函数-函数概念,对应是本质

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如何理解函数的概念？

如何理解函数的概念？潜近表述函数概念：从数学建模到现实应用函数是数学中至关重要概念，它为我们提供了描述和理解现实世界中某些关系的强大工具。

然而，对于许多学生来说，理解函数的概念并非易事。

本文将从教育专家的角度，探讨如何帮助学生更深入地理解函数的概念。

一、函数概念的本质：映射与对应函数的本质确立了一种“映射”关系，即一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间存在唯一的对应关系。

这种对应关系可以是简单的数值关系，也可以是抽象的关系。

比如，函数f(x)=x^2将实数集合中的每个元素都“映射”到另一个实数集合中的元素，即每个实数x都会对应一个唯一的平方值f(x)。

二、函数概念的教学策略1. 从实际问题入手：将函数概念与现实生活直接联系起来，引导学生从实际问题中抽象出函数模型。

比如，可以用时间和距离的关系来建立速度函数，用商品价格和销售数量的关系来建立利润函数。

2. 图形化表达：借用图像直观地展示函数的概念。

绘制出函数图像，可以帮助学生明白函数的定义域、值域、单调性以及极值等性质。

同时，学生可以通过观察图像，直观地感受到函数对应关系的变化。

3. 语言描述：用语言清晰地解释函数的定义、性质和应用，并帮助和鼓励学生用自己的语言解释和理解函数的概念。

比如，可以用“对于任意输入值，函数都会返回一个唯一的输出值”来解释函数的对应关系。

4. 多样的练习和设计实验活动：系统设置多种形式的练习，包括基础练习、拓展练习和探究性练习，帮助学生培养对函数概念的理解，并增强解决问题的能力。

例如，可以设计一些需要学生通过观察数据、分析规律、建立函数模型来解决的问题。

三、函数概念的重要性：连接数学与现实函数概念是数学研究的基础，也是数学与其他学科之间交流的桥梁。

它不仅为我们提供了描述和理解现实世界中某些关系的工具，更重要的是它培养了学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决问题的能力。

四、总结理解函数概念需要将它与现实世界直接联系起来。

话说函数三种定义的利与弊

话说函数三种定义的利与弊2009年第1期数学教育研究?l5?话说函数三种定义的利与弊陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三种定义,谈谈各自的利弊.1函数变量说的利弊回顾先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量称为后面变量的函数.”由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.2函数对应说与函数变量说优劣比较函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).输入———-.(j至[卜_+输出其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.?16?数学教育研究2009年第1期3函数关系说的利弊分析在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把函数关系看作一个特殊的关系.设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R一{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R 是由X到y的关系,而不是函数.由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊的关系.现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,但什么是对应法则厂?尚欠明确,显得含糊.我们说,y 一厂(z),这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一函数=g(z),一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分呢?怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?就要借助于”关系说”了.“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想的表(包括无限多个精确的数据),借此,可以按的值查找出Y的值.总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受. 然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有不便.综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺点,应视具体情况加以运用.[责任编校董伸华](上接第2页)戊丙\辛庚,.’z’戊丙甲丁图(5)由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及的正(余)弦函数和正(余)矢函数,而且还应有正(余) 切函数和正(余)割函数——在图五中有明显的正切, 余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1= sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.在上述两个图形之后,此书还有一个图形如图(6)所示.这个图形说明是:”角度:凡三角形佛三角之度皆成两象限.假如乙甲丁勾股形,其丁角五十五度,当乙丙弧,则乙角必三十五度,当乙庚余弧.两角共一象限,九十度.其甲角正方,原系\一,甲丁l’卯\丑\图(6)九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念. 综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人. 其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.参考文献:Eli昊文俊.中国数学史大系(第七卷)[M].北京:北京师范大学出版社,2000.53.[2]方豪.李我存研究[M].杭州:我存杂志社,1937.[3][4][5][6][7]利玛窦,李之藻.同文算指别编[M].中国科学技术典籍通汇[c](数学卷四).郑州:河南教育出版社,1993.267—268,268—271,268,268——269,271.[8]朱维铮.利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.691—694.[9][1O]E11]利玛窦.理法器撮要[M].利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.738,739,740.[责任编校钱骁勇]。

对函数概念的本质理解

函数是高中数学中的重要概念，也是重要的研究对象。

但是因为应试教育的特点，老师们都几乎对函数概念的本质没有讲解。

因此在这里，简单跟大家分享一点我自己的理解，希望对大家的高中数学的涵养有所提升。

本文所谈不涉及做题，不涉及考试，只是告诉你其实数学概念很美丽，帮助提升你的数学修养。

（1）初中函数概念与高中函数概念的衔接在初中，我们主要学习了正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数这四种函数。

