随机过程例题
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题
习题一1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>+0012x x x A求：（1）常数A; (2)分布函数F （x ）；（3）随机变量Y ＝lnX 的分布函数及概率分布。
3. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0≤x ,y ≤2π 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX ，EY ； （3） 方差DX ，DY ；(4) 协方差及相关系数。
4. 设随机变量X 服从指数分布⎩⎨⎧<≥=-0)(x x ke x f kx()0>k 求特征函数)(x ϕ,并求数学期望和方差。
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为λ1 和λ2的泊松分布，试用特征函数求Z = X ＋Y 随机变量的概率分布。
6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。
第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。
第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。
第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。
假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。
7． 设 （X ， Y ） 的分布密度为（1） ⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 4),(y x y x φ（2）⎩⎨⎧<<<<=其他，,010,10xy 8),(y x y x φ问X ，Y 是否相互独立？8. 设（X ，Y ）的联合分布密度为问： （1）α， β取何值时X ，Y 不相关； （2）α，β取何值时相互独立。
习题二１．设有两个随机变量X 、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(x f X 和)(y f Y ，定义如下随机过程：Yt X t Z +=)(，R t ∈试求)(t Z 的均值函数)(t m 和相关函数),(21t t R 。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
随机过程试题
随机过程例题例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。
解：),0(~2σN X 的概率密度函数为+∞<<∞-=-x x f x ,e 21)(222σσπ2j 2j 2222ed e e 21d e )()(ωσωσωσπω-∞∞--∞∞-===Φ⎰⎰x x x f x x x⎩⎨⎧-⨯⨯⨯⨯=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n nn,)1531 ,0d )(d )j ()(0σωωω例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和数学期望。
解：X 的概率密度为：y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，，Y 的概率密度函数为：0 ,e 212)(2)(d d )()(2≥=-+==-y y yy f y y f y xx f y yπψY 的数学期望为：1d e2d )()(02===⎰⎰∞-∞+∞-y y y y y Y E y πψ1d e 2d )()()]([)(222====⎰⎰∞+∞--∞+∞-x x x x f x g X g E Y E x π例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。
求随机过程} ) (0, t (t),X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X解：f ()(,cos 2)](cos[2),(0)(22s t a s t a t s R t m X X -==-==τωτω 例4 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)，则 W (t) 的均值函数为：)()()(t m t m t m Y X W +=),(R ),(R ),(R ),(R ),(R t s t s t s t s t s Y YX XY X W +++=例5 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N = 3。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程部分试题
1，若从t=0开始每隔0.5秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程X(t)={cosπt,t时刻抛得正面2t, t时刻抛得反面求：（1）X(t)的一维分布函数F(12;x)和F(1;x)（2）X(t)的二维分布函数F(0.5,1;x1,x2)（2）X(t)的均值函数μx(t)和方差函数σX2(t)解：硬币出现正、反面得概率均为1/2F(0.5,1;x1,x2 )=F(0.5;x1)F(1;x2)={0,x1<0或x2<−112,0≤x1≤1或x2≥2或x1≥1，−1≤x2<214，0≤x1<1，−1≤x2<21，x1≥1，x2≥22，设为参数为σ2的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。
解：设，由与的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为λ的poisson过程来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t启程，试求在[0，t]内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。
设在时间间隔[0，τ]内到达的乘客数为，则时间间隔[0，t]内乘客的总等待时间为某人备有r把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家(一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为p,且与之前下不下雨独立.(1)定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率;(2)计算极限分布;(3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设{Xn}为此人在第n天身边拥有的雨伞数,则I={0, 1,2,…,r},注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知为Markov链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程，记显然处于的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳4名顾客。
