空间几何体的结构、三视图和直观图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图考纲要求1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.考情分析1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．3.以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.教学过程基础梳理空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．五、三视图几何体的三视图括、、，分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．双基自测1．(教材习题改编)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是() A．正方体B．长方体C．圆锥D．球2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. 3 B．2C．2 3 D．64．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．5.(2011·山东高考改编)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________．1．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．2．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．典例分析考点一、空间几何体的结构特征[例1](2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12 D．10[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·南昌模拟)如图：在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形BFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中正确说法是()A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④2．(2012·温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是()[冲关锦囊]几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.考点二、几何体的三视图[例2] (2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 3．(2012·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )[冲关锦囊]三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．考点三、空间几何体的直观图例3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )． A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析 如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )． A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形一、选择题1．(2012·惠州模拟)下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()3．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．34.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()解析：三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．答案：B二、填空题6．(2012·长沙模拟)用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．解析：由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.答案：1497．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立，所以应填①⑤.答案：①⑤。
第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图
2016高考导航第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公 共边都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．3.(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． [做一做] 1．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：选C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行． (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系． 2．由三视图还原几何体的方法3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.[做一做]3．(2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案：D考点一__空间几何体的结构特征________________给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．[答案] B[规律方法]判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④考点二__空间几何体的三视图(高频考点)________空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查常有以下三个命题角度：(1)根据几何体的图形，识别三视图；(2)三视图还原直观图；(3)根据几何体三视图中的两个视图，判断第三个视图．(1)(2013·高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2015·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③[解析](1)由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.(2)由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.[答案](1)D(2)B[规律方法](1)由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．2. (2015·河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，，与题中所给的侧视图的宽度1不相等．其宽度为32考点三__空间几何体的直观图__________________已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[解]如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x ′轴的距离为32a . ∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a .由斜二测画法的规则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.若将本例中△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形改为△ABC 是边长为a 的正三角形，求直观图△A ′B ′C ′的面积．解：如图所示的实物图和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .在图中作C ′D ′⊥A ′B ′交x ′轴于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.[规律方法] 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出相应的多边形，因此平面多边形的直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．考题溯源——由三视图还原几何体(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱[解析] 如图，几何体为三棱柱．[答案] B[考题溯源]本考题是由教材人教A版必修2P15练习题第4题“如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．”演变而来．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④答案：D1. (2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()解析：选C.长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．给出下列几个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A.反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误，故选A.3．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()解析：选B.由于球与侧棱不相交，因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相切，排除A 、D ，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C ，故选B.4．(2015·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，∴几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2015·昆明三中、玉溪一中统考) 如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33 C.34 D.36 解析：选B.设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高，还有VB 组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.6．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：28．(2014·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知P A⊥平面ABC，且P A＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC ＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC，PC＝P A2＋AC2＝2 2.答案：2 29. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .解：(1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD ＝6 cm ，且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝123a ·3a ＝32a 2.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
3.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、 多面体与旋 转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
考纲解读
空间几何体的结构 和三视图部分 重点考 查柱、锥、台、球 的定义和以三 视图为 载体考查柱、锥、 台、球的表面 积和体 积, 难度 不大. 空间几 何体的 性质是 基础, 以它们为载体考查 线线、线面、 面面间 的 关 系 是 重点 . 三 视图 的 还 原在 各 地 高 考 试 题 中 频繁 出 现 , 已 经 成 为高 考 的 热 点 问 题, 题型 多以 选择 题和 填空 题为 主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧 视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物 体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、 虚线的 画法 .
5. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平 行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度 在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行 投影下画出来的图形.
三视图课件
B
A. 32 B. 16 16 2 C. 48 D. 16 32 2
5.2010湖南高考
4
6. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图 如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（ B）
24
柱体
夯实基础 1．棱柱 (1)定义：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行 平面间的每相邻两个面的交线都 互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱． 稳固根基
(如图)
1° 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆． 2° 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．
(3)球面距离： 1° 定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这 两点的 大圆 在这两点间的一段 劣弧 的长度， 这个弧长 叫做两点的球面距离． 2° 地球上的经纬线 当把地球看作一个球时， 经线是球面上从北极到南极 的半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其 中赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆．
5．球的概念与性质 (1)定义： 半圆绕它的直径所在直线旋转所成的曲面叫 做球面，球面所围成的几何体叫做球．球面也可以看作空 间中到定点的距离等于定长的点的集合． (2)球的截面性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面．
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系：
r＝ R2－d2
空间几何体的结构、三 视图和直观图、表面积 和体积
椎体
2
2．棱锥及其分类 (1)定义： 有一个面是多边形， 其余各面是 有一个公共顶点 的三 角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形， 顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质： ①各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰三角形． 这些 等腰三角形的高叫做棱锥的斜高． ②棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角形； 棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形．
空间几何体的结构、三视图、直观图课件
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,
把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°),用它们确定的平面表示水平面.