尽管这是初中数学的学习重点，但是初中数学中对函数的定义却并不精确。

初中数学中的定义，即如果y随x的变化而变化，那么y就是x的函数。

再如果形如什么什么样的形式，那就是什么样的函数。

这种定义是不精确的。

比如这里有一个式子221+=，这个式子中x取值不同，y取值也不同，也就是yx y随x的变化而变化，那么这里y是x的函数吗？答案是否定的。

再比如，y=1，是一个最简单的常数函数，这里无论x怎么变，y都不变化，都取值为1。

那么按照初中的定义，是不是y=1就不是函数了呢？答案是它也是函数。

因此从这两个例子我们可以看到，初中数学中的函数的定义是狭隘的，不准确的。

当然，不是说我们的教材编排错了。

因为编排教材要考虑孩子们的智力发育阶段与接受能力，因此初中数学中的定义以简单直观为主，是非常可取的。

只是到了高中，随着学习内容的深入以及孩子们认知能力的提高，数学定义可以更加抽象更加严谨了。

因此到了高中，我们用集合的语言来定义函数，就显得非常的精确。

简单来说，就是两个非空数集，通过一个关系，将其中一个集合里的数经过一定的运算变化成了另一个集合里的数，那么这个运算关系就是函数。

当然了，还有其他要求，在此就不展开了笔者想说的是，从定义来看，函数的本质其实就是一种对应关系。

（2）函数为什么叫函数？在后来的高中学习中，大家都知道我们不仅学习了函数，还学习了映射。

说白了，函数跟映射的区别就是，函数研究的是数集的对应关系，而映射研究的是所有集合，包括数集，之间的对应关系。

函数的思想方法

4. 函数思想方法应用所谓函数思想方法,就是运用运动变化的观点去处理问题,将某些问题看作是一个函数,然后通过研究这个函数的性质,获得原问题的解答. 例1:牛顿-莱布尼兹公式的导出 b 如何来求积分 ∫ f ( x)dx 的值呢? a 用变化的观点去看待它,如这个值随着上限的变化而变化,从而可以将它看作为上限的函数. x Φ( x) = ∫ f (t )dt
Mathematics Pedagogy
1718年，约翰·伯努利给出的函数定义是：“所谓变量的函数，就是指由这些变量所组成的解析式。”这实际上就是现在中学生学习的函数的表示法之一——解析法。当时的数学家只把一个变量x与常数构成的任意表达式叫做x的函数。 1748年，欧拉给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量及一些数或常数用任何可规定的方式组成。”与此同时，他还提出过函数的“图象定义”：xy平面上随手画出来的曲线所表达的x与y间的关系就是函数。 1748年，欧拉给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量及一些数或常数用任何可规定的方式组成。”与此同时，他还提出过函数的“图象定义”：xy平面上随手画出来的曲线所表达的x与y间的关系就是函数。
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1775年，欧拉又给出了“依赖性”的函数定义：“如果某一个量依赖于另一个量，使当后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。” 这个定义有了质的飞跃，它不仅不再纠缠于用什么形式来表达函数，而且强烈地体现了“运动”、“变化”的观点，“对应” 的思想也开始萌生，这是科学的函数定义的雏形。
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1837年，德国数学家狄利克雷给出了至今还常用的函安息定义：“如果对于给定区间上的每一个x的值，有唯一的一个y的值与之对应，那么称y为x的函数。在此，用什么方法建立对应是完全不重要的。” 这一定义提示了函数思想的本质——对应。

《函数的概念》课标解读

《函数的概念》课标解读教材分析函数概念是数学的核心概念，它孕育于小学阶段，引入形成、巩固应用于初中阶段，深入研究始于高中阶段.从初中的“变量说”到高中阶段的“对应说”是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃.函数内容是高中数学学习的一条主线，是沟通代数、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础.本节作为起始课，是一节概念课.本节的重点是体会函数是描述变量之间的依赖关系的主要数学模型以及正确理解函数的概念，难点是函数概念及符号的理解。

