理论力学第十三章

二、质点系的动量矩 1、质点系对定点的动量矩
——质点系中所有质点对于点O 的动量矩的矢量和，
LO
M O mi vi
i i
ri mi vi
2、质点系对定轴的动量矩
L z M z mi vi
i
三、刚体的动量矩计算
（1）平移刚体
对于平移刚体，仅需将刚体质量假想集中 于质心，然后按照质点的方法计算动量矩。
mvC
C
z
LO
O x
rC
LO M O(mvc ) rC mvC
y
平动刚体对固定点（轴）的动量矩 等于刚体质心的动量对该点（轴） 的动量矩。
证明：
L O ri mi v i
i
∵ 刚体作平移
mvC
z
各点的速度与质心速度相同， 得到：
LO
Jz
l 2 l 2
m 1 2 x dx ml l 12
2
1 2 Jz ml 12
2、均质薄圆环
J z mi R R
2
2 2
m
i
mR
3、均质薄圆板
Z
1 2 Jz mR 2
三、平行轴定理
J z J zC m d
2
刚体对于任意 z 轴的转动惯量 J z 等于刚体对于通 过质心 C 并与该轴平行的轴 z C 的转动惯量 J zC 加上刚体的质量 m与两轴距离d 的平方的乘积。
b/2
（2）如图所示，均质圆板质量为 m，半径 R ，用长为 R 的无 重杆固结在转轴 AB上，并绕该轴转动。已知角速度为 ，圆 板对 z 轴的动量矩为。 （D ） A. Lz 2mR2 ，从 z 轴的正向看为反时针方向
Z
1 B. Lz mR 2 ，从 z 轴的正向看为反时针方向 4 9 C. Lz mR 2 ，从 z 轴的正向看为反时针方向 A 2
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O ' z '//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
§13 - 2 转动惯量
一、定义
J z mi ri
i
2
若刚体的质量是连续分布
Jz
r 2 dm
m
单位： 量纲：
kg m ML
2
2
转动惯量恒为正值
二、几种简单形状刚体的转动惯量
1、均质细长杆—m，l
J z'

l
0
m 1 2 x dx ml l 3
2
1 2 J z ' ml 3
aP W m W 2 g
W
aP=R
§13 -- 4 刚体绕定轴转动的运动微分方程
刚体绕 z 轴转动，轴承的支反力对 z 轴的 力矩恒等于零，由质点系的动量矩定理
z
F2
Fi
d Lz dt
注意到：
e M z Fi
n i 1

α
F1 x
Lz J z
ω
Fn
y
得到：
n e d J z M z Fi dt i 1
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
MO (F (e) ) PAr PB r (PA PB )r
PA PB PA 2 PB 2 LO v r v r J O ( r r J O ) g g g g
d PAr 2 PB r 2 由动量矩定理： [ ( J O )] ( PA PB )r dt g g
二、质点系的动量矩定理
z F2 O x m3
mi vi
m2 m1 mi
F1
e d LO MO dt
y 质点系对于定点O 的动量矩对 时间的一阶导数，等于作用在系统 上所有外力对于同一点的主矩。 ——质点系对于定点的动量矩 定理。
ri
mn Fn
Fi
d LO e MO dt
2
令：
J z mi ri
i
Jz：刚体绕 z 轴的转动惯量
L z J z
刚体绕 z 轴的动量矩等于该 刚体对z 轴的转动惯量与转动角 速度的乘积。
3．平 C ω
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量 矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的 动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
R
B
C

R
17 mR 2 ，从 z 轴的正向看为反时针方向 D. Lz 4
[例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。
解：
J O J O杆 J O盘
1 2 1 m1l m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 2 1 m1l m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
M O mv r m v
M O(mv ) 2 ΔOAB
方向由右手定则确定
2、质点对定轴的动量矩
M z mv M O mv
M z(mv ) 2 ΔOA'B'
顺时针为负，逆时针为正


z
动量矩度量物体在任一瞬 时绕固定点(轴)转动的强弱。 kg· 2/s。 ｍ
d rg ( PA PB ) 2 dt r PA r 2 PB gJ O
[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 动的速度多大？（轮重不计） 解：因
v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
M O (F ( e ) ) 0 ,
故系统的动量矩守恒。
§13-3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理 d d M O mv r mv dt dt dr z
M O mv MO F

F
r
O x
A
d mv mv r dt dt mv dr 注意到： mv v mv 0 dt d mv y r r F MO F dt
O x
L O ri mi v i
C
rC
y
mi ri vC mrC vC rC mvC
i
（2）定轴转动的刚体 L z M z mi vi mi v i ri
i i

i
2 mi ri ri mi ri i
0 mAvAr mB (v vA )r
vA v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 v 。 2
[例5]
鼓轮半径为R、转动惯量为J，小车和矿 石总质量为m。鼓轮在力偶矩M带动下 绕固定轴O转动，轨道的倾角为θ。忽略 摩擦。
求：小车的加速度
v
M θ
P2
O
P1
v
M
θ
P2
第十三章
动量矩定理
质点 动量定理： 质点系
动量的改变
dp x Fxe dt dp y Fye dt dp z Fze dt
外力（外力系主矢） 质心运动定理： 质心的运动
e m aC Fi
外力（外力系主矢）
§13-1 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩 1、质点对定点的动量矩
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作 用在系统上的外力对同一轴的矩的代数和。
三、动量矩守恒定理
e d LO MO dt e MO ＝0
dLz e Mz dt
Z1
Z2
A. B. C. D.
b 2 J z 2 J z1 m ( ) C 4 b 2 b/4 b/4 J z 2 J z1 m ( ) 4 b 2 b 2 3 J z 2 J z1 m( ) m( ) J z1 mb 2 2 4 16 b 2 b 2 5 J z 2 J z1 m( ) m( ) J z1 mb 2 2 4 16
O
ω
P1
解：以鼓轮和小车为研究对象
设圆轮的角速度和角加速度分别为 和 ，小车的速度加速度分别为 v 和 a。
鼓轮对O 轴的动量矩 小车对O轴动量矩
LO1＝J
LO 2＝mvR
系统对O 的轴总动量矩
LO＝LO1＋LO 2 J mvR
FY
FN
v
M
P2
O
FX
LO＝J mvR
由系统的受力图
2


mi ( xi 2 yi 2 ) (

mi )d 2 2d
m y
i
mi m ,
m y
i
i
myC 0
J z ' J zC md 2
刚体对通过质心的轴的转动惯量具有最小值。
选择题 （1）如图所示，均质矩形板质量为 M ，尺寸如图所示。已 知薄板对 z1 轴的转动惯量 J Z1 。试写出对 z2 轴的转动惯量J Z 2 的计算公式。z1 与 z2 轴互相平行。（ C ）
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1