2017年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)

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2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科) 有答案

圆心到直线 x﹣3y+3=0 的距离 d=
=，
故弦 AB=2
=，
故选 A．
5．下列命题中错误的是（）
A．如果平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α 内不存在与 a 平行的直线
B．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β=l，那么直线 l⊥平面 γ
C．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：如果平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α，则 a 与 α 相交，则 α 内不存在与 a 平行
的直线，故 A 正确；
如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，
【分析】利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果．
【解答】解：由函数定义域排除 A，函数的值域．可知 x＞0 时，y＞0，当 x＜0 时，y＜0，排
除 C，D．
故选：B．
11．若关于 x 的方程 2sin（2x+ ）=m 在[0， ]上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（） A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1， ] 【考点】正弦函数的图象．
由
可得 A（1，2），
所以目标函数 z 的最大值为 4．
故选 B．
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．4 B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2，

2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)

2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A∪B=∅D．A∩B=∅3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．6．（5分）“a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s28．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsi n（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，]10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为的函数f（x）满足：当时，，且当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．14．（5分）已知实数x，y满足则z=2x+y的最大值是．15．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=e x（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则φ（A，B）＜1．其中真命题的序为．（将所有真命题的序都填上）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．18．（12分）学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．19．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）．（Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直．20．（12分）设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．21．（12分）函数f（x）=lnx+，g（x）=e x﹣（e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求证：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+；（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若对任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）经过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：=，则复数的共轭复数是：1+i．故选：A．2．（5分）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A∪B=∅D．A∩B=∅【解答】解：集合A={x∈R||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x|（x﹣2）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=∅，A∪B={x|x＞﹣1或x≤﹣2}，对照选项，可得A，B，C均错，D正确．故选：D．3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由sin（π+α）=﹣sinα=﹣，得到sinα=，又α是第二象限角，所以cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，则ta n2α===﹣．故选C6．（5分）“a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率是，直线3x+ay+3=0的斜率是3，∴满足k1•k2=﹣1a=0时，直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=﹣1是直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．故选A．7．（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s2【解答】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小，而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小，总上可知s1＞s3＞s2，故选：B．8．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，]【解答】解：化简可得f（x）=sin2ωx+）+sinωxsin（ωx=+sinωxcosωx=+sin2ωx cos2ωx=sin（2ωx﹣）+，∵函数的最小正周期为π，∴=π，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴f（x）=sin（2x﹣）+的值域为[0，]故选：A10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵，则圆心坐标为（，0），半径为r=，∴|F1F|=3|FC|∵PQ=2QF，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴a=b，则=，∴e===，故选A．12．（5分）已知定义域为的函数f（x）满足：当时，，且当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：当x∈[，1]时，∈[1，3]，∴f（x）=2f（）=2ln=﹣2lnx，∴f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，∴y=f（x）与直线y=ax在[，3]上有3个交点．当直线y=ax经过点（3，ln3）时，a=，当直线y=ax与y=lnx相切时，设切点为（x0，y0），则，解得x0=e，y0=1，a=．∴≤a＜．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．=，【解答】解：∵∠A=60°，边AB=2，S△ABC=AB•AC•si nA，即=×2AC×，∴S△ABC解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+1﹣2=3，则BC=．故答案为：14．（5分）已知实数x，y满足则z=2x+y的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故答案为：10．15．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=e x（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则φ（A，B）＜1．其中真命题的序为①②③④．（将所有真命题的序都填上）【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则k A=3，k B=3，则|k A﹣k B|=0，则φ（A，B）=0，故①正确；对于②，如y=1时，y′=0，则φ（A，B）=0，故②正确；对于③，抛物线y=x2+1的导数为y′=2x，y A=x A2+1，y B=x B2+1，y A﹣y B=x A2﹣x B2=（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）===≤2，故③正确；对于④，由y=e x，得y′=e x，φ（A，B）=，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜=1，故④正确．故答案为：①②③④三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由S n=2a n﹣3，①得a1=3，S n﹣1=2a n﹣1﹣3（n≥2），②①﹣②，得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2，n∈N），所以数列{a n}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（n∈N*）．（Ⅱ），，作差得，∴（n∈N*）．18．（12分）学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①A班数据有集中在茎0、1、2上，B班数据有集中在茎1、2、3上；②A班叶的分布是单峰的，B班叶的分布基本上是对称的；③A班数据的中位数是10，B班数据的中位数是23．（Ⅱ）A班样本数据的平均值为小时；B班样本数据的平均值为小时．因为，所以由此估计B班学生平均观看时间较长．（Ⅲ）A班的样本数据中不超过11的数据a有6个，分别为5，5，7，8，9，11；B 班的样本数据中不超过11的数据b有3个，分别为3，9，11．从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个，记为（a，b），分别为：（5，3），（5，9），（5，11），（5，3），（5，9），（5，11），（7，3），（7，9），（7，11），（8，3），（8，9），（8，11）（9，3），（9，9），（9，11），（11，3），（11，9），（11，11）共18种，其中a＞b的有：（5，3），（5，3），（7，3），（8，3），（9，3），（11，3），（11，9），共7种．故a＞b的概率为．19．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）．（Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直．【解答】（Ⅰ）解：取AM的中点N，连接DN．∵AB=2AD，∴DM=AD，又N为AM的中点，∴DN⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，又平面ADM∩ABCM=AM，DN⊂平面ADM，∴DN⊥平面ABCM．∵AB=2，∴AD=1，AM=，则，又，=V D﹣BCM=；∴V M﹣BCD（Ⅱ）证明：假设AE⊥BM．由（Ⅰ）可知，DN⊥平面ABCM，∴BM⊥DN．在长方形ABCD中，AB=2AD，∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形，∴BM⊥AM．而DN、AM⊂平面ADM，DN∩AM=N，∴BM⊥平面ADM．而AD⊂平面ADM，∴BM⊥AD．由假设AE⊥BM，AD、AE⊂平面ABD，AD∩AE=A，∴BM⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，∴BM⊥AB，这与已知ABCD是长方形矛盾，故AE不可能与BM垂直．20．（12分）设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==．当且仅当，即x0=a﹣2时取等，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．21．（12分）函数f（x）=lnx+，g（x）=e x﹣（e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求证：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+；（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若对任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）．当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为，所以，又，且当x=1时等成立，所以，．（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f （x）]min，依题意有g（x）min≥[f（x）]min，由（Ⅰ）知，所以[f（x）]min=0，则有g（x）min≥0，g'（x）=e x﹣x﹣a．令h（x）=e x﹣x﹣a，h'（x）=e x﹣1，而当x≥0时，e x≥1，所以h'（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=1﹣a．①当1﹣a≥0，即a≤1时，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，所以，依题意有，解得，所以．②当1﹣a＜0，即a＞1时，因为h（x）在[0，+∞）上是增函数，且h（0）=1﹣a＜0，若a+2＜e2，即1＜a＜e2﹣2，则h（ln（a+2））=a+2﹣ln（a+2）﹣a=2﹣ln（a+2）＞0，所以∃x0∈（0，ln（a+2）），使得h（x0）=0，即，且当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以，g（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，所以，又，所以，所以，所以0＜x0≤ln2．由，可令t（x）=e x﹣x，t'（x）=e x﹣1，当x∈（0，ln2]时，e x＞1，所以t （x）在（0，ln2]上是增函数，所以当x∈（0，ln2]时，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2．综上，所求实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）经过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求p的值．【解答】解：（Ⅰ）过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°，设参数为t，则直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅱ）把参数方程代入y2=2px，得，，t1t2=32+8p，根据直线参数的几何意义，可得|MA||MB|=|t1t2|=32+8p，那么：，∵|MA|、|AB|、|BM|成等比数列，∴|AB|2=|MA||MB|，8p（p+4）=32+8p，p＞0．故得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。

哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(文)含答案

2017年高三第三次模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数满足（是虚数单位），则（）z ()12z ii ⋅+=i z =B.2C.1 2.，，则（）(){}lg 1A x y x ==-{B y y ==A B = A. B. C. D.[]0,2(]1,2[)1,2(]1,43.已知的值为（）cos sin αα-=sin 2αA. B. C.D.1818-7878-4.已知实数，满足，则的取值范围为（）x y 3232310y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≤z x y =+A. B. C. D.[]0,3[]2,7[]3,7[]2,05.已知，，，则是的（）π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭:sin p x x ＜2:sin q x x ＜p q A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18,27，则输出的（）a b a =A.0 B.9 C.18 D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. 8343第7题8.直线与交于，两点，若，则的()20x y m m +=＞22:5O x y += A B 2OA OB AB + ＞m 取值范围是（）A. B. C. D.())(9.已知函数，在随机取一个实数，则的概率为（ ()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ()0f a ＞）A. B. C. D.5623121310.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足P ABC —ABC ∆BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）π2ABC ∠=A. B.C. D.8π16π16π332π311.双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且()222210,0x y a b a b -=＞＞1F 2F P ，若，则双曲线离心率的取值范围是（）120PF PF = 12ππ,126PF F ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A. B. C. D.1⎡⎤+⎣⎦1⎡⎤+⎣⎦⎤⎦1⎤+⎦12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若()f x ()0,+∞()f x '，且，则不等式的解集为（）()()()1x x f x f x e x '+=- ()20f =()0f x ＜A. B. C. D.()0,1()0,2()1,2()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则______.x x =14.已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点()f x 0x ＞()ln f x x x x =-()y f x =处的切线方程为______.()(),e f e --15.平面上，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有A C PM B D PN （其中、分别为、的面积）；空间中，点、为PAB PCD S PA PB S PC PD ∆∆= PAB S ∆PCD S ∆PAB ∆PCD ∆A C 射线上的两点，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有PM B D PN E F PL ______（其中、分别为四面体、的体积）.P ABE P CDF V V --=P ABE V -P CDF V -P ABE —P CDF —16.方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列()f x x =()f x ()1axf x x =+满足，，则______.{}n a 11a =111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭2017a =三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知直线是函数的图象的一条对称轴.π3x =()sin 2cos 2f x m x x =-（Ⅰ）求函数的单调递增区间；()f x（Ⅱ）设中角，，，所对的边分别为，，，若，且，ABC ∆A B C a b c ()2f B =b =求的取值范围.2ca -18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分x x 按平价收费，超过的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年x 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分[)0,0.5[)0.5,1 [)4,4.5成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值；a （Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为，求的分布列与数学期望.X X （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值（精确x x 到0.01），并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC FED -DEF ∆ABC ∆平面，四边形为直角梯形，，，为中点，ABC ⊥BCDE BCDE BC CD ⊥1CD =N AB .(),0AM AF R λλλ=∈ ＞（Ⅰ）设中点为，，求证：平面；ND Q 12λ=MQ ∥ABC（Ⅱ）若到平面，求直线与平面所成角的正弦值.M BCD MC BCD20.（本小题满分12分）椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆中心的弦满()222210x y a b a b +=＞＞()1,0F c -()2,0F c PQ 足，，且的面积为1.2PQ =290PF Q ∠=︒2PF Q ∆（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，l ()0,1A M N MN A 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.l 21.（本小题满分12分）已知函数.()ln x a f x e x -=+（Ⅰ）若，求证：当时，；1a =1x ＞()21f x x -＞（Ⅱ）若存在，使，求实数的取值范围.0x e ≥()002ln f x x ＜a 请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线x ，（为参数）.1:1C ρ=21:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t （Ⅰ）求曲线上的点到电线距离的最小值；1C 2C （Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大原来为原来的21C 曲线.设，曲线与交于，两点，求.1C '()1,1P -2C 1C 'A B PA PB +23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.x y R ∈（Ⅰ）若，满足，，求证：；x y 132x y -＜126x y +＜310x ＜（Ⅱ）求证：.44331628x y x y xy ++≥2017 三模文科数学答案、、选择题ABCBB BABCD DB、、填空题13.2714. 15. 16. 2017y x e =--PA PB PE PC PD PF ⋅⋅⋅⋅、、解答题17.（1）是函数的一条对称轴3x π=()sin 2cos 2f x m x x =-或 ……………………………………..3分(3f π⇒=m ⇒=()2sin(2)6f x x π⇒=-增区间：………………………………………………6分⇒,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B =sin(2163B B ππ⇒-=⇒=又，由正弦定理得：b =2sin ,2sin 2sin(3a A c C A π===+………………………………………….82sin sin(+)236c a A A A ππ⇒-=--分210,(,)sin(),1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 (12)分)6A π⎛⇒-∈⎝2c a ⎛⇒-∈ ⎝18.（1） ……………………………………4分0.30a =（2） ……………………………………8分10.060.040.020.88P =---=（3）(0.880.85)0.300.1-÷= ……………………………………12分30.1 2.9x =-=19（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为ABC FED -S时为的中点，1=2λM FA 设中点为，连CD R ,,MR MQ RQ梯形中，中位线，又ACDF //MR AC ,MR ABC AC ABC⊄⊂平面平面所以；//MR ABC 平面中，中位线，又CDN //QR CN ,QR ABC CN ABC⊄⊂平面平面所以//QR ABC 平面又且MR QR R = ,MR MQR QR MQR⊂⊂平面平面所以//MQR ABC平面平面所以………………………………………………4分//MQ ABC 平面（2）设中点为，连，在中作且交于点，AB H ,SH AH SAH //MO AH SH O ()()BCDE ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC AH AH ABC AH BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面S B C (即平面) 平面又，所以，//MO AH ()MO SBC D ⊥平面所以()MO M SBC D MO =为到平面的距离，且为直线与平面所成角……………………………………………8分MCO ∠MC BCD ()()ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC CD CD BCDE CD BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面A B C 平面，所以，中AC ABC ⊂平面CD AC ⊥Rt SAC //,1,2,1DF AC DF AC CD ===3344MO SM M AH SA ==⇒=⇒为FA的中点,CF SA CF ⇒⊥==CM ⇒=……………………………………………12分sin MO Rt MCO MCO MC ∠== 中直线与平面MC BCD20.（1）为矩形21290PF Q PF QF ∠=⇒ 1221F F PQ c ⇒==⇒=1221212PF F PF Q S S PF PF ==⇒⋅= 又，得122PF PF a +=222,1a b ==椭圆方程： ……………………………………….4分2212x y +=（2）222221(21)42(1)02x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩………………………….6分22212122242(1)8(21),,2121km m k m x x x x k k --⇒=+-+==++ 1122(,1)(,1)0AM AN x y x y ⇒=--= ……………………………………….10分23210m m ⇒--=又直线不经过，所以，，定点…………………………12(0,1)A 1m ≠13m =-1(0,)3-分21.（1）时，1a =111()ln ,()x x f x e x f x e x --'=+=+设111()ln 21,()2x x g x e x x g x e x--'=+-+=+-111222111(),1,1,01,()0x x x g x e x e g x e x x x ---''''=->><<=->递增，又()(1,)g x '+∞在(1)0,1()0g x g x ''=∴>>时递增，，即()(1,)g x +∞在1,()(1)0x g x g >>=时ln 210x e x x +-+>，即……………………………………….6分1,x >时ln 21x e x x +>-()21f x x >-（2）若存在使，即0,x e ≥00()2ln f x x <00ln x a e x -<即存在使.0,x e ≥00ln x ae e x >设（），则()ln x e h x x =x e ≥21()(ln )ln x e h x x x x'=-设，在递增2111ln ,0u x u x x x '=-=+>1ln u x x=-[),e +∞，所以在恒成立，110x e u e==->时,0u >[),e +∞在恒成立，所以递增()0h x '>[),e +∞()h x [),e +∞时,x e ≥min ()()eh x h e e ==需……………………………………….12分a e e e a e >⇒>22．（1），圆心为，半径为；221:1C x y +=(0,0)1--------2分2:2C y x =+圆心到直线距离--------3分d ==所以上的点到.--------5分1C 2C 1（2）伸缩变换为，所以--------7分2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩221:143x y C '''+=将和联立，得.因为--------8分2C 1C '27100t +-=120t t <分1212||||||||||PA PB t t t t ∴+=+=-=23（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅= ---------------5分310x ∴<（2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦------10分。

