最新二章分岔与奇怪吸引子
非线性电路与混沌讲解
混沌运动的主要特征
初值敏感性
长期行为的不可预见性
（例：洛仑兹的天气模型）
下一页
看两条轨道是如何分道扬镳的 （初值分别为0.506，0.506127）
倍周期分岔
解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维 非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。
xn1 xn (1 xn )
生命的整体性，包括： （1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；
（2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网 络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网 络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心 脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力 学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简 单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是 非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到 这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路 还很长很长。Biblioteka 实验原理GL
C2
C1
R
R 有源非线性负阻元件, G 电导，C1和C2 电容。
各区域的作用：黄色区： 产生振荡，蓝色区： 移相， 粉色 区：有源非线性元件。 下一页
～
有源非线性元件的电压、电流特性：
I
0
V
上图是一个非线性负阻的电压电流特性曲线，它的 实现方法有许多种，本实验使用的是Kennedy于1993年提 出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来 实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电 路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上 述元件看成是一个黑匣子即—有源非线性负阻。 下一页
在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问题，即用 动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确 定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间 较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫 和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差 是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的， 必须考虑能量的补充和耗散。Lorenz发现了“蝴蝶效应”， 指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确 定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可 预报时限大约是两三周左右的时间。 也就是说进行长期预报是不可能的。
非线性物理学概论
非线性科学概要为《非线性物理概论》一书写的序言汪秉宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。
牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。
当深入到微观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s），则相对论是正确的。
非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。
例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。
又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。
实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。
因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。
任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。
例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。
从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。
迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。
分岔图做法[1]
![分岔图做法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8c583b4172ded630b1cb664.png)
>>混沌研究总结篇------一、分岔图（系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
分岔与奇怪吸引子
d2t
dt
对于平衡点 I1 邻域有:
I(t)I0exp (t)
引进参数作用 量I 与角度量q
x 2I cosq
d d It 2 Ico 2qs1 2Isi2qn
I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I
随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不 稳定焦点。
相位求平均
/ C2
dI dt
I2 C
1. 切分岔
数学模型
利用方程： 由
dx x2
dt
得d平x/d衡t 点0
x0
(a)当μ＜0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当μ＞0时出现两个奇点, x0 ，
说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 μ＞0 两个奇点的稳定性
在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随
时间变化。设距离：x x0
向不动点B
.
2 .平方映射的不动点
不动点的稳定性
非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。
上述计算可见，当μ<3时迭代走向不动点，当μ>3迭代值出现持续振荡，
