哈工大考研管理运筹学第六章(二)树和最小支撑树
运筹学——.图与网络分析-最短路
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分 支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信 息论，工程技术，交通运输，经济管理，电 子计算机等各项领域。对于科学研究，市场 和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路 的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交 通网络的合理布局等问题，都可以应用图论 的方法，简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4
管理运筹学 易错判断题整理
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
运筹学(第6章 图与网络分析)
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第六章 图与网络最小支撑树问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 1 of 5
树、支撑树：
无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树， 则称G1是G2的一棵支撑树。
图6－2(a)、6－2(b)都不是树。想一想，为什么？
求最小树是在一个赋权无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等） 的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、 公路等 等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长 度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
2、树图也是最脆弱的连通图。
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 3 of 5
2-2 图的最小支撑树
定义：设G＝[V,E,W]是一个赋权无向图，对每一条边ei∈E有 一个权重W(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的权重之和称为树 T的权重，记为W（T）。权重最小的支撑树称为最小树。
图6－3(a)是一棵树，图6－3(b)是图6－1的一棵支撑树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
e6
e7
e8
v4
v5
图6－1
v5 v4
v5
运筹学胡运权第五版(第6章)ppt课件
.
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
其中
i
dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）}
dir（0）
r
r
drj（0）
j
即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 7 12 6 ∞
D（1）= V2 5 0 7 2 7 4 10
V3 2 7 0 6 5 4 10
.
最小部分树长Lmin=14
1、最短路问题
*§6.3 最短路问题
从已知的网络图中找出两点之间距离最短（即权和 最小）的路。
2、相关记号
（1）dij表示图中两个相邻点i和j之间的距离（即权）。 易见 dii=0 约定：当i和j不相邻时，dij=∞
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
.
3 V7
1 6
V6
* 4、矩阵算法
求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
运筹学第六章6.2最短路问题
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令
T ( v j0 ) =ຫໍສະໝຸດ min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。 此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想： 算法思想： 利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。 最短路线和最短距离。
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间 寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。 注意： 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 开的初等链中所有的弧 图中，通路 开的初等链 应是首尾相连 首尾相连的 应是首尾相连的） （2）应用背景 应用背景——管道铺设、线路安排、 管道铺设、线路安排、 管道铺设 厂区布局、设备更新等。 厂区布局、设备更新等。
