张量分解学习
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
多模态知识图谱表示学习综述
多模态知识图谱表示学习综述多模态知识图谱表示学习综述摘要：随着大数据时代的到来，知识图谱成为了对现实世界进行建模和分析的重要工具。
然而，传统的知识图谱主要基于文本信息进行构建和表示，忽略了其他多模态数据的丰富信息。
针对这个问题，多模态知识图谱表示学习应运而生。
本文将对多模态知识图谱表示学习的研究现状、方法和应用进行综述，以期为相关领域的研究者提供参考和启发。
一、引言知识图谱是一种以图的形式表达的知识库，其中知识以实体、关系和属性的形式存储。
传统的知识图谱以基于文本的方式进行构建和表示，通过对文本进行实体抽取、关系抽取等技术来获得知识。
然而，文本信息属于单模态数据，仅能够提供有限的知识表达能力。
随着多模态数据的快速增长，如图像、音频和视频等，如何将多模态数据融入知识图谱表示学习成为当前研究的热点和挑战。
二、多模态知识图谱表示学习的研究现状多模态知识图谱表示学习旨在利用多模态数据增强知识图谱的表达能力。
已有的研究主要可以分为两类：基于图的方法和基于张量的方法。
基于图的方法使用图神经网络（GNN）来建模并融合多模态数据，利用节点和边的信息进行知识表示学习。
基于张量的方法则将多模态数据表示为高阶张量，通过张量分解等技术进行知识表示学习。
三、多模态知识图谱表示学习的方法多模态知识图谱表示学习的方法多种多样，以下是其中几种常见的方法：1. 卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）：这两种方法广泛用于图像和文本数据的表示学习，可以将其应用于多模态知识图谱表示学习中，从而提高知识图谱的表达能力。
2. 图卷积神经网络（GCN）：GCN是一种特殊的卷积神经网络，它通过聚合周围节点的信息来更新当前节点的表示，已被广泛应用于多模态知识表示学习中。
3. 张量分解：张量分解可以将多维张量分解为若干低维张量，从而实现对多模态数据的表示学习。
常用的张量分解方法包括SVD、CP分解等。
四、多模态知识图谱表示学习的应用多模态知识图谱表示学习在许多领域中具有广泛的应用前景，以下是其中几个常见的应用：1. 音乐推荐：通过将音乐数据和用户数据融入知识图谱表示学习，可以提高音乐推荐系统的精确度和个性化程度。
张量算法简明教程
张量算法简明教程张量算法是一种基于张量的高阶线性代数和数学方法，其被广泛应用于计算机科学、机器学习、神经网络和人工智能等领域。
张量算法可以描述和处理诸如多维数组、多项式、图像、声音、文本等复杂的结构化数据，并且具有很高的灵活性和可扩展性。
张量的基础概念：在计算机科学和机器学习中，张量是一种多维数组或矩阵的表示方式。
与标量和向量不同，张量可以具有任意次数的维度，并且每个维度可以具有任意数量的元素。
例如，一个三维张量可以看作是一个 $m \times n \times p$ 的数组，其中 $m$ 表示第一维的大小，$n$ 表示第二维的大小，$p$ 表示第三维的大小。
张量中的每个元素可以看作是一个标量或数字，但通常情况下，这些元素表示的是更高维度的结构化信息。
例如，一个 $n \times n$ 的矩阵可以看作是一个二阶张量，其中每个元素表示两个向量之间的关系。
张量的表示：在张量表示中，每个维度通常用一些符号来表示，例如 $i,j,k$ 表示第一、二、三维。
在这些符号后面，可以使用方括号表示下标来访问张量中的元素，例如$A_{i,j}$ 表示一个二维张量中第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素。
在Python中，张量可以使用多种数据结构来表示，例如numpy数组、PyTorch张量等等。
例如，在numpy中，可以使用以下方式创建一个 $3 \times 3 \times 3 $ 的三维张量：```pythonimport numpy as npx = np.random.rand(3,3,3)print(x)```张量运算：张量运算是处理张量的基础操作，可以用于创建新的张量、计算相似度和距离、转换维度等等。
以下是一些常见的张量运算：1. 张量加法：两个张量中对应元素相加得到的一个新张量。
3. 张量转置：将张量的某些维度交换得到的一个新张量。
4. 张量求逆：对于可逆的张量，可以求得其逆或伪逆。
5. 张量降维：将高维张量转换为二维矩阵或向量。
麦克斯韦张量法入门
麦克斯韦张量法
一、基本公式
1. 磁力密度的计算，仅极坐标系 合力的面密度：2
2B f µ= 径向力的面密度：()()220
12r r t f B B θθµ =− 切向力的：()()01
t r t f B B θθµ=
对于笛卡尔坐标系，可以自行分解
2. 磁力再圆上积分，仅极坐标系 合力：()20
1
2F fds B s ds µ==∫∫ 径向分力：22200
[()()]2r t r r RL B B F f ds d π
θθθµ−==∫∫ 切向分力：200
[()()]r t t
t RL B B F f ds d πθθθµ==∫∫ 3. 转矩的计算 方法一：e t T F R = 方法二：2200[()()]r t e
