2015全国高中数学联赛一试试题答案
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足条件BQ DP =,则PQ PA ⋅的最小值为 . 答案34. 解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l) (其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥.当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=.5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 .答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤. 先考虑1K 在第一象限中的部分,此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 . 答案:9513[,)[,)424w ∈+∞.解:2s in s in =+b a ωω知,1s in s in ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式. 当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况:(i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解; (ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w . 综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞.8.对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ,),若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数;若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数,则N(P)-N(Q)的值为 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑.因此,()()285N P N Q -=.二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则PDF版(一试)(定稿)
1 解:根据 an(nan-an+1)=(n+1)a2 n+1,写出 a2,a3,a4,可归纳出 an=n. 也可以变形为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan)]=0, 1 由 an+1+an≠0,得(n+1)an+1=nan=…=a1=1,所以 an= . n 4.设以 F1(-1,0)、F2(1,0) 为焦点的椭圆的离心率为 e,以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物 |PF1| 线与椭圆的一个交点是 P.若 =e,则 e 的值为 |PF2| .
解:设四棱锥的底面边长为 a,则球心到底面的距离为 1 1- a2 2 = a 1+ 2 2a 2
由
,解得:a2=4 2-4,即四棱锥的底面面积为 4 2-4. 1 2 1- a 2 .
8.已知△ABC 的外心为 O,内心为 I,∠B=45° .若 OI∥BC,则 cosC 的值是 解:设△ABC 的外接圆半径 和内切圆半径分别为 R 和 r. 记 BC 的中点为 M,D 是由 I 向 BC 所作垂线的垂足. 由 OI∥BC,知 OM=ID=r.由∠BOC=2∠A,BC=BD+DC=2BM, A cos 2 r r 2sinA 得 + =2rtanA,即 = . B C B C cosA tan tan sin sin 2 2 2 2
2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.随机抛掷 3 颗大小、质地相同的正方体骰子.在 3 颗骰子所示数字中最小值是 3 的概率 是 .
试
4 3 解:所有骰子所示点数至少是 3 的概率为( )3,所有骰子中所示点数至少是 4 的概率为( )3. 6 6 4 3 37 所以 3 颗骰子所示数字中最小值恰为 3 的概率是( )3-( )3= . 6 6 216 2.关于 x 的方程 x2―2ax+a2―4a=0 有模为 3 的虚数根,则实数 a 的值是 .
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解答集锦
3
^●一
_ — _
9 . ( 本题 满 分 1 6 分) 若实数 n 、 b 、 f 满足 2 “ +4 一
. 葡 一 一z ( 2 一z ) 一( ~ 一1 ) 一
3 c 2 一 + 一 ( z 一 丢 ) + 导 。
故 当z 一告时, ( 两・ 蔺) , 一 3 。
5 . 在 正方 体 中随机取 3条棱 , 它们 两两 异 面 的概
率 为 。
解法1 : 由C O S a— t a n 0 t , 得C O S a —s i n a , 与C O S a
+ s i n 口= 1联 立 ,
解得 c O S 。 a— s i n a一 所 以
。
解: 从正 方体 A BC D — A B C D 的1 2 条棱 中任 取 3 条棱 的方 法共 有 C 一 2 2 0种 。
si n
a + c o 一 志 ^ / 5 一 1 + ( \ 么 )
故所 求概率 P一 8 一 2
。
解: 因为 z 一2 + 1 +n i , 所 以
Z n + 2: z l + 1+ ( + 1 ) i— z + 1+ n i + 1+ ( + 1 ) i : + 2+ i 。
6 . 在 平 面直角 坐标 系 x Oy中 , 点集 K 一 { ( 3 c , )I ( I z I +l 3 I 一 6 ) ( } 3 z I +1 y l 一6 ) ≤0 ) 所对应 的 平 面 区域 的面积为 。
平 面 区域 如 图 2中的 阴 影 部 分 所
图2
4 . 在矩形 A B C D 中, A B一2 , A D一 1 , 边 D C 上 ( 包 含点 D、 C )的动点 P与 C B 延 长线 上 ( 包 含 点 B)
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值为2.若实数α满足cos tan αα=,则41cos sin αα+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC (包含点,D C )上的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为5.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为7.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则ω的取值范围是8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若 ,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则 ()()N P N Q -的值为二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.