第6章 图与网络分析02-1-树与支撑树
j
h i
图6.3.1
Ludong University
k l m n
2
2012-10-25
第六章 图与网络分析
图与子图 图的连通性
树与支撑树 树与割集
树及其基本性质
最小树问题 最短有向路问题 最大流问题 最小费用流问题
图的割集
最大对集问题
2012-10-25
Ludong University
图与网络分析
Graph and Network Analysis
Ludong University
引言
在各种各样的图中，有一类结构最简单但又十分重要的图, 这就是树。树在自然科学和社会科学的许多领域都有广泛的应 用。例如乒乓球单打比赛抽签后,可用树来表示相遇情况,如图 6.3.1。
运 动 员
g a b c de f
2012-10-25 Ludong University 11
割集—支撑树
定理 6.3.7 设 T 是连通图 G 的支撑树， e 是 T 的一条边，则 (1)余树 T 不包含 G 的割集； (2) T e 包含 G 唯一的割集。 证 (1)设 是 G 的割集。则 G 不连通，因而它不能包含支撑树 T 。所
图6.3.7
定理 6.3.1 e 是 G 的割边当且仅当 e 不包含在 G 的任何一个圈 中。
2012-10-25 Ludong University 6
树的基本性质
定理6.3.2 设 T N , E 是 | N | 3 的一个树，则它有下列性质。
（1） T 连通且无回路；
v1 v3
2012-10-25
图6.3.5
哈工大集合论习题课-第六章 树及割集 习题课(学生)
的顶点集）之间的顶点。
不妨假设，若某条边关联中的两个顶点，设为和，又因为根据上述
的标记法则，有到的路和到的路。设与离和最近的顶点为，所以，树中
存在回路：，与树中无回路的性质矛盾。所以，任意边只能关联（标记
为1的顶点集）和（标记为0的顶点集）之间的顶点。所以，任意一棵非
平凡树都是偶图。
证2 设是任一棵非平凡树，则无回路，即中所有回路长都是零。而
第六章 树及割集
习题课1
课堂例题 例1 设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度 顶点。则 （1）求T有几个1度顶点？ （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树，其顶点数和边数的关系是：且，根据这些性 质容易求解。 解：（1）设该树的顶点数为，边数为，并设树中有个1度顶点。于 是 且，，得。 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。
在（4），（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是
同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为和。
在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排
列情况，共可产生三棵非同构的树，设为。
在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树，
设为。
七个顶点的所有非同构的树如图2所示。
T1
零是偶数，故由偶图的判定定理可知是偶图。
例7（1）一棵无向树有个度数为的顶点，。均为已知数，问应为多少？
（2）在（1）中，若未知，均为已知数，问应为多少？
解：（1）设为有个顶点，条边无向树，则，。由握手定理：
，有，即
。
①
由式①可知：
。
（2）对于，由①可知：
。
例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
关系范式最小支撑
关系范式最小支撑一、关系范式的概念与作用关系范式（Relational Schema）是一种用于描述实体及其之间关系的数据模型，它是关系型数据库的基础。
关系范式通过表格来表示实体和实体之间的关系，表格中的行表示实体实例，列表示实体的属性。
关系范式有助于我们更好地组织和存储数据，以便在进行查询和分析时能够更加高效地利用数据。
二、最小支撑树的概念与作用最小支撑树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
最小支撑树在许多实际应用场景中具有重要作用，如网络通信、运筹学、地理信息系统等。
三、关系范式最小支撑的应用场景关系范式最小支撑（Relational Schema Minimum Spanning Tree，简称RS-MST）是将最小支撑树的概念应用于关系范式中，用以表示实体及其关系的最小支撑树。
在实际应用中，关系范式最小支撑可以帮助我们找到一个关系模型中的最小覆盖集，从而实现对数据的高效查询和分析。
四、关系范式最小支撑的算法实现与优化1.基于贪心算法的实现：首先为关系范式中的每个实体创建一个候选集合，然后遍历实体之间的关系，对于每一条关系，从候选集合中选择一个最小权值的关系加入结果树。
重复此过程，直到所有实体都被包含在结果树中。
2.基于A* 算法的优化：在贪心算法的基础上，引入启发式函数和open列表、closed 列表来提高算法的搜索效率。
