(整理)多元函数积分.
多元函数积分计算方法
多元函数积分计算方法在数学中，多元函数积分是一种重要的计算方法，能够求解多元函数在给定区域上的面积、体积以及相关的物理量。
本文将介绍一些常见的多元函数积分计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。
一、重积分的定义重积分是单变量函数积分的推广，用于求解多元函数在给定区域上的面积或体积。
设函数f(x,y)在区域D上有定义，D的边界可以用曲线C表示，则重积分的定义为：∬_D▒〖f(x,y)dA=lim(Δx→0,Δy→0)∑▒f(x_i^*,y_j^*)ΔA〗其中，ΔA为区域D中小面积元素，f(x_i^*,y_j^*)为该小面积元素上一点的函数值。
二、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算若D为矩形区域，可以采用迭代积分的方法求解二重积分。
先对x 进行积分，再对y进行积分，即：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y)dxdy)〗2. 极坐标下的二重积分计算对于极坐标下的积分区域D，可以将二重积分转化为极坐标形式进行计算。
设D在极坐标下的表示为(r,θ)，则二重积分的计算公式为：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(θ_1)^(θ_2)▒(∫_(r_1(θ))^(r_2(θ))▒f(rcosθ,rsinθ)rdθ)〗三、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算若函数f(x,y,z)在空间区域V上有定义，则三重积分的计算公式为：∭_V▒〖f(x,y,z)dV=∫_(a_z)^(b_z)▒(∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y,z)dxdydz )〗2. 柱坐标系或球坐标系下的三重积分计算对于柱坐标或球坐标下的积分区域V，可以将三重积分转化为柱坐标或球坐标形式进行计算。
具体转化公式可以根据坐标系关系进行推导，然后套用相应的公式进行计算。
四、应用举例1. 面积计算对于二维平面上的函数f(x,y)，可以通过二重积分来计算给定区域D的面积。
（整理）多元函数积分
（整理）多元函数积分多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有??=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(??=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则Ω∈?=-Ω∈?--=-=ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则=ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则=ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y xf )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则=??，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则=??，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则=∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则??=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( =??,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( =??,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则+=+,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则=∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一）计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分. 类型（二）计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三）计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四）计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五）计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六）计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
2多元函数积分的计算公式
2多元函数积分的计算公式多元函数积分是微积分中的重要内容，用于计算多元函数在给定区域上的面积、体积以及质量等问题。
在本文中，我将介绍多元函数积分的定义、计算方法以及一些重要性质。
1.多重积分的定义多重积分是对多元函数在给定区域上的进行求和的过程。
对于二重积分来说，可以表示为：\[ \iint_D f(x,y) dA \]其中，f(x,y)是定义在平面区域D上的函数，dA表示面积元素。
对于三重积分来说，可以表示为：\[ \iiint_V f(x,y,z) dV \]其中，f(x,y,z)是定义在空间区域V上的函数，dV表示体积元素。
2.多重积分的计算方法多重积分的计算方法有两种：直接计算和间接计算。
直接计算是通过将积分区域划分成小的子区域，然后在每个子区域上计算函数值，并将所有结果相加。
间接计算是通过将多重积分转化为一重积分进行计算。
对于二重积分，可以使用极坐标转换将其转化为一重积分。
极坐标转换公式为：\[ x = r\cos(\theta) \]\[ y = r\sin(\theta) \]面积元素dA可以表示为：\[ dA = r dr d\theta \]将这个转换应用于二重积分计算中，可以得到：\[ \iint_D f(x,y) dA = \int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) r dr d\theta \]其中，\(\alpha\)和\(\beta\)是极角的范围，\(r_1(\theta)\)和\(r_2(\theta)\)是每个极角对应的极径范围。
对于三重积分，可以使用柱面坐标或球面坐标进行转换。
柱面坐标转换公式为：\[ x = r\cos(\theta) \]\[ y = r\sin(\theta) \]\[z=z\]体积元素dV可以表示为：\[ dV = r dr d\theta dz \]将这个转换应用于三重积分计算中，可以得到：\[ \iiint_V f(x,y,z) dV = \int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \theta)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta), z) r dz dr d\theta \]其中，\(\alpha\)和\(\beta\)是极角的范围，\(r_1(\theta)\)和\(r_2(\theta)\)是每个极角对应的极径范围，\(z_1(r, \theta)\)和\(z_2(r, \theta)\)是每个极径和极角对应的高度范围。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。