(本题满分16分)若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值.10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是4个有理数,使得{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭,求1234a a a a +++的值. 11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d ,如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列,求d 的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)一、(本题满分40分)设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-,使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 二、(本题满分40分)设{}12,,,n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2n ≥),满足对任意的,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明:存在1ni i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合(这里X 表示有限集合X 的元素个数). 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆O ,P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ,连接BD 交圆Ω于点E ,连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明:2ABC FCB ∠=∠.(解题时请将图画在答卷纸上)四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数n ,(1)12k n -+不整除()!!kn n .P。
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)
2015 全国高中数学联赛河南初赛试题及答案 ( 高一 )2015 年全国高中数学联赛河南省高一初赛试题(5 月 10 日 8:30 至 11:00)一.填空题(本大题共8 小题,每题 8 分,共64 分)1.若会合A a a 5x 4, x N*,B b b7 y 6, y N*,将A I B中的元素从小到大摆列,则排在第20 个的那个元素是.2.已知实数x,y知足:(x 3)32015( x 3) (2 y 3)32015(2 y 3) 0,则 x24 y24 xmin.3.设线段BC, AB, CD BC,且 CD 与平面成 30角,且 AB BC CD 2cm,则线段AD的长度为.4.若直线l与直线x 3y 10 0,2x y 8 0分别交于点M,N ,若 MN 的中点为P(0,1),则直线 l 的方程是.5.设 k , m , n 都是整数,过圆 x2y2(3k1)2 外一点P( m 3 m,n 3 n)向该圆引两条切线,切点分别为A,B ,AB上知足横坐标与纵坐标均为整数的点个.6.若函数 f (x) (1 x 2)( x2ax b)的图象对于直线x 2对称,则 a b.7.(请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上边一题正误判分)(必修 3)履行如下图的算法,则输出的结果是.则直线 有(必修4)已知函数 f (x)sin xπ上是减函x在区间 (0, )2数,若 0x ≤ 1 , a (sin x 2 ,bsin x ,csin x2x)xx 2,则 a, b,c的大小关系是.8.假如实数 a , b 使得 x 2x 1 是 ax 220151bx 2201511 的因式,则 a 的个位数字为.二(此题知足 16 分)求 x 23y 22的整数解.三(此题知足 20 分)如下图,已知 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上且知足 AC BC ,在线段 BC 上取一点 D ,使 BD AC ,在 AD上取一点 E 使BED 45 ,延伸BE 交 CA 于 F ,求证:CD AF .四(此题知足 20 分)对于随意的△ ABC,若其三边长为 a ,b, c ,则 a x,b x,c x依旧能够组成某三角形的三边长,务实数 x的取值范围.五(此题知足 20 分)已知全集 U 1,2,L , n ,会合A知足:(i) A U ;(ii)若x A,则 kx A;(iii)若x e U A,kx e U A(此中 k ,n N*, k ≥ 2 ),用 f k (n) 表示知足条件的会合A的个数.(1)求f2(4),f2(5);(2)记会合A中全部元素的和记为会合A的“和”,当 n pk q (p, q N , 0 ≤ q ≤ k 1 )时,求全部会合A的“和”的和(结果用含 p , q , k 的代数式表示).。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ,此时 1 且 5 ,无解;
22
2
4
(ii) 5 9 2 ,此时有 9 5 ;
件等价于:存在整数 k, l (k l) ,使得
2k 2l 2 .
①
2
2
当 4 时,区间[, 2]的长度不小于 4 ,故必存在 k, l 满足①式.
当 0 4 时,注意到[, 2] (0, 8) ,故仅需考虑如下几种情况:
.
答案: 2015 1007i .
解:由已知得,对一切正整数 n ,有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i , 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i .
4. 在矩形 ABCD 中, AB 2, AD 1 ,边 DC 上(包含点 D 、 C )的动点 P 与 CB 延 长线上(包含点 B )的动点 Q 满足 DP BQ ,则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
.
答案:24.
解:设 K1 (x, y) x 3y 6 0 .先考虑 K1
在第一象限中的部分,此时有 x 3y 6 ,故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ,则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知, K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个.又由于 A1 ⊆ Ci ( i = 1, , t ) ,故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ,即在剩下的 n − s − t 个集合中, k
包含 a1 ,因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t (利用 k ≥ 2 ) = +t ≥ k k k n . ……………40 分 ≥ (利用 t ≥ s ) k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 , i =1 所以①得证,从而本题得证.
