：
1(r)
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
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2.点电荷对接地导体球的镜像
例：一半径为a的导体球，外壳接地一点电荷q1 置于距球心距离d处，求球外电位分布。
zq1 r1 p(x,y,z) 设q2位于距球心距b处离，
d b
s1 r2
则球外一点的电位：
q2
r
1 （q1 q2)
y
40 r1 r2
x s2
在球面上取两个特殊 点s的 1,s2, 它们的电位均0为 .所以得：
磁流强度
K sJm dS —磁流强度
l
图（a）是一密绕螺线管，电感量为L，
（a）
长度为l,通低频电流 i Ie，j我t 们可以将其
看作一块磁铁，磁体内部有磁流K，磁铁两
Qm Kl
Qm
端分别有磁荷 和 Q ，m 因 Q而m 构成一个磁偶 极子（图b），且有
Qm LI K jLI
对图（c）所示小圆环电流就其远区辐射
b
U0
解：选定直角坐标系
2
2
x2
2
y2
0
（D域内）
0
(x0,0yb)
边值问题
0
(xa,0yb)
0
(y0,0xa)
U (yb,0xa)
0
分离变量法的前提是假设待求函数有分
离变量形式的解。
(x,y)f(x)g(y)
代入到二维拉氏方程：
g(y)d2dfx(2x)f(x)d2 dgy(2y)0
f1 (x)d2 dfx(2x)g(1y)d2 dgy(2y)0
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
➢若在某一个方向的边界条件是非周期的， 则该方向的解要选双曲函数；
➢若函数与某一坐标无关，则该方向的分离 常数为0。
结论：要满足边界条件
|xa
x0
0,
只有选取：
k x 为实数，k y j y
g (y ) B 1 s h (yy ) B 2 c h (yy )
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
1（q1 q2 )0
40 da ab
410（d＋ q1aa＋ q2b)0
从而求得 ba2 d
q2 d aq1
另外，r1，r2 可以表示为
r1 r2 d2 2rdcos r2 r2 b2 2rbcos
➢镜像电荷的量值与原电荷一般不相等；
➢导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而 远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷 分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半 球内的球心与实际电荷的连线上。
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
J
Jm
后可有一个方程组得到另 一个方程组，可由一类边
m 界条件得到另一类边界条
件。
如果描述两种物理现象的方程具有相同的数 学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的 数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称 为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称 为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量 称为对偶量。
例
z θ
r
IL
z θ r
Kl
z θ r
IS
E
ห้องสมุดไป่ตู้
j0 Il sin e jkr 4 r
H
jk0 Il sin e jkr 4 r
H j40rKlsinejkr Ek40r0ISsinejkr
E
jk0Klsinejkr 4r
H
k02ISsinejkr 4r
教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与 恒定磁场之间的对偶关系。
q q 0 z0 40r 40r
所以 镜像电荷为-q，放在和q对称的地方。
图 平面导体的镜像
q q 40r1 40r2
4q0{[x2y2 1 (zh)2]1 2[x2y2 1 (zh)2]1 2}
➢对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于 边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。
➢对于两相交平面，角域夹角为π/n，n为整数时， 有(2n－1)个镜像电荷。
静态场与时变场的最本质区别：静态场中的 电场和磁场是彼此独立存在的。
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
静电场基本方程
l Edl 0
DdS S
V VdV
E 0
DE D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E
D EV
()V 2 V ——泊松方程
静态场分析
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性
1.静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随
时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 化的电荷产生的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生 的电场。
H dl l
S Jc dS
S BdS 0
B H
H Jc B 0
——恒定磁场是无散有旋场。
BA
B H Jc
AJc
A ( A ) 2 A J c 库伦规范 A0
2AJc ——矢量泊松方程
2A Jc 分解
2Ax Jx 2Ay Jy
Jc 0
2Az Jz
kx2
k
为实数，
x
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
kx j x , f(x ) B 1 s h (x x ) B 2 c h (x x )
k x 0 , f(x)C1xC2
➢若在某一个方向的边界条件周期的，则该 坐标的分离常数必为实数，其解要选三角 函数；
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
kx2
1 g( y)
d 2 g( y) dy2
ky2
kx2 ky2 0
分离常数
kx2
k
2 y
0
k
x 为实数， k
为虚数。
y
k k
为虚数，
x
为实数。
y
kx 0, ky 0,
当 k x 取不同形式的值时，f ( x ) 的解：
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
理解
➢ 静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不 多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么 用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边 值问题的解是不是独一无二的？ 这就是边值问 题的惟一性问题。
➢ 惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明 只要给出场域内的位函数分布及边界面上的函数 值，则场分布是唯一确定的。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的 磁场，亦称为静磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组
D0, B0,V 0
t t t
H d l l
S Jc dS
H Jc
lE dl 0
E 0
D d S S
V VdV
D V
S B dS 0 S Jc dS 0
B 0 Jc 0
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
三、静态场的重要原理和定理
1.对偶原理 （1）场源的概念
为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁 荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷、磁 荷、电流和磁流。
mM ms Mn
Jm
——体磁荷密度 ——面磁荷密度 ——体磁流密度
引入以上等效场源后，Maxwell方程修改
为：
HJcjE
E Jm j H
Bm DV
对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程
Jmjm0
电磁场的边界条件也做相应的修改
n ˆ(D 1D 2)S
对于理想导体（σ=∞），其边
n ˆ (E 1E 2) Jm
a1 b2
必然满足拉普拉斯方程。 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解 为较简单问题的组合，便于求解。
3.惟一性定理 （1）边值问题的分类
第一类 边值问题
第二类 边值问题
第三类 边值问题
S
f1(s)
狄里赫利问题
n
S
f2 (s)
诺伊曼问题
()
n S
f3(s)
混合边值问题
（2）惟一性定理
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程
lE dl 0 S Jc dS 0
Jc E
E 0 J 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场
E
Jc E0
()0
2 0 ——拉普拉斯方程
3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
五、分离变量法（直角坐标系）
分离变量法是一种最经典的微分方程法， 它适用于求解一类具有理想边界条件的典型 边值问题 。其主导思想就是将求解偏微分 方程定解的问题转化为求解常微分方程的问 题。