t R L B B T f ds d πθθθµ==∫∫
二、在maxwell中的实现
1.b r与b t的创建
此处以bn为例（b r=b n）
2.在曲线图查看磁密分布
选择特定的自变量：时间或者参数化的特定取值
3.气隙磁密的傅里叶分解问题
条件：横坐标要为一个周期，要转换为单位“1”。
对幅值进行傅里叶分解
4.张量法的计算
径向力
integ((L)*(bt^2-bn^2)/(2*4*pi*1e-7))
L为长度，单位为标准单位
切向力
integ((L)*(bt*bn)/(4*pi*1e-7))。
非负张量分解
非负张量分解一、引言非负张量分解（Nonnegative Tensor Factorization，NTF）是一种基于矩阵分解的多维数据分析方法，它可以将高维数据转化为低维表示，并且能够保留原始数据的主要特征。
NTF 在图像处理、语音识别、信号处理等领域得到了广泛的应用。
二、背景知识1. 张量张量（Tensor）是一种广义的矩阵，它可以表示多维数组。
在机器学习和数据挖掘中，我们经常需要处理高维数据，因此张量成为了非常重要的概念。
2. 非负矩阵分解非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）是一种常见的降维方法，它可以将一个矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
NMF 能够提取出原始数据中的主要特征，并且具有良好的可解释性。
3. 多维尺度分析多维尺度分析（Multi-Dimensional Scaling，MDS）是一种将高维空间中的点映射到低维空间中的方法。
MDS 可以用于可视化高维数据，并且能够保留原始数据之间的距离关系。
三、非负张量分解的原理1. 目标函数假设我们有一个 $n$ 维张量 $X$，我们希望将其分解为 $r$ 个非负矩阵的乘积，即：$$X \approx \sum_{i=1}^r A_1(:,i) \circ A_2(:,i) \circ \cdots \circA_n(:,i)$$其中 $\circ$ 表示哈达玛积（Hadamard Product），即对应元素相乘。
$A_k(:,i)$ 表示第 $k$ 个矩阵的第 $i$ 列。
我们需要找到一组非负矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_n$，使得它们的乘积能够最好地逼近原始张量 $X$。
为了实现这个目标，我们需要定义一个目标函数：$$\min_{A_k \geq 0} \| X - \sum_{i=1}^r A_1(:,i) \circ A_2(:,i) \circ \cdots \circ A_n(:,i) \|_F^2$$其中 $\|.\|_F$ 表示 Frobenius 范数。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
python张量分解
python张量分解在Python中，张量分解可以通过多种库来实现，其中最常用的是NumPy和TensorFlow。
下面分别介绍这两种库中的张量分解方法。
1. NumPy库中的张量分解：NumPy是Python中用于科学计算的一个常用库，它提供了很多用于数组操作的函数。
在NumPy中，可以使用linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, s, VT = np.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2], [2, 1]])w, V = np.linalg.eig(A)```2. TensorFlow库中的张量分解：TensorFlow是一个用于机器学习和深度学习的强大库，它提供了各种张量操作的函数。
在TensorFlow中，可以使用tf.linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)s, U, V = tf.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2], [2, 1]], dtype=tf.float32)w, V = tf.linalg.eig(A)```以上是使用NumPy和TensorFlow库进行张量分解的简单示例。
在实际应用中，还可以使用其他专门用于张量分解的库，如scikit-tensor、PyTorch等。
张量基础知识分解共83页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
Hale Waihona Puke
张量运算法则 -回复
张量运算法则-回复
张量运算法则是在张量代数中常用的一些基本运算规则和公式的总结。
张量是一种在多维空间中描述向量和矩阵的数学对象，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量运算法则通过定义不同维度的张量之间的运算规则，使得我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
