二维随机变量及其概率分布

复习一维
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随 机 变 量 及 分 布 函 数 离 散 型 随 机 变 量 和 连 续 型 随 机 变 量
随机变量的概念 分布函数 性 质
定义在样本空间的单值实函数。
X落在区间内的概率 离散型随机变量：分布律 定 义 连续型随机变量：概率密度
性
质
与分布函数的关系
X落在区间内的概率
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，故我们重点讨论二维随机变量 ，3.6节 的n维随机变量留待大家自习。
有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够 的，需要用几个随机变量同时来描述。例如：
1. 某人的体检数据——血压(X)和心律(Y)；
2. 某炉钢的基本指标——含碳量(X)、含硫 量(Y)与硬度(Z)； 3. 导弹在空中的位置——坐标(X, Y, Z);
4. 在打靶时,命中点的位置——坐标(X,Y).
一般地，我们称 n 个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
1 1 1 1 F x , y arctgx arctgy 2 2
试求概率P{0<X≤1，0<Y≤1}
解：P0 X 1,0 Y 1 F 1,1 F 1,0 F 0,1 F 0,0
再代入已知分布函数即可得所求结果。
4.对任意的x x , y y ，有 F x , y F x , y F x , y F x , y 0
2 2 1 2 2 1 1 1
3.2二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量及联合分布
1.二维离散型随机变量：如果随机变量(X,Y)的所有可 能取值为有限可列对或无限可列对，则(X,Y)称之。
X Y
则称随机变量X和Y是相互独立的。
对离散r.v.,如下
P101例6
其他应用见p102习题1
1
2
21
22
2 j
2
p
i1
p
i2
p p
j ij
1

p
1
p
2
应用见p99例4，p102习题2
三、独立性
X Y
两个随机变量独立是指它们所代表的随机事件彼此独立。
定义：设F x , y , F x , F y 分别为X和Y的联合分布律和边缘分 布律， 如果对任意实数x , y，有 F x , y F x F y
p
P Y y P X , Y y p p
j x i ij i
j
ij
分布律及边缘分布的表格形式 →
Y X x x x p
j i 1
y p p
1
y p p
2

y p p
j

p p p
i
11
12
1j
一、二维随机变量
定义：设Ω是某试验的样本空间，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在Ω 上的两个随机变量，称随机变量对(X,Y)为二维随机变量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关，且还依赖于 X和Y的相互关系，因此, 必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此, 首先需要引入二维随机变量(X,Y)的分布函数的概念。
二、二维随机变量的联合分布函数
定义：设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y，称二元函数
F x , y PX x , Y y
为随机变量(X,Y)的（联合）分布函数。
注意:
1事件X x , Y y e X e x , Y e y X x Y y
F , y F x , F , 0, F , 1
3.F x , y 分别对x , y是右连续的，即
F x , y F x 0, y , F x , y F x , y 0
1 2 1 2
xi x yi y
ij
边缘分布→
二、边缘分布 由二维随机变量(X,Y)的分布确定的每个随机 变量X和Y的分布，称为X和Y的边缘分布。 X的边缘分布：
i
p
i
i y j ij j ij
PX x PX x , Y p p
Y的边缘分布：
j
i i
2.联合分布律：若(X,Y)的所有可能取值为 x , y , i , j 1,2,
则称下列一组概率为(X,Y)的(联合)分布律：
PX x , Y y p
i i ij
i , j 1,2,
联合分布律通常也 是以表格形式给出， 见教材P97
3.(X,Y)落在区间的概率：对于平面上任意子集A，有
P X , Y A p
xi , y j
应用见p97例2
ij
性质→
4.(X,Y) 的联合分布律有如下性质：
1 p 0, i , j 1,2, 2 p 1
ij i j ij
5.分布函数与分布律的关系：
F x , y PX x , Y y p
y
x, y
（2）F(x,y)的几何意义是 (X,Y)落在以(x,y)为右上顶 点的无限矩形(包含边界)内 的概率。
O
x
(X,Y)落在矩形区的概率→
（3）(X,Y)落在矩形域的事件 x1 X x 2 , y1 Y y 2
可由分布函数来表示：
例1(p96):设(X,Y)的分布函数为
三、二维分布函数F(x, y)的基本性质
当x x 时，F x , y F x , y 当y y 时，F x , y
1 2 1 2 1 1
1.F x , y 分别为x和y的不减函数，即

F x, y
2
2

应用：p96习题2
2.F x , y 是有界的，且