随机过程例题

因此 X (t)是平稳随机过程。
3平稳过程
例2（白噪声序列）
• 设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。 [解] 因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 (2) RX (n, n ) E[ X n X n ] 0, 0
2随机过程的基本概念
例1
• 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其
中 a >0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分
布的随机变量。
求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。
m X (t ) 0 a2 a2 R X ( s, t ) cos[ (t s )] cos , ( t s ) 2 2
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
3平稳过程
例3
• 设有随机相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
1 E[ X (t )] a cos( t ) d 0 0 2 1 T X (t ) lim a cos( t )dt 0 T 2T T
2
2
P RY (0)
N 0
2
5随机信号通过线性系统的分析 [例3] 如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零
的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。如何设 计H1()和H2()才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？
[解 ]
互不相关 协方差为零
2随机过程的基本概念
例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值
向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。
解：
1, 0 x 1 Xi 的一维概率密度函数为： f X i ( x) 其它 0,
1
i i
Xi 的均值： m X E[ X i ] - x f X ( x)dx 0 x dx
2
a2 RX ( ) cos( ) X (t ) X (t ) 2
故 X (t) 是为各态历经过程。
3平稳过程 [例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 为常 数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。

X (t)
H1()
Y1(t)
Y2(t)
Y (t ) X (t ) h(t ) X (t )h( )d

H2()
mY1 mX h1 ( )d 0


mY2 mX h2 ( )d 0


当GY1Y2 () 0 时,
RY1Y2 ( ) 0
4谱分析
[例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率： (1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；
(2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
[ 解]
(1) 随机过程 X (t) 是平稳过程， a2 相关函数： RX ( ) cos( 0 ) 2 平均功率： (2)
2 RZ ( s, t ) k e jk ( s t ) k 1 n
3平稳过程
例1
• 设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为 (0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。 [ 解]
E[ X (t )] E[ a sin(t )] a 2
t (t ) k 1 e , t0 fWk (t ) ( k 1)! t0 0 ,
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P(Wk t0 ) e t dt t0 (k 1)! n k 1 t0 (t 0 ) P[ X (t0 ) k ] e n! n 0
1 2
2 i j E[ X i ] 1 / 3 , r E [ X X ] Xi 的自相关函数： ij i j E[ X i ] E[ X j ] 1 / 4 , i j
均值向量
1 / 2 MX 1 / 2 1 / 2
2 0
a sin(t ) f ( )d
0
2
sin(t )d 0
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]
2 0
a2 a2 sin(t ) sin[ (t ) ]d cos 2 2
5随机信号通过线性系统的分析
例1 （h(t) 的估计）
• 设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函 数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则

RYX ( ) N 0 ( u)h(u) d u N 0 h( )

1 h( ) RYX ( ) N0
RY1Y2 ( ) E[Y1 (t )Y2 (t )]



RX ( u v)h1 (u )h2 (v)dudv
CY1Y2 ( ) 0
当两个LTI系统的幅频特性 互不重叠时，则它们的输出 Y1(t) 和Y2(t) 互不相关。
RX ( ) h1 ( ) h2 ( )
P RX (0) a 2 2
2 2 a a E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 ( 0t )] sin(2 0t ) 2 X (t) 是非平稳过程 1 T 平均功率： P lim E[ X 2 (t )] d t a 2 2 T 2T T
GY ( ) RY ( ) e j d

[2 RX ( ) RX ( T ) RX ( T )]e j d


2G X ( ) G X ( ) e jT G X ( ) e jT 2G X ( )[1 cos(T )]
假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，
1 h( ) Y (t ) X (t ) N0
通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。
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5随机信号通过线性系统的分析 [例2] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为 RX ( )
= N0 ( ) ，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。

4谱分析
例2
• 已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) ea cos( ，其中 0 ) a > 0, 0 为常数，求谱密度 GX () . [解]
GX ( ) 2 e a cos(0 ) cos( ) d
0

e a [cos(0 ) cos(0 ) ] d
[解 ]
1 H ( ) , 其中 i RC

R X (t) C Y (t)
h(t ) et u(t ) GX () FT [RX ( )] N0
2 GY ( ) H ( ) G X ( ) 2 N0 2 N 0 RY ( ) IFT[GY ( )] e
自相关阵
1 / 3 1 / 4 1 / 4 RX 1 / 4 1 / 3 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 3
协方差阵
0 0 1 / 12 CX 0 1 / 12 0 0 1 / 12 0
2随机过程的基本概念
例3

jk t Z A e , t 0 ，其中A1, 设复随机过程 t k n
A2, … , An 是相互独立且服从 N(0, k2 )的随
k 1
机变量，1, 2, … , n 为常数，求 { Zt , t
0 } 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。
mZ (t ) 0
RX (m) E[ X (n m) X (n)] E{[W (n m) W (n m 1)][W (n) W (n 1)]} 2 [2 (m) (m 1) (m 1)]
GX ( )
jω m R ( m ) e X
GY1Y2 () GX () H1 () H2 ()
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 6泊松过程
[解] 故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ，服从 分布:
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
2随机过程的基本概念
例2
• 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W ( t) = X ( t) + Y ( t) ，
则 W (t) 的均值函数为
其相关函数为
mW (t ) mX (t ) mY (t )
RW ( s, t ) E[W ( s )W (t )] E{[ X ( s ) Y ( s )][ X (t ) Y (t )]} E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )Y (t )] E[Y ( s ) X (t )] E[Y ( s )Y (t )] R X ( s, t ) R XY ( s, t ) RYX ( s, t ) RY ( s, t )
m
2 (2 e jω e jω ) 2(1 cos )
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
4谱分析
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
延迟T

Y (t)
RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] E{[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2 RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
0


a a 2 ( 0 ) 2

a a 2 ( 0 ) 2
4谱分析
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () . [ 解]
mX (n) E[ X (n)] E[W (n) W (n 1)] 0
[解]
E[ X (t )] E[Y (t )] 0
RX (t, t ) a2 cos RX ( )
2
RY (t, t )
b2 2
cos RY ( )
故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E{a cos(t )b sin[ (t ) ]} ab sin RXY ( ) 2 所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。