本文将以张量运算法则为主题，一步一步回答相关问题。
一、什么是张量？
1. 张量的基本概念
2. 张量的维度和阶数
3. 张量的表示和索引
二、张量的运算规则
1. 张量加法与减法
2. 张量乘法
3. 张量的缩并运算
4. 张量的转置和逆运算
5. 张量的分解与组合
三、张量运算法则的应用
1. 张量在物理学中的应用
2. 张量在工程学中的应用
3. 张量在计算机科学中的应用
四、张量运算法则的推广与发展
1. 张量的高阶运算规则
2. 张量网络的结构与训练方法
3. 张量运算法则在机器学习中的应用
五、结语
通过本文的阐述，我们了解了张量运算法则的基本内容和应用领域，并对其推广与发展进行了简要介绍。
通过运用张量运算法则，我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
相信在未来的发展中，张量运算法则将发挥重要的作用，推动科学技术的进步与应用的创新。
张量分解学习
R
◦ 作为ALS的一个子问题，固定 B 和 C ，求解
min X(1) Adiag( λ) C B
A
T F
得 Adiag(λ) X(1) C B X(1) C B C C B B
T
+
T
T
+
再通过归一化分别求出 A 和 λ
30
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X A, B, C a r b r cr
r 1
R
X
a1
c1
b1
a2
c2
b2
aR
cR
bR
三阶张量的CP分解
20
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
12
n-mode（向量）乘积
×I N ◦ 一个张量X I1×I2 × 和一个向量 v In 的n-mode × I n1× I n1× × IN 乘积 X n v I1× ，其元素定义为
X n v i i
1
n1in1iN
xi1i2iN vin
X a1 b1 c2 a1 b2 c1 a2 b1 c1 1 1 1 Y a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 b1 c1
27
张量的低秩近似
CP分解的计算
◦ ALS算法并不能保证收敛到一个极小点，甚至不一定能收 敛到稳定点，它只能找到一个目标函数不再下降的点 ◦ 算法的初始化可以是随机的，也可以将因子矩阵初始化为 对应展开的奇异向量，如将 A 初始化为 X(1) 的前 R 个左奇 异向量
小变形张量的分解
小变形张量的分解小变形张量是张量分析中的重要概念之一，它在多个学科领域中都有广泛的应用。
本文将从小变形张量的定义、分解以及在实际应用中的应用等方面进行介绍。
一、小变形张量的定义小变形张量是描述物体在受力下发生形变的数学工具，它用来描述物体各个点的微小形变程度和方向。
在三维空间中，小变形张量可以表示为一个3×3的矩阵，其中每个元素表示物体在三个坐标轴方向上的形变。
小变形张量既可以表示物体的线性变形，也可以表示物体的切变变形。
在张量分析中，小变形张量可以通过分解得到不同的分量，常见的分解有正交分解和主应变分解。
1. 正交分解：正交分解将小变形张量分解为一个对称的部分和一个反对称的部分。
对称部分描述了物体的拉伸和压缩变形，反对称部分描述了物体的切变变形。
正交分解的物理意义是将形变分解为体积变化和形状变化两个方面。
2. 主应变分解：主应变分解是指将小变形张量分解为三个主应变方向和对应的主应变值。
主应变方向是指物体在该方向上形变最大或最小的方向，主应变值表示该方向上的形变程度。
主应变分解可以用来分析物体在不同方向上的形变情况，有利于研究物体的力学性质。
三、小变形张量的应用小变形张量在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
以下将介绍其中几个常见的应用：1. 固体力学：小变形张量在固体力学中被广泛应用于弹性力学、塑性力学等领域。
通过分析小变形张量的分解，可以研究物体在受力下的形变情况，进而得到物体的应力分布和应变分布等力学性质。
2. 地质学：小变形张量在地质学中被用于研究地壳运动、地震活动等现象。
通过分析地壳的形变情况，可以预测地震的发生概率和地震破坏的范围，对地震风险评估和地震灾害防治具有重要意义。
3. 医学工程：小变形张量在医学工程中被用于分析组织和器官的形变情况。
例如，通过分析心脏的形变情况可以评估心脏的功能状态，对心脏病的诊断和治疗具有指导意义。
4. 机器人学：小变形张量在机器人学中被用于控制机器人的运动和形变。
张量分析初学者必看
A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
§ A-1 指标符号 三、 Kronecker- 符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析
张量函数及其微积分
Appendix A
引言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum
Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.