y f x()本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算.学情分析通过初中对函数知识的学习，学生在知识上已经具备了一定的知识经验和基础；在能力上，已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强；在情感方面，多数学生对本节新内容的学习，有相当的学习兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不均衡.总之，尽管本阶段的学生已经具备了一定的分析能力以及逻辑推理能力，但用两个集合间的对应来描述函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度.教学建议鉴于学生可能不容易认识到函数概念的整体性，教学时建议多列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会，提升学生数学抽象及逻辑推理素养.第1课时函数的概念学科核心素养目标与素养1.通过具体数学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念，促进学生数学抽象核心素养的发展，达到水平二的要求.2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域，达到数学计算核心素养水平一的要求.3.给出一个函数解析式，能够举出它所对应的问题情境，达到数学建模核心素养水平一的要求.情境与问题提出问题：有人说“根据对应关系350S t =，这趟列车加速到350 km/h 后，运行1h 就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗由此引出函数的概念.内容与节点本课时内容是函数的概念，是高中三大主线之一的函数的基础，正确理解函数的概念，为后面的深层次的学习做铺垫.过程与方法1.通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上用集合语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，提升学生的数学抽象核心素养.2.通过对给定的函数解析式增加对应情境的过程，体会函数的实际作用，提高数学建模的核心素养.教学重点难点重点1.函数的概念.2.简单现实情境问题的定义域和值域.难点给定函数解析式，如何给出与其对应的现实情境.第2课时函数概念的应用学科核心素养目标与素养通过区间概念的引入及具体数学实例的分析，进一步加深对函数概念的理解，让学生能熟练求简单函数的定义域和值域，掌握判断同一函数的标准，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养，达到核心素养学业质量水平一的层次.情境与问题我们学习了函数的概念，你还记得它的概念吗y x =和||y x =是同一个函数吗如何判断函数是否相同呢通过这些紧密结合的问题，开始新课的学习.内容与节点本课时内容是函数概念的第二课时，核心内容是函数的三要素，涉及求定义域、值域，以及判断函数是否相同等问题，是后续继续深入学习函数知识的基础.过程与方法通过实例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解，给定数值求函数的函数值，加深对对应法则的认识，提升学生逻辑推理、数学运算素养.教学重点难点重点能熟练求解常见函数的定义域和值域.难点理解同一函数的标准，尤其对函数的对应法则相同的理解.。

函数的概念、定义域及解析式

函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。

映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。

记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。

（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。

原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。

函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。

（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

函数概念教案

函数概念教案《函数的概念》教案篇一教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．正方形的边长为a，则正方形的周长为，面积为．2．问题．在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；问题1某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中，有哪几个变量？（2）这几个变量的范围分别是多少？问题2略．问题3略（详见23页）．2．函数：一般地，设a、b是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合a中的每一个元素x，在集合b中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的一个函数，通常记为＝f（x），x∈a．其中，所有输入值x组成的集合a叫做函数＝f（x）的定义域．（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；（2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在a、b两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f（x）＝2x，（x＝0）．3．函数＝f（x）的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合a到b的函数：（1）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；（2）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；（3）a＝{1，2，3，4，5}，b＝n，f：x→2x．练习：判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈r；（2）x→，这里2＝x，x∈n，∈r。

高一数学教案《函数概念》

高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

教案应该怎么写才好呢？下面是店铺为大家收集的高一数学教案《函数概念》，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

一、函数与映射的基本概念

一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。

例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。

3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|．其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数．用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式．如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。

函数的概念及其表示——函数的概念

函数的概念及其表示——函数的概念【教学目标】1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。

2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高。

3．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习。

【教学重难点】教学重点：是理解函数的概念；教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。

【教学方法】激趣法探究法拓展法讨论法自主学习法【教学准备】多媒体课件【教学时间】1课时【教学过程】一、复习与引入。

今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）学生举出如xy x x y x y 2,3,12=+=+=等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生。

提问1．3=y 是函数吗？提问2．x y =与x x y 2=是同一个函数吗？（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做30+=x y ．）教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．二、新课。

现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始提问）提问3．观察图中的3个对应，你看出它们有什么共同特点？学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对应的共同点。

（板书）函数（一）函数的概念1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈。

函数的基本概念和表示方法

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A．1 B． 2 C． 3 D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( )A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D. 3．函数的图象是( )。

高中数学函数的基本概念

函数的基本概念
章节结构图
二、复习指导
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的数学思想方法贯穿于高中数学课程的始终，函数又是初等数学和高等数学衔接内容，因此在历届高考中都占有很大的比例，成为数学高考的重点和热点，考察的内容涉及函数的概念，定义域、值域，函数的奇偶性、单调性和周期性，图象的变换和函数知识的综合运用等，考察的数学思想或方法有函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合、待定系数法和换元法等．做好函数的复习将有利于整个高中数学的复习．
复习将有利于整个高中数学的复习．
按照新课标的要求，复习中要始终强化函数的对应、运动变化等本质特征，重视对函数概念的理解；以简单的函数为载体，全面复习函数的性质，再利用函数的性质研究较复杂的函数，在复习中应注意数形结合的训练，关注函数与其他知识的联系．
练，关注函数与其他知识的联系．
函数的基本概念
（一)函数的定义
x x,2
x
4
-
x ±在x ]21,41x 41
由于x =224x x。

函数的概念

函数的三要素一【基础知识讲解】1. 函数的定义（1）设A,B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对应于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称;B A f →:为从集合A 到B 的一个函数，记做()x f y =A x ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值得集合(){}Ax x f ∈叫做函数的值域。