2017年高考全国Ⅲ文科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年全国Ⅲ，文1，5分】已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中的元素的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2，4，则{}2,4A B =I 所以元素个数为2，故选B ．（2）【2017年全国Ⅲ，文2，5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--，所以复数位于第三象限，故选C ．（3）【2017年全国Ⅲ，文3，5分】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）（A ）月接待游客量逐月增加（B ）年接待游客量逐年增加（C ）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月（D ）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．（4）【2017年全国Ⅲ，文4，5分】已知4sin cos ,3αα-=，则sin 2α=（）（A ）79- （B ）29- （C ）29（D ）79 【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=- ，故选A ．（5）【2017年全国Ⅲ，文5，5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（）（A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,3【答案】B【解析】由题意，画出可行域，端点坐标()0,0O ，()0,3A ，()2,0B ．在端点,A B 处分别取的最小值与最大值．所以最大值为2，最小值为3-，故选B ．（6）【2017年全国Ⅲ，文6，5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为（）（A ）65 （B ）1 （C ）35 （D ）15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x x ππ=++-=⋅+++⋅=+6sin()53x π=+，故选A ．（7）【2017年全国Ⅲ，文7，5分】函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ，当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．（8）【2017年全国Ⅲ，文8，5分】执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2【答案】D【解析】若2N =，第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．（9）【2017年全国Ⅲ，文9，5分】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）（A ）π （B ）3π4（C ）π2 （D ）π4 【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以r BC == 22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B ．（10）【2017年全国Ⅲ，文10，5分】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（）（A ）11A E DC ⊥ （B ）1A E BD ⊥ （C ）11A E BC ⊥ （D ）1A E AC ⊥【答案】C【解析】11A B ⊥ 平面11BCC B 111A B BC ∴⊥，11BC B C ⊥又1111B C A B B = ，1BC ∴⊥平面11A B CD ，又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥，故选C ．（11）【2017年全国Ⅲ，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）（A （B （C （D ）13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，c e a ==A ．（12）【2017年全国Ⅲ，文12，5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（）（A ）12- （B ）13 （C ）12 （D ）1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-= ，得1x =，即1x =为函数的极值点，故()10f =，则1220a -+=，12a =，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2017年全国Ⅲ，文13，5分】已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥ ，则m =______．【答案】2 【解析】因为a b ⊥ 0a b ∴⋅= ，得630m -+=，2m ∴=．（14）【2017年全国Ⅲ，文14，5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =__ ____．【答案】5 【解析】渐近线方程为b y x a=±，由题知3b =，所以5a =．（15）【2017年全国Ⅲ，文15，5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A _______．【答案】075【解析】根据正弦定理有：03sin 60=sin B ∴=b c > 045=∴B 075=∴A ．（16）【2017年全国Ⅲ，文16，5分】设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______．【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得：当12x >时12221x x -+> 恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立，即 102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值范围是1(,)4-+∞．三、解答题：共70分。

。2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)

2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设全集 U=R，集合 A={ x| x＞0} ，B={ x| x2﹣x﹣2＜0} ，则 A∩（ ?UB）= （） A．（0，2] B．（﹣ 1，2] C．[ ﹣1，2] D． [ 2，+∞） 2．（5 分）若复数 z= ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是（）
算步骤。
17．（ 12 分）已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0．且 a3+S5=42，a1，
a4， a13 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 bn=
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
18．（ 12 分）随着手机的发展， “微信 ”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对 “使用微信交流 ”的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及
断是否有 99%的把握认为 “使用微信交流 ”的态度与人的年低于 45 岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在 [ 25，35）和[ 55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取
6 人进行追踪调查，并给予其中 3 人“红包 ”奖励，求 3 人中至少有 1 人年龄在 [ 55，
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∴ =1× 2× cos60°=1，
∴| + | =
=
=，
故选： B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于中档题．
6．（5 分）已知抛物线 x2=2y的焦点与椭圆 + =1 的一个焦点重合，则 m=（）

吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(解析版)

2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B．C．4 D．35．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数9．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．3010．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2） D．[1，]12．对，23x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=．15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（1）过原点O 作曲线y=f （x ）的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式f （x ）≥a （2x ﹣x 2），求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆C ：，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，故选：A．4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B．C．4 D．3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．5．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA ⊥l，PB⊥l，则l⊥γ，故B正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．故选：C．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线x﹣y+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值．由可得A（1，2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数【考点】程序框图．【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B．9．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．10．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果．【解答】解：由函数定义域排除A，函数的值域．可知x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，排除C，D．故选：B．11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2） D．[1，]【考点】正弦函数的图象．【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．12．对，23x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题；全称命题．【分析】先构造函数f（x）=x2+x，g（x）=﹣log a x．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0，又函数为增函数，故可求答案．【解答】解：构造函数f（x）=23x，g（x）=﹣log a x﹣1．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜）易知，在区间（0，）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，）上是递增函数．由题设可知，函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0．∴必有h（）≤0．即有2﹣log a（）﹣1≤0．整理就是log a a=1≤log a（），∴实数a的取值范围是≤a＜1．故选C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为95．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：95．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=1．【考点】导数的运算．【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．【解答】解：f（x）=e x•sinx，f′（x）=（e x）′sinx+e x．（sinx）′=e x•sinx+e x•cosx，∴f'（0）=0+1=1故答案为：115．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设F （﹣c ，0），则过F 作斜率为1的直线为：y=x +c ，而渐近线的方程是：y=±x ，由得：A （﹣，），由得，B （﹣，﹣），若=，可得A 为FB 的中点，可得﹣c ﹣=﹣2•，化为b=3a ，c==a ，e==．故答案为：．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知点，Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数．（1）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（2）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）利用向量数量积运算，即可求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（2）利用，△ABC 的面积为，求出bc ，利用余弦定理，求出，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（1），∴==4﹣2sin （x +），f （x ）的最小正周期为2π；（2）因为f （A ）=4，所，因为0＜A ＜π，所以，因为，所以bc=3，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）作出女性用户和男性用户的频率分布表，由图可得女性用户更稳定．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A ，B ，C ，D ，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，基本事件空间为Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素．M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素．P（M）=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），=0，=0，∴PD⊥AB，PD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．②当a＞0时，．设，在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．（i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；（ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．综上所述，a≥1．21．已知椭圆C：，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b=c=1，即a==，即椭圆C的方程为，（2）根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），，，，即，设直线AB的垂直平分线方程为，令y=0，得，因为，所以=；即线段AB长的范围是（，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．2017年4月18日。

