4第四章 机械振动
大学物理 第4章机械振动(完全版)
注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。
平衡位置: k
F
外
0, 或 M外 0
o (原长) (平衡位置)
m
x
21
４．4简谐振动的能量 x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )
振动势能： E p 振动动能：Ek
1 2 1 kx
2
k
o (原长) (平衡位置)
m
o (原长) (平衡位置) x
o
x
xo (平衡位置)
(原长)
m
1 2 kx
2
Ep
弹
E p振
E p振 E p弹 1 2
1 2
kx
2
k ( xo x)
2
24
例题如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的 倔强系数k=24N/m, 物体的质量m=6kg, 静止在平衡位 置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由 平衡位置向左运动了s=0.05m, 此时撤去外力F。取物 体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运动方 程; (2)何处Ek=Ep? 解 (1) k
质点的简谐振动状态由下面两个物理量确定： x =Acos( t+ )
dx dt
A sin( t )
显然，它们由相位唯一确定。
5
五 .振动的超前与落后
设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2) 振动x2超前x1(2 -1) ； >0, =0, 振动x2和x1同相 ； 相差 =2 -1 <0, 振动x2落后x1(2 -1) ； =, 振动x2和x1反相 。
大学物理——第4章-振动和波
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν==6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+==8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
大学物理教案-第4章 机械振动 机械波
动的时刻)。
反映 t=0 时刻的振动状态(x0、v0)。
x0 Acos0
v0 Asin0 x
m
A
0=0
o
A
X0 = A
o x
-A x
t T
0 = /2
m
A
o X0 = 0
m
-A
o
X0 = -A
o x
-A x
A
o x
-A
t T
0 = Tt
4、振幅和初位相由初始条件决定
由
x0 Acos0
v0 Asin 0
A A12 A22 2 A1A2 cos2 1 ，
tan A1 sin 1 A2 sin 2 。 A1 cos1 A2 cos2
3. 两种特殊情况
（1）若两分振动同相 2 1 2k ，则 A A1 A2 , 两分振动相互加强， 如 A1=
A2 ,则 A = 2A1
（2）若两分振动反相，2 1 2k 1 ， 则 A | A1 A2 | ,两分振动相互减弱，
波动是振动的传播过程。 机械波----机械振动的传播 波动 电磁波----电磁场的传播 粒子波----与微观粒子对应的波动 虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。
一、 弹簧振子的振动 m
o X0 = 0
§4.1
m
简谐振动的动力学特征
二、谐振动方程 f=-kx
a f k x
x
mm
令 k 2 则有 m
教学内容
备注
1
大学物理学
大学物理简明教程教案
第 4 章 机械振动 机械波
前言 1. 振动是一种重要的运动形式 2. 振动有各种不同的形式 机械振动:位移 x 随 t 变化；电磁振动；微观振动 广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 3. 振动分类
大学物理 机械振动课件
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。 解：设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）
§4.2 简谐振动的运动学
第4章--机械振动
t 0
(2)初位相 t=0 时的位相 0
(0, 2 ) or ( , )
x0 v0
A
cos0 A s in
0
tg 0
v0
x0
取使x0 、 v0 均满足的值
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用分析法确定初位相
X
0 X0=+A ❖ t=0时, x0=0, v0<0
v
X
0
❖ t=0 时，x0=A, v0=0.
参考点在坐标轴上的投影才是谐振动
（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限
由图可知:
v2
v1
x>0, v<0 , φ在第 I 象限 x<0, v<0 , φ在第Ⅱ象限 x<0, v>0 , φ在第 III 象限 x>0, v>0 , φ在第Ⅳ象限
x2 x3 3
v3
2
1 x1
x4
X
x0 v0
Acos0 A sin 0
A
0
0 0
vx00
Acos0 A sin 0
0
0
0
2
❖ t=0时, x0=-A, v0=0
vx00
Acos0 A sin 0
A 0
X
-A 0
0
14
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❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
X
0
❖ t=0时, x0=A/2, v0<0 v
狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复
运动，称为机械振动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在某一 数值附近反复变化。
大学物理学_第四章机械振动
高次谐频 决定音色
4
共四十九页
物理上：一般振动是多个简谐振动的合成
数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以(kěyǐ)说 S.H.V.是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上。
x(t)
a0 2
[Ak
k 1
cos(k
t
k )]
§4.1 简谐振动(zhèndòng)及其描述
t=t
t=0
t+0
o
· 0
x
x
x = A cos( t + 0)
优点： ⑴初位相直观明确。 ⑵ 比较(bǐjiào)两个简谐振动的位相 差直观明确。
(t 2) (t 1) 2 1
共四十九页
A2
A1
1
0
x
8
(t 2 ) (t 1) 2 1
(A1、A2) 两个(liǎnɡ ɡè)振动为同相；
1
T
: 初位相。 [ (t ）：t 时刻的位相. ]
A，，：简谐振动的特征参量. 6 共四十九页
二 简谐振动的几何(jǐ hé)描述方法
1 振动(zhèndòng)曲线法
x 0.02cos(2 t )
2
x(m)
0.02 0
0.5
1.0 t (s)
7
共四十九页
2.旋转(xuánzhuǎn)矢量法
量应该处于π/2的位置,亦可
知ω- π/3 =π/2.)
