巧解中国古代数学问题
中国古代数学文献中的数列问题
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道 ：衰分 章 ３问， 输 章 ３ ， 不 足 章 ２ 均 问 盈 问．均
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星共行度数 的方法是： “ 所 求 日（） 置 礼 减一 ， 每 日差 （） 次 ｄ 乘之 ， 而 二
一
来， 数列的各项就是 比例 中的相应项．如 《 九章 算术》 衰分章第 １ 问：“ 今有大 夫、不更、簪裹、 上造、公士， 凡五人， 共猎得五鹿．欲以爵次 分
之， 问各 得 几 何？” 即按 爵次 不 同 以 ５： ： ： ４ ３ ２：
铜 环 权，其 重 量 大致 郜 按 等 差 或 等 比数 列 配 嚣 ， 如长 沙近 郊 出土 的 １ 枚 战 国 时期 楚 国 “ 益” ０ 钧 铜 环权 ， 重 量 分 别为 １ 、 铢 、 铢 、 铢 、 ２ 、 其 铢 ２ ３ ６ １铢 １ ２ ４两、 两、 两、 ８两、 斤 ．《 子 ・ 下篇 》中 引 １ 庄 天
中国古代数学几何问题拾趣
中国古代数学几何问题拾趣1 序言中国古代数学著作中有很多有研究价值的几何问题，如：“存在正方形”、“勾股测量”、“割圆术”、“出入相补原理”等等.由此可以看出，我国在几何学的发展并不落后于西方，在某些方面我国甚至领先于西方.某些问题已经引起国内外几何学家的关注，这些问题对世界数学的发展起了巨大的推动作用，开辟了几何学的许多新领域，最具代表性的要属我国古代的测量几何学.虽然今天的科学技术已经非常先进,但研究这些问题仍然十分重要.目前我国很多数学家在从事中国古代测量几何学的研究，他们整理了大量有趣的古代测量问题，并对这些问题做了系统分析，取得了许多新的理论成果，为测量几何学的发展做出了新贡献.2 背景介绍2.1 理论背景近年来，国内外数学史学家在整理我国古代数学方面的历史资料时，发现了我国古代在几何学方面的许多辉煌成果，这些辉煌成果令数学史学家很吃惊.特别是我国古代数学家对测量几何学的研究，可谓是独具特色.他们通过整理、研究、分析、总结这些成果，给世人呈现了中国古代数学在几何学方面的成就,也使世人不得不承认中国古代几何问题的研究为世界几何学发展做出了巨大的贡献.中国古代这些典型的几何问题非常适合作为现代教学材料，现代中学教材中有很多题目都是由这些著作中的题目改编而来的.这是因为这些题目对开发当代学生的智力非常实用，研究它们既能培养学生良好的思维习惯，又能提高分析问题、解决问题的能力，这种观点在国际上已经得到认可.2.2 历史背景测量问题历史悠久，我国古代数学名著《九章算术》中已经有很多相关问题的记载，这些问题都来自于社会生产实践，比如：种田、挖井、开山等.魏晋时期数学家刘徽发展了测量学，他在为《九章算术》作注时不仅总结了其中有关测量学方面的优秀成果，还专门写了论述测量问题的《重差》一卷，附在《九章算术》之末，后来《重差》一卷改为单行本，就是有名的数学著作《海岛算经》[]1()9068-P .在本书中共列有九个测量的问题，其中有二次测望，三次测望，四次测望的问题[]2()498479-P .3 所选测量问题的总体介绍我国古代有许多伟大的建筑工程，如万里长城、大运河等这些巨大的工程在施工时都要用到各种测量计算方法.我国古代数学名著《周髀算经》中记载了公元前1000年左右，西周开国时期，周公和商高讨论用矩测量的问题，另外此书中还详细记载了测量太阳高度的问题，并且给出了太阳高度公式[]3()493484-P .由此可见，测量学在我国有着悠久的发展历史，研究的内容也非常丰富,很多问题的提出方式和解决方法到现在仍然有不可估量的研究价值,这些问题的解决过程不仅为实际应用提供了算法和公式，而且具有独特的发现问题视角和严谨的逻辑论证思想,从一定程度说是这些为我国古代测量学奠定了基础.最具代表性的是我国古代数学名著《九章算术》（成书大约在公元50年到100年之间）和《海岛算经》[]1()9068-P .前者记载了各种各样的测量问题，其勾股章中的测量问题更具有独特的创新性和极富想象力的解决方法.比如:测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题等.后者记载了九个巧用勾股比例进行地面测量的几何问题，并且通过相似三角形结合勾股比例创造了“重差术”，解决了所提出的问题.4 《九章算术》中的测量问题《九章算术》中有很多测量问题，古代数学家在解决这类问题时已经在不少地方用到了相似形的知识. “勾股章”应用最多，从第十七题到二十四题都是测量问题，其中包括测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题.这些问题的解法都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理，古代数学家称这种方法为“旁要术” .4.1《九章算术》勾股章中的测量问题举例4.1.1 测井深《九章算术》勾股章中的第二十四题原文[]4()342340-P ：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？答曰 五丈七尺五寸.原文解法 置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实.以入径四寸为法.实如法得一寸.今译 如图1所示，已知有一口井，井口直径为5尺，立一根5尺的木杆AB 于井边上，从木杆顶A 正好可望见井内水面边缘，视线AF 与井口BE 交于D ，寸4=DB .问井口至水面的深度是多少？这个问题现在一看图便很容易解决.解 寸尺505==AB ,寸尺505==EB ,寸4=DB ,)(46450寸=-=-=DB EB ED57545046=⨯=⋅=DB AB ED EF (寸)2157=(尺) 但在2000年以前能够发现这个道理，却不是那么容易的事.4.1.2 测人与树之间的距离《九章算术》勾股章中的第二十二题原文[]4()342340-P ：有木去人不知远近.立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直.从后右表望之，入前右表三寸，问木去人几何？答曰 三十三丈三尺三寸少半寸.原文解法 令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一.今译 已知有目标P 如图2，人在B 处，要测量BP 距离，则立标杆A 、B 、C 、D 成正方形，边长一丈，CP 交AD 于E ，3=DE 寸.问BP 的距离是多少？解 如图2，设BP 为x ，PBC Rt ∆～CDE Rt ∆，x :100100:3= 解得寸尺丈寸313333313333==x答 人与木标相距丈33尺3寸313.4.1.3 测山高《九章算术》勾股章中的第二十三题原文[]4()342340-P ： 有山居木西，不知其高.