数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、 方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt， 求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它 在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0
通信原理随机过程例题
以下是一个关于通信原理中随机过程的例题：
题目：已知随机过程X(t) 的自相关函数为R(τ) = ρδ(τ) + (1 -ρ)δ(τ- T)，其中ρ是常数，T 是时间周期。
求该随机过程的功率谱密度P(ω)。
解：首先，我们需要知道自相关函数和功率谱密度之间的关系。
对于一个随机过程X(t)，其功率谱密度P(ω) 是其自相关函数R(τ) 的傅里叶变换。
根据傅里叶变换的性质，对于函数f(t)，其傅里叶变换为F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt) dt。
对于给定的自相关函数R(τ)，我们可以将其拆分为两部分：ρδ(τ) 和(1 -ρ)δ(τ- T)。
对于ρδ(τ)，其傅里叶变换为ρ/2π。
对于(1 -ρ)δ(τ- T)，其傅里叶变换为(1 -ρ)e^(-iωT)/2π。
因此，整个随机过程的傅里叶变换为：
P(ω) = ρ/2π+ (1 -ρ)e^(-iωT)/2π
这就是该随机过程的功率谱密度P(ω)。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程试题及答案(精.选)
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程口算练习题及答案2023
随机过程口算练习题及答案2023第一题：设随机过程X(t)是一维布朗运动，其初始值为0，且满足以下随机微分方程：dX(t) = a * X(t) * dt + b * X(t) * dW(t)其中，a和b为常数，dW(t)表示标准布朗运动的微分，求解该随机微分方程，并给出解的表达式。
解：我们先对方程两边积分，得到：∫dX(t) = ∫(a * X(t) * dt + b * X(t) * dW(t))对于第一项，由积分的性质可知∫dX(t) = X(t)。
对于第二项，根据伊藤引理，有∫b * X(t) * dW(t) = b * ∫X(t) * dW(t) + 1/2 * b^2 * ∫d<t 由于标准布朗运动的积分∫X(t) * dW(t) 是一个新的随机过程，且满足布朗运动的性质，因此我们可以将其表示为 Y(t) * dW(t)，其中Y(t)是一个只与时间t有关的确定性函数。
代入上式，得到：X(t) = ∫(a * X(t) + b * Y(t) * X(t) + 1/2 * b^2) * dt + Y(t) * dW(t)观察上式可知，方程左边仅与t有关，而方程右边包含了随机项dW(t)，因此我们可以得出结论Y(t) = 0，即Y(t)为常数0。
于是，上式简化为：X(t) = ∫(a * X(t) + 1/2 * b^2) * dt将初始条件 X(0) = 0 代入上式，求解积分，得到解的表达式为：X(t) = (1/2 * b^2 * t + X(0)) * e^(a * t)这是该随机微分方程的解。
第二题：设随机过程X(t)是一维随机游走，其初始值为0，且满足以下随机微分方程：dX(t) = X(t) * dt + dW(t)其中，dW(t)表示标准布朗运动的微分，求解该随机微分方程，并给出解的表达式。
解：观察方程，可以发现它实质上是一个随机微分方程，并不是一个普通的微分方程。
我们无法简单地对其进行积分求解，需要使用随机过程的性质以及伊藤引理。
随机过程超容易理解配套例题
Poisson过程
1、计数过程： 随机过程N(t),t 0称为计数过程，假如N(t) 表 达从0到t时刻某一特定事件A发生旳次数， 它具有下列两个特点：
t
0
M
t
sf
s ds,
t0 t0
3、更新方程旳解
设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一旳在有限 区间内有界旳解
t
K (t) H (t) 0 H (t s)dm(s)
4、更新方程在人口学中旳一种应用
考虑一种拟定性旳人口模型
B(t) ------在时刻t女婴旳出生速率，即在 [t,t+dt]之间有
注： 在有限旳时间内不可能有无限屡次更新发生。因为
If EX k 0
Tn
n
所以，if n ,
由大数定律知，依概率1有
n
Then Tn
从而，无穷屡次更新只可能在无限长旳时间内发生，即有限旳时间内最多只 能发生有限次更新。
N t supn;Tn t maxn;Tn t
2、更新方程 ：如下形式旳积分方程称为更新方程
取有限或可列个值（称为过程旳状态，记为0，1，2，…），
而且，对任意n 0 及状态 i, j,i0,i1, ,in1 ，有
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i) P( X n1 j X n i)
2、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i pij n
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项是随机过程的典型特征？A. 确定性B. 可预测性C. 无记忆性D. 独立增量性答案：D2. 马尔可夫链的哪一性质表明，系统的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关？A. 独立性B. 无记忆性C. 齐次性D. 可逆性答案：B3. 布朗运动是一个连续时间的随机过程，其增量具有什么性质？A. 独立性B. 正态分布C. 独立增量性D. 所有选项都正确答案：D4. 随机过程的平稳性指的是什么？A. 过程的分布随时间不变B. 过程的均值随时间不变C. 过程的方差随时间不变D. 过程的自相关函数随时间不变答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机过程的任意时刻的分布函数不随时间变化，则称该随机过程是________。
答案：平稳的2. 随机过程的自相关函数R(t,s)表示在时刻t和时刻s的随机变量的________。
答案：相关性3. 随机游走过程是一类具有________性质的随机过程。
答案：独立增量4. 泊松过程是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的随机过程，其特点是事件的发生具有________。
答案：无记忆性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是马尔可夫过程，并给出其数学定义。
答案：马尔可夫过程是一种随机过程，其未来的状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
数学上，如果对于任意的n，以及任意的时间序列t1, t2, ..., tn，满足P(Xt+1 = x | Xt = x_t, Xt-1 = x_t-1, ..., X1 = x_1) = P(Xt+1 = x | Xt = x_t)，则称随机过程{Xt}为马尔可夫过程。
2. 描述布朗运动的三个基本性质。
答案：布朗运动的三个基本性质包括：1) 布朗运动的增量是独立的；2) 布朗运动的增量服从正态分布；3) 布朗运动具有连续的样本路径。
3. 什么是平稳随机过程？请给出其数学定义。
(完整版)随机过程习题.doc
