“abc猜想”讲义(十六)

“abc 猜想”讲义（十六）第十六讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中④的情形我们分成（a ）和（b）两种情形,（a ）的情形又分成（1）和（2）两种情形，这一讲我们讲解（a ）中的（1）和（2）这两种情形。

对于（b）的情形，因为（a ）的情形与（b）的情形可互换，所以同理可得出与（a ）的情形同样的结论。

（四）对于④，rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。

那么rad（g ）和rad（m ）均是可变的；因为m+g=n ，在此情形下，当正整数n 不断增大时，正整数m 和g 不可能同时连续不断地减小，那么正整数m 和g 中至少有一个正整数总趋势也是不断增大。

则有如下情形：（a ）因为rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。

对于m+g=v p ，或者m+g=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1。

m 和g 可互换，令m ＞g 。

（1）c=n=v p 时，正整数p （p ＞1）为常数，v 为不小于1的整数；因为m+g=n=v p ，在此情形下，当正整数n 不断增大时，那么正整数m 也不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，正整数m 趋向于正无穷大。

这种情形下，因为g P p v v-=1÷（1-v p g ），设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。

函数f（x ）=x 1的情形包含了v p g的情形。

函数f （x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f （x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f（x ）在xϵ[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。

使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤ψ（x）≤L 恒成立。

因为函数f （x ）=x 1的情形包含了v p g 的情形，那么在v p g 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤v p g≤L 恒成立。

故由此可知，这种情形下，不管m 和v p 以及g 如何变化，不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad（m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。

对于m 和rad（m ），因为m=v p -g ，在m ＞g 的情形下，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，这种情形下，不可能存在这样的情形：即1u p =q+d ，2u p =e+g ，u 1≠u 2，使得rad（q ）=rad（e ）和rad（d ）=rad（g ）或者rad（q ）=rad（g ）和rad（d ）=rad（e ）。

设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(m rad m 的情形，同时也包含了)(g p rad g p v v--的情形。

由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。

即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。

因为函数ψ（x）的情形包含了m ÷rad（m ）的情形，那么在m 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤m ÷rad（m ）≤G 恒成立。

因为m=rad （m ）·H，H∈N，那么F ≤H≤G 恒成立。

又因为不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad （m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。

所以这种情形下，不管m 和v p 以及g 如何变化，则有不等式)1(1E G -≤v p ÷rad （m ）≤)1(1L F -恒成立。

因为rad （n ）≥1，rad （g ）≥1，那么这种情形下，不等式)1(1L F -·rad （n ）·rad （m ）·rad（g ）≥v p 恒成立。

（2）c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数，11g ，12g ，13g ，…，e g 1为两两互不相同且恒定不变的素数，1v ，2v ，3v ，…，e v 非全相等。

现在设x+y=111z g ·212z g ·313z g ·…·e z e g 1；x ，y ，1z ，2z ，3z ，…，e z 均为不小1的实数，1z ，2z ，3z ，…，e z 非全相等，令x ＞y ≥1。

则1＜（111z g ·212z g ·313z g ·…·e z e g 1）÷x ≤2。

因为m+g=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，在此情形下，当正整数n 不断增大时，那么正整数m 也不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，正整数m 趋向于正无穷大。

这种情形下，因为（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1-g ）=1÷[1-g ÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）]，设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。

函数f（x ）=x 1的情形包含了g ÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e ve g 1）的情形。

函数f（x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f（x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f （x ）在xϵ[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。

使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤ψ（x）≤L 恒成立。

因为函数f（x ）=x 1的情形包含了g ÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）的情形，那么在g ÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤g ÷（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）≤L 恒成立。

故由此可知，这种情形下，不管m 和111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1以及g 如何变化，不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad（m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。

对于m 和rad（m ），因为m=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1-g ，在m ＞g 的情形下，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，这种情形下，不可能存在这样的情形：即111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=p+d ，1111h q ·1212h q ·1313h q ·…·s h s q 11=e+g ，h 1≠h 11或h 2≠h 12或h 3≠h 13或…或h s ≠h 1s ，使得rad（p ）=rad（e ）和rad（d ）=rad（g ）或者rad（p ）=rad（g ）和rad （d ）=rad （e ）。

设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(m rad m 的情形，同时也包含了)(13132121111313212111g g g g g rad gg g g g e v e v v v e v e v v v -∙∙∙∙-∙∙∙∙ 的情形。

由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。

即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。

因为函数ψ（x）的情形包含了m ÷rad（m ）的情形，那么在g 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤m ÷rad（m ）≤G 恒成立。

因为m=rad（m ）·H，H∈N，那么F ≤H≤G 恒成立。

又因为不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad （m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。

所以这种情形下，不管m 和111v g ·212v g ·313v g ·…·e ve g 1以及g 如何变化，则有不等式)1(1E G -≤（111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1）÷rad（m ）≤)1(1L F -恒成立。

因为rad （n ）≥1，rad （g ）≥1，那么这种情形下，不等式)1(1L F -·rad （n ）·rad （m ）·rad（g ）≥111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1恒成立。