2017年三省三校联合考试一模数学文科答案

东北师大附中三省三校联考一模数学（文科）答案第Ⅰ卷一、选择题：1——6 ACAABD 7——12 BCADAB13． 8 14． 1415．16． 22n n n a +=17．解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+= sin sinB sin a c A a b C-+∴=- ——1分由正弦定理得a c a ba b c-+=-， ——2分即222b a c ac =+- ——4分结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，3B π∴=． ——6分（Ⅱ）法一：22sin3b R b π==⇒= ——8分所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）——10分所以1sin 23S ac π=≤——12分（Ⅱ）12sin 2sin 2sin sin()23S ac B A C A A π===⨯=-，21sin )cos sin )2A A A A A A =+=+112cos 2))226A A A π=-+=-．——10分 270,23666A A ππππ<<∴-<-< ， 2,62A ππ∴-=即3A π=时，S——12分18．解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人．由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． ——4分1AA1C1BBCDE （Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，4=∴m ．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ．——6分则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个 ——8分其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． ——10分所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=．——12分 19．（Ⅰ）证明：ABC ∆ 为正三角形，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，BD ∴⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥． ——2分连接1EC ， 14AA AE =，12AB AA ==，1115,,22EA ED EC C D ∴=====则222111,EC ED C D ED C D =+∴⊥， ——4分又1C D BD D= ∴DE⊥平面1BD C .——6分（Ⅱ） 12AA AE =，∴11ED C D C E ===，132C DE S ∆∴=， ——8分由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高 ——10分所以1111133322C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯=——12分20．解：（Ⅰ）由题意，max 11,()222PAB c e S ab ab a ∆===⨯==222a b c =+. 解得1,3,2===c b a .∴椭圆的标准方程为13422=+y x . ——4分（Ⅱ）假设存在定点)0,(m D ，使得向量DN DM ⋅为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点)0,1(1-F ，设直线l 的方程为1-=ty x .联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422ty x y x ，消去x ，得096)43(22=--+ty y t . 设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+=+t y y t t y y . ——6分),(),,(2211y m x DN y m x DM -=-=.21221212121)())((y y m x x m x x y y m x m x DN DM +++-=+--=⋅2122121)2)(()1)(1(y y m y y t m ty ty ++-+---=221212)1()()1()1(++++-+=m y y t m y y t22222222)1(439)156()1(43)1(643)1(9+++---=++++-++-=m t t m m t m t t t . ——8分若DN DM ⋅为定值n ，则493156-=--m ，即811-=m ，此时64135-=n . ——10分②当直线l 的斜率为0时，6413582785),0,811(),02(),02(-=⨯-=⋅--DN DM D B A ，，，亦符合题意； ——11分∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n . ——12分 21．解：（Ⅰ）)0(2222)(2>+-=-+='x xax x a x x x f ——1分 .令22)(2+-=ax x x h ，162-=∆a① 当0≤a 时，0≥-ax ，0)()(>='∴xx h x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增； ——2分② 当40≤<a 时，0162≤-=∆a ，所以0)(≥x h ，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ——3分③ 当4>a 时，0162>-=∆a ，令0)(=x h，得120,0x x =>=>，'12'12()0(0,)(,)()0(,)f x x x x f x x x x >⇒∈+∞<⇒∈所以，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减综上，1当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2 当1>a 时，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 ——6分（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,2[-∈a 时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是a f -=3)1(，对任意的)0,2[-∈a ，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式23)()1(220++>++a a x f a me a 成立，即对任意的)0,2[-∈a ，23)()1(22max 0++>++a a x f a me a 都成立. 即对任意的)0,2[-∈a ，不等式014)1(22>+--+a a a me a都成立. 记14)1(2)(2+--+=a a a me a h a ，则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='a a me a a a me a h .8分)1,1[),0,2[2e e a a ∈∴-∈ ，且20a +≥. ①当1≤m 时，10,()0ame h a '-<∴≤，即)0,2[-∈a 时，)(a h 单调递减.0)(>∴a h ，只需0)0(≥h ，解得21-≥m ，1[,1]2m ∴∈-. ——9分②当1>m 时，令0)(='a h 得2-=a 或m a ln -=，因为)0,2[-∈a ，所以0)2(2≥+a . （ⅰ）当21m e <<时，)0,2[ln -∈-m ，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <；当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，03ln 2ln )ln ()(2min >++-=-=∴m m m h a h ，解得),1(3e em ∈ ，2(1,)m e ∴∈. ——10分（ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1ame ≥，所以'()0h a ≥，则)(a h在[2,0)-上单调递增，得025)2(2>-=--me h ，即252e m <.225[,)2e m e ∴∈.——11分综上，m 的取值范围是)25,21[2e -. ——12分 22．选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）直线1C ：2sin cos ()3R πρθθθρ=⇒=∈ ——3分曲线2C的普通方程为22((2)1x y ++=. ——5分（Ⅱ）3C : )(3R ∈=ρπθ，即y =. ——6分圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==. ——9分所以AB == ——10分 23．选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ——3分当且仅当b x a ≤≤-时，等号成立，所以()f x 的最小值为4=+b a . ——5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4=+b a ，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=. ——7分即221116()4913a b +≥，当且仅当331221b a=，即1336,1316==b a 时，等号成立. 所以，229141b a +的最小值为1613． ——10分另法：因为4=+b a ，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a a b a --++=+=<< ——7分当1613a =时，229141b a +取最小值，最小值为1613． ——10分。

辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)若集合}21|{≤≤=x x A ，}023|{2=+-=x x x B ，则B A I 等于（A ）}21|{≤≤x x （B ）)2,1(（C ）{}1,2 （D ）Φ已知i 是虚数单位，则满足|12|z i i -=+的复数z 在复平面上对应点所在的象限为（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限已知向量a r 与b r 不共线，AB a mb =+u u u r r r ，b a n AC +=∈n m ,(R)，则AB u u u r 与AC u u ur 共线的条件是（A ）0m n += （B ）0m n -= （C ）10mn += （D ） 10mn -=已知函数x x x f cos sin )(+=，x x g cos 2)(=，动直线t x =与)(x f 和)(x g 的图象分别交于A 、B 两点，则||AB 的取值范围是（A ）[0，1] （B ）[0，2] （C ）[0，2] （D ）[1，2] 在边长为2的正方形ABCD 内部取一点M ，则满足AMB ∠为锐角的概率是（A ）4π （B ）8π （C ）41π- （D ）81π- 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，无宽，高1丈。

现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（A ）4立方丈（B ）5立方丈（C ）6立方丈（D ）8立方丈图中阴影部分的面积S 是高h 的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是（A ）（B ）（C ）（D ）开始输入已知(5,3)A ，F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的动点，则PAF ∆周长的最小值为（A ）9 （B ）10（C ）11 （D ）15按右图所示的程序框图，若输入110101a =，则输出的b = （A ）53 （B ）51 （C ）49（D ）47将长宽分别为2和1的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体BCD A -，则四面体BCD A -外接球的表面积为（A ）π3 （B ）π5 （C ）π10 （D ）π20 已知数列}{n a 是等差数列且满足7,131==a a ，设nS 为数列})1{(n n a -的前n 项和，则2017S 为（A ）3025- （B ）3024- （C ）2017 （D ）9703设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数t x x f +=ln )(为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（A ） (,ln 21)-∞- （B ） (,ln 21]-∞- （C ） (1ln 2,)-+∞ （D ） [1ln 2,)-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 13．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 .14．已知实数,x y 满足：132(3)x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为 .15.已知双曲线:C )0,0(12222>>=-b a b y a x 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P 、Q 两点，若3π=∠PAQ ，且aPQ 33||=，则双曲线C 的渐近线方程为 .16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：,21,13,8,5,3,2,1,1ΛΛ,233,114,89,55,341)2()1(==F F ,)2()1()(-+-=n F n F n F ),3(*N n n ∈≥，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2017b = .三、解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）如图，已知ABC ∆中，D 为BC 上一点，4π=∠DAC ，53cos -=∠BDA ，24=AC ．（I ）求AD 的长；（II ）若ABD ∆的面积为14，求AB 的长．18. （本小题满分12分）“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式。

2017届东北三省三校高三第三次模拟数学(文)试题Word版含解析

2017届东北三省三校高三第三次模拟数学（文）试题（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一、选择题1．设复数z 满足()12z i i ⋅+=（i 是虚数单位），则z =（）【答案】A【解析】()()()2121111i i i z i z i i i -==+∴=++- A.2．(){|lg 1}A x y x ==-，{|B y y ==，则A B ⋂=（）A. []0,2B. (]1,2C. [)1,2D. (]1,4 【答案】B【解析】因为{}1,{|22}A x x B x x ==-≤≤，所以{|12}A B x x ⋂=<≤，应选答案B 。

3．已知cos sin αα-=，则sin2α的值为（） A.18 B. 18- C. 78 D. 78- 【答案】C【解析】17cos sin 12sin2sin288αααα-=∴-=∴= ，故选C. 4．已知实数x ， y 满足3{232310y x y x y ≤+≥-+≤，则z x y =+的取值范围为（）A. []0,3B. []2,7C. []3,7D. []2,0 【答案】B【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线z x y =+分别经过点()()4,3,1,1A B 时，在y 轴上的截距最大最小，且max min 437,112z z =+==+=，所以37z ≤≤，应选答案B 。

5．已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， :sin p x x ＜， 2:sin q x x ＜，则p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为取4x π=时，在:sin p x x <，但2:sin q x x <不成立，故是不充分条件；但当2:sin q x x <成立时，则命题:sin p x x <成立，即是必要条件，故p 是q 的必要不充分条件，应选答案B 。

辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试数学(文)试题

辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}2|{≥=x x A ，}60|{<≤=x x B ，则集合=B A C U )(( ) A ．}20|{<<x x B ．}20|{≤<x x C ．}20|{<≤x x D ．}20|{≤≤x x2.在复平面内复数iiz -+=143（i 是虚数单位）对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.向量)1,(m =，)1,(n =，则1=nm是//的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.如下右的程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若y x =，则这样的x 值有（）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．9B ．21C ．25D ．346.已知1F ,2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足||||22121F F PF ≤+，则双曲线的离心率的取值范围是（） A ．]2,1( B ．]2,1( C. ),2[+∞ D ．),2[+∞ 7.已知函数)2||,0)(sin()(πϕϕω<>+=A x A x f 的图象在y 轴左侧的第一个最高点为)3,6(π-，第一最低点为),32(m π-，则函数)(x f 的解析式为（） A ．)26sin(3)(x x f -=πB ．)62sin(3)(π-=x x f C. )23sin(3)(x x f -=πD ．)32sin(3)(π-=x x f8.若2sin cos 1=+αα，则=-ααsin 3cos （）A ．3-B ．3 C. 59- D ．599.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201622017⨯ B ．201522018⨯ C. 201522017⨯ D ．201622018⨯10.直线01=++by ax 与圆122=+y x 相切，则ab b a ++的最大值为（） A ．1 B ．1- C.212+D ．12+ 11.若三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2====SC SB SA AB ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．316π B ．38π C. 334πD ．34π12.函数)(x f 的定义域是)2,0(π，)(x f 是它的导函数，且0)('tan )(>⋅+x f x x f 在定义域内恒成立，则（） A ．)4(2)6(ππf f >B ．)4()1(1sin 2πf f > C.)3(3)6(ππf f >D ．)3(3)4(2ππf f > 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在区间)2,0(中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是 .14.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥++20301x y x y x ，若22y x +的最大值为m ，最小值为n ，则ny mx +的最小值为 .15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知5=c ，32π=B ，ABC ∆的面积为4315，则=A 2cos .16.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，17)2()2()(3-++=x f x x F ；23317)(++-=x x x G ，若)(x F 的图象与)(x G 的图象的交点分别为),(11y x ，),(22y x ，……，),(m m y x ，则=+∑=mi i iy x1)( ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列}{n a ，111-=a ，公差0≠d ，且652,,a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .18.某高校组织自主招生考试，共有2000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名学生的成绩进行统计，将统计的结果按如下方式分成八组：第一组)205,195[，第二组)215,205[，……，第八组]275,265[.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：（1）求a 值和这2000名学生的平均分；（2）若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？ 19.已知斜三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ，21===AA BC AC ，11AC B A ⊥. （1）求证：平面⊥ABC 平面11ACC A ；（2）若 601=∠AC A ，AC D A ⊥1于D ，且D A 1与1AC 交于点O ，求三棱锥ABC O -的体积.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为21,F F ，离心率为21，点P 为其上动点，且三角形21F PF 的面积最大值为3，O 为坐标原点. （1）求椭圆的C 的方程；（2）若点N M ,为C 上的两个动点，求常数m ，使m =⋅时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值.21. 已知函数1)4(ln 2)(2++-+=x a x x a x f （a 为常数）（1）若0>a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的)2,1(∈a ，都存在]4,3(0∈x 使得不等式ea a a m a x f 4ln 2)(1ln )(20+->++成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：)0(cos 2sin 2>=a a θθρ，l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t为参数）.（1）求曲线C 的普通方程，l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 交于N M ,两点，点)0,2(-P ，若|||,||,|PN MN PM 成等比数列，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数|||1|)(a x x x f -+-=.