复变函数论钟玉泉第四章

由定理4.7有
f n ( z )dz 1 f ( z )dz 1 , p 1 p 1 K K 2i ( z z0 ) 2i ( z z0 ) n 1
即f ( p ) ( z ) f n( p ) ( z ).
n 1

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第二节 幂级数
1、幂级数的敛散性 2、幂级数的收敛半径的求法
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. π i 1 en ( 2) n n cos in . (1) n (1 ) ; n 解 π π i 1 1 ei n 1 n n e n (1) lim(1 ) lim(1 ) 1; n n n n

它收敛于 .
11
定义1
4. 一致收敛的复函数项序列
设复变函数项序列 f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*)
的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数 f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)
为序列(*)的极限函数,记为: f ( z ) lim f n ( z )
n
定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z), 使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切
的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|<ε,则称序列(*)在E上一致收
敛于f(z)，记作:
f n ( z ) f ( z )( n . )
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E
定义4.3
5. 一致收敛的复函数项级数
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定理4.6 设级数
且一致收敛于f(z),则和函数 f ( z ) f n ( z ) 也在E n 1 上连续.
定理4.7 设级数 f n ( z )的各项在曲线C上连续,并

f
n 1

n
( z ) 的各项在点集E上连续,并

且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:
n 1
n 1 n
0, N 0, n N , 有 | k s | .
k 1
n
5
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复 级数(4.1)收敛于 s=a+ib (a,b为实数)的充要条件为: 实数项级数 a n , bn 分别收敛于a及b.
事实上， n
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1 . 例1 当 | | 1时, 级数 绝对收敛,且有 n 1
n


(8i ) 是否绝对收敛？ 例2 级数 n! n 1 n n

n 0
n
n 0
解
n (8i ) 8 8 因为| n! | n! ， 故原级数绝对收敛。 而级数 收敛， n! n 1
第四章 解析函数的幂级数表示
第一节 复级数的基本性质 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数
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定义 设 { n } (n 1,2,) 为一复数列 , 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数 , 如任意给定 0, 相应地都能找到一个正整 数N ( ), 使在 n N 时: n 成立, 那末 称为复数列{ n } 当 n 时的极限, 记作 lim n . 此时也称复数列{ n } 收敛于 . n
n
3
反之, 如果 lim an a ,
n
n
en en (2) n n cos in n ( n ) . 2 ni 1 ni i 1 2 n ; ( 2) zn ( 1) ; ( 3) z n e . 练习 (1) zn 1 ni n1 n
(4.2)在闭圆 K : z a 上一致收敛.
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定理4.9 设 (1)fn(z) (n=1,2,…)在区域D内解析,级数
6. 解析函数项级数
n
f ( z) 或 { f n ( z)} 序列在区域D内内闭一致收敛于函数f(z),
则 (1) f(z)在区域D 内解析
或f
( p)
lim n 0 级数 n发散.
n n1

推论2 收敛级数的各项必是有界的. 推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
8
3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数
|
n 1

n
| 收敛.
2 2



| n | 发散，而级数 n 收 为绝对收敛;若级数 n 1
n 1

敛,原级数称为条件收敛.
定理:
n
绝对收敛 a 与 b 绝对收敛
n 1 n n 1 n n 1 n
n n n n k 1 k 1 k 1 k 1 k 1



2 2 | a | ( | b | ) | z | | a | | b | | ak | | bk | k k k k k k 1
(2) f ( p ) ( z ) f n( p ) ( z )( z D, p 1, 2, ).
( z ) lim f n
n
n 1 ( p)
( z ), p 1,2,.
证 （1）设 z0 D ，若 C 为Ｄ内包含z0的任一周线， 则由柯西积分定理得 f n ( z )dz 0, n 1,2, 由定理4.7得 c f ( z )dz c f n ( z )dz 0
n 1
c

于是，由摩勒拉定理知，f(z)在 C 内解析，即 在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性， 故f(z)在区域 D 内解析。
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(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内，对于z K ,
f n ( z) f ( z) 一致收敛于 , p 1 p 1 ( z z0 ) n 1 ( z z0 )

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定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为: 对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时 |n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
n 0 推论1 收敛级数的通项必趋于零: lim n (事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
重要结论:
n
lim bn b, n n 那末当 n N 时, an a , bn b . 2 2 从而 n (an ibn ) (a ib) (an a ) i (bn b) an a bn b , 所以 lim n .
证 而
由于 n an bn ,
n 1
an an b ,

2
n 1 2 n
bn an bn ,
2
2
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛, n 1 n1 故 an 及 bn 也都收敛.
n1 n1
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定义4.2
| n | 收敛,则原级数 n 称 若级数 n 1 n 1
一切的z∈E均有 |f(z)-sn (z)|<ε,则称级数(4.2)在E上一
致收敛于f(z)，记作:
中
sn ( z ) k 1 f k ( z )
n

n 1
fn ( z) f (z) ，
z D
其
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定理4.5 (柯西一致收敛准则) 级数(4.2)在点集E上 一致收敛于某函数的充要条件是: 任给的ε>0, 存在 正整数N=N(ε),使当n>N时,对于一切z∈E,均有 |fn+1(z)+…+fn+p(z)|<ε (p=1,2,…). Weierstrass优级数准则: 如果整数列Mn(n=1,2,…), 使对一切z∈E,有|fn(z)|≤Mn (n=1,2,…),而且正项 级数 M n收敛,则复函数项级数 f n ( z ) 在点集E上 n 1 n 1 绝对收敛且一致收敛: 这样的正项级数 M n称为函数项级数 f n ( z ) n 1 n 1 的优级数.

C
f ( z )dz f n ( z )dz
n 1 C

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定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若
级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此
级数在D内内闭一致收敛.
定理4.8 设级数(4.2)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛
的充要条件为:对于任意正数ρ,只要ρ<R,级数
n 1 n 1
证
因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i (b1 b2 bn ) n i n ,
根据 { sn } 极限存在的充要条件: { n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.

n 1

n
1 2.sn 1 2 n 称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即 lim sn s( ) 则称复数项无穷级数(4.1)收敛 n 于s,且称s为(4.1)的和,写成 s 否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数 (4.1)为发散. 注 复级数n收敛于s的 N定义：
定理：复数列收敛的Cauchy准则 复数列 {n }(n 1, 2, ) 收敛的充要条件是: >0,N >0,当n N时,对p N :