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(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x' 轴、y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴 的线段,在直观图中长度变为原来的④ 一半 . 5.水平放置的平面图形的直观图的面积S直与原平面图形的面积S原的关 系为S直= S原.
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解题导引
解析 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图, 则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.
2 4
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方法技巧
方法 掌握三视图的基本特征
正确认识三视图和直观图是本节的重点和难点.掌握三视图的基本特征 和“长对正、高平齐、宽相等”的原则,注意虚实线的区别,充分发挥 空间想象能力是解题的关键. 例 (2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该 正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( C )
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考点二
三视图和直观图
1.三视图是从一个几何体的正前方、正左方、③ 正上方 三个 不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、 俯视图. 2.三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放 在正视图的右方. 3.三视图的三个原则:长对正、高平齐、宽相等. 4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
课件2：空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
主
落
实
·
固
基
础
A．8
B．6 2
菜单
C．10
课 后 作 业
D．8 2
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网 络
【思路点拨】
根据几何体的三视图确定几何体的形
典 例
构
探
建 ·
状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求
究 ·
览
全 各个面的面积确定最大值．
提 知
局
能
【尝试解答】 将三视图还原成几何体的直观图，如图
提 知
局 正四面体的4个顶点；②用一个平面去截棱锥，底面和截面 能
策 略
之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧
高 考
指
体
导 ·
面是平行四边形．
验 ·
备
明
高 考
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
考 情
自
【解析】 用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面
主
落 之间的部分才叫棱台，且棱台的侧面是梯形，但并不一定是
体 验
· 备
视图可排除D.故选B.
· 明
高
考
考
【答案】 B
情
自
主
落
实 · 固 基 础
课 后 作 业
菜单
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网
典
络
例
构 建
5．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图
探 究
· 览
7－1－4所示，则该几何体的俯视图不．可．能．是(
)
· 提
全
知
局
能
策
第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
解：①错误，因为棱柱的底面不 错误， 一定是正多边形； 错误， 一定是正多边形；②错误，必须 用平行于底面的平面去截棱锥， 用平行于底面的平面去截棱锥， 才能得到棱台；③正确，因为三 才能得到棱台； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直 于底面； 正确，正方体 中的四棱锥C 于底面；⑤正确，正方体AC1中的四棱锥 1－ABC，四个 ， 面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知． 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．
答案： 答案：C
2． 如图 ， 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 ． 如图， 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )
答案： 答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
)
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
解析： 解析：由所给三视图与直观图的关 系，可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD， 所示的四棱锥， ⊥ ， AB⊥BC，BC∥AD. ⊥ ， ∥ 答案： 答案：B
4．(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体，所得 ． 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体， 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示， 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示，则该 几何体的俯视图为 ( 主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ，分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线． 观察几何体画出的轮廓线．
(浙江专用)2020版高考数学 空间几何体的结构、三视图和直观图讲义(含解析)
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3.了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．什么是三视图？怎样画三视图？提示光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．( √)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ×)(6)菱形的直观图仍是菱形．( ×)题组二教材改编2．[P19T2]下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．5．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.6．(2018·浙江诸暨中学期中)边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为( )A.24B．1C．22D．8答案 C解析 正方形的边长为22，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系为S 直观图S 原图＝24，故直观图的面积为8×24＝2 2. 7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．2 答案 B解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．|ON |＝14×16＝4，|OM |＝2，∴|MN |＝|OM |2＋|ON |2＝22＋42＝2 5.故选B.题型一 空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二简单几何体的三视图命题点1 已知几何体识别三视图例1(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.命题点2 已知三视图，判断简单几何体的形状例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．(2)还原几何体．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先猜测，还原，再判断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．跟踪训练1(1)(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.(2)(2018·宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P —ABCD ，如图所示，该几何体的俯视图为C.题型三 空间几何体的直观图例4已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案22解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线． 跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2＝8＋42，故选D.1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．