说明迭代在μ= 3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。
如一维映射 xn+1f具(有,x不n)动点，即有解
x f(,x)
设 n 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有： xn + 1f(,xn)
.
2 .平方映射的不动点
平方映射的不动点
通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映 射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续 迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：
解此方程得：
xi xi(1xi)
近代物理实验思考题答案
近代物理实验思考题答案一、夫兰克—赫兹实验1解释曲线I p －V G2形成的原因答；充汞的夫兰克-赫兹管，其阴极K 被灯丝H 加热，发射电子。
电子在K 和栅极G 之间被加速电压KG U 加速而获得能量，并与汞原子碰撞，栅极与板极A 之间加反向拒斥电压GA U ，只有穿过栅极后仍有较大动能的电子，才能克服拒斥电场作用，到达板极形成板流A I 。
2实验中，取不同的减速电压V p 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？答；减速电压增大时，在相同的条件下到达极板的电子所需的动能就越大，一些在较小的拒斥电压下能到达极板的电子在拒斥电压升高后就不能到达极板了。
总的来说到达极板的电子数减小，因此极板电流减小。
3实验中，取不同的灯丝电压V f 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？答；灯丝电压变大导致灯丝实际功率变大，灯丝的温度升高，从而在其他参数不变得情况下，单位时间到达极板的电子数增加，从而极板电流增大。
灯丝电压不能过高或过低。
因为灯丝电压的高低，确定了阴极的工作温度，按照热电子发射的规律，影响阴极热电子的发射能力。
灯丝电位低，阴极的发射电子的能力减小，使得在碰撞区与汞原子相碰撞的电子减少，从而使板极A 所检测到的电流减小，给检测带来困难，从而致使A GK I U 曲线的分辨率下降；灯丝电压高，按照上面的分析，灯丝电压的提高能提高电流的分辨率。
但灯丝电压高, 致使阴极的热电子发射能力增加，同时电子的初速增大，引起逃逸电子增多，相邻峰、谷值的差值却减小了。
二、塞曼效应1、什么叫塞曼效应，磁场为何可使谱线分裂？答；若光源放在足够强的磁场中时，原来的一条光谱线分裂成几条光谱线，分裂的谱线成分是偏振的，分裂的条数随能级的类别而不同。
后人称此现象为塞曼效应。
原子中电子的轨道磁矩和自旋磁矩合成为原子的总磁矩。
总磁矩在磁场中受到力矩的作用而绕磁场方向旋进从而可以使谱线分离2、叙述各光学器件在实验中各起什么作用?答；略3、如何判断F-P 标准具已调好？答；实验时当眼睛上下左右移动时候，圆环无吞吐现象时说明F-P 标准具的两反射面平行了。
分岔ppt课件
2 .平方映射的不动点
<1时走向不动点 A
当参数<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管
初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次 数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽 然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。
2 .平方映射的不动点
准备:
1. 建立坐标系 x n1 ~ x n
2. 作条抛物线：
x n1 x n (1 x n )
3. 作对角线，称恒等线
x n1 x n
通过它做投影。
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条抛物线， 抛物线高度由 值决定。
d 2x dt 2
k x
x3
0
由势能曲线知：
a. 在 k 时0仅有一个平衡点：
x 0
b.在 k时存0 在三个平衡点：
x0 x k
可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解
转为三解的叉式分岔。
c.在这三个平衡点中， x ， 处k
在势能极小点，是稳定的； x 处0 在势
能极大点，是不稳定的平衡点。
4 霍夫型分岔
一、从横坐标 x0 处作竖直线 与抛物线相交，这点的纵坐标 高度即为 x1;
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
对于稳定的不动点，应有 e n+1 e n , 即： m 1
3.1-分岔
4.霍夫型分岔
分岔分析
1/(2t C) 0
/(1 Ce2t ) 0
参数μ从负变到正，从焦点
产生出极限环,这种分岔称
霍夫分岔。分岔点位于μ=0。
4.霍夫型分岔
极限环
Hopf 分岔有超临界和亚临界的区别
二 平方映射与倍周期分岔
1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解
第 n 代数量: Nn 第 n+1 代数量: Nn1
A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有
如下关系：
Nn1 RN n
当 R >1，种群数量将线性地无限制增长。
1．平方映射
平方映射导出—生态平衡方程
B 种群受环境制约，数量有最大限额 N0 ，种群繁殖空间 N 0 N n ，第 n 代与第 n+1代关系
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x 2 x y[ (x 2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2
)
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx
dt dy
d
dt
d
cos cos
sin cos
dt dt
Nn1 KNn (N0 Nn )
N n1
N n (1
Nn N0
)
K N0
xn1 xn (1 xn )
xn Nn / N0
1.平方映射
平方映射计算
方程展开 xn1 xn (1 xn ) xn xn2
fx2-1
y = f ( , x) 这里 为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时 间演化方程改写为： x (t + 1) = f ( , x (t ))
当时间间隔不取整数，各时刻写成 t1 = t0 + t , t2 = t0 + 2t ,L, tn = t0 + nt 相应的状态为：
d 2x dx + ε x2 1 +ω2x = 0 dt dt 2
(
)
第二节 平方映射与倍周期分岔
1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解及其稳定性 4. 倍周期分岔的功率谱
1．平方映射 ．
映射方程
物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。 一个以为连续变量的单参数的动力学系统：
x 0 = 0.1