注意：A,B 都是非空数集，因此定义域、值域为空集的函数不存在。

（2）函数的三要素：对应关系、定义域、值域。

其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。

① 函数的定义域函数的定义域是自变量的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域为是使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围。

具体函数的定义域A:若函数为整式函数，则函数的定义域为R.B:偶次根式的定义域是：使被开方数大于等于0的x 的取值范围； C:零指数型函数的定义域是：使底数不为0的x 的取值范围；D:基本初等函数(三角函数，指数、对数函数)的定义域，以后再讲。

E:分式函数的定义域是：使分母不为0的x 的取值范围；F ：若函数由两个函数相加构成，则定义域为两个函数的定义域取交集。

如：求下列函数的定义域：(1)()xx x y -+=1 (2)232531xx y -+-=② 函数对应法则(1)对应关系f 是函数关系的本质特征，()x f y =的意义是：y 就是x 在关系f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径。

如()53+=x x f ，表示3倍的自变量加上5，如：()145333=+⨯=f(2)()x f 与()a f 的区别：()a f 表示当x=a 时函数()x f 的值，是一个量，而()x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量。

函数的定义函数的基本运算函数的基本性质

函数的定义函数的基本运算函数的基本性质函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某⼀范围内的每⼀个确定的值，y都有唯⼀确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做⾃变量。

我们将⾃变量x取值的集合叫做函数的定义域，和⾃变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的三种运算函数的四则运算复合运算求逆运算函数的基本性质：单调性有界性奇偶性周期性函数的近代定义：设A，B都是⾮空的数的集合，f：x→y是从A到B的⼀个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表⽰，应理解为：x是⾃变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是⼀个或⼏个解析式，可以是图象、表格，也可以是⽂字描述；y是⾃变量的函数，当x为允许的某⼀具体值时，相应的y值为与该⾃变量值对应的对函数概念的理解函数的两个定义本质是⼀致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，⽽近代定义是从集合、映射的观点出发。

这样，就不难得知函数实质是从⾮空数集A到⾮空数集B的⼀个由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

其中核⼼是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，⽽f是“对应”得以实现的函数的定义域（即原象集合）是⾃变量x的取值范围，它是构成函数的⼀个不可缺少的组成部分。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。

因此，定义域1）定义域不同，两个函数也就不同；2）对应法则不同，两个函数也是不同的；3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不⼀定是同⼀函数，因为函数的定义域和值域不能唯⼀地确定函数的对应法则。

例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。

学习函数的概念应注意哪些方面？

学习函数的概念应注意哪些方面？答：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应．那么就说x是自变量,y是x的函数．这段话给出了函数的概念,要全面理解它的含义,应从字词语句入手思考．(1)函数的概念的基础是一个变化过程中有两个变量x与y,要研究它们之间的关系．(2)对于x的每一个值,就是变量x允许取的任意一个值,这些值组成了自变量x的取值范围．(3)对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,说明变量x与y有确定的对应关系,即y是x的函数．其中“唯一”的意义是“有一个且只有一个”．综上所述,不难发现,(1)是基础,(2)是自变量x的取值范围,(3)是x 与y的对应规律．因为函数的本质是对应,函数关系是变量x与y的一种特殊关系．所以自变量的取值范围和两个变量的对应规律缺一不可．在初中阶段,理解函数概念必须抓住这两个要素．要判断两个(或几个)函数是不是同一个函数,也必须根据函数的这两个要素思考、鉴别、确定,即不仅要求它们的对应规律相同,还需要它们的自变量的取值范围相同．你对函数概念理解到什么层次？是基本上学懂了,还是明白了(能说出是什么,能识别它),还是透彻理解了,可以用下面两道题自问自答进行检测．【例1】由下面关系式中给出了变量x与y,y是x的函数吗？x是y的函数吗？为什么？(1)3x－4y=1；(2)y=x2．解(1)由 3x－4y=1,得①式中的变量x可取任意实数,对于x的每一个值,通过①式,y都有唯一的值与它对应．因此,y是x的函数．又由3x－4y=1,得同理可知,x是y的函数．(2)由 y=x2知,x可取任意实数,对于x的每一个值,由y=x2,y都有唯一的值与它对应．因此,y是x的函数．由y=x2,得②式中y可取任意非负实数,但对于y取的每个正实数(如9),x有两个值(如±3)与它对应,不唯一,不符合函数的概念,因此,x不是y的函数．【例2】下面各题中都有两个函数,它们是同一个函数吗？为什么？(3)y=πx2与s=πr2,其中x、r≥0；解：(1)不是同一个函数．因为它们自变量x的取值范围不同．y=x中,x取任意实数,y=2xx中,x取不等于零的一切实数。