4．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是( )答案 C解析若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C. 5．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 B解析从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线．故选B.6．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.7．(2019·台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为( )A．18 6 B．18 3C．18 2 D.2722答案 C解析设侧视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3 2.所以侧视图的面积为S＝32×6＝18 2.故选C.8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形答案 A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．9．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A.5B．22C．3D．2 3答案 C解析在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1—MNB1，故通过计算可得D1B1＝22，D1M＝B1N＝5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．答案2 2解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析 如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.12．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )答案 B解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB 1与面ACC 1A 1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为( )答案 B解析由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.15．(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案 D解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16．(2018·台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是________．答案733解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中三棱锥M —A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5， A 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2103， B 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， MN ＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.。
空间几何体的结构、三视图和直观图
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3．三视图的长度特征： “长对正、宽相等， 高平齐”，即正视图 和侧视图一样高，正 视图和俯视图一样 长，侧视图和俯视图 一样宽．若相邻两物 体的表面相交，表面 的交线是它们的分界 线，在三视图中，要 注意实、 虚线的画法．
4．空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、
y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时， 把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两 轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′ ＝ 45°(或135°) ．
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要点梳理
直观图中分别平行于
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3．空间几何体的三视图
2．正棱锥：底面是正 多边形，顶点在底 空间几何体的三视图是用 正投影 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 得到， 这种投影下与投影面平行的平 锥叫做正棱锥．特 面图形留下的影子与平面图形的形 别地，各棱均相等 的正三棱锥叫正四 状和大小是 完全相同 的，三视图包 面体．反过来，正 正视图 俯视图 侧视图 括 、 、 ． 棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心．
2．正棱锥：底面是正 多边形，顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心的棱 锥叫做正棱锥．特 别地，各棱均相等 的正三棱锥叫正四 面体．反过来，正 棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底 面的射影是底面正 多边形的中心．
基础知识·自主学习
要点梳理
1．多面体的结构特征
直棱柱？ 正棱柱？
难点正本 疑点清源
基础知识·自主学习
要点梳理
第七章第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 文 湘教版课件
2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上 的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影 面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项 为B(而不是A)． 答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下 底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则 圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面 积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底 面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质 得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括 正(主) 视图、 侧(左)视图、 俯 视 图，分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正 ，高平齐 ， 宽相等 ． ②画法规则：正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样
总复习《第33讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图》
其中真命题的序号是________ ． 答案：①②③
[例1] (2011· 广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且 不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么 一个正五棱柱对角线的条数共有 A．20 C．12 [自主解答] B．15 D．10 如图，在正五棱柱ABCDE－ ( )
A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有 两条：AC1、AD1，同理从B、C、D、E点 出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．
3.投影的分类
中心投影 投影线交于一点 投影
直观强、接近实物
斜投影 正投影
平行投影 投影线平行
正视图 侧视图 俯视图 长对正、高平齐、宽相等
三视图
视图 直观图
斜二测画法
思考：如图,点 O 为正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的中心 ,点 E 为面 B′ BCC′的中心 , 点 F 为 B′C′的中点，则空间四边形 D′OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是
②水面四边形BFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当E∈AA1时，AE＋BF是定值． 答案：D 其中正确说法是 A．①②③ B．①③ ( )
C．①②③④
D．①③④
2．(2012· 温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展
开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是
答案：B ( )
侧视图
