圆轴扭转的切应力与强度计算变形几何关系

1
2
A MA
1
1
B MB
2
T1 MA 1
C MC
2
(c) MA
T
T2
MB
2
(d) 0
x － 47 .75N·m
图 5.7
－ 14 3.24 BN·m
第5章 扭 转 与 剪 切
5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算
5.3.1 变形几何关系 取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向
线aa、bb, 两条圆周线11、22，如图5.8 (a) 所示。再在圆轴 的两端分别作用一个外力偶M，使杆件发生扭转变形。由图5.8 (b）可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保 持不变， 只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角 度γ， 由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。
由∑m=0
T′+Ｍ2-M3=0
T′=M3-M2(M1=M3-M2)
第5章 扭 转 与 剪 切
Me (＋ )
n
(＋ )
T
x
(a)
n
x T
Me
(b)
图 5.5
第5章 扭 转 与 剪 切
5.2.3 扭矩图 通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表
示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横坐标 轴）， 以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭 矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。
第5章 扭 转 与 剪 切 由以上分析可知：圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形状 不变， 由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于 相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用。但因为 相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必然有垂直 于半径方向的切应力。切应力用符号τ表示。
在圆轴上取一微段dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对 于左截面转过了一个角度dφ，半径由O2B转至O2C位置，纵向线 AB倾斜γ角度达到AC位置，A点的切应变为
T1+MA=0
由图5.7(c)可得
T1= -MA=-143.24N·m
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
第5章 扭 转 与 剪 切
(3) 绘 制 扭 矩 图 (a) 如 图 5.7(d) 所 示 。 由 图 可 知 ， AB 段 所 承 受的扭矩最大，其值 (b) 为-143.24 N·m 。
第5章 扭 转 与 剪 切
第5章 扭 转 与 剪 切
5.1 扭转的概念与实例 5.2 外力偶矩与扭矩 5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算 5.4 圆轴扭转变形与刚度计算 5.5 剪切与挤压的实用计算 思考与练习
第5章 扭 转 与 剪 切
5.1 扭转的概念与实例
5.1.1 扭转的概念
T
T
图 5.1
第5章 扭 转 与 剪 切
第5章 扭 转 与 剪 切
【例5.2】 绘出图5.6(a)所示的悬臂梁的扭矩图。
20 00 N·m
2
1 50 0N·m
(a)
B1
C
A
2
1 50 0N·m
T1
(b)
1 2 20 00 N·m
50 0N·m
T2 (c)
2 T(N ·m)
B
C
50 0N·m
(d)
O
x
－ 15 00 N·m
图 5.6
第5章 扭 转 与 剪 切 解 (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图5.6（b）
第5章 扭 转 与 剪 切
M1
m
M2
M3
(a)
m
M1
T
(b)
T
M2
M3
(c)
图 5.4
第5章 扭 转 与 剪 切
由力偶平衡条件可知：m-m截面上必须有一个内力偶矩与外
力偶矩Ｍ1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位
为N·m。
由∑m=0得
M1 T 0 T M1
若取m-m横截面的右端部分为研究对象，画出受力图, 如图 5.4(c)所示。可求得m-m横截面上的扭矩T′，显然，T′与T大小相 等，方向相反，即为作用与反作用关系。
其变形特点是：杆件的任意两横截面绕轴线产生相对转动， 但杆的轴线位置和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转 为主要变形的杆件称为轴。
第5章 扭 转 与 剪 切 5.1.2
F A
F
M
B 图 5.2
第5章 扭 转 与 剪 切
F d F
Me
图 5.3
第5章 扭 转 与 剪 切
5.2 外力偶矩与扭矩
5.2.1 外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功 率、 转速和外力偶矩三者之间的关系， 即
M 9549 P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m ；
P——轴所传递的功率, 单位: kW
n——轴的转速, 单位: r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
第5章 扭 转 与 剪 切 【例5.1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩。 解 由公式(5.1)计算得
M 9549 7.5 238.725N m 300
所示。 由平衡方程T1-500=0 T1 =500 N·m AB段：如图5.6（c）所示。
T2+2000-500=0 T2 =-1500 N·m (2) 绘制扭矩图如图5.6 (d) 所示。
第5章 扭 转 与 剪 切
【例5.3】 已知一传动轴如图5.7(a)所示，主动轮A上输入功
率为15 kW，B、C轮为输出轮，输出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB上输出功率为10 kW，
22
C
1
2
dx
(b)
(c)
图5.8
第5章 扭 转 与 剪 切
5.3.2 横截面上的切应力
由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ, 即
轴的转速为n=1000 r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出 扭矩图。
解 (1) 计算外力偶矩M。
M
A
9549
15 1000
143.24N
m
MB
9549 10 1000
95.49N
m
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
第5章 扭 转 与 剪 切 (2) 计算扭矩T。 由图5.7(b)可得
tan R d
dx
第5章 扭 转 与 剪 切
那么，距轴线为ρ的任意一点的切应变为
d
dx
对于给定的横截面，dφ/dx为常量。故由（5.2）式可知，横 截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。
第5章 扭 转 与 剪 切
12
a
a
1
2
b 12
(a)
b
O1
O2
R
A
B
d
A
B C
11
a
aM
b
b