一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。
它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。
对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。
通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。
在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。
二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。
三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。
与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。
同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。
在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。
三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。
其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。
积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。
这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。
积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。
类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。
积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
多元函数分部积分法公式
多元函数分部积分法公式多元函数分部积分法公式是一种用于计算多元函数积分的方法。
通常情况下，多元函数分部积分公式应用于数学和物理学等领域，可以帮助数学家和物理学家准确计算一个多元函数的积分值。
本文将介绍多元函数分部积分法公式的定义和公式，以及如何应用多元函数分部积分法公式计算多元函数的积分值。
一、什么是多元函数分部积分法公式多元函数分部积分法公式又被称为分部积分法，它是一种常见的积分计算方法。
它可以帮助我们准确无误地计算多元函数积分的值。
多元函数分部积分公式可以表示为：∫abf（x）dx=∑nk=1aib（f），其中，a是多元函数f（x）的下限，b是多元函数f（x）的上限，n是多元函数f（x）的积分步数，i是多元函数f（x）积分时，分割点的位置，介于a到b之间。
二、如何计算多元函数分部积分法公式？1、选择积分步数n：积分步数n是积分时的重要准备，它指的是将区间[a,b]等分为n个小段，对每一段区间取固定点代入公式进行计算。
n越大积分精度越高，而且计算量越大。
因此，根据需要结合准确度与计算量灵活选择n值，以保证积分的准确性与可行性。
2、计算每一段小区间的积分值：当选择完积分步数n后，就可以计算每一段小区间的积分值了。
此时，先在每一段小区间中选择一个点，分别代入已定义的f（x）函数，计算每一段小区间的积分值。
三种常用的中心点是：左点、中点和右点，其积分值分别为：ai(fL)、ai(fM)和ai(fR)。
3、利用多元函数分部积分法公式计算总积分值：将n段小区间的积分值相加，便可以得到该区间上多元函数的总积分值，即总分值=∑nk=1aib（f）。
三、总结多元函数分部积分法公式是一种计算多元函数积分的方法，它可以帮助我们准确计算一个多元函数的积分值。
多元函数分部积分公式可以表示为：∫abf（x）dx=∑nk=1aib（f）。
为了计算一个多元函数的总积分值，需要根据积分步数n联合计算每一段小区间的积分值，然后把所有的小区间的积分值加起来便可以求出总积分值。
多元函数求积分
多元函数求积分多元函数求积分是微积分中的重要内容，它包括二重积分和三重积分两种形式。
在进行多元函数求积分时，我们需要根据具体问题选择合适的积分方法。
下面将介绍二重积分和三重积分的概念及计算方法。
一、二重积分二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分求解的方法。
具体而言，若有一个二元函数$f(x,y)$，我们要求解其在闭区域$D$上的积分，即$\iint_D f(x,y)dA$。
其中$dA$表示微元面积，$D$表示平面上的一个有界闭区域。
求解二重积分的方法有两种常见的形式：直角坐标下的二重积分和极坐标下的二重积分。
（1）直角坐标下的二重积分对于直角坐标下的二重积分，我们通常采用分割求和的方法。
将有界闭区域$D$分割成许多小面积的区域，然后对每个小区域内的函数值进行求和，最后取极限即可得到积分的结果。
具体操作时，我们可以选择将$D$划分成矩形形状的小区域，然后分别计算每个小矩形的面积$dA$，并求解$f(x,y)$在每个小矩形上的函数值$f(x_i,y_i)$，其中$(x_i,y_i)$表示小矩形的中心点。
最后的二重积分结果可以表示为$\iint_D f(x,y)dA =\lim_{{\Delta x \to 0} \atop {\Delta y \to 0}} \sum_{i,j} f(x_i,y_j)\Delta A$，其中$\Delta x$和$\Delta y$表示相邻小矩形的边长。
（2）极坐标下的二重积分对于具有旋转对称性的问题，极坐标下的二重积分更加便捷。
我们通过引入极坐标系来简化积分的计算。
首先，我们将直角坐标系转换为极坐标系，即$x =r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$。
然后，我们需要计算雅可比行列式$J = \left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} &\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|$。
多元函数求积分
多元函数求积分积分是微积分的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、质量、重心等许多物理和几何问题。
在计算积分时，我们常常会遇到多元函数的积分问题，即在多维空间中对多个变量的函数进行积分。
本文将从基本概念、计算方法和相关参考内容三个方面介绍多元函数的积分。
一、基本概念多元函数的积分是在多维空间中对函数的求和过程，可以用于计算函数在某个区域内的总量。
对于二元函数而言，积分可以表示为∮f(x,y)dA，其中∮表示积分，f(x,y)为要积分的函数，dA表示面积元素。
对于三元函数而言，积分可以表示为∭f(x,y,z)dV，其中∭表示积分，f(x,y,z)为要积分的函数，dV表示体积元素。
多元函数的积分可以从二维空间扩展到任意多维空间。