考点三、空间几何体的直观图 【例5】已知正三角形ABC的边长为a, 那么△ABC的平 面直观图的面积为 ( D ) 6 a2 6 3 2 2 3 2 D. C. a B. a A. a 16 8 8 4
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 1 的正方形，且体积为2，则该几何体的俯视图可以是 ( )
空间几何体的结构特征、三视图和直观图
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般为2道小题和1道解答题，分值约占22分.2.考查内容高考基础小题主要考查几何体的三视图的识别，几何体表面积、体积的求解及线面角问题，与球有关的切接问题，解答题主要考查平行与垂直的关系和表面积、体积及点到平面距离的求法.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①应用线面、面面平行、垂直的判定定理、性质定理问题；②求几何体表面积、体积的计算问题；③线面角、点到平面距离的求法问题；④球与几何体的切接问题.(2)重视分类讨论、转化化归思想的应用.第一节空间几何体的结构特征、三视图和直观图[最新考纲] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．3．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的长度特征：“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．[常用结论]1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝R2－d2.3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台． ()(4)菱形的直观图仍是菱形．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行D[根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()A B C DB[俯视图中显然应有一个被遮挡的图，所以内部为虚线，故选B.]3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2,23B．22，2C．4,2D．2,4D[由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，故底面边长为4，故选D.]4．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体B[如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余部分是四棱锥A′-BCC′B′.]考点1空间几何体的结构特征空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台B[底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．]2．下列命题正确的是()A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．存在每个面都是直角三角形的四面体C．直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形B[如图1所示，可排除A，如图2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC.四个面都是直角三角形，故B正确．图1图2选项C中，应以直角腰所在直线为旋转轴，故C错．选项D中，只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．故选B.]3．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]把一摞书摆成长方体形状，沿一个方向轻轻一推，成为一个平行六面体，此时平行六面体有两个平行的面是矩形．考点2空间几何体的三视图(多维探究)已知几何体识别三视图识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．(1)(2019·武汉模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()A B C D(2)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的实虚．已知三视图判断几何体特征由三视图确定几何体的步骤(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5 C．3 D．2(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.故选B.]有三条侧棱互相垂直的三棱锥、四棱锥，都可把它们放置在长方体或正方体中来解决问题．[教师备选例题]已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为．12[由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1-BB1C1和一个三棱锥C-BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D-ABC1D1，其中侧面ADD1的面积最小，其值为12.]由三视图中的部分视图确定剩余视图由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()A B C DA[由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.]根据正视图和俯视图的长、宽，可知道侧视图的长、宽．[教师备选例题]如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()C[由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12，可知该几何体的底面积是12，由选项图知A的面积是1，B的面积是π4，C的面积是12，D的面积是π4，故选C.]1.如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()A B C DC[根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.故选C.]2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12 C．14 D．16B[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.]考点3空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝2；(2)S原图形＝22S直观图．4S原图形(1)[一题多解]已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝2，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为()A. 2B.24 C.22D．2 2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形(1)C(2)C[(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，因为OE＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝12×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝24S原图形，得S直观图＝24×2＝22，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C′D′＝2 cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.] 在画直观图或原图时，应先确定坐标轴上的点，非坐标轴上的点，应通过与x轴或y轴平行的线段来确定．1．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．2＋2[把直观图还原，原平面图形如图所示：在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，所以面积为12(2＋2)×2＝2＋ 2.]2．如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm.8[由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ 2 cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝(22)2＋12＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]。
第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法：
平行于x轴长度不变平行于 x轴 平行于y轴长度减半平行于 y轴 平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.
解析：由三视图知，由4块木 块组成.
答案：4
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形 状是 .
解析：将直观图还原得▱OABC，
则∵O′D′＝
OD＝2O′D′＝4 OC＝
O ′ C′ ＝ 2
cm，
cm，
C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm， =2 cm, OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形.