3.并行与分布式计算：利用多核处理器和分布式系统，同时对多个关系范式最小支撑任务进行计算，以提高计算效率。
五、案例分析与实践应用1.电商平台：利用关系范式最小支撑分析用户在平台上的购物行为，找到用户群体的核心需求，为企业制定营销策略提供数据支持。
2.社交网络：分析用户之间的关系，找到用户群体的兴趣点和热点话题，为推荐系统和内容运营提供数据支持。
3.物流领域：基于关系范式最小支撑分析物流网络中的运输路径，优化配送方案，降低运输成本。
对最小支撑树的两种捷径算法的探讨
幽沦中的圈是山点和边所 构成 ，儿 以反映一些对象之问的关 系。 ｌ
若所有点 的集合 为Ｖ．所 有边的 集合 为Ｅ ．则ｌＧ Ｖ．Ｅ）。给 ｌ 璺 ＝（ Ｉ 垒 Ｉ
Ｇ 的每一条边Ｊ 上一个非负的实数 。则称 ＩＧ 川 璺 为赋权图。 Ｉ 若有 图 Ｇ。（ ． ． ． Ｖ ，Ｅ Ｊ．Ｇ （ ，Ｅ Ｊ。Ｇ （ 产 ： 产 Ｖ ，Ｅ ），Ｇ＝ ｌ （ 。 。 Ｖ ，Ｅ ），其 中，Ｖ＝ 产Ｖ Ｉ － Ｖ 产Ｖ ＝ Ｖ。｛ ． Ｅ．巨，Ｅ，Ｅ１ Ｅ ． ｃ ，且Ｇ ， 。 Ｇ ，Ｇ 为树 ，则Ｇ Ｇ Ｇ ．Ｇ 被称 为ＩＧ的生成树 。若ｑ具有 ． ． 璺 Ｉ
学 术 研 讨
秘 茸 ２ｊ年第 一 ０ｊ 蝴
对最 小 支 撑 树 的 两 种捷 径算 法 的 探讨
赵 萍
ｆ 攀枝 花 学 院 经 济 与 管 理 学 院 ）
摘 要 图论 中求解最小 支撑树通常采 用破 圈法和避 圈法，其基 本原理是使 其成为权数之和 为最小的连通 图 根据 此原理 ，作者 由此引 申出两种新的算法，被称为 “ 最小权数保 留法”和 “ 最大权数 去除法”
第ｌ ：令 ｉ ． ． （ 步 ＝１ ＝ Ｅ 咖表示空集）。
第２ 步：选一条边 ＰＥ Ｅ ， ￡、 ，使ｅ是使 《， Ｙ ） ｉ Ｉ ｝不含豳的所 Ｆ ． 有边 Ｅ 、 ） 中权最小的边。令 ￡ ＝￡ ｅ ．如果这样的边不 ， Ｙｆ） ，
存在 ，则 Ｔ＝ ￡ 是最小 。 （， ） 第３ ：把 ｉ 步 换成 ｉ Ｉ ＋ ，转入第２ 步 （ ） ２ 破圈法 任取一个圈 ．从圈 中去掉一条权最 大的边（ 如果有 两条或 两条 以上的边都是权最 人的边 ，则任意去掉其 中一条） 在余 下的图中，重复这个步骤 ，直至得到一个不含豳的图为止 ．这时的 图
哈工大考研管理运筹学第六章(二)树和最小支撑树
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法3(Prim法) 在图中找圈，并删 除其中最大边.如此进 行下去, 直至图中没有 圈止.
1 5
2
3
4
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
三、图的最小支撑树 图G权最小的支撑树称为最小支撑树
算法1(避圈法， Kruskal法) 将边按权从小到 大依次添入图中， 若出现圈，则删去 其中最大边，直至 填满n-1条边为止(n 为顶点数)。
1 5
234ຫໍສະໝຸດ 三、图的最小支撑树算法2(破圈法) 在图中找圈，并 删除其中最大边.如 此进行下去, 直至图 中没有圈止.
二、树的性质
设T是一个点数大于3的树，则下列六个定 义是等价的：
（1）T连通且无回路；
（2）T有条边且无回路； （3）T连通且有条边； （4）T连通且每条边都是割边； （5）T的任两点间都有唯一的路相连；
（6）T无回路，但在任一对不相邻的点间 加连一条边，则构成唯一的一个回路。
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
一、树的概念(Tree) 无圈的连通图称为树
二、树的性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两 个悬挂点 性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。 性质3 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G是连通图且恰有n-1条边 性质4 图G是一个树的充分必要条件是任意两 个顶点恰有一条链
运筹学第六章
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
圈：起点和终点重合的链
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具弱的连通图
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
运筹学-图论
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点均不相
同的圈；
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 , v7 , v5 )
v1
初等圈： (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 , v1 )
图的基本概念
图论中的图是由点、点与点之间的线所组成的。通常， 我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫 做弧。
如果一个图是由点和边所构成的，那么称为无向图，
