空间几何体的结构、三视图和直观图

A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D. 166a2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其 中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 答案 解析
思维升华
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的 结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的 几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 念类的命题进行辨析.
跟踪训练1 (1)以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 答案 解析
跟踪训练2 (1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正 方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为 答案 解析
A.18＋36 5
B.54＋18 5
C.90
D.81
由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3,3， 45，几何体的表面 积 S＝3×6×2＋3×3×2＋3× 45×2＝54＋18 5.
图形改变.
平行性不改变， “三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，
相对位置不改变.
题型分类 深度剖析
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题型一 空间几何体的结构特征
例1 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱 为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是__②__③__④__. 答案 解析
由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥， 其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.
思维升华
三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向， 注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图， 还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式. 当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否 符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图， 明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.
题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图 例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG 的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视 图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是 答案 解析
几何画板展示
命题点2 已知三视图，判断几何体的形状
例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三
直径 所在的直线
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、侧视图 、俯视图. (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方 、
正左 方、 正上 方观察到的几何体的正投影图.
4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测 画法来画，其规则是 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹 角为 45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 ； 平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ；平行于y轴的线段 在直观图中 长度变为原来的一半 .
知识拓展
1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
§5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.多面体的结构特征
互相平行 全等
公共顶点 平行于底面
相似
2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥
旋转图形 矩形
直角三角形
圆台 球
直角梯形 半圆
旋转轴 任一边 所在的直线 任一直角边 所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线
个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该 几何体的体积是28π，则它的表面积是 答案 解析
3
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如 图所示，则该棱锥的侧视图可能为 答案 解析 几何画板展示
(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图， 则该几何体的侧视图为 答案 解析 几何画板展示
由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC 投影在面PAD上，故B正确.
题型三 空间几何体的直观图
例 5 (1) 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 平 面 直 观 图 △A′B′C′的面积为 答案 解析
A.0
B.1
C.2
D.3
命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥； 命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰； 命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
(2)给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_①__②__③___. 答案 解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错； 对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错； 对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定， 侧棱垂直于底面，故④正确. 综上，命题①②③不正确.