答案：菱形
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 V ( S S S S )h 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S S V 1 Sh 1 V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为锥体高
S , S 分别为上、下
底面面积，h 为台体 高
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
锥体体积
h
椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
台体（棱台、圆台）的体积公式
考向二 空间几何体的三视图
【例2 】►(2012·湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 俯 视 图 不 可 能 是 ( )．
[审题视点] 根据正视图和侧视图相同逐一判断．
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
水平直观图
正方形的水平直观图
y y
0 0
x
x
1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
由三视图求几何体的相关量
若一个正三棱柱的三视图如图所示， 求这个三棱 柱的高和底面边长以及左视图的面积．
数学：11.1《空间简单几何体的结构与三视图、直观图》课件(人教a版必修二)
图11.1-1（1）
图11.1-1（4）
对简单几何体的概念的正确理解 下列关于简单几何体的说法中: ①斜棱柱的侧面中不可能有矩形；②有两个面互相平行,其余 各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③侧面是等腰三角形的 棱锥是正棱锥；④圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所 截得截面与底面之间的部分.正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 思路分析: 解决关于简单几何体的概念性的问题时要紧扣简 单几何体的定义,不可想当然. 解:①斜棱柱的侧面中也可能有矩形,想象将侧面正对我们的长方 体,向前(后)压斜时,正对我们的侧面及其对面可保持是矩形,可见 斜棱柱的侧面中可能0个,1个或2个矩形,但可以证明不可多于两
y
S'
S'
y' E'
F H
E
F' H' E' A'
y'
F' H' A'
F' A'
x'
E' D' C'A BO来自图11.1-16D
x
B'
O' G' C'
D'
x'
B'
O' G' C'
D'
B'
G C
图11.1-17（1）
图11.1-17（2）
图11.1-17（3）
诡秘之主在若羌县境东北部，曾是中国第二大咸水湖，海拔780米， 面积约2400-3000平方公里，因地处塔里木盆地东部的古“丝绸之路” 要道而著称于世，古诡秘之主诞生于第三纪末、第四纪初，距今已有200万年，面积约2万平方公里以上，在新构造运动影响下，湖盆地自 南向北倾斜抬升，分割成几块洼地。 ； /xs/0/892/ 诡秘之主 kgh20neg 现在诡秘之主是位于北面最低、最大的一个洼地，曾经是塔里木盆地的积水中心，古代发源于天山、昆仑山和阿尔金山的流域，源源注入 罗布洼地形成湖泊。诡秘之主曾有过许多名称，有的因它的特点而命名，如坳泽、盐泽、涸海等，有的因它的位置而得名，如蒲昌海、牢 兰海、孔雀海等。元代以后，称罗布淖尔。汉代，诡秘之主“广袤三百里，其水亭居，冬夏不增减”，它的丰盈，使人猜测它“潜行地下， 南也积石为中国河也”。这种误认诡秘之主为黄河上源的观点，由先秦至清末，流传了2000多年。到公元四世纪，曾经是“水大波深必汛” 的诡秘之主西之楼兰，到了要用法令限制用水的拮据境地。清代末叶，诡秘之主水涨时，仅有“东西长八九十里，南北宽二三里或一二里 不等”，成了区区一小湖。1921年，塔里木河改道东流，经注诡秘之主，至五十年代，湖的面积又达2000多平方公里。 60年代因塔里木河下游断流，使诡秘之主渐渐干涸，1972年底，彻底干涸。 赔出身家性命。现在想想，却竟是连个女子都不如，她不以物喜，不以已悲，淡然超脱的姿态，令他不禁感慨万千。冰凝见皇上停下了下 来，又不错眼珠地看着她，以为皇上是在考她的才学。对此，她颇为矛盾：答对了，实在是显得自己太与众不同、鹤立鸡群；答错了，自 己很没有面子，舍不下来这张脸。犹豫半响，终于还是决定诵读出后面的诗句：“饮木兰之坠露兮，夕餐秋菊之落英。 苟余情其信姱以练 要兮，长顑颔亦何伤。 揽木根以结茝兮，贯薜荔之落蕊。矫菌桂以纫蕙兮， 索胡绳之纚纚。謇吾法夫前修兮，非世俗之所服。虽不周于 今之人兮，愿依彭咸之遗则。 ” 皇上哪里知道冰凝是在答题，以为冰凝是因为理解他才会如此作答。听着她的朗朗诵诗之声，真是人间 最美的享受，不知不觉之间，皇上开始面含微笑、心怀赞赏，欣喜之情溢于言表。佟佳贵妃见皇上如此神情，自知是对这位年氏秀女极为 满意，反正早晚也是入宫做了姐妹，此时表现得大度壹些，更能博得皇上的欢心，于是顺水推舟地说：“皇上，这年氏模样俊美、学才广 博……”“爱妃说得是啊！这年家小女，真是甚全朕意。李德全！”第壹卷 第三十六章 赐婚李德全壹听皇上喊自己，赶快应声：“奴才 在！”众人壹听这话，定是皇上要留牌了，“恭喜小主”的话已经到了嘴边。只见皇上犹豫了壹下，缓缓地说：“去。”这“去”字壹出， 全场都惊呆了，佟贵妃也诧异不已，顾不得礼仪，忙问：“皇上，这是去还是留？”“爱妃没有听清楚吗？朕还要再重复壹遍？那好，都 听清楚了，去！”众人还没有缓过神儿来，冰凝已经规规矩矩地俯身行礼了：“谢吾皇万岁万万岁”待全部选定，皇上就吩咐身边的李德 全宣布圣旨。各位留牌子的秀女中，有些当场进行了册封，大部分是答应，常在，只有壹个贵人，嫔更是没有。但也有三个秀女留了牌子， 却是什么也没有封。圣旨宣完，留牌的秀女们自有太监嬷嬷安排，其余人等各自收拾回府，等待进壹步的安排，或是被指婚，没有被指婚 的，就可以自行婚配了。其实在皇上没有留冰凝的牌子时，众人开始虽然皆是壹愣，但随即也就释然了，没有留牌子，那就是第二个可能： 要被赐婚了！也好，谁不想当嫡妻呢！只是不知道谁能有这么好的运气可以娶到冰凝。依皇上刚刚对年氏秀女的态度，这喜爱之心，众人 皆看得出来，如果不是为自己选妃子，那就壹定是为自己选儿媳妇。目前，诸皇子中，十六阿哥胤禄和十七阿哥胤礼两位尚未娶嫡福晋， 看来，年氏秀女的夫君应该就是这两个阿哥之壹了。听完圣旨，冰凝说不上来喜，也说不上来忧。不需要做深宫怨妇，这个结果是很令她 最高兴的；但是目前又没有结果，还需要继续等待，又让冰
空间几何体的结构、三视图、直观图
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
棱台、圆台的特征 用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分 叫棱台、圆台． 几何体的三视图 正视图、侧视图、俯视图．又称为：主视图、左视图、俯视 图．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
三视图的画法要求 (1)在画三视图时， 重叠的线只画一条， 挡住的线要画成虚线， 单位不注明，则按 mm 计． (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前 方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本 要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”． (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽 相等”的基本原则．
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(4) 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何 体都是圆锥． (5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连 线是圆柱的母线． (6)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
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答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 解析 (1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．
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课前自助餐