x 1 = x 0 (1 x 0 ) = 2.4 0.1(1 0.1) = 0.216
x2 = x1 (1 x1 ) = 0.40642L
x3 = 0.578985L x4 = 0.5859465L
x5 = 0.58227L
x6 = 0.583755L
L
在此参数下，计算结果趋向一个终值： x∞ = 0.583335L
忽略高 阶量
dξ dx = = (ξ + x 0 )2 + dt dt dξ = 2ξx 0 dt
1. 切分岔
解的稳定性与相流
解 dξ ξ (t ) = ξ 0 exp( 2x 0t ) = 2ξx 0 dt ，当 t → ∞ 时， → 0 ，此解是稳定的，是稳定的结点 ξ 结点。 结点 ξ ，当 t → ∞ 时， → ∞ ，解是不稳定的，它是鞍点 鞍点。 鞍点
分岔ppt
年VIP
月VIP
连续包月VIP
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4 霍夫型分岔
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x2 x y[ (x2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2 )
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx ddyt
d
dt
d
cos cos
sin cos
2 转换键型分岔
相流
由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点： μ＜0时，x0=0 轴线是结点，x0= 是不稳定的； μ＞0时，x0=0 的轴线是不稳定的，x0= 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形 状如下图。
3 叉式分岔
数学模型
利用方程： dx x x3
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条
微分 (1)
混沌的“性格”一开始听到“混沌”这个词，还以为是我们生活中吃的那个“混沌”，没想到此混沌非彼混沌。
通过学习了混沌这一节课，我知道了混沌现象普遍存在于自然界中，并与我们日常生活息息相关。
大家都有看到过别人吸烟的经历：一支燃着的香烟，烟雾在平稳的气流中冉冉升起，突然卷曲成一团剧烈扰动的烟雾，四处飘散。
仔细观察烟雾的上升过程可以发现，在烟雾上升的初始，是一种较平稳的层流状态气流；而上升到某些高度后，开始在烟雾边界出现一些极小的振动图案；然后，这些振动图案迅速增大，并开始出现一些卷曲结构；再向上走，这些卷曲就扰乱了整个烟雾。
这个系统很明显对初始的微小扰动非常敏感，卷曲后形成的空间图案依赖于微小的扰动。
像这样典型的混沌现象，还有风中的旗帜、滴水的水龙头、天体运动、气象变化、股票市场的波动、疾病的蔓延等例子。
混沌现象是非线性系统的普遍属性，它包含着极其丰富的信息，其图样华美多彩，巧夺天工，不是艺术胜似艺术。
而这些互不相同的现象却有着相同的“性格”：（1）对初态的敏感依赖性首先，它是混沌系统的一个突出特点，对于开始时的无穷小变化能导致以后大得多的变化的这种行为被称之为混沌的鲜明“性格”。
其次，混沌系统的研究始于庞加莱、伯克霍夫与冯、诺伊曼，而“混沌”变得时髦则归功于李－约克定理。
混沌系统具有对初值的高度敏感性。
换句话说，初值上非常小的变化（如由于测量中的截断误差及噪声等）会导致完全不同的结果。
这与经典物理中的“误差范围内的等同或一致性”相矛盾。
考虑逻辑斯谛映象x n+1=4x n（1-x n）。
取x0=0.2可得x1=0.64，x2=0.9216，x3=0.28901376，x4=0.821939226，x5=0.585420539，x6=0.970813326，x7=0.113339247，x8=0.410973849，x9=0.961563495，x10=0.14783656。
若取x0=0.201则有x1=0.642396，x2=0.918893517，x3=0.298112887，x4=0.836966374，x5=0.545814652，x6=0.991604071，x7=0.0333017509，x8=0.128770977，x9=0.4487556051，x10=0.9989496231。
4 吸引子
第二章
分岔与奇怪吸引子
三
流体不稳定性与洛伦兹方程
1.流体中的不稳定性 2.洛伦兹方程解的分岔
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算 结果趋于一致，~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运 算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次 迭代时很接近，但随后又快速分离开来。
1.流体中的不稳定性
瑞利数
1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘 滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R (瑞利 数) ： g a T d 3
R
h DT
g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT扩散系数。
瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R 值增加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流 体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。 临界值RC为： 4 2 3
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数 ，相空间内初始时刻的两点距离将随 时间(迭代次数)作指数分离：
x n - y n x0 - y 0 exp( n )
经过n次迭代
x0 - y 0
xn - yn x0 - y0 exp n
在一维映射中 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就 有多个 i ，而且沿相空间的不同方向，其 i (i=1,2,…)值一般 也不同。
洛伦兹方程课件
洛伦兹方程
13
2.洛伦兹方程
原点的稳定性
r <1 时坐标原点 xy 是z稳定0的不动点， 它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引
到坐标的原点。
如 r > 1 ，于是分支出两个新的 平衡点 C1与 C2 。 说明在 r = 1 时 系统将发生一次分岔，跨越 r = 1 意 味着原点的吸引子丧失了稳定性， 出现了局部的不稳定性。
这时在坐标原点出现一维不稳定 的流形。这是一次叉式分岔。相应 于在贝纳德实验中流体从静态走向
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
洛伦兹方程
11
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程的耗散性质
证明：
在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的变