记作G=(V，E)，其中V表示图G 的点集合，E表示图G的
边集合。连接点vi , vj V 的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向
v2 （3） v3 （3）
（2）
v5
（4）
v1
v4（6）
多重图
以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记 作 d(v), 如 图 5.4 中 d(v1)=3 ， d(v2 )=4 ， d(v3 )=4 ， d(v4 )=3。
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。 悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
重庆
武汉 南京
上海
图5.3
例5.2 有六支球队进行足球比赛，我们分别用
点v1 ，…，v6表示这六支球队，它们之间的比赛情 况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负
情况，可以用图5.3所示的有向图反映出来
运筹学_树
7 5 E 7 5 E 7 5 E
5 D 1 7
5 D 1 7
D 1 7
5
算法2 避圈法 避圈法) 算法 (避圈法 7 2 2 5 5 T S 5 T B D 1 3 4 1 7 C E 4 A 7 2 2 5 5 5 T T S B D 1 3 4 1 7 C E 4 A 7 2 2 5 5 5 T T S B D 1 3 4 1 7 C E 4
A
A 2 2 5 S B 1 3 4 C 4 A 2 2 5 S B 1 3 4 C 4 A 2 2 5 S B 1 3 4 C 4
7 5 E 7 5 E 7 5 E
5 D 1 7
A T 2 S 1 C T A 2
算法2 避圈法 避圈法) 算法 (避圈法 B 3 E min w(T*) = 14 D 1 5 T
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
运筹学_树
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
找生成树的两种方法-广探法 广探法
(2) 广探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 令所有标号为i的点集为 检查[V, V\Vi]中的边端 的点集为V, ②令所有标号为 的点集为 检查 中的边端 点是否均已标号 对所有未标号之点均标以i+1 , 记 标号。 点是否均已标号。对所有未标号之点均标以 下这些边。 下这些边。 对标号i+1的点重复步骤②, 直到全部点得到标号为至 ② 直到全部点得到标号为至. 0 1 1 2 1 1 2 0 2 1 2 4 3 2 1 2
运筹学最小支撑树
运筹学最小支撑树最小支撑树，光听名字就有点让人摸不着头脑，是吧？别急，我来给你慢慢捋捋，保证你能轻松明白！我们得搞清楚“支撑树”这个概念。
你想象一下，假如你要把一张纸折成一棵树，折叠的过程中，每一根枝条都得接到一根主干上，不然它根本撑不起来，对吧？支撑树，就是这么个意思。
简单来说，最小支撑树就是在一个连接点（比如城市、地方，或者任何一个节点）的网络中，挑选出最少的线路或“支撑”，来保证所有的点都能互相联系到。
就是说，怎么连起来最省事、最省钱。
听起来是不是就有点意思了？咱们都知道，社会上各种事情都离不开网络，无论是电力、通讯、还是交通，基本上都离不开这种“连接”。
有个例子更直观：假如你是一个电力公司的人，你要把电从发电厂送到各个城市，路上会有各种电线杆、变电站，这些就是连接点。
而最小支撑树的意思就是，你得尽量用最少的电线杆，最少的变电站，保证所有地方都能接上电，不然你还得多花不少钱，谁能愿意花那份冤枉钱呢？所以，最小支撑树就是你得用最少的资源完成最大范围的连接，明白了吧？这个问题，一开始看上去挺简单，但要是真钻进去，还是挺考验脑袋的。
咋说呢？你要把所有节点都连接起来，要求总的“成本”最小。
这个“成本”一般来说是指连接各个点之间的距离、时间，或者其他类似的东西。
可以是最短的路线，最少的材料，或者是最少的花费。
反正，什么都得往省钱、省力上走。
像咱们生活中常见的公交系统就有点这意思：你得设定公交路线，哪条线路不光要连接到所有地方，还得尽量绕远少走，让乘客少花时间，成本也低。
这样一来，大家都高兴，车主也不至于亏得一塌糊涂。
好啦，讲到这，大家可能会想：这玩意儿到底怎么做呢？说实话，最小支撑树的解决方法可不简单。
它跟咱们平时选快餐店一样，挑最合适的，关键是怎么从一堆选择中挑出最少、最优的那个路线来。
这里面有个名叫“普里姆算法”的套路，听起来可能有点高大上，其实它就是一步步挑选最合适的“边”（也就是连接点之间的线路）。
毕业论文：最小支撑树算法及应用的论文
最小支撑树算法及应用摘 要 求解最小支撑树通常采用破圈法和避圈法，其基本原理是使其成为权数之和为最小的连通图。
根据此原理，引出两种新的算法,称 为"最小权数保留法"和"最大权数去除法. 利用最小支撑树合理地进行电网规划可以获得巨大的社会效益和经济效益。
论文针对电网规划的特点,利用最小支撑树对电网进行优化。
关键词 最小支撑树 破圈法 避圈法1 最小支撑树的三种算法图论中的图是由点和边所构成，用以反映一些对象之间的关系。