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棱柱的结构特征 (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行． (2)性质：①侧棱长相等；②侧面都是平行四边形．
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【讲评】 立体几何中“截、展、拆、拼” ①“截”：指的是截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋 转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关 系，能够列出有关量的关系． ②“展”：指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面 的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距 离．注意展开方式往往不止一种．
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个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该 几何体的体积是28π，则它的表面积是 答案 解析
3
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如 图所示，则该棱锥的侧视图可能为 答案 解析 几何画板展示
题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图 例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG 的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视 图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是 答案 解析
几何画板展示
命题点2 已知三视图，判断几何体的形状
例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三
思维升华
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的 结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的 几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 念类的命题进行辨析.
跟踪训练1 (1)以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 答案 解析
A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D. 166a2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其 中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 答案 解析
A.0
B.1
C.2
D.3
命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥； 命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰； 命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
(2)给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_①__②__③___. 答案 解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错； 对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错； 对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定， 侧棱垂直于底面，故④正确. 综上，命题①②③不正确.
跟踪训练2 (1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正 方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为 答案 解析
A.18＋36 5
B.54＋18 5
C.90
D.81
由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3,3， 45，几何体的表面 积 S＝3×6×2＋3×3×2＋3× 45×2＝54＋18 5.
由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥， 其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.
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三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向， 注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图， 还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式. 当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否 符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图， 明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.
(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图， 则该几何体的侧视图为 答案 解析 几何画板展示
由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC 投影在面PAD上，故B正确.
题型三 空间几何体的直观图
例 5 (1) 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 平 面 直 观 图 △A′B′C′的面积为 答案 解析
§5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.多面体的结构特征
互相平行 全等
公共顶点 平行于底面
相似
2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥
旋转图形 矩形
直角三角形
圆台 球
直角梯形 半圆
旋转轴 任一边 所在的直线 任一直角边 所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线
直径 所在的直线
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、侧视图 、俯视图. (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方 、
正左 方、 正上 方观察到的几何体的正投影图.
4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测 画法来画，其规则是 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹 角为 45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 ； 平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ；平行于y轴的线段 在直观图中 长度变为原来的一半 .
知识拓展
1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变.
平行性不改变， “三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，
相对ห้องสมุดไป่ตู้置不改变.
题型分类 深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
例1 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱 为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是__②__③__④__. 答案 解析