山去木五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺，问山高几何？答曰 一百六十四丈九尺六寸太半寸.术曰 置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实，以人去木三里为法.实如法而一，所得，加木高即山高.今译 如图3,已知一座山在木标EC 西，山与木标的距离EF 53里，木标高9丈5尺.人NM 站在木标东3里，望木梢C 与山尖P 三点成一线，人眼以下高7=NM 尺.问山的高度是多少？解 设x PB =，7=NM 尺，53=EF 里，3=EN 里，尺丈59=CE ，尺步里18003001==， 因为MCA Rt ∆～MPB Rt ∆，所以BM x AM AC ::=.即)180********(:)18003(:)795(⨯+⨯=⨯-x 解得（尺）321642=x 寸尺丈（尺）尺尺32691643216497321642==+=PF .4.2 所选问题的分析总结测山高、测井深、测人与树之间的距离,可见这些问题都是从生活中提炼出来的,这些都是当时人们进行生产生活所面临的必须解决的问题.其解决方法虽然与今天有些不同，但所用知识却是一样的.从这些例题及其解决方法可以看到当时人们已经掌握了这类问题的解决方法，对此类问题的认识已经相当深刻.这就为我国测量几何学的发展奠定了基础[]5()84-P .4.3 测量问题在现代数学中的拓展4.3.1 例题如图4所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且PQ AB //，建筑物的一端DE 所在的直线AB MN ⊥于点M ，交PQ 于点N .小亮从胜利街的A 处沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.（1）请你在图4中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C 表示）；（2）已知：,24,8,20m PN m MD m MN ===求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM . 解 （1）如图5所示，CP 为视线，点C 为所求位置.（2）因为PQ AB //，AB MN ⊥于M ，又因为ο90=∠=∠PND CDM PDN CDM ∠=∠所以CDM ∆～PDN ∆,即ND MD PN CM = 因为m MD m MN 8,20==,所以m ND 12=，即12824=CM 所以m CM 16=，点C 到胜利街口的距离CM 为m 16.4.3.2 例题分析这个题目是由已知点确定未知点，然后再求指定距离.题目要求先画出小亮恰好能看见小明时的视线所在点，然后再求此点到胜利街口的距离，通过相似直角三角形的知识非常方便的就能解决.这个问题和上面所提《九章算术》中的测井深问题有很多相似的地方，通过比较古今解决同类问题的方法，可以看出古代虽然没有提及相似三角形的概念，但是已经用到了相似三角形的性质.5 刘徽对测量问题的进一步研究我国魏晋时代测量学得到了进一步发展,这个时代著名的数学家刘徽在研究测量问题时,发现如果不知道目的物的远近，要测量它的高，就必须两次“偃矩”测望；要测量它的深，就必须两次“覆矩”测望；要测量两个目的物之间的距离，也必须两次“卧矩”测望.他把这种测量方法叫作“重差术”，即二重差分析，也都是利用相似直角三角形的性质.在他的数学名著《海岛算经》中以文字形式给出了两个公式,“以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.” []6()180162-P 这里“表”指木杆，“却行”指人后退的距离.刘徽从理论上由一次测望的简单问题发展到利用四对相似的勾股形连续进行多次测望的复杂问题.这样即使对于复杂的地形，也能设计其测量方案.他除了利用相似直角三角形性质外，还用到了相似斜三角形对应边成比例的性质.5.1《海岛算经》中的二重差问题《海岛算经》第一题的原文[]4()345343-P ：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步.令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合,问岛高及去表各几何？答曰 岛高四里五十五步,去表一百二里一百五十步.求曰 以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.今译 如图6所示， 望见有一个海岛，不知道它的高度和他的远近.立下两个标竿，图中,,EK AG 竿的高度都是丈）尺3(h ，两杆之间的距离是步)1000(d ，并且使两个标竿和海岛的位置在一条线上.从前面标竿后退步)123(a ，人目落地观测得竿的顶端和海岛的顶端在一条线上.再从后面的标竿退后步)127(b ，以目落地，也可以观测到竿顶和山顶在一条线上.问：海岛的高以及岛和前一标竿之间的距离各是多少？5.2 原文中的解决方法分析[]4()345343-P原文解法如下：“以表高)(h 乘表间)(d 为实（分子），相多b a -为法（分母），除之，所得加表高，即得岛高。
巧解民间数学趣题注释中国古代名题
巧解民间数学趣题注释我国古代名题我国古代的数学发展源远流长，古代的数学家们在没有现代科学技术的条件下，通过丰富的数学想象力和智慧，创造了许多深奥的数学问题和趣题。
这些数学趣题不仅在当时引起了广泛的兴趣，也成为了后人学习数学的重要教材和实践工具。
通过巧解这些民间数学趣题，我们可以更加深入地了解我国古代数学的独特魅力，以及古代数学家们的智慧和成就。
1. 历史悠久的民间数学趣题我国古代的民间数学趣题源远流长，从《周髀算经》中的古代数学题，到后来的《孙子算经》、《张丘建算经》等著名数学著作，古代数学趣题一直以其丰富多样、富有创意的特点吸引着学者和爱好者的兴趣。
这些数学趣题往往以平实的语言和直观的例子，引导人们去思考数学问题，培养了人们的逻辑思维和数学素养。
2. 我国古代名题的特点与魅力我国古代名题以其深刻的数学内涵和独特的解题思路而著称，例如《海岛数目问题》、《走马问题》等。
这些名题在解题过程中需要深入分析，运用数学方法和技巧，展现了古代数学家们的智慧和创造力。
通过巧解这些名题，我们可以感受到其中蕴含的数学之美，体验古人对数学的热爱和探索精神。
3. 从民间数学趣题到古代名题的延伸与升华民间数学趣题往往源自于人们日常生活和实际需求，通过民间的智慧和创造，衍生出了许多有趣的数学问题。
这些民间数学趣题后来被古代数学家们加以提炼和升华，成为了著名的古代数学名题。
这种民间数学趣题到名题的延伸与升华，不仅丰富了古代数学的理论体系，也深化了人们对数学的理解和研究。