（1）若函数)(x f 的值域为),2[+∞，求实数a 的值；（2）若)2()2(f a f ≥-，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：CBACB 6-10： DACBC 11、12：AB二、填空题13．81； 14．22； 15．9871 16．m 19-．[来源] 三、解答题17.解：（1）∵652,,a a a 成等比数列，∴6225a a a =，即)5)(()4(1121d a d a d a ++=+， ∴011221=+d d a ，又0≠d ，111-=a ，∴2=d ，∴1322)1(11-=⨯-+-=n n a n .（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，则n n a a n S n n 122)(21-=+=， ∵132-=n a n ，∴6≤n 时，0<n a ；7≥n 时，0>n a ，∴当6≤n 时，2212112||||||n n S a a a a a a T n n n n -=-=----=+++= 当7≥n 时，n n n a a a a a a a a a a T +++----=++++++= 76217621||||||||||721222666+-=-=-+-=n n S S S S S n n ，综上：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=)7(7212)6(1222n n n n n n T n .18. (1)解：110)202.0016.0201.0008.0004.0(=⨯⨯++⨯++，解得012.0=a ，8.23708.027012.026016.02502.0)240230(1.0)220210(04.0200=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯++⨯.(2)设中位数为x ，)2.02.004.0(5.002.0)235(++-=⨯-x ，解得238=x 分.19.（1）连接C A 1，∵11AC C A ⊥，又∵11AC B A ⊥，∴⊥1AC 平面BC A 1，∴BC AC ⊥1，又∵90=∠ACB ，∴⊥BC 平面1ACC ，又∵⊂BC 平面ABC ，∴平面⊥ABC 平面11ACC A .（2）由（1）中⊥BC 平面1ACC 可知BC 为三棱锥AOC B -的高，在AD A Rt 1∆中可得：1=AD ，又∵AOD ∆∽11OC A ∆，∴AO OC 21=，∴131AC OA =， ∴3922120sin 222131313131311=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅==∆∆-- BC S BC S V V ACC AOC AOC B ABC O .20.解：（1）依题意知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=213222a c bc ba c 解得⎩⎨⎧==32b a ，所以椭圆的方程为13422=+y x . （2）设),(),,(2211y x N y x M ，则m y y x x =+2121（*）当直线MN 的斜率存在时设其方程为n kx y +=，则点O 到直线MN 的距离11||222+=+=k n k n d ， ⎩⎨⎧+==+nkx y y x 124322消y ，得01248)34(222=-+++n knx x k ，0>∆得03422>+-n k ，则348221+-=+k kn x x ，341242221+-=k n x x ，代入（*）式：mn x x kn x x k n kx n kx x x =++++=+++2212122121)()1())((，整理得1)34(12172222+++=+k k m k n 为常数，则7212712,0===d m ，此时121722=+k n 满足0>∆当x MN ⊥轴时，由0=m 得1±=OM k ，⎩⎨⎧±==+xy y x 124322消y ：7122=x ，7212||==x d 亦成立，综上：0=m ，7212=d . 21.解：（1）xa x x a x x a x f )2)(2()4(22)('--=+-+=令0)('=x f 得2,221a x x == ①当4>a 时，22>a，当22a x <<时，0)('<x f ；当20<<x 或2a x >时，0)('>x f ，此时)(x f 的单调递增区间为)2,0(，),2(+∞a ，单调递减区间为)2,2(a；②当4=a 时，22=a ，0)2(2)('2≥-=xx x f ,)(x f 在),0(+∞上单调递增； ③当40<<a 时，22<a，当22<<x a 时，0)('<x f ；当20ax <<或2>x 时，0)('>x f ，此时)(x f 的单调递增区间为)2,0(a ，),2(+∞，单调递减区间为)2,2(a综上所述，当4>a 时，)(x f 的单调递增区间为)2,0(，),2(+∞a ，单调递减区间为)2,2(a；当4=a 时，)(x f 的单调递增区间为),0(+∞；当40<<a 时，)(x f 的单调递增区间为)2,0(a ，),2(+∞，单调递减区间为)2,2(a. (2）由（1）可知，当)2,1(∈a 时，)(x f 在]4,3(上单调递增， ∴]4,3(∈x 时，142ln 4)4()(max +-==a a f x f ，依题意，只需e a a a m a xf 4ln2)(1ln )(2max +->++即对任意的)2,1(∈a ，不等式02)2(ln 2>++-+a m ma a 恒成立，设2)2(ln )(2++-+=a m ma a a h ，则)1(=h ，a ma a m ma a a h )1)(12()2(21)('--=+-+=∵)2,1(∈a ，∴012>-a a ①当1≥m 时，对任意的)2,1(∈a ，01>-ma ，∴0)('>a h∴)(a h 在)2,1(上单调递增，0)1()(=>h a h 恒成立；②当1<m 时，存在)2,1(0∈a 使得当),1(0a a ∈时，01<-ma ，∴0)('<a h ，∴)(a h 单调递减，∴0)1()(=<h a h ，∴)2,1(∈a 时，0)(>a h 不能恒成立综上所述，实数m 的取值范围是),1[+∞.22.解：(1)由)0(cos 2sin 2>=a a θθρ两边同乘以ρ得C ：ax y 22=，:l 02=+-y x（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222代入ax y 22=得：08222=+-a at t ，0>∆得4>a ，a t t 2221=+，a t t 821=，∵|||,||,|PN MN PM 成等比数列，∴||||21221t t t t =-，∴a a a 884)22(2=⨯-，5=a .23.解（1）∵|1||)()1(||||1|-=---≥-+-a a x x a x x ，∴2|1|=-a ，解得3=a 或1-=a .（2）由)2()2(f a f ≥-，得1|2||1|3≥---a a ，则⎩⎨⎧≥---≤1)2()1(31a a a 或⎩⎨⎧≥---≤≤1)2()1(321a a a 解得0≤a 或223≤≤a 或2≥a ，综上，a 的取值范围是),23[]0,(+∞-∞ .。

