函数-函数概念,对应是本质

本源探究微课程—函数概念，对应是本质

南昌本源探究微课组

随着数学的不断发展，函数概念历史演变经历了四个主要阶段：

（1）函数概念萌芽：变量作为数学名词是约翰 贝努力首先应用的，函数这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的；

（2）函数概念-变量依赖说：1748年，欧拉在约翰 贝努力的基础上首次用“解析式”来定义函数，欧拉二次定义函数，第二个定义与现代函数定义很接近，在函数的表达上不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定用公式来表达，他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数．

（3）函数概念-变量对应说：1823年，柯西的函数定义把函数概念与、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免了“变化”一词，但是对于函数概念的本质—对应思想强调不够；此后黎曼和狄里克雷认识到这一点，给出了较精确的定义，彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出对应思想，使之具有更加丰富的内涵，被公认为函数的现代定义．

（4）函数概念-集合对应说：20世纪初，德国数学家康托提出的集合论被世人广泛接受后，用集合对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维，通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化，函数便明确地定义为集合的对应关系，再进一步发展为现代函数定义的集合关系说．

【例１】观察以下各小问中的两组数据，选用代数式、图表或图象描述两组变量的关系．

（1）设弹簧伸长量为x ,作用于弹簧上拉力为y ，某弹簧的伸长量为1、1.5、2、2.5、3、3.5所对应的拉力分别为2、3、4、5、6、7；

（2）设年份为x ,平均身高为y ，小明同学从2015年至2020年这六年的平均身高分别是161、

163、168、171、172、173.

（3）设学号为x ,分数为y ，学号为1-6 的学生在某次测验的成绩分别是82、85、75、66、85、94；

仔细观察可以看出，每一小问中两组数据有一种对应关系，把两组数据分别看成两个集合，也即是两个集合的元素之间有一种对应关系．

【解析】（1）弹簧伸长量x 构成集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}A ，弹簧拉力y 的构成集合{2,3,4,5,6,7}B ，两组数据中每一个伸长量x 唯一对应一个拉力y ，对应关系为2y x ，从图象分析，是一条直线，是一一对应；

（2）设年份为x 构成集合{2015,2016,2017,2018,2019,2020}A ,小明同学这六年的平均身高y 的构成集合{161,163,168,171,172,173}B ，对应关系是找每一年份的身高，无法用代数式表示对应关系，可以用表格来表示这种对应关系：

，也可以用图象表示其中对应关系，从图象分析，是一系列离散的点集，仍是一一对应关系；（3）设学号x 构成集合{1,2,3,4,5,6}A ,某测验的成绩分数y 的构成集合{82,85,75,66,85,94}B ，对应关系是找学号对应学生的分数，用不同学号的学生有考分一样的，无

法用代数式表示对应关系，可以用图表来表示这种对应关系：

也可以用表格或图象表示其中对应关系，从图象分析，也是些离散点集，只是有二对一的对应关系；

所举三个例子可以看出，抽象出两个数集中元素之间有某种对应关系，按照规则，前一集合中的每一个元素在后一集合中都有唯一的元素与之对应（一对一或多对一），对应关系可以是语言文字描述解析式、图象、表格或等。这三个例子的对应关系都是函数关系，并非任何函数都可以用解析式还描述． 函数定义：给定实数集R 中的两个非空集合A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应，那么就把这种对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作()y f x ，x A ．其中A 称为函数的定义域，x 称为自变量，与x 值对应的y 值称为函数值，集合{()|}f x x A 称为函数的值域．

结合引例，理解数概念的本质有几个难点：

（１）函数对应关系f ：函数是从非空数集到非空数集的一种对应，可以是一对一，也可以是多对一，类比找对象，多个同时可以看上一个，但道德上不允许同时追求多个。从图象上看，就是在定义域域范围内任作一条直线，与图象有且仅有一个交点；

（２）函数符号()f x ：

对应关系f 是不变的，可类比一系列特定的程序f 的生产，对定义域中原材料x 加工，得到值域中产品y ，()y f x ，即()f x 代表函数图象上每一个点的纵坐标数值，函数上所有点的纵坐标数值构成的集合就是函数的值域；

（３）

【例２】如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d ，截面半径为r （,d r 为常量），油面高度为h ，油面宽度为w ，储油量为v

（,,h w v 为变量），则下列说法：

① w 是v 的函数 ② v 是w 的函数

③ h 是w 的函数 ④ w 是h 的函数

其中正确的个数是

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

这是个生活中的数学应用问题，考查函数的概念理解判断，中等难度．横放的圆柱形储油罐，变量多且都是以抽象字母给出，储油量与很多变量存在着对应关系f，如果去计算各个变量之间具体关系，问题会很复杂，特别让学生不适应的是不完全是判断储油量是哪些变量的函数关系，要求学生准确把握函数概念的本质，去判断各变量间是否存在函数对应关系．

【解析】判断对应关系是否是函数关系，只要从自变量是一对一或多对一判断（不能多对一）即可，不妨从熟悉的储油量是否为高度的函数判断开始，取一个高度h的

值，只有一个储油量v，知储油量v是高度h的函数；

①一个储油量v对应一个油面宽度w，知w是v的函数，正确；

②一个油面宽度w对应二个储油量v，知v不是w的函数，错误；

③一个油面宽度w对应二个油面高度h，知h不是w的函数，错误；

④一个油面高度h对应一个油面宽度w，知w是h的函数，正确；

进一步深入，此问题还可以再引入变量油面面积s，根据同样的道理可以去试着判断储油量v、油面高度h、油面宽度w分别与油面面积s的相互对应关系，看它们是否为函数关系．函数概念的发展是一个不断严谨化、精确化的过程，这一发展过程与学生理解函数的过程相一致．高中函数概念是基于“对应”给出定义，具有高度的抽象性，关键在对应法则的理解，对应法则可以用代数式，也可以是图象、表格，甚至可以是文字描述，且对应法则有多样性，可以借助图象上宏观的观察：从自变量出发，一对一，多对一的都是函数，一对多的不是函数．