4. 个人观点与理解在我看来，巧解民间数学趣题注释我国古代名题不仅是一种学习和研究数学的方式，更是一种感受和体验我国古代数学文化的良好途径。
通过巧解这些趣题和名题，我们能够更好地理解古代数学家们的智慧和贡献，感受数学之美，激发学习数学的兴趣和热情。
总结与回顾通过巧解民间数学趣题注释我国古代名题，我们不仅可以体验数学的乐趣，也可以感受古代数学的独特魅力。
这种方式不仅可以提高我们的数学水平，也可以让我们更加全面、深刻和灵活地理解古代数学文化的内涵与精髓。
“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，原题为“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何？常用“假设法”，一般通过五步完成：第一步：假设全部是鸡。
（假设全部是兔也可以）第二步：算出35只鸡的脚数。
35×2=70（条）第三步：算出脚的相差数。
94-70=24（条）第四步：算出兔的只数。
因为把一只兔看成一只鸡，少看了两条腿，所以24÷（4-2）=12（只），这就是兔的只数。
第五步：算出鸡的只数。
35-12=23（只）古今中外的许多数学家专门研究过该题，发表了很多“奇招怪招”，例举如下：“金鸡独立、兔子站起”——美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚对鸡兔同笼问题表现了极大的关注与兴趣。
他在其名著《数学的发现》中写道：“鸡兔同笼问题曾在好几个世纪里引起了人们的兴趣，今天它还会引起一些聪明小朋友的兴趣。
”他列举了鸡兔同笼问题的四种解法，并特别欣赏“金鸡独立、兔子站起”这一解法。
金鸡独立解法的思路是，如果笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地，那么这时，地上的脚比原先少了一半，只有47只，35个头。
为什么有47只脚在地上呢？一只鸡对着一只脚着地，而这时一只兔却对着两只脚着地。
每多一只脚，说明就有一只兔。
原来有（47–35=）12只兔，鸡就有（35–12=）23只了。
“把鸡翅也算成脚”——我国的数学家张景中院士对于鸡兔同笼问题的解法也很巧妙。
他假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚”，这样的话，35只头就一共有（4×35=）140只“脚”，可实际上只有94只脚，这说明140只“脚”中，除了真正的94只脚外，其余的（140–94=）46只是假脚，即实际上笼中共有鸡（46÷2=）23只，有兔（35–23=）12只。
“把兔‘劈开’，成两‘半兔’”——南京师范大学的单壿博士在他的《巧解应用题》这本书中，作出了一个有趣的假设，如果每只兔又长出一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”，这样总共的94只脚就应该有“半兔”与鸡共47只，这比实际的35只头多（47–35=）12只头，这多出的12只头就是笼中兔共长出来的头，因每一只兔多长了一个头，这样笼中共有兔12只，鸡就有（35–12=）23只。
中国古代数学名题
數學名題欣賞中国古代数学名题1、雞兔同籠：今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只腳。
雞兔各幾隻？想：假設把35只全看作雞，每只雞2只腳，共有70只腳。
比已知的總腳數94只少了24只，少的原因是把每只兔的腳少算了2只。
看看24只裏面少算了多少個2只，便可求出兔的只數，進而求出雞的只數。
解決這樣的問題，我國古代有人想出更特殊的假設方法。
假設一聲令下，籠子裏的雞都表演“金雞獨立”，兔子都表演“雙腿拱月”。
那麼雞和兔著地的腳數就是總腳數的一半，而頭數仍是35。
這時雞著地的腳數與頭數相等，每只兔著地的腳數比頭數多1，那麼雞兔著地的腳數與總頭數的差等於兔的頭數。
我國古代名著《孫子算經》對這種解法就有記載：“上署頭，下置足。
半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
”具體解法：兔的只數是94÷2-35=12（只），雞的只數是35-12= 23（只）。
2.韓信點兵：今有物，不知其數。
三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。
問物幾何？這是我國古代名著《孫子算經》中的一道題。
意思是：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2。
求適合這些條件的最小自然數。
想：此題可用枚舉法進行推算。
先順序排出適合其中兩個條件的數，再在其中選擇適合另一個條件的數。
3.三階幻方：把1—9這九個自然數填在九空格裏，使橫、豎和對角線上三個數的和都等於15。
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。
這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。
先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格裏已不可再填奇數，不行。
若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。
因此，判定四個角上必須填兩對偶數。
對角線上的數填好後，其餘格裏再填奇數就很容易了。
4.兔子問題：十三世紀，義大利數學家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對大兔每月生一對小兔，而每對小兔生長一個月就成為大兔，並且所有的兔子全部存活，那麼有人養了初生的一對小兔，一年後共有多少對兔子？想：第一個月初，有1對兔子；第二個月初，仍有一對兔子；第三個月初，有2對兔子；第四個月初，有3對兔子；第五個月初，有5對兔子；第六個月初，有8對兔子……。
古代趣味数学
篇一：中国古代的趣味数学中国古代的趣味数学——简析几个典型的古代数学问题夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。
数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。
中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。
其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。
1. 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。