二、计算方法1.直接计算对于简单的多元函数，可以直接计算积分。
首先需要确定积分的边界，即确定积分的区域。
然后按照积分的定义进行计算，将积分区域划分为许多小的面积元素或体积元素，并对每个元素进行积分。
最后将所有小元素的积分结果相加，即得到整个区域内函数的积分结果。
2.变量替换对于复杂的多元函数，可以通过变量替换的方法简化积分计算。
通过合适的变量替换可以将原函数化简为更简单的形式，从而方便求解积分。
通过变量替换，可以将积分区域变换到更加简单的坐标系中，使得计算变得更加容易。
3.极坐标、球坐标、柱坐标等对于涉及到圆、球、柱等几何形状的函数，可以使用极坐标、球坐标、柱坐标等坐标系进行积分计算。
这些坐标系有助于简化函数表达式和积分区域，从而提高计算效率。
三、相关参考内容1.《高等数学》（同济大学数学系编著）：该教材是国内高等院校普遍采用的教材，对多元函数的积分有详细的介绍，并提供了许多例题和习题供读者练习。
2.《数学分析教程》（李修文编著）：该教材对多元函数的积分理论和计算方法进行了深入的讲解，包括直接计算、变量替换和不同坐标系下的积分计算方法。
3.《多元函数积分学》（孔祥兴编著）：该教材从多元函数积分的基本概念入手，详细介绍了多元函数的积分理论和计算方法，并提供了大量例题和习题供读者练习。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
(整理)第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f xy =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0l i m (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0l i m ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dzx y z ∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz u x du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、向量值函数向量值函数是指函数的取值为向量的函数，常用符号表示为r(t)或F(t)。
向量值函数的微分即为向量的微分。
二、多元函数的连续性与可微性多元函数在点(x0,y0)连续的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)连续；多元函数在点(x0,y0)可微的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)可微。
三、多元函数的偏导数多元函数f(x,y)对x的偏导数记为∂f/∂x，对y的偏导数记为∂f/∂y。
偏导数可以通过限制一个变量，将多元函数转化为一元函数进行求导。
四、多元函数的微分与高阶导数对于多元函数f(x, y)，其微分为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
高阶偏导数的计算可以通过多次对一个变量进行偏导来得到。
五、多元函数的极值与最值多元函数的极值包括极大值与极小值，可以通过偏导数的方法求得。
为了确定是极大值或极小值，还需要进行二阶偏导数的判别。
六、多元函数的不定积分多元函数的不定积分即求解原函数，其中一个变量看作常数即可。
不定积分具有可加性，也可以用变量代换等方法来简化计算。
七、多元函数的定积分多元函数的定积分是指对多元函数在一个区域上的积分。
定积分的计算需要根据具体的区域进行定积分化简。
八、偏导数的几何意义与方向导数偏导数的几何意义是函数在其中一点上沿各个坐标轴方向的切线的斜率。
方向导数是函数在其中一点沿其中一方向的变化率。
九、梯度与梯度的性质多元函数的梯度是一个向量，表示的是函数在其中一点上沿着变化最快的方向。
梯度具有线性和方向导数的性质。
十、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的极值问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将问题转化为无约束条件的极值问题。
综上所述，多元函数微积分是研究多变量函数的微积分学科，其知识点包括向量值函数、多元函数的连续性与可微性、多元函数的偏导数、多元函数的微分与高阶导数、多元函数的极值与最值、多元函数的不定积分、多元函数的定积分等。
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多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一） 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有⎰⎰=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二） 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一） 计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二） 计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意 不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二 计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则⎰⎰=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三 计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(⎰⎰⎰+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一 交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二 转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一 计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二 计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：⎰⎰⎰⎰=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一） 计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分. 类型（二） 计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三） 计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四） 计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五） 计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六） 计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。