19
§4.3 简谐振动(zhèndòng)的能量
v Asin(t 0 )
简谐振动的能量(以水平弹簧(tánhuáng)振子为例)
(1) 动能
(dòngnéng)
机械振动基础
第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
大物习题答案第4章 机械振动
第4章 机械振动基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
大学物理第4章机械振动 机械波课件讲义
则系统受到的合力为
F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)
m
d2x dt 2
k
x
m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2
2
x
0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos
A
sin(
t
0 )
第四章-机械振动
x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2） 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
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- 81 - 第二篇振动与波振动和波动是物质的基本运动形式。
在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波量子力学又叫波动力学。
第四章 机械振动教学时数：6学时 本章教学目标了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。
教学方法：讲授法、讨论法等教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。
例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。
广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。
例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间- 82 -作周期性的变化，因此都可以称为振动。
§4—1 简谐振动的动力学特征简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。
定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0)则这种振动称之为简谐振动。
研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。
一、弹簧振子模型将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。
如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。
以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为F= - kx式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。
即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。
如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其2=-xd m kx- 83 -它能量损耗)，则振子的运动微分方程为此式就是描述简谐振动的运动微分方程 能满足上式的系统，又可称为谐振子系统。
二、单摆如图所示，细线长为l ，一端固定在A 点，另一端系一质量为m 的小球，不计细线的质量和伸长。
细线在铅直位置时，小球在O 点。
此时作用在小球上的合外力为零，故位置。
即为平衡位置。
将小球稍微移离平衡位置O ，小球在重力作用下就会在位置。
附近来回往复的运动。
这一振动系统称为单摆。
把单摆在某一时刻离开平衡位置的角位移θ作为位置变量，并规定小球在平衡位置右方时，θ为正；在左方时，θ为负。
重力对A 点的力矩为mglsinθ拉力T 对该点的力矩为零，所以单摆是在重力矩作用下而振动。
根据转动定律。
得I β = M = - mg l sin θ式中负号表示重力矩的符号总是和sin θ的符号（即和角位移θ的符号）相反，I= m l 2表示小球对A 轴的转动惯量， 表示小球的角加速度。
当角位移θ很小时(θ﹤5º)，θ的正弦函数可用θ的弧度代替，所以22dtd θβ=θθβgd -==2- 84 -式中摆长和重力加速度都是常量，而且均为正值。
简谐振动的微分方程，可以归结为如下形式，即例：一质量为m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置A 为原点，向下为x 轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x ，则物体在振动过程中的运动方程为式中l 是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg = k l ，所以上式为lg x dtx d ==+22220ωω对于单摆，mg l x k dtxd m ++-=)(22).(0)(222222m k x dtx d l x k dt xd m ==++-=ωω式中即为- 85 -于是该系统作简谐振动。
§4—2简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程如前所述，微分方程 的解可写作 x = A cos(ωt + φ0)式中A 和φ0是由初始条件确定的两个积分常数，称为简谐振动的运动学方程。
可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示二、描述简谐振动的三个重要参量 1.振幅A物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫做振幅。