它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。
可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。
所以有鸡35-12=23（只）。
解：假设全是鸡： 35×2=70（只）比总脚数少：94-70=24（只）它们脚数的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：设兔有x只，则鸡有35-x只。
4x+2（35-x）=94 2x=24x=1235-12=23（只）故：有鸡23只，兔12只。
除此之外还有解法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6解法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数一个简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？2.百鸡问题百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。
张丘建算经题目
张丘建算经题目全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张丘建（约生活于公元5世纪至6世纪初），字子思，世称“算经神童”，是中国古代的著名数学家、算学家。
他以其在算学方面的杰出贡献而被后人尊为算学宗师。
张丘建撰写了一部名为《算经》的著作，其中包含了大量的算术题目，被誉为古代算学之瑰宝。
《算经》是中国古代数学著作中的珍品，内容丰富多样，包含了各种各样的算术题目。
这些题目不仅考验了学生的计算能力，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
下面我们来看一些张丘建算经题目的例子：1. 铁杵成针问题张丘建的《算经》中有一道著名的题目是“铁杵成针”。
问题是这样的：有一根10丈长的铁杵，如果我每天都削去其一半的长度，问经过多少天，这根铁杵会变成一根针？这道题目看起来似乎有些不可思议，但是通过数学方法可以解决。
假设第一天削去了铁杵的一半长度，剩下5丈。
第二天再削去一半，剩下2.5丈。
依此类推，第n天削去的长度为10*(1/2)^n。
当削去的长度小于1尺时，铁杵就会成为一根针。
通过计算可以得出答案，经过9天，铁杵就会变成一根针。
2. 分糖果问题另外一道经典的算经题目是“分糖果”。
问题是这样的：有3个人，A、B、C，他们有27颗糖果。
A先拿了1颗糖果，B再拿了2颗，C最后拿了3颗。
按照这个规则，接下来每个人都要拿1颗、2颗、3颗交替拿糖果。
问最后三个人各拿了多少颗糖果？这个题目看似简单，但是需要一定的逻辑思维能力。
首先可以通过列方程的方式解决这个问题：设A、B、C依次拿了x、y、z颗糖果。
由题意可知，x+y+z=27；x+y=26；y+z=25。
解这个方程组，可以得出答案，A拿了9颗、B拿了8颗、C拿了10颗。
这些还只是《算经》中众多的算术题目中的两个例子，张丘建在《算经》中还包含了很多关于数学原理和应用的问题，如最大公约数、最小公倍数、分数等等。
这些题目不仅对于当时数学领域的发展有着巨大意义，同时也可以帮助现代学生提高数学素养和解决问题的能力。
鸡兔同笼问题
“鸡兔同笼”问题一、巧用假设法“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的名题，多年来人们研究出了很多有趣的解法。
这里主要介绍一种常用的方法：假设法。
例1．鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各有几只？分析与解：本题的意思是鸡和兔一共46只，脚一共有128只，问题是鸡兔各有多少只？设46只都是兔，一共应有4×46=184（只）脚，这和已知的128只脚相比多了184－128=56（只）脚，之所以多56只脚，是因为把鸡都看成了兔，即每只鸡被多算了4－2=2（只）脚，多的56只脚里有多少个2只脚，就有多少只鸡，显然，56÷2=28（只），因此假设成了兔子的鸡有28只，鸡的只数是28，兔的只数就是46－28=18（只）。
解：（1）鸡有多少只？（4×46－128）÷（4－2）=（184－128）÷2=56÷2=28（只）（2）兔有多少只？46－28=18（只）答：鸡有28只，兔有18只。
解鸡兔同笼的基本数量关系是：鸡数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数－鸡数例2．笼子里有鸡和兔共10只，一共有36只脚。
问鸡和兔各有多少只？1.可以这样想：先假设笼子里全部是鸡，那么，一共有（20）只脚，比实际脚的总只数少（16）只，这是因为把一只兔当成鸡后，少算了（2）只脚，由“一共少的脚的只数÷每只兔少算得脚的只数”可以算出（兔子）的数量是（8）只。
2．也可以这样想：先假设笼子里全部兔，一共有（40）只脚，比实际脚的总数多（4）只，这是因为把鸡当成兔子后，每只鸡多算了（2）只脚，由“一共多的脚的只数÷每只鸡多算的脚的只数”可以算出（鸡）的总量是2只。
3．还可以这样想：设有x只兔子，那么鸡就就有（10－x）只，根据共有36只脚可以列出方程：〖4x ＋2（10－x）〗=36.二、数形结合妙解题题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问有雉兔各几何？”把这道题翻译成现代数学语言就是：现在有一笼鸡和兔，鸡头和兔头共有35个，鸡脚和兔脚共94只，问鸡兔各有多少只？解这类题的基本方法是假设法，但又难以理解。
巧解民间数学趣题注释中国古代名题
巧解民间数学趣题注释中国古代名题
巧解民间数学趣题注释中国古代名题是指在中国古代流传下来的一些有趣的数学题目，这些题目多以民间的形式存在，并且具有一定的知名度。
下面是一些中国古代名题的注释：
1. 百鸡问题：古代一位数学家提出了“百鸡问题”，即用100文钱买100只鸡，公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只1文钱，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？这个问题是一个著名的线性方程问题，可以用代数的方法解答。
2. 田忌赛马：这是一个古代的竞赛问题，讲述了田忌与王良进行马赛的故事。
田忌的马分为上中下三等，王良的马都是中等马，王良提出了几次策略，让田忌赢得比赛。
这个问题可以通过比较马匹的优势和劣势，并选择合适的策略来解决。
3. 鸡兔同笼：这是一个古代的动物问题，描述了一只笼子里关了若干只鸡和兔子，头数共计74个，脚数共计214只。
问笼中有几只鸡和兔子？这个问题可以通过设变量、列方程的方法求解。