a13 x3 a23 x3
a1 j x j a2 j x j
x3
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a3 j x j
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
ji, j fi 0
ji, j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
x1 x2
张量的通俗理解
张量的通俗理解
张量（Tensor）是数学中一种常用的数学概念，它是一种可以把多个数值（也称之为维数）进行联系的数据结构。
它不仅有0维、1维、2维、3维、4维及更高维度之外的扩展空间，而且其表示形式
是可以有多种形式的，可以是矩阵，也可以是向量，还可以是更复杂的形式。
简单来说，张量就是一种较为复杂的数据结构，它可以表示一组不同维度的数据，而每一维度的数据也可以有自己的维度和顺序，因此可以更容易地描述非常复杂的数据关系。
二、张量的应用
一般情况下，张量的应用是非常广泛的，它可以用于科学计算，特别是机器学习和深度学习应用等方面。
1.器学习应用：张量主要用于机器学习中处理复杂数据，如图像识别和文本分析等，例如深度学习中用到的卷积神经网络（CNN），多层感知网络（MLP），矩阵分解学习（Matrix Factorization），深度
强化学习（Deep Reinforcement Learning）等，都需要使用到张量，它们能够处理大型数据，同时又保证计算的准确性。
2.能网络应用：张量也用于计算机智能网络的研究，它可以用来表示复杂的数据关系，通过这种关系可以推出各种结果，从而使计算机智能网络的计算结果更加准确。
3.物学应用：张量也广泛应用于生物学领域，可以用来分析生物物种之间的关系，计算基因组序列之间的关系等。
三、总结
从上面的介绍中可以看出，张量在数学、机器学习、智能网络和生物学等多个领域都得到了广泛的应用，它可以帮助我们更加精确地分析和处理复杂的数据，并且还可以用来研究复杂的数据关系。
此外，张量是一种可以扩展的数据结构，可以把多个数据进行联系，从而使计算机更加强大。
张量分析在机器学习中的应用
张量分析在机器学习中的应用在近年来的机器学习领域中，张量分析作为一种强大的工具，被广泛应用于各种复杂的数据模型和算法中。
本文将探讨张量分析在机器学习中的应用，并分析其在不同领域中的优势和局限。
通过了解张量分析的基本概念和常见应用案例，我们可以更好地理解其在机器学习中的作用和价值。
一、张量分析的基本概念张量是一种多维数组，可以包含标量、向量、矩阵等数据类型。
在张量分析中，我们通常使用高阶张量来表示复杂的数据结构。
张量具有多个属性，如阶数、维度和元素等，这些属性可以为机器学习提供丰富的信息。
张量分析的基本概念包括张量的表示、运算和变换等，这些概念为机器学习提供了一种灵活和高效的数据处理方式。
二、1. 张量分解张量分解是一种重要的张量分析技术，可以将高阶张量分解为较低阶的张量，从而降低数据的复杂度。
在机器学习中，张量分解可以用于特征提取、降维和模型简化等任务。
通过张量分解，我们可以从高维数据中提取出有用的特征，减少冗余信息，提高学习算法的效果和效率。
2. 张量网络张量网络是一种基于张量分析的模型，可以用于处理复杂的数据结构和关系。
通过构建张量网络，我们可以将多个张量连接起来形成一个高效的数据流图，从而实现对复杂数据的处理和学习。
在机器学习中，张量网络可以用于图像识别、自然语言处理和推荐系统等任务，取得了很好的效果。
3. 张量分析算法张量分析算法是一种基于张量分析的算法思想，可以解决一些特定的机器学习问题。
例如，张量奇异值分解可以用于处理异常检测和异常值处理，张量回归可以用于处理多任务学习和关系建模等。
这些算法利用了张量分析的特性，将其应用于实际问题中，取得了一定的研究进展和应用效果。
三、张量分析在机器学习中的优势和局限1. 优势张量分析在机器学习中具有以下优势：(1) 多维数据处理：张量可以表示多维数据，可以更好地处理复杂的数据结构和关系。
(2) 特征提取和降维：张量分解可以从高维数据中提取有用的特征，减少数据的冗余信息。
张量分解
aI1bI
1
aI 2bI 2
L
a1J b1J
a2 J
b2 J
¡
I ×J
M
aIJ bIJ
◦ 性质：A e BT A e B ATABTB
A e B+ ATA BTB + A e BT
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD(k )BT
其中 D(k ) diag(ck:)
ar
cr
br
X
A
BT
Xk
D(k )
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从
而需要引入一个权重向量 λ ¡ R ，使CP分解变为
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I×K , B J×K ，则