随机过程复习一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4 、什么是白噪声？性质？二、计算：1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A2 ]=E[ B 2 ]= 2 。
求： X (t)E[ 的数学期望和自相关函数？2 、判断随机过程 X (t )A cos( t) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
af ( )12；f A ( a)a2e 2 2a 023 、求随机相位正弦函数 X (t)A cos( 0 t) 的功率谱密度， 其中 A 、 0是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。
4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos(0 t)的自相关函数及谱密度。
其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。
5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利分布，其概率密度为x 2x2e 2 2x 0f A (x)0 x 0试证明 X (t ) 为宽平稳过程。
解：（ 1） m X (t) E{ Acos(0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )}x 2x22e 2 2 dxy)dy 0 与 t 无关2 cos( 0t 0（ 2） X 2 (t)E{ X 2 (t )}E{ A cos( 0t Y)}2E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 )3x2tE( A 2)x1 2t2e 2 2dt ， 2 e 22dx2tttte 2 2|0e 2 2 dt2 2e 2 2|0 22所以X2(t )E{ X 2 (t )}（3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]}E[ A 2] E{cos(0t1Y ) cos( 0t 2 Y)}22 2 10t10t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy[cos(222cos 0(t 2 t 1 )只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。
随机过程习题集
随机过程习题集
1. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，且满足转移概率 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = P{X(s) = j | X(0) = i}。
证明该随机过程是齐次马尔可夫过程。
2. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个连续时间马尔可夫链，其状态空间为非负整数集合。
设转移速率为λi>0，即
P{X(t+s) = i+1 | X(t) = i} = λi·s + o(s)，其中 o(s) 表示当
s 趋于 0 时，o(s)/s 无界。
证明该随机过程是无记忆的。
3. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为有限集合 S = {1, 2, ..., n}，转移概率矩阵为 P = [pij]，即 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = pij。
证明当 t 趋于无穷大时，P(t) = [Pij(t)] 是一个稳态过程，即其转移概率与时间 t 无关。
4. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为非负整数集合。
记τ0 = 0 且τ1 = inf{t > 0: X(t) = 0}。
证明条件P{τ1 < ∞ | X(0) = i} = 1 当且仅当 i > 0。
5. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个服从泊松过程的随机过程，其到达速率为λ。
证明对于任意t ≥ 0，有P{X(t) ≥ 2} = 1 - e^(-λt) - λt e^(-λt)。
这是一些关于随机过程的习题，希望能对你有帮助！如果
你还有其他问题，可以继续提问。
随机过程生灭过程例题
随机过程生灭过程例题
以下是一个简单的随机过程生灭过程的例题：
假设某种细菌的存活时间服从指数分布，平均寿命为10小时。
假设开始时有100个细菌，求出在20小时内全部细菌死亡的概率。
解答：
根据指数分布的性质，细菌存活时间的概率密度函数为 f(t) = λe^(-λt)，其中 λ 是细菌死亡率的倒数，也就是平均寿命的倒数。
在本例中，平均寿命为10小时，所以 λ = 1/10。
现在我们要求在20小时内全部细菌死亡的概率。
根据生灭过程的性质，全部细菌死亡的概率等于在20小时内每个细菌都死亡的概率的乘积。
由于每个细菌的存活时间是独立的，所以每个细菌在20小时内死亡的概率为：
P(细菌死亡) = ∫[0,20] λe^(-λt) dt = 1 - e^(-λt) = 1 - e^(-20/10) = 1 - e^(-2)
由于有100个细菌，所以全部细菌死亡的概率为：
P(全部细菌死亡) = [P(细菌死亡)]^100 = [1 - e^(-2)]^100 将数值代入计算，即可得到在20小时内全部细菌死亡的概率。
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[2 RX ( ) RX ( T ) RX ( T )]e j d
2G X ( ) G X ( ) e jT G X ( ) e jT 2G X ( )[1 cos(T )]
4谱分析
[例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率： (1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；
(2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
[ 解]
(1) 随机过程 X (t) 是平稳过程， a2 相关函数： RX ( ) cos( 0 ) 2 平均功率： (2)
2随机过程的基本概念
例1
• 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其
中 a >0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分
布的随机变量。
求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。
m X (t ) 0 a2 a2 R X ( s, t ) cos[ (t s )] cos , ( t s ) 2 2
X (t)
H1()
Y1(t)
Y2(t)
Y (t ) X (t ) h(t ) X (t )h( )d
H2()
mY1 mX h1 ( )d 0
mY2 mX h2 ( )d 0
当GY1Y2 () 0 时,
RY1Y2 ( ) 0
2
a2 RX ( ) cos( ) X (t ) X (t ) 2
故 X (t) 是为各态历经过程。
3平稳过程 [例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 为常 数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。