4. 古代数学名题《海岛求恨本寓言图》：这是一种数学谜题，通过一幅图案来描述一个故事，要求按照图案中的要求解答问题。
这个题目需要观察图案，推理题目的意义，并给出答案。
这些中国古代名题都是以日常生活中的实际问题为背景，通过数学的方法解决，不仅考验了思维能力，还培养了人们的逻辑
思维能力和数学技巧。
这些问题也一直在民间广泛传播，成为经典的数学问题之一。
中国古代方程的有趣故事
中国古代方程的有趣故事在中国古代，方程是一个重要的数学问题。
虽然与现代的高等数学相比，古代的方程求解方法显得有些简陋，但是中国古代数学家们通过各种巧妙的思路和方法，解决了许多有趣的方程问题。
本文将介绍一些中国古代方程的有趣故事。
一. 古代巧妙解方程1. 割尺法解孙子定理方程孙子定理是中国古代解方程的经典方法之一。
它使用割尺法，通过画图和几何推理来求解方程。
这个方法以孙子命名，因为他在《孙子算经》一书中提到了这个方法。
孙子定理的一个有趣例子是求解“勾股数”的问题。
勾股数是指三个正整数a、b、c满足a² + b² = c²的数。
古代数学家通过割尺法发现了一些勾股数的特殊解，如(3,4,5)和(5,12,13)等。
这些解在很长一段时间内被广泛使用。
2. 陈九思法解不定方程陈九思是中国古代数学家陈景元的别名。
他提出了一种巧妙的方法来解决一类不定方程问题，被后人称为陈九思法。
陈九思法的关键思想是“取余式”和“求解式”。
通过巧妙的变换和观察，他将复杂的不定方程转化为简单的方程或同余方程，然后再求解得到结果。
这种方法在解决一些数学问题时非常有效，被广泛应用。
陈九思法让数学家们在解决问题时有了新的思路和工具，对古代方程学的发展起到了重要作用。
二. 古代方程故事的启示中国古代方程的有趣故事不仅给我们带来了快乐，还启示我们在解决问题时要注重巧妙的思路和创造性的方法。
古代数学家们虽然没有现代计算机和高级数学工具，但他们凭借智慧和勤奋，不断探索，创造出了许多独特的解题方法。
这些故事告诉我们，数学的美妙和魅力在于它的复杂性和多样性。
解决方程不仅需要严谨的逻辑思维，更需要灵活的动手能力和创造性的思维方式。
古代方程的故事还给我们带来了对数学智慧的深刻理解。
在解决问题时，我们应该注重整体思考和灵活运用各种数学方法。
只有通过不断学习和实践，我们才能更好地理解数学的奥秘，提高解题的能力。
三. 总结中国古代方程的有趣故事丰富了历史中的数学文化，展示了古代数学家们的智慧和创造力。
中国古代数学几何问题拾趣
中国古代数学几何问题拾趣1 序言中国古代数学著作中有很多有研究价值的几何问题， 如：“存在正方形” 、“勾股测量” 、“割圆术”、“出入相补原理”等等 . 由此可以看出，我国在几何学的发展并不落后于西方，在某些方面我国甚至 领先于西方 . 某些问题已经引起国内外几何学家的关注， 这些问题对世界数学的发展起了巨大的推动 作用，开辟了几何学的许多新领域， 最具代表性的要属我国古代的测量几何学 . 虽然今天的科学技术 已经非常先进 ,但研究这些问题仍然十分重要 . 目前我国很多数学家在从事中国古代测量几何学的研 究，他们整理了大量有趣的古代测量问题，并对这些问题做了系统分析，取得了许多新的理论成果， 为测量几何学的发展做出了新贡献 .2 背景介绍2.1 理论背景 近年来，国内外数学史学家在整理我国古代数学方面的历史资料时，发现了我国古代在几何学 方面的许多辉煌成果， 这些辉煌成果令数学史学家很吃惊 . 特别是我国古代数学家对测量几何学的研 究，可谓是独具特色 . 他们通过整理、研究、分析、总结这些成果，给世人呈现了中国古代数学在几 何学方面的成就 , 也使世人不得不承认中国古代几何问题的研究为世界几何学发展做出了巨大的贡 献.中国古代这些典型的几何问题非常适合作为现代教学材料，现代中学教材中有很多题目都是由 这些著作中的题目改编而来的 . 这是因为这些题目对开发当代学生的智力非常实用， 研究它们既能培 养学生良好的思维习惯，又能提高分析问题、解决问题的能力，这种观点在国际上已经得到认可 .2.2 历史背景 测量问题历史悠久，我国古代数学名著《九章算术》中已经有很多相关问题的记载，这些问题 都来自于社会生产实践， 比如：种田、挖井、开山等 . 魏晋时期数学家刘徽发展了测量学， 他在为《九 章算术》作注时不仅总结了其中有关测量学方面的优秀成果，还专门写了论述测量问题的《重差》在本书中共列有九个测量的问题，其中有二次测望，三次测望，四次测望的问题3 所选测量问题的总体介绍我国古代有许多伟大的建筑工程，如万里长城、大运河等这些巨大的工程在施工时都要用到各 种测量计算方法 . 我国古代数学名著《周髀算经》中记载了公元前卷，附在《九章算术》 之末，后来《重差》 卷改为单行本， 就是有名的数学著作 《海岛算经》P68 902 P479 4981000 年左右，西周开国时期，周公和商高讨论用矩测量的问题，另外此书中还详细记载了测量太阳高度的问题，并且给出了太阳高度公式 3 P484 493 .由此可见，测量学在我国有着悠久的发展历史，研究的内容也非常丰富,很多问题的提出方式和解决方法到现在仍然有不可估量的研究价值, 这些问题的解决过程不仅为实际应用提供了算法和公式，而且具有独特的发现问题视角和严谨的逻辑论证思想, 从一定程度说是这些为我国古代测量学奠定了基础. 最具代表性的是我国古代数学名著《九章算术》（成书大约在公元50 年到100 年之间）和《海岛算经》 1 P68 90 . 前者记载了各种各样的测量问题，其勾股章中的测量问题更具有独特的创新性和极富想象力的解决方法.比如:测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题等. 后者记载了九个巧用勾股比例进行地面测量的几何问题，并且通过相似三角形结合勾股比例创造了“重差术” ，解决了所提出的问题.4 《九章算术》中的测量问题《九章算术》中有很多测量问题，古代数学家在解决这类问题时已经在不少地方用到了相似形的知识. “勾股章”应用最多，从第十七题到二十四题都是测量问题，其中包括测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题. 这些问题的解法都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理，古代数学家称这种方法为“旁要术” .4.1 《九章算术》勾股章中的测量问题举例4.1.1 测井深《九章算术》勾股章中的第二十四题原文 4 P340 342：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？答曰五丈七尺五寸.原文解法置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实. 以入径四寸为法. 实如法得一寸.今译如图 1 所示，已知有一口井，井口直径为5尺，立一根5尺的木杆AB 于井边上，从木杆顶A 正好可望见井内水面边缘，视线AF 与井口BE 交于D ，DB 4寸. 