…………………40 分
证法二:首先,由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性,可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an .此 n 外,若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减,而右边的 ∑ ai2 不变,并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取,因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j (柯西不等式) …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j (利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ) ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j (利用 [ x ] ≤ x ) n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点,过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点,则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 . x y z 解:设此平面的方程为 1 , a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距,又点 P 在平面 ABC 内, a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ,即 ,得 VOABC abc 45 .当 , 故 1 ,由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时, VOABC 的最小值为 45.
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ,则 A B = 解:由于 1 + x ¹ x ,故 1 + x = y .由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ,又因为 1 + x > 0 ,所以 3
2
,
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 , u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中,已知 a1 2 , a2 4 ,且 a2 n 1 , a2 n , a2 n 1 成等差数列, a2 n , a2 n 1 , a2 n 2 成 解:因为 an 单调递增, a1 0 ,所以 an 0 .因为 a2 n 1 , a2 n , a2 n 1 成等差数列, a2 n , a2 n 1 , a2 n 2 成等 比数列,所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列, n 1, 2,3, .那么, a100 _________.
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
33 ,
.
22
于是每个小三角形的面积为
1 2
×4×
3 2
= 3,
所以阴影部分的面积为 3 × 8 = 24.
y
33 A,
22
O
x
7. 设 ω 为正实数,若存在 a, b(π ⩽ a < b ⩽ 2π),使得 sin ωa + sin ωb = 2,则 ω
的取值范围是
.
解答
依题意,存在
k, l
∈
Z,使得
设 A(x1, y1), B(x2, y2), F1(−1, 0),则
y1
+
y2
=
2km −k2 + 2,
y1y2
=
m2 − 2. k2 + 2
且 ∆ = 4k2m2 − 4(k2 + 2)(m2 − 2) = 8(k2 − m2 + 2) > 0.
于是
kAF1
+
kBF1
=
y1 x1 +
1
+
y2 x2 +
−
1 2
=
1007
⇒
z2015
=
2015
+
1007i.
4. 在矩形 ABCD 中,AB = 2, AD = 1,边 DC 上 (包含点 D、C) 的动点 P 与
CB 延长线上 (包含点 B) 的动点 Q 满足 |D# P»| = |B# Q»|,则向量 P# A» 与向量
#» PQ
的数量积
#» #» PA · PQ
为满足 d = 0 的 P 类数的个数,记 A 为满足 d = 0 的 P 类数的集合.
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 .②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知,
y1 x1 1
y2 2k x2 1
,又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ,所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ,化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8,故所求概率为 8 2 . 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域(如图所示)的面积为
◆答案: 24 ★解析:设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} . 先考虑 K1 在第一象限中的部分,此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ,则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知,K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2.
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1,zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ,其中 i 为虚数单位,zn 表
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
标为
3 (
,
3 )
.由对称性知,
S
8S CPG
13 84
24 .
22
22
7.设 为正实数,若存在实数 a,b( a b 2 ) ,使得 sin a sin b 2 ,则 的取
值范围为
.
答案: w
95 [,)
13 [,
.) 解 : s in a s in b 2 知 , s in a s in b 1 , 而
文档大全
实用标准文案
8.对四位数 abcd ( 1 a 9,0 b, c, d 9 ) ,若 a b, b c, c d, 则称 abcd 为 P 类数;
若 a b, b c, c d ,则称 abcd 为 Q 类数,用 N(P) 和 N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个
数,则 N(P)-N(Q) 的值为
不同的实根矛盾) . 10 分
点 F2 ( l , 0 )到直线 l: y
|k m| d
1 k2
1 |2k
1 k2
kx m 的距离为
1
1
|
(2
2k
1
21 k
1 2k
2
)
.
文档大全
实用标准文案
注意到 | k |
2
d 1 (t t2
2 ,令 t
2 3 ) 1 (t 22
1
2
1 ,则 t
k
3) . t
(1, 3) ,上式可改写为
9.(本题满分 16 分)若实数 a ,b,c 满足 2a 4b 2c ,4a 2b 4c ,求 c 的最小值. 解:将 2a, 2b ,2c 分别记为 x, y, z,则 x, y, z 0 .