若所有点的集合为V ，所有边的集合为E ，则图G=（V ，E ）。
给图G 的每一条边加上一个非负的实数，则称图G 为赋权图。
若有图()111,G V E =,()222,G V E =，()333,G V E =，()444,G V E =，其中1234V V V V ===，{1234,,,E E E E }∈ E ，且1234,,,G G G G 为树，则1234,,,G G G G 被称为图G 的生成树。
若2G 具有最小权，则称2G 为图G 的最小支撑树。
求解最小生成树常用的方法是Krukal （避圈法）法和破圈法。
无论破圈法还是避圈法，都存在一个核心问题——图形必须正确绘制出来。
只有在正确绘制出图形的基础上才能用避圈法或破圈法得到准确的最小支撑树（kruskal ）和破圈法等求解方法1.1 算法一:Kruskal 算法（也就是避圈法）算法一的中心思想是每次添加权尽可能小的边，使新的图无圈，直至得到支撑树为止该方法形象地简称为最小边加入法其步骤如下：(1)把N 内的所有的边按照权的大小由小到大排列(2)按(1)排列的次序依次检查 N 中的每一条边，如果这条边与已得到的图不产生圈，则取这一条边为所求支撑树的一部分(3)若已取到n- 1条边，算法终止 此时以V 为顶点集，以取所取的n- 1条边为边集的图即为最小支撑树例1 求图1所示网络的最小支撑树解 将各边的权按非减次序排列，得网络中的8条边的排列次序为1238e e e e ≤≤≤≤首先取权最小的两条边 1e 和2e 为所求最小支撑树 T 的两条边，然后检查边3e 由于边1e 2e 和3e 构成圈，故不取边3e 接下来考虑边4e 由于1e 2e 和4e 不构成圈，故取4e然后检查边e5 由于1e 2e 4e 和5e 不构成圈，故取5e 再看6e ，它与4e 5e 构成圈，故不取 同样地 7e ， 8e 也不可取，因为7e 与2e ， 4e ， 5e 构成圈，而8e 与2e ， 5e 构成圈 因此由1e ， 2e ， 4e 和5e 构成的支撑树T 为网络N 的最小支撑树(如下图所示）示1.2.算法二 (普赖姆， Prim)这是一种迭代算法，每进行一次迭代将产生组成网络 N 最小支撑树T 的一条边其做法基于下面的事实：如果我们已经知道T 中的一些边，它们的端点组成点集 S ，S 是 N 的顶点集 V 的一个子集 以 ()s Φ记一个端点在S 中 另一端点在V\S 中的所有边组成的集合 因为最小支撑树T 是N 的连通生成子图，必有边连接点集 S 和点集 V\S 内的点，这样， (S)中权最小的一条边也应该是N 的最小支撑树T 中的一条边。
第二节 树和最小支撑树
定义 8.2 支撑树 ：树状支撑子图称为原图的支撑树 或曰“全部点、部分边形成的树”
定理 8.3
图G有支撑树的充分必要条件是G为连通图
例如 要在五个城市之间铺设电话线
例如 要在五个城市之间铺设电话线
例如 要在五个城市之间铺设电话线
8.2.2 最小支撑树问题
定义 8.3 设图 G (V,E)，对 G的每一条边 e i, 赋予一个数 W，称为边 e i 的权，图 G 连同 它边上的权称为赋权图．
4
1
3 3
4 4
2
2
8
6
图6-1６
ei T
W (e ) 18
i
以上算法也称为贪婪算法． 因为它仅仅抓住了每一步最有利的选择， 而不顾及这个选择对后面决策带来的影响．
好在这么快捷而简单的算法依然能够保 证找到最优解，实在不错．
但要注意，对于运筹学的许多其他问题 运用类似的贪婪算法是找不到最优解的．
i
V1
e4
3
4
e3
2
V2
e2
2
e5
V3
1
e1
V4
定义 8.4 一个赋权图上，某支撑树所有边上 权的总和,称为该支撑树的权；所有支撑树 中权最小的称为最小支撑树．
v1
6 3 6
v1
3
v2
4
v3
v1
3
v2
v1
6
v3
v2
4
v3
v2
4
v3
求最小支撑树的方法： 1.Kruskal算法（避圈法） 首先把有m条边n个顶点的赋权图的边按权 a1 , a2 ,K , am . 的递增顺序排列： 然后，设 e1 a1 , e2 a2 ，检查 a3 ，如果 a3 与 e1 , e2 不构成圈，则令 e3 a3，否则放弃 a3 ， 检查 a4 , 若 a4 不与 e1 , e2构成圈，则 e3 a4， 否则放弃 a4 ，检查 a5 ，如此继续下去，最 后保留下来的边连同它们的端点就构成最小 支撑树．
运筹学最小支撑树算法和FLOYD算法的C语言实现
运筹学最小支撑树算法和FLOYD算法的C语言实现一、最小支撑树算法：#include <stdio.h>#define butong 32767#define N 7typedef struct{int vnum;int arcs[N][N];}graph; //定义图的结构void jtu(graph *p){int i,j,n ;int v1,v2,w;printf("请输入图的顶点个数:");scanf("%d",&n);p->vnum=n;for(i=0;i<n;++i)//初始化for(j=0;j<n;++j)if(i==j)p->arcs[i][j]=0;elsep->arcs[i][j]=butong;printf("请输入边的基本信息（以输入三个-1结束）：\n");do{printf("边(顶点1,顶点2,权):");scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);if(v1>=0&&v1<n&&v2>=0&&v2<n){p->arcs[v1][v2]=w;p->arcs[v2][v1]=w;}}while(!