问井口至水面的深度是多少？这个问题现在一看图便很容易解决.解AB 5尺50寸, EB 5尺50寸, DB 4寸, ED EB DB 50 4 46（寸）ED AB 46 50 1EF 575（寸）57 （尺）DB 4 2但在2000 年以前能够发现这个道理，却不是那么容易的事.4.1.2 测人与树之间的距离《九章算术》勾股章中的第二十二题原文 4 P340 342：有木去人不知远近. 立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直. 从后右表望之，入前右表三寸，问木去人几何？答曰三十三丈三尺三寸少半寸.原文解法令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一.今译已知有目标P 如图2，人在B处，要测量BP距离，则立标杆A、B、C、D 成正方形，边长一丈，CP交AD于E，DE 3寸.问BP的距离是多少？解如图2，设BP为x，Rt PBC～Rt CDE ，3 :100 100:x11解得x 3333 寸33丈3尺 3 寸331答人与木标相距33丈3尺31寸.34.1.3 测山高《九章算术》勾股章中的第二十三题原文 4 P340 342：有山居木西，不知其高. 山去木五十三里，木高九丈五尺. 人立木东三里，望木末适与山峰斜平. 人目高七尺，问山高几何？答曰一百六十四丈九尺六寸太半寸.术曰置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实，以人去木三里为法. 实如法而一，所得，加木高即山高.今译如图3,已知一座山在木标EC西，山与木标的距离EF 53里，木标高9丈5尺.人NM 站在木标东3里，望木梢C 与山尖P三点成一线，人眼以下高NM 7尺.问山的高度是多少？解设PB x ，NM 7 尺，EF 53里，EN 3里，CE 9丈5尺，1里300步1800尺，所以AC :AM x:BM即(95 7):(3 1800)x:(53 1800 3 1800)2解得x 1642 2(尺)32PF 1642 尺7尺34.2 所选问题的分析总结, 可见这些问题都是从生活中提炼出来的, 这些都是当时的. 从这些例题及其解决方法可以看到当时人们已经掌握了这类问题的解决方法，已经相当深刻.这就为我国测量几何学的发展奠定了基础 5 P4 84.3 测量问题在现代数学中的拓展4.3.1 例题如图4所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且AB // PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN AB于点M ，交PQ于点N .小亮从胜利街的A处沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.人们进行生产生活所面临的必须解决的问题. 其解决方法虽然与今天有些不同，但所用知识却是一样因为Rt MCA Rt MPB ，221649 (尺) 164丈9尺6 寸.33测山高、测井深、测人与树之间的距离对此类问题的认识1）请你在图 4 中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C 表示）；（2）已知：MN 20m, MD 8m,PN 24m,求（1）中的点C到胜利街口的距离CM . 解（1）如图5所示，CP 为视线，点C为所求位置.（2）因为AB // PQ ，MN AB于M ，又因为CDM PND 90 CDM PDN所以CDM ～PDN,即CM MDPN NDCM 8因为MN 20m, MD 8m,所以ND 12m，即24 12所以CM 16m，点C 到胜利街口的距离CM 为16m.4.3.2 例题分析这个题目是由已知点确定未知点，然后再求指定距离. 题目要求先画出小亮恰好能看见小明时的视线所在点，然后再求此点到胜利街口的距离，通过相似直角三角形的知识非常方便的就能解决. 这个问题和上面所提《九章算术》中的测井深问题有很多相似的地方，通过比较古今解决同类问题的方法，可以看出古代虽然没有提及相似三角形的概念，但是已经用到了相似三角形的性质.5 刘徽对测量问题的进一步研究我国魏晋时代测量学得到了进一步发展,这个时代著名的数学家刘徽在研究测量问题时, 发现如果不知道目的物的远近，要测量它的高，就必须两次“偃矩”测望；要测量它的深，就必须两次“覆矩”测望；要测量两个目的物之间的距离，也必须两次“卧矩”测望. 他把这种测量方法叫作“重差术”，即二重差分析，也都是利用相似直角三角形的性质. 在他的数学名著《海岛算经》中以文字形式给出了两个公式, “以表高乘表间为实. 相多为法，除之, 所得加表高，即为岛高; 求前表去岛远近行”指人后退的距离 . 刘徽从理论上由一次测望的简单问题发展到利用四对相似的勾股形连续进行多 次测望的复杂问题 . 这样即使对于复杂的地形，也能设计其测量方案 . 他除了利用相似直角三角形性 质外，还用到了相似斜三角形对应边成比例的性质 .5.1 《海岛算经》中的二重差问题《海岛算经》第一题的原文 4 P343 345 ：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步 . 令后表与前表参相直 .从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合 . 从后表却行一百二十七 步,人目著地取望岛峰 ,亦与表末参合 , 问岛高及去表各几何？答曰 岛高四里五十五步 , 去表一百二里一百五十步 .求曰 以表高乘表间为实 . 相多为法，除之 , 所得加表高，即为岛高 ; 求前表去岛远近者，以前表 却行乘表间为实 . 相多为法，除之，得岛去表里数 .今译 如图 6 所示， 望见有一个海岛，不知道它的高度和他的远近 . 立下两个标竿，图中AG ,EK ,竿的高度都是 h(3丈)尺 ，两杆之间的距离是 d (1000)步 ，并且使两个标竿和海岛的位置 在一条线上 . 从前面标竿后退 a(123)步，人目落地观测得竿的顶端和海岛的顶端在一条线上 .再从后面的标竿退后 b(127)步 ，以目落地，也可以观测到竿顶和山顶在一条线上 . 问：海岛的高以及岛和 前一标竿之间的距离各是多少？原文解法如下：者，以前表却行乘表间为实 . 相多为法，除之，得岛去表里数 6 P162 180这里“表”指木杆， “却5.2 原文中的解决方法分析4 P343 345以表高 (h)乘表间 (d)为实(分子)，相多 a b 为法(分母)，除之，所得加表高， 即得岛高。
巧解海伦公式
海伦公式编辑海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。