化与其中代表点的运动有如下关系：
ddV tV dV ddxxddyyddzz
应用于洛伦兹方程，得：
dx-,dy-1,dz-b dx dy dz
于是有：
V (t) V 0ex - (p 1 [b )t]
为初始相空间的体积。参数 b与0 ， 可0见洛伦兹方程的相空间体积是
V随0 时间收缩的。初始时的有限相体积 随V 时0 间收缩到一点，这点应是坐标
的原点 xy。z0
耗散系统意味着系统存在吸引子洛。伦兹方程
12
洛伦兹方程
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
dx
d dy
d
- (x - y) rx - y - xz
dz d
- bz
xy
x -对流的翻动速率， y -比例于上流与下流液体之间的温差， z-是垂直方向的温度梯度，
开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。 随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出 现 f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。
1.流体中的不稳定性
倍周期分岔普遍性
实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系 统中也会出现。受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同 类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。
当上下温差加大时，为什么 对流不积微渐著，而是突然从 无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
-无量纲因子, /DT ,称为 Prandtl 数;
b-速度阻尼常数：b4/(1k2) ;
r -相对瑞利数 r = R/RC。
其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 进行的:
2洛伦兹方程省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
1.流体中旳不稳定性
瑞利数
1923年，英国学者瑞利对贝纳德试验作了解释。以为是浮力和粘滞力间 旳关系决定液体向上运动。由此定义了一种无量纲参数R (瑞利数) ：
R g a T d 3 h DT
g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。
瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增 长，有一临界值RC，当R 超出RC时，流体出现翻 动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
可见，两个系统对初始扰动旳敏感度由导数 df / 决dx定x0 ，它与初始值 x0 有关。 映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：
xn - yn
n-1 df (xn, )
n=0
dx
xn
x0 - y0
1/ n
每次迭代平
n-1
df
均分离值为： n=0 dx xn
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 -，y0经过一次迭代后来有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
f (x0 ) - f (y0 ) x0 - y0
x0 - y0
df
dx x0
x0 - y0
容器中旳液氦对温度非常敏感，上 下液面千分之一旳温差出现对流。对 流发生时液氦在中心升起，往分流沿 腔壁下降形成两个对流圈。对流引起 温度变化，从温度计输出信号变化中 分析出对流产生过程与变化规律。
1.流体中旳不稳定性
倍周期分岔旳试验检验
因为检测到旳信号受噪声干扰很大，极难从中分析出有用旳信息。利布沙 伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。
7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。
)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。
r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。
=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。
c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。
但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。
是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。
巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。
7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。
)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。
r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。
=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。
c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。
但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。
是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。
巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验
非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。
非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。
本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
一． 实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。
二． 实验原理 ⒈分岔与混沌理论 ⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1X 0X A X B⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