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷)参考答案及评分标准一试说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设b a ,为不相等的实数,若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =,则=)2(f 答案:4.解:由己知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以(2)424f a b =++=.2.若实数α满足ααtan cos =,则αα4cos sin 1+的值为 . 答案:2. 解:由条件知,ααsin cos 2=,反复利用此结论,并注意到1sin cos 22=+αα,得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα.3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则=2015z .答案:2015 + 1007i .解:由己知得,对一切正整数n ,有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+.4.在矩形ABCD 中,1,2==AD AB ,边DC 上(包含点D 、C )的动点P 与CB 延长线上(包含点B )的动点Q 满足条件BQ DP =,则PQ PA ⋅的最小值为 . 答案34.解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(t , l)(其中02t ≤≤),则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为(2,-t ),故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此,22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r .当12t =时,min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r .5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 答案:255.解:设正方体为ABCD-EFGH ,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即 AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能.当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH .由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求概率为8222055=.6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 . 答案:24.解:设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤.有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分,此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知,1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部.同理,设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤,则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知,K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S .由于直线CD 的方程为36x y +=,直线GH 的方程为36x y +=,故它们的交点P 的坐标为33(,)22.由对称性知,138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=.7.设ω为正实数,若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ,使得2sin sin =+b a ωω,则ω的取值范围为 .答案:9513[,)[,)424w ∈+∞U .解:2sin sin =+b a ωω知,1sin sin ==b a ωω,而]2,[,ππωωw w b a si ∈,故题目条件等价于:存在整数,()k l k l <,使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤. ①当4w ≥时,区间]2,[ππw w 的长度不小于π4,故必存在,k l 满足①式.当04w <<时,注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ,故仅需考虑如下几种情况: (i) ππππw w 2252≤<≤,此时21≤w 且45>w 无解; (ii) ππππw w 22925≤<≤,此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤,此时29413≤≤w ,得4413<≤w . 综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4≥w 亦满足条件,可知9513[,)[,)424w ∈+∞U . 8.对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ,),若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数;若d c c b b a <><,,,则称abcd 为Q 类数,用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数,则N(P)-N(Q)的值为 .答案:285.解:分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ,再将个位数为零的P 类数全体记为0A ,个位数不等于零的尸类数全体记为1A .对任一四位数1A abcd ∈,将其对应到四位数dcba ,注意到1,,≥><>d c c b b a ,故B dcba ∈.反之,每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd .这建立了1A 与B 之间的一一对应,因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=.下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1,…,9,对其中每个b ,由9≤<a b 及9≤<c b 知,a 和c 分别有b -9种取法,从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑. 因此,()()285N P N Q -=.二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
.
答案: 2015 1007i .
解:由已知得,对一切正整数 n ,有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i , 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i .
4. 在矩形 ABCD 中, AB 2, AD 1 ,边 DC 上(包含点 D 、 C )的动点 P 与 CB 延 长线上(包含点 B )的动点 Q 满足 DP BQ ,则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
K1 、 K2 中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S .
由于直线 CD 的方程为 x 3y 6 ,直线 GH 的方程为 3x y 6 ,故它们的交点 P 的
坐标为
3 2
,
3 2
.由对称性知,
S
8SCPG
8
1 4 2
3 2
解:由条件知,点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) .
设直线 l 的方程为 y kx m ,点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ,则 x1, x2 满 足方程 x2 (kx m)2 1,即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 .
应于图中的 OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ,则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知, K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案
而
bn+1
−
1 (n
2
+
1)
+
1 4
=
−bn
+
n
−
1 (n
2
+
1)
+
1 4
=
−bn
+
1 n
2
−
1 4
=−
11
bn
−
n 2
+
4
⇒
bn
−
1 n
2
+
1 4
=
− 1 (−1)n−1 4
=
1 (−1)n 4
⇒
bn
=
1 n
2
+
1 [(−1)n 4
−
1](n
∈
N∗).
所以
a2015
=
2015, b2015
=
2015 2
= 4t2 − 2t + 1 = 4
1 t−
2
+
3
⩾
3 ,等号成立时
#» DP
=
1D# C».
4 44
4
所以向量 P# A» 与向量 P# Q» 的数量积 P# A» · P# Q» 的最小值为 3.
4
5. 在正方体中随机取 3 条棱,它们两两异面的概率为
.
解答
正方体 12 条棱共有 3 种方向 (左右,上下,前后),每种方向对应 4 条棱.
=
a
+
b
⇒
b
=
−2a,
22
于是 f (x) = x2 + ax − 2a ⇒ f (2) = 4 + 2a − 2a = 4.