目录1原理简介2证明过程证明⑴证明⑵证明⑶证明⑷3推广4应用证明推广5例题1原理简介中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：而公式里的p为半周长（周长的一半）：注1："Metrica"(《论》）手抄本中用s作为半周长，所以和两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
2证明过程证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]cosC = (a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。
古代趣味数学
篇一：中国古代的趣味数学中国古代的趣味数学——简析几个典型的古代数学问题夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。
数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。
中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。
其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。
1.鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。
它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。
可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。
所以有鸡35-12=23（只）。
解：假设全是鸡： 35×2=70（只）比总脚数少：94-70=24（只）脚数的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：设兔有x只，则鸡有35-x只。
4x+2（35-x）=942x=2 4x=1235-12=23（只）故：有鸡23只，兔12只。
除此之外还有解法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？2.百鸡问题百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。
历史谜题中的数学智慧
历史谜题中的数学智慧一、古代文明中的数学谜题（一）埃及金字塔的建造之谜埃及金字塔的建造之谜埃及金字塔，作为世界古代文明的璀璨瑰宝，其建造之谜一直以来都吸引着无数人的好奇心和探索欲望。
这些巨大而精确的建筑奇迹，矗立在尼罗河流域数千年，见证了古埃及人的智慧和创造力。
要深入探讨金字塔的建造之谜，首先需要了解古埃及的历史背景和社会结构。
古埃及是一个高度发达的文明，拥有强大的中央集权和丰富的宗教信仰。
法老被视为神的化身，他们的权力至高无上，金字塔正是法老们为自己在来世准备的永恒居所。
在没有现代工具和技术的情况下，古埃及人能够完成如此宏伟的工程，其建造方法和技术无疑是令人瞩目的。
据考古学家和学者的研究，古埃及人在测量方面展现出了非凡的智慧。
他们利用几何学知识，通过对影子长度和角度的精确观察，来计算金字塔的高度和底边长度。
这种测量方法虽然原始，但却非常有效，为金字塔的精确建造奠定了基础。
运输巨石是金字塔建造过程中的一个巨大挑战。
然而，古埃及人巧妙地运用了滑轮和斜坡等工具。
滑轮的发明和使用大大减轻了人力的负担，使得巨大的石块能够相对轻松地移动。
斜坡的设计则充分考虑了地形和力学原理，通过合理的坡度和支撑结构，确保石块能够顺利地被运输到指定位置。
这背后不仅体现了古埃及人对力学原理的深刻理解，更展示了他们在工程实践中的创新精神。
劳动力的组织和管理也是金字塔建造成功的关键因素之一。
古埃及人将工人分组，各司其职，有的负责开采石块，有的负责运输，有的负责加工和堆砌。
这种分工明确的组织方式，使得整个建造过程有条不紊地进行。
同时，为了激励工人的积极性，法老们可能会提供一定的奖励和保障，从而确保工程的顺利推进。
石块的加工和堆砌是金字塔建造中最为精细的环节之一。
每一块石块都需要经过精确的切割和打磨，以确保它们能够紧密地拼接在一起。
古埃及工匠们运用简单的工具，如铜凿和石锤，却能够创造出如此高精度的建筑作品，这不得不让人感叹他们高超的技艺。
巧解民间数学趣题注释中国古代名题
巧解民间数学趣题注释中国古代名题摘要：一、引言：介绍中国古代数学趣题的背景和意义二、中国古代著名数学趣题之一：百钱买鸡1.题目描述2.解题思路3.解答三、中国古代著名数学趣题之二：韩信点兵1.题目描述2.解题思路3.解答四、中国古代著名数学趣题之三：李白买酒1.题目描述2.解题思路3.解答五、中国古代著名数学趣题之四：两鼠穿墙1.题目描述2.解题思路3.解答六、结论：总结中国古代数学趣题的价值和启示正文：中国古代数学趣题是一种特殊的数学问题，它们通常源于生活实践，以生动、有趣的形式呈现。
这些题目虽然看似简单，但却蕴含了丰富的数学知识，既考验了人们的数学思维能力，也丰富了人们的文化生活。
在本文中，我们将介绍四个中国古代著名的数学趣题，并尝试用巧妙的方法来解决它们。
一、百钱买鸡这是一个经典的数学问题，题目描述如下：现在有一百钱，可以买一百只鸡，问鸡翁、鸡母和鸡雏各有多少只？解题思路：我们可以通过设变量的方法来解决这个问题。
设鸡翁为x 只，鸡母为y 只，鸡雏为z 只。
根据题意，我们可以列出以下方程组：x + y + z = 100 (1)x * 2 + y * 3 + z * 4 = 100 (2)其中，方程(1) 表示总共有100 只鸡，方程(2) 表示总共有100 块钱。
我们可以用消元法求解这个方程组，得到：x = 25, y = 25, z = 50因此，鸡翁、鸡母和鸡雏各有25 只、25 只和50 只。
二、韩信点兵这是一个关于数学余数的问题，题目描述如下：韩信练兵，每三人一列，余一人；每五人一列，余二人；每七人一列，余四人；十三人一列，余六人。
问多少士兵？解题思路：我们可以通过求解这个数学余数问题来得到士兵的数量。
设士兵数量为x，根据题意，我们可以列出以下方程：x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 4 (mod 7)x ≡ 6 (mod 13)其中，≡表示同余。
我们可以通过求解这个同余方程组来得到x 的值。
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列出的方程为 0.5x+1×（8-x）=6.5 。
甲、乙两人参加植树活 动，两人共植树20棵，已知 甲植树数是乙的1.5倍。如果 设甲植树x棵，那么可列方程 X = 1.5 × ( 20 – X ) 为___________________.