(v1==-1&&v2==-1));}int zcs(graph G,int v, int shu[][3])//最小支撑树函数{int i,j,k,p,min,c;int lowcost[N],closest[N];for(i=0;i<G.vnum;++i){closest[i]=v;lowcost[i]=G.arcs[v][i];}c=0;p=0;for(i=0;i<G.vnum-1;++i){min=butong;for(j=0;j<G.vnum;++j)if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min){min=lowcost[j];k=j;}shu[p][0]=closest[k];shu[p][1]=k;shu[p][2]=min;p++;c+=min;lowcost[k]=0;for(j=0;j<G.vnum;++j)if(G.arcs[k][j]!=0&&G.arcs[k][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=G.arcs[k][j];closest[j]=k;}}return c;}void main(){int i;int shu[N][3];int cost;graph G;jtu(&G);cost=zcs(G,1,shu);printf("最小支撑树:\n");printf("边\t 权\t\n");for(i=0;i<G.vnum-1;++i)printf("v%d-v%d\t%d\n",shu[i][0]+1,shu[i][1]+1,shu[i][2]); }二、FLOYD算法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 100void main(){int Num;int k,i,j;float arry[N][N];float dist[N][N]={0};printf("请输入顶点个数：\n");scanf("%d",&Num);printf("请输入权值矩阵（10000表示两点不连通）：\n");for(i=0;i<Num;i++)for(j=0;j<Num;j++)scanf("%f",&arry[i][j]);printf("\n\n");for(i=0;i<Num;i++)for(j=0;j<Num;j++){printf(" %3.1f",arry[i][j]);if(j==Num-1)printf("\n");}printf("\n\n");for(i=0;i<Num;i++)for(j=0;j<Num;j++){dist[i][j]=arry[i][j]; }for(k=0;k<Num-1;k++)for(i=0;i<Num;i++)for(j=0;j<Num;j++)if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];}printf("最短路径为：");for(i=0;i<Num;i++)for(putchar('\n'),j=0;j<Num;j++)printf(" %3.1f",dist[i][j]);printf("\n");}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、树的性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两 个悬挂点 性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。 性质3 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G是连通图且恰有n-1条边 性质4 图G是一个树的充分必要条件是任意两 个顶点恰有一条链
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
三、图的最小支撑树 图G权最小的支撑树称为最小支撑树
算法1(避圈法， Kruskal法) 将边按权从小到 大依次添入图中， 若出现圈，则删去 其中最大边，直至 填满n-1条边为止(n 为顶点数)。
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法2(破圈法) 在图中找圈，并 删除其中最大边.如 此进行下去, 直至图 中没有圈止.
二、树的性质
设T是一个点数大于3的树，则下列六个定 义是等价的：
（1）T连通且无回路；
（2）T有条边且无回路； （3）T连通且有条边； （4）T连通且每条边都是割边； （5）T的任两点间都有唯一的路相连；
（6）T无回路，但在任一对不相邻的点间 加连一条边，则构成唯一的一个回路。
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法3(Prim法) 在图中找圈，并删 除其中最大边.如此进 行下去, 直至图中没有 圈止.
1 5
2
3
4