(整理)多元函数积分.

多元函数积分

1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分

1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分

题型一 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分

类型（一） 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分

常用下述命题简化计算二重积分.

命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则

（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有⎰⎰=D

dxdy y x f 0),(；

（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1

),(2),(；其

中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.

命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则

⎰⎰⎰⎰⎪⎩

⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.

（1）;),(2),(),,(),(1

⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若

（2）.0),(),,(),(⎰⎰=-=--D

d y x f y x f y x f σ则若

命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==D

D D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则

⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(

,0),,(),( ,),(2),(1

类型（二） 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.

常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.

命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则

⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1

z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.

命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则

⎪⎩

⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.

命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则

⎪⎩

⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即

.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ω

υd z y x f z y x f z y x f 则

题型三 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分

命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

ΩΩΩ

++===υυ

υυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.

1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分

题型一 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分

类型（一） 计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分

命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则

⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，

0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.

命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则

⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，L

L ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.

类型（二） 计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分

第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.

命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则

⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1

),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.

注意 不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.

题型二 计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分

命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则⎰⎰=L L

ds x y f ds y x f ),(),(. 题型三 计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分