第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

（非数学类， 2014 ）

一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分） 1. 计算积分22220sin x

t

xdx dt t

π

π

⎰⎰

解：交换积分次序得

22220

sin x

t xdx dt t π

π

⎰

⎰

2

222

2000

sin 1sin 2t t dt xdx tdt t ππ==⎰⎰⎰

220

14s i n 2t d t π

=⋅⎰12222ππ

=

⋅⋅= ２、设f(x)是区间[0,1]上的连续函数，且满足1

()1,f x dx =⎰求一个这样的函数f(x)

使得积分1

220

(1)()x f x dx +⎰取得最小值。

解：1

1()f x dx =⎰1

(f x dx =⎰()

1

12

1

1

2

222

01(1)()1x f x dx

dx x ⎛⎫

≤

+ ⎪+⎝⎭

⎰

⎰ ()

112

1

2

220

(1)()4x f x dx

π⎛⎫=

+ ⎪⎝⎭

⎰

()

11

2

220

4

(1)()x f x dx

π

⇒

+≥

⎰

，取24

()(1)

f x x π=

+即可。

３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数，雅可比行列式

(,)

0(,)

F G x z ∂≠∂，曲线

(,,)0

:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,).P x y z 记Γ在xoy 平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过

点00(,)x y 的切线方程。

解：由两方程定义的曲面在0000(,,)P x y z 的切面分别为 00

000

0()()()()()()0x y

z F P x x F P y y F P z z -+-+-=

00000

0()()

()()

()()

x y

z G P x

x G P y y G P z z -+-+-=

上述两切面的交线就是Γ在P 0点的切线，该切线在xoy 面上的投影就是Ｓ过

00(,)x y 的切线。消去z-z 0,可得

0000()()()()0x z x z P y z y z P F G G F x x F G G F y y --+--= 这里0x x -的系数是

(,)

0(,)

F G x z ∂≠∂，

故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。 ４、设矩阵12134,122A a ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

其中a 为常数，矩阵Ｂ满足关系式AB=A-B+E,其中Ｅ

是单位矩阵，且B E ≠。若秩rank(A+B)=3,试求常数a 的值。

解：由关系式AB=A-B+E,得(A+E)(B-E)=0,故可得 ()()()r a n k A B

r a n k A

E r a n k B

E

+≤++-≤ 因为()3,rank A E +=所以()()3rank A E rank B E ++-=

又()2,rank A E +≥考虑到Ｂ非单位，所以()1rank B E -≥，只有()2,rank A E +=

22102535019123123A E a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 00132~019123a a -⎛⎫

⎪

-- ⎪ ⎪⎝⎭

，从而132a =

二、（１２分）设421

(,),()()()(),2

f C f x h f x f x h f x h h θ'''∈-∞+∞+=++

+其中θ是与x,h 无关的常数，证明f 是不超过三次的多项式。 证明：由泰勒公式

23(4)4

111

()()()()()()2624

f x

h f x f x h f x h f x h f h

ξ''''''+=++++ 3(4)

241()()()()2

f x

h f x f x h f h θθηθ'''''''+=++ 其中ξ在x 在x+h 之间，η在x 在x+θh 之间，由上面两式及已知条件

21

()()()()2

f x

h f x f x h f x h h θ'''+=+++ 可得

(4)

2

(4)

4(13)(

)6()()

f x f f h θηθξ'''⎡⎤-=-

⎣⎦

当1

3θ≠

时，令0h →得()0f x '''=，此时f 是不超过二次的多项式。 当13θ=时，有(4)(4)2()()3

f f ηξ=。令0h →，注意到,,x x ξη→→有(4)()0f x =，

从而f 是不超过三次的多项式。

三、（１２分）设当x>-1时，可微函数f(x)满足条件

01()

()()0,(0)1,1

x

f x f x f t d t f x '+-==+⎰且试证：当0x ≥时，有