A e B a1 b1 a2 b2 L
概括张量奇异值分解
概括张量奇异值分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以描述张量奇异值分解的基本概念和重要性。
张量奇异值分解是将一个张量表示为多个部分的乘积的方法，类似于矩阵的奇异值分解。
通过这种分解，我们可以更好地理解张量的内在结构，并利用奇异值分解的性质进行数据降维、特征提取和信息压缩等操作。
张量奇异值分解在多领域中有着广泛的应用，包括图像处理、语音识别、推荐系统等，因此对于深入理解和应用张量奇异值分解具有重要的意义。
本文将对张量奇异值分解的原理和应用进行详细介绍，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文共分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，将会对张量奇异值分解进行概述，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，将会详细讨论张量的基本概念、奇异值分解的原理以及张量奇异值分解的应用。
最后在结论部分，将会总结张量奇异值分解的重要性，展望未来的研究方向，并得出结论。
整篇文章将会全面深入地介绍张量奇异值分解的相关知识和应用。
1.3 目的文章旨在通过对张量奇异值分解的深入研究，探讨其在数据分析和机器学习领域的重要性和应用。
通过对张量和奇异值分解的基本概念和原理进行讲解，希望能够帮助读者更好地理解张量奇异值分解的内在机制和操作方法。
同时，通过介绍张量奇异值分解在实际问题中的应用，展示其在解决高维数据分析、图像处理、推荐系统和其他领域中的重要作用。
最终，本文旨在激发读者的兴趣，进一步深入研究张量奇异值分解，并展望未来在该领域的研究方向和应用前景。
2.正文2.1 张量的基本概念在数学和物理学中，张量是一个多重线性映射的代数对象，它可以表示在向量、标量和其他张量上的线性函数。
张量可以用来描述物体在各个方向上的应力和变形，也可以用来表示物理场的强度和方向。
在工程、物理、计算机科学和机器学习等领域中，张量都有广泛的应用。
张量的概念最早是由黎曼引入的，张量的定义要依靠对线性映射的理解。
动态知识图谱completion的表示学习方法
动态知识图谱completion的表示学习方法动态知识图谱(completion) 是一种表示知识的方法，它能够对实体之间的关系进行建模并支持知识的推理和应用。
然而，动态知识图谱的表示学习存在一些挑战，包括稀疏性、数据不完整性和动态性等方面。
为了克服这些挑战，研究者们提出了一系列的方法来进行动态知识图谱completion的表示学习。
本文将介绍一些常见的方法，并探讨它们的优势和不足。
一、基于张量分解的方法基于张量分解的方法是动态知识图谱completion表示学习中常用的一类方法。
这类方法通过将动态知识图谱表示为张量，然后对张量进行分解来学习实体和关系的表示向量。
其中最常见的方法是矩阵分解和张量分解。
这些方法简单高效，但容易受到数据不完整性和稀疏性的影响，同时无法很好地处理动态图谱的动态性。
二、基于深度学习的方法深度学习方法在动态知识图谱completion表示学习中也被广泛应用。
这类方法使用神经网络模型来学习实体和关系的表示向量，以及它们之间的相互作用。
其中，Graph Convolutional Network (GCN) 是一种常用的方法，它通过图卷积神经网络来获取实体的上下文信息，并进行动态关系的学习。
这些方法在处理动态图谱时具有很好的表现，但需要大量的数据和计算资源。
三、基于图神经网络的方法图神经网络(GNN)是一种处理图结构数据的方法，也被广泛应用于动态知识图谱completion表示学习中。
GNN能够对整个图谱进行端到端的学习，可以同时学习实体和关系的表示向量，并处理图谱的动态性。
这类方法的优势在于可以将实体和关系的上下文信息进行建模，并进行多步推理。
然而，图神经网络在处理大规模图谱时可能存在计算效率和可扩展性的问题。
综上所述，动态知识图谱completion的表示学习有多种方法可供选择。
基于张量分解的方法简单高效，但在处理动态性和数据不完整性方面存在不足。
基于深度学习的方法需要更多的数据和计算资源，但在处理动态图谱方面表现较好。
张量链式分解
张量链式分解引言张量链式分解（Tensor Chain Decomposition）是一种用于对多维数据进行降维和特征提取的技术。
它广泛应用于各个领域，包括图像处理、语音识别、推荐系统等。
本文将介绍张量链式分解的基本概念、原理、方法和应用，并探讨其优缺点以及未来的发展方向。
张量基础知识在深入讲解张量链式分解之前，我们先来了解一些张量的基础知识。
1. 张量的定义首先，我们需要明确张量（Tensor）的概念。
在数学和物理学中，张量是一种多维数组或矩阵的推广。