将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数，将初始条件t = 0, x = x 0,v = v 0代入，得.0222=+x dtx d ω)sin(2)2sin()cos(000ϕωπϕϕπϕωϕω'+=+='++=+t A x t t 亦可写成令由于⎭⎬⎫+-=+=)sin()cos(00ϕωωϕωt A v t A x ⎪⎭⎪⎬⎫=-=0000sin cos ϕωϕA v A x- 86 -取二式平方和，即求出振幅2.周期、频率、圆频率物体作简谐振动时，周而复始完成一次全振动所需的时间叫做简谐振动的周期，用T 表示。
由周期函数的性质，有频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数，用v 表示在国际单位制中，v 的单位是“赫兹”(符号是Hz)。
圆频率(又称角频率)表示系统在2π秒内完成的完全振动的次数由上节讨论可知，简谐振动的圆频率是由系统的力学性质决定的，故又称之为 固有(本征)圆频率。
由此确定的振动周期称之为固有（本征）周期。
例如：220)(ωv x A +=ωππϕωϕωϕω2)2cos(])(cos[)cos(000=++=++=+T t A T t A t A 由此可知πω21==T v v Tππω22==Imgh l gmk===ωωω复摆单摆弹簧振子g l T km T ππ22==单摆弹簧振子- 87 -3.位相和初位相我们把能确定系统任意时刻振动状态的物理量叫做简谐振动的位相(或称相位，周相)。
两振动位相之差△φ = φ2 - φ1，称为位相差。
若位相差等于零或2п的整数倍，则称两振动同步，如果两振动的振幅和频率也相同，则表明此时它们的振动状态相同。
因此，对于一个以某个振幅和频率振动的系统，若它们的运动状态相同，则它们所对应的位相差必定为2п或2nп的整数倍。
t = 0时的位相叫初位相φ0可见，初位相也是由初始条件确定。
例：轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m 的物体设弹簧的劲度系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 若物体m 在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放(1)试证明物体m 的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程。
解 (1)若物体m 离开初始位置的距离为b 时，受力平衡，则此时0tan x vωϕ-=- 88 -以此平衡位置为O 坐标原点，竖直向下为x 轴正向，当物体m 在坐标x 处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有 联立以上5式解得所以，此振动系统的运动是谐振动。
（2）由上面的表达式知，此振动系统的圆频率故振动周期为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='='=+=='-'=-22112211)(T T T T R a b x k T I R T R T ma T mg 及ββkmg b kb mg ==即0)(0)(222222=++=++x R I m k dt x d kx dt xd R I m 即)(2R I m k+=ωkR I m T )(222+==πωπ- 89 -（3）依题意知t = 0时，x 0=-b ，v 0=0，可求出振动系统的振动方程为例 已知如图（p126 图4-7）所示的谐振动曲线，试写出振动方程。
解 设谐振动方程为 x = A cos(ωt + φ0)。
从图中易知A = 4cm ，下面只要求出φ0和ω即可。
从图中分析知，t=0时，x 0=-2cm ，且（由曲线的斜率决定），代入振动方程，有-2 = 4cosφ0。
故 ，又由v 0=-ωA sinφ0<0，得sinφ0>0，因此只能取 。
再从图中分析，t=1s 时，x=2cm ，v>0，代入振动方程有同时因要满足故应取 所以振动方程为πωϕω=--===+=)arctan(002220x v kmg b v x A ])(cos[)cos(20πϕω++=+=t R I m k k mg t A x πϕ320=00<=dtdx v πϕ320±=）（应注意这里不能取或所以即337353221)32cos()32cos(4)cos(420ππππωπωπωϕω±=+=++=+=,032sin(,0)32sin(<+>+-=πωπωω即v ,,3532πωππω==+即cmt x )32cos(4ππ+=- 90 -用旋转矢量法也可以简单地求出谐振动的φ0和ω。
如图4-8所示，在x-t 曲线的左侧作O x 轴与位移坐标轴平行，由振动曲线可知，a ，b 两点对应于t=0s ，1s 时刻的振动状态，可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为和 。
下面作详细说明：由a 向O x 轴作垂线，其交点就是t=0时刻旋转矢量端点的投影点。
已知该处x 0=-2，且此刻v 0<0，故旋转矢量应在O x 轴左侧，它与O x轴正向的夹角 ，就是t=0时刻的振动位相，即初相；又由x-t 曲线中b 点向O x 轴作垂线，其交点就是t=1s 时刻旋转矢量端点的投影点，该处x=2cm 且v>0，故此时刻旋转矢量应在O x 轴的右侧，它与O x 轴的夹角 就是该时刻的振动位相，即，解得ω=π§4—3简谐振动的能量以弹簧振子为例来说明谐振动的能量。
设振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，在某一时刻的位移为x ，速度为u ，即 x=A cos(ωt+φ0) v=-ωA sin(ωt+φ0)于是振子所具有的振动动能和振动势能分别为πϕ320=πϕ35=ππω3532=+t )(cos 2121)(sin 21)(sin 2121022202202222ϕωϕωϕωω+===+=+==t kA kx E t kA t A m mv E p k- 91 -这说明弹簧振子的动能和势能是按余弦或正弦函数的平方随时间变化的。
动能、势能和总能量随时间变化的曲线如图。