6、
寺庙朗朗，溪流畅畅，
龟 鹤共舞，4 0 头 扬，
鹤腿龟腿， 1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
由题意可=23
35 - x＝12 答：笼中有鸡23只，兔12只。
3、
《折绳测井》
以绳测井。若将绳三折测之，绳多四 尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？ 题 目 大 意 是 ：
用绳子测水井深度，如果将绳子折成 三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折 成四等份，井外余绳1尺。问绳长、井 深各是多少尺？
清明巡园，共坐八船， 大船满六，满四小船，
大船乘6人 小船乘4人
38 学子， 满船坐观。
请问客家，大小几船？
寺庙朗朗，溪流畅畅，
龟鹤共舞，4 0 头 扬，
鹤腿龟腿，1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
7、龟鹤共舞
解：设鹤有x只， 则龟有（40-x）只， 由题意得 2x+4（40-x）=112
8、清明巡园
谈谈收获
1：经过本节课的学习，你有那些收获？ 2：请谈谈列一元一次方程解实际问题的一般步骤.
答：（1）审； （2）设； （3）列； （4）解； （5）验； （6）答。
“ 一切问题都可以转化为数学问题，
一切数学问题都可以转化为代数问题，
而一切代数问题又都可以转化为方程问题，
因此，一旦解决了方程问题， 一切问题将迎刃而解! ”
让方
程思想
在祖国古老的数学文化中闪耀生辉
《周 髀 算 经》
《 九 章 算 术》
《孙 子 算 经》
《海 岛 算 经》
1、
《百僧百馒》
一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
意思是：
100个和尚分100个馒头， 大和尚 1人分 3个馒头， 小和尚 3人分 1个馒头。 大、小和尚各有多少人？
解：设大船有x只， 则小船有（8- x ）只， 由题意得 6x＋4 （8- x ）=38
清明巡园，共坐八船，
大船乘6人 小船乘4人
大船满六，满四小船，
38 学子， 满船坐观。
请问客家，大小几船？
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负, 每队胜一场得 2分,负一场得 1分. 某队为了争取较好名次,想在全部 16场比赛中得到28分,那么这个队胜 负场数分别是多少?
题 目 大 意 是 ：
一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？ 有多少客 ？”妇女答：“洗 65 只碗，客人 二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四 人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？”
反思
1、列一元一次方程解古算应用题， 第一步应该做什么？ 2、你能总结列一元一次方程解应用题 的一般步骤吗？
3、你认为列一元一次方程解应用题最 关键的一步是什么？
5、练习——快速反应：
（ 1）、甲数的2倍与乙数的3倍的和为15 ，
等量关系是为 2×甲数+3×乙数=15 。
（2）、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛 8 条腿，
现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，
若设蛐蛐有x只，则列出的方程
为
6x+8×（10-x）=68 。
（ 3）、小刚有5角硬币和一元硬币有8枚，
币值共有6元5角，设5角的有x枚，
3
折绳测井
以绳测井。若将绳三折测之，绳多四 尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？
题 目 大 意 是 ：
用绳子测水井深度，如果将绳子折成 三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折 成四等份，井外余绳1尺。问绳长、井 深各是多少尺？
等量关系：
1 绳长的 3 — 4 = 井深 1 绳长的 4 — 1 = 井深 解：设绳长x尺，则由题意得 x x — 4= — 1 3 4 x = 36
两个相等关系:
胜的场数+负的场数=总场数 胜场积分+负场积分=总积分
解：设这个队胜了x场，
（得30分） 由题意得：2x＋（16-x）=28 （得90分）
则输了（16-x）场
解这个方程得：x=12 16-x=4 答：这个队胜了12场，输了4场. （得100分）
学后深思
1、你认为列一元一次方程
解古算题的障碍是什么？
2、鸡兔同笼 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
今有雉 兔同笼， 上有三十五头， 鸡头＋兔头＝35 下有九十四足， 鸡脚＋兔脚＝94 问鸡兔各几何？
（鸡）
解：设鸡有x只，则兔有（35- x ）只， 由题意可列方程为：
2x＋4 （35 - x ） ＝ 94
解： 设笼中有鸡x只，有兔（35- x ）只
将x=36代入方程左边，得井深=8 尺 。
答：绳长36尺，井深8尺。
探究新解法
等量关系： （井深+4）× 3=绳长 （井深+1）× 4=绳长
解：设 井深 x尺，则由题意得 3(x +4)=4(x +1) x=8 将x=8代入方程左边得绳长=36 答：绳长36尺，井深8尺。
4、
《勤妇荡杯》
妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰： “有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两 人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不 知客几何？”
答：读不懂文言文。
2、你认为列一元一次方程 解应用题的关键是什么？
答：找等量关系
课堂总结
请你总结一下列一元一次方程解古代数学名题的一般 步骤.
答 （1）审：读懂题意，分析数量，找出等量关系； （2）设：用一个字母表示问题中的一个未知数（常设x）； （3）列：根据等量关系列出一元一次方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）答：检验求得的值是否符合实际情况，并写出答 案.
---笛卡儿[法国数学家 1596-1650 ]