例如，0阶张量是标量（Scalar），1阶张量是向量（Vector），2阶张量是矩阵（Matrix），以此类推。
2. 张量的表示张量可以用多种方式进行表示，包括矩阵、数组和张量的分块表示等。
其中，张量的分块表示可以简化数据的处理和计算。
3. 张量的运算和矩阵类似，张量也支持多种运算，包括加法、减法、乘法、求逆等。
这些运算可以用于数据的变换和处理。
张量链式分解的基本概念接下来，我们将介绍张量链式分解的基本概念。
1. 张量链的定义张量链（Tensor Chain）是指由多个张量组成的序列。
每个张量可以有不同的维度和大小，但它们的维度必须满足一定的连续性条件。
2. 张量链的分解张量链的分解是将复杂的张量链表示为一系列低阶张量的乘积的过程。
分解后的低阶张量包含了原始张量链的信息，并可以用于降维和特征提取。
3. 张量链式分解的原理张量链式分解的原理是基于张量的秩的概念。
张量的秩是指表示张量的低阶张量的个数。
通过适当的张量链分解，可以降低张量的秩，从而实现降维和数据压缩。
张量链式分解的方法张量链式分解有多种方法和算法，下面介绍其中几种常见的方法。
1. CP分解（CANDECOMP/PARAFAC）CP分解是一种基于多线性代数的张量分解方法。
它将一个高阶张量表示为多个低阶张量的和。
CP分解具有数学上的优良性质和可解释性，被广泛应用于数据分析和模型简化。
2. Tucker分解Tucker分解是一种将一个高阶张量分解为一系列核张量与模态矩阵的乘积的方法。
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X ,Y xi1i2iN yi1i2iN
i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
（Frobenius）范数：
X
X,X
2 x i1i2iN i1 1 i2 1 iN 1
I1
I2
IN
8
秩一张量/可合张量
×I N ◦ N阶张量 X I1×I2 × 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
a1 J B a2 J B IK ×JL aIJ B
◦ 性质： A BC D AC BD
A B
+
A+ B+
14
矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
CP分解的计算
◦ ALS算法并不能保证收敛到一个极小点，甚至不一定能收 敛到稳定点，它只能找到一个目标函数不再下降的点 ◦ 算法的初始化可以是随机的，也可以将因子矩阵初始化为 对应展开的奇异向量，如将 A 初始化为 X(1) 的前 R 个左奇 异向量
31
CP分解的应用
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 计量心理学 语音分析 化学计量学 独立成分分析 神经科学 数据挖掘 高维算子近似 随即偏微分方程 …………
r 1
R
◦ 作为ALS的一个子问题，固定 B 和 C ，求解
min X(1) Adiag( λ) C B
A
T F
得 Adiag(λ) X(1) C B X(1) C B C C B B
T
+
T
T
+
再通过归一化分别求出 A 和 λ
30
彭毅
1
基本概念及记号
2
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
三阶张量 二阶张量 （矩阵）
3
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
向量的外积和内积
4
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）： x {xi } 二阶张量（矩阵）： X {xij } 三阶或更高阶张量： X {xijk } 零阶张量（数量）： x
24
张量的秩
◦ 不同于矩阵的秩，高阶张量的秩在实数域和复数域上不一 定相同。例如一个三阶张量 X
在实数域内进行秩分解得到的因子矩阵为
1 0 X1 0 1
0 1 X2 1 0
而在复数域内进行分解得到的因子矩阵为
1 0 1 A 0 1 1
◦ 性质：A B C A B C A B C
16
矩阵的Hadamard乘积
◦ A I ×J , B I ×J ，则
a11b11 a b A B 21 21 aI 1bI 1
◦ 性质： A B
T
a12 b12 a22 b22 aI 2bI 2
其中 D
(k )
diag(ck: )
ar cr br
X
A
D( k )
BT
Xk
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从 而需要引入一个权重向量 λ R ，使CP分解变为
X λ; A, B, C r ar br cr
12
n-mode（向量）乘积
×I N ◦ 一个张量X I1×I2 × 和一个向量 v In 的n-mode × I n1× I n1× × IN 乘积 X n v I1× ，其元素定义为