2随机过程的基本概念
例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值
向量、自相关阵和协方差阵，N=3。
解：
1, 0 x 1 Xi 的一维概率密度函数为： f X i ( x) 其它 0,
1
i i
Xi 的均值： m X E[ X i ] - x f X ( x)dx 0 x dx
[解]
E[ X (t )] E[Y (t )] 0
RX (t, t ) a2 cos RX ( )
2
RY (t, t )
b2 2
cos RY ( )
故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E{a cos(t )b sin[ (t ) ]} ab sin RXY ( ) 2 所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。
t (t ) k 1 e , t0 fWk (t ) ( k 1)! t0 0 ,
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P(Wk t0 ) e t dt t0 (k 1)! n k 1 t0 (t 0 ) P[ X (t0 ) k ] e n! n 0
1 2
2 i j E[ X i ] 1 / 3 , r E [ X X ] Xi 的自相关函数： ij i j E[ X i ] E[ X j ] 1 / 4 , i j
均值向量
1 / 2 MX 1 / 2 1 / 2
[解 ]
1 H ( ) , 其中 i RC
R X (t) C Y (t)
h(t ) et u(t ) GX () FT [RX ( )] N0
2 GY ( ) H ( ) G X ( ) 2 N0 2 N 0 RY ( ) IFT[GY ( )] e
m
2 (2 e jω e jω ) 2(1 cos )
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
4谱分析
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
延迟T
Y (t)
RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] E{[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2 RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
3平稳过程
例3
• 设有随机相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
1 E[ X (t )] a cos( t ) d 0 0 2 1 T X (t ) lim a cos( t )dt 0 T 2T T
假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，
1 h( ) Y (t ) X (t ) N0
通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。
5随机信号通过线性系统的分析 [例2] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为 RX ( )
= N0 ( ) ，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。
4谱分析
例2
• 已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) ea cos( ，其中 0 ) a > 0, 0 为常数，求谱密度 GX () . [解]
GX ( ) 2 e a cos(0 ) cos( ) d
0
e a [cos(0 ) cos(0 ) ] d
RX (m) E[ X (n m) X (n)] E{[W (n m) W (n m 1)][W (n) W (n 1)]} 2 [2 (m) (m 1) (m 1)]
GX ( )
jω m R ( m ) e X
2 0
a sin(t ) f ( )d
0
2
sin(t )d 0
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]
2 0
a2 a2 sin(t ) sin[ (t ) ]d cos 2 2
2
2
P RY (0)
N 0
2
5随机信号通过线性系统的分析 [例3] 如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零
的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。如何设 计H1()和H2()才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？
[解 ]
互不相关 协方差为零
2 RZ ( s, t ) k e jk ( s t ) k 1 n
3平稳过程
例1
• 设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为 (0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。 [ 解]
E[ X (t )] E[ a sin(t )] a 2
RY1Y2 ( ) E[Y1 (t )Y2 (t )]
RX ( u v)h1 (u )h2 (v)dudv
CY1Y2 ( ) 0
当两个LTI系统的幅频特性 互不重叠时，则它们的输出 Y1(t) 和Y2(t) 互不相关。
RX ( ) h1 ( ) h2 ( )
自相关阵
1 / 3 1 / 4 1 / 4 RX 1 / 4 1 / 3 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 3
协方差阵
0 0 1 / 12 CX 0 1 / 12 0 0 1 / 12 0
2随机过程的基本概念
例3
P RX (0) a 2 2
2 2 a a E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 ( 0t )] sin(2 0t ) 2 X (t) 是非平稳过程 1 T 平均功率： P lim E[ X 2 (t )] d t a 2 2 T 2T T
0
a a 2 ( 0 ) 2
a a 2 ( 0 ) 2
4谱分析
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () . [ 解]
mX (n) E[ X (n)] E[W (n) W (n 1)] 0
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
因此 X (t)是平稳随机过程。
3平稳过程
例2（白噪声序列）
• 设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。 [解] 因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 (2) RX (n, n ) E[ X n X n ] 0, 0
2随机过程的基本概念
例2
• 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W ( t) = X ( t) + Y ( t) ，