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可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解
转为三解的叉式分岔。
c.在这三个平衡点中， x ，k处 在势能极小点，是稳定的； x 0处在 势能极大点，是不稳定的平衡点。
4 霍夫型分岔
数学模型
dddxtyxyyx[[((xx22yy22))]]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
• 设： x12 .4,x0 x(01 各 0 次x.0 1)计…算x值2 为x ：1(1x1)
x0 0.1 x 1 x 0 ( 1 x 0 ) 2 .4 0 .1 ( 1 0 .1 ) 0 .21 x26 x1(1x1)0.40 642
d2t
dt
第二节 平方映射与倍周期分岔
1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解及其稳定性 4. 倍周期分岔的功率谱
1．平方映射
映射方程
物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。 一个以为连续变量的单参数的动力学系统：
yf(,x) 这里 为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时
1．平方映射
映射方程计算
对一个映射 xn1f(,xn)
的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值 x 0 将其代入映射计算得 x 1 ，
将 x 1 代入映射计算得 x 2 ，由 x 2 可算得 x 3 ，如此一直计算得：x n
例如： 一个简单映射 xn1 Axn 1 次迭代： x1 Ax0 2 次迭代： x2 A1 xA (A0)x A 2 x0 n 次迭代： xn A A (A0 )x A n x0
于是有：
x1,x2,x3,xn
如果将 x i 值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。
1．平方映射
映射与微分方程对应关系
动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者
对应关系为：
xn1 Axn
dx Ax dt
迭代计算 xn Anx0
解方程 x x0eAt
1．平方映射
平方映射导出—生态平衡方程
• 1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种 设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。
第 n 代有: N n 第 n+1 代有: N n 1 A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有如下关系：
间演化方程改写为：
x(t1 )f(,x(t))
当时间间隔不取整数，各时刻写成 t 1 t 0 t ,t 2 t 0 2 t , ,t n t 0 n t
相应的状态为：
x1,x2,xn
xn x(tn)
时间演化方程变成离散方程：
xn1f(,xn)
数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系 统进入混沌状态的是美国科学家梅(May Robert)
y
sin
求导
d dt
Hale Waihona Puke (2)代入原方程
d 1 dt
令正弦余弦系数相等
dx ddyt
d cos
dt
d cos
sin cos
dt dt
4.霍夫型分岔
分岔分析
对方程
积分,可得：
d dt
(
2)
d
dt
1
1/(2t C) 0 /(1Ce2t ) 0 t t0
d d22xtx21d dxt2x0
对于平衡点 I1 邻域有:
I(t)I0exp t()
引进参数作用 量I 与角度量q
x 2I cosq
d d It 2 Ico 2qs1 2Isi2qn
相位求平均
/ C2
dI dt
I2 C
I
dI/dt0
平衡点： I1 0
I2 C 2
I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I
二章分岔与奇怪吸引子
分岔与奇怪吸引子
第一节 简单数学分岔 第二节 平方映射与倍周期分岔 第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程 第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
3 叉式分岔
数学模型
利用方程： dxxx3
dt
由 dx/dt 得0平衡点
x0 0
x
0
分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。 解的稳定性：
Nn1 RNn 当 R >1，种群数量将线性地无限制增长。
B 种群受环境制约，数量有最大限额 N 0 ，种群繁殖空间 N0 Nn
第 n 代与第 n+1代关系
N n 1RnN (N 0N n)
Nn1 Nn(1N Nn0)
RN0
xn1 xn(1xn)
xn Nn/N0
1.平方映射
平方映射计算
方程展开
xn1xn(1xn)
C，t0 为积分常数。
参数μ从负变到正，从焦点产生出
极限环,这种分岔称霍夫分岔。分
岔点位于μ=0。
1.μ≤0，距离 随时间而缩短，当时间 t 时 。 说明0μ轴线上
各点是稳定的焦点。
2. μ＞0， 值随时间增长，不论初始 的大小；当 t 时
形成闭合圈即极限环
4.霍夫型分岔
范德玻耳方程分岔
值情况，即：
如果 为正值，相平面上坐标原点
是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。 不论初始相点处于环内还是环外 ，t时总是趋向于极限环。
如果 为负值，情况刚好相反，坐
标原点变为稳定的焦点，为系统的不 动点，而极限环则是不稳定的。当
t 时，环内相点趋于不动点，环外 相点则远离环而去。
d2xx21dx2x0
随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不 稳定焦点。
对于平衡点 I2 邻域有:
I(t) I0ex p t()
I为0 初始对I2 的偏离量。作用量
I 对的偏离量 随时间指数减小。当
t，I0 , I C, I2 是稳定
的解。
4.霍夫型分岔
范德玻耳方程分岔
结论 范德玻耳方程霍夫型分岔与参数
的 正负有关。上面讨论的是 为正
μ＜0时只有 x0= 0 的平衡点，经分析
方法可知它是稳定的。
相流图形
μ＞0有三个平衡点， x0= 0 是不稳定 的，解 x0 是稳定的。
3 叉式分岔
杜芬方程的叉式分岔
杜芬方程具有叉式分岔
d2x d t2
kx
x3
0
由势能曲线知：
a. 在 k 时0仅有一个平衡点： x 0 b.在 k时0存在三个平衡点：
x n 1x n (1 x n )x nx n 2
• xn+1 值与 xn 值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射 (logistic
map), 该式是抛物线表示式，也称抛物映射。
• 由于亲、子两代种群数约化值，在0 ~ 1间，参数μ取值在[0，4]内。
• 离散映射采用迭代计算。即给定参数 值与初始值 x0 ，就有：