X n v i i
1
n1in1iN
xi1i2iN vin
32
Tucker分解
33
Tucker分解的其他名字
◦ Three-mode factor analysis(3MFA/Tucker3), Tucker, 1966 ◦ Three-mode principal component analysis(3MPCA), Kroonenberg & De Leeuw, 1980 ◦ N-mode principal components analysis, Kapteyn et al., 1986 ◦ Higher-order SVD(HOSVD), De Lathauwer et al., 2000 ◦ N-mode SVD, Vasilescu and Terzopoulos, 2002
Y X 1 A(1) N A( N ) Y( n) A X( n) A
( n) (N)
A
( n 1)
A
( n 1)
A
(1) T
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I ×K , B J ×K ，则
A B a1 b1 a2 b2 aK bK IJ ×K
X n U i i
1
n1 jin1iN
xi1i2iN u jin
in 1
n
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y(n) UX( n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
X n A n B X n BA
A a1 a2 aR
X(1) A C B
T T
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(2) B C A X(3) C B A
T
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD( k )BT
◦ 对于高阶张量，有
r 1 (1) (2) ( N) (1) (2) ( N) X λ ; A , A , , A a a a r r r r r 1 R
R
其展开形式为
X( n ) A diag(λ ) A
( n)
(N)
A
( n 1)
X a1 b1 c2 a1 b2 c1 a2 b1 c1 1 1 1 Y a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 b1 c1
27
张量的低秩近似
k
n 1
N
A( n )
2R N 1
这里 kA 表示矩阵 A 的k-秩：任意k列都线性无关的最大 的k
26
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到 下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a(1) a(2) a( N )
c
X
b
a
三阶秩一张量：X
abc
9
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意 排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j , k ◦ 对角：仅当 i1 i2 iN 时，xi1i2iN 0
a1 J b1 J a2 J b2 J I ×J aIJ bIJ
A B AT A BT B
A B A A B B
+ T T
+
A B
T
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
A
( n 1)
A
(1) T
23
张量的秩和秩分解
◦ 张量 X 的秩定义为用秩一张量之和来精确表示 X 所需要 的秩一张量的最少个数，记为 rank( X ) ◦ 秩分解：
rank( X )
X
r 1
(2) ( N) a(1) a a r r r
可见秩分解是一个特殊的CP分解，对应于矩阵的SVD ◦ 目前还没有方法能够直接求解一个任意给定张量的秩，这 被证明是一个NP-hard问题
◦ 退化：如果一个张量能够被一系列的低秩张量任意逼近 ◦ 边缘秩（border rank）：能够任意逼近一个张量的最少 的成分个数
秩2 秩3
X
Y
X
(0)
X
(1)
X (2)
一个秩为2的张量序列收敛到一个秩3张量
28
CP分解的计算
◦ 分解成多少个秩一张量（成分）之和？
通常的做法是从1开始尝试，知道碰到一个“好”的结果为止 如果有较强的应用背景和先验信息，可以预先指定
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition), Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000