东北三省三校2017年高三第二次联合模拟考试-文科数学试题-Word版含答案

2017年高三第二次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|13}A x x =≤<，2{|4}B x x =≥，则()R A C B = （） A ．{|12}x x ≤< B ．{|21}x x -≤< C ．{|12}x x ≤≤ D ．{|12}x x <≤ 2．复数11ii-+（i 是虚数单位）的虚部为（） A ．i - B ．2i - C ． -1 D ．-2 3.函数()sin cos()6f x x x π=++的值域为（）A ．[2,2]-B ．[C ．[1,1]-D ．[,]224. 等差数列{}n a 中，13539a a a ++=，57927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S 等于（）A ．66B ．99C ． 144D ．297 5.α是一个平面，,m n 是两条直线，A 是一个点，若m α⊄，n α⊂，且A m ∈，A α∈，则,m n 的位置关系不可能是（）A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行6. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A ．2+B 2+C ．32π+ D 2+ 7. 函数()cos(2)3f x x π=+的图象可由函数()sin(2)3g x x π=+的图象（）A ．向左平移2π个单位长度得到 B ．向右平移2π个单位长度得到 C ．向左平移4π个单位长度得到 D ．向右平移4π个单位长度得到8.已知平面向量,a b 满足(2)5a a b ∙-= 且||2a = ，||3b =，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为（）A ．1B ．-1 C.12 D ．12- 9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3．14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的96n =，则判断框内可以填入（）（参考数据：sin 7.50.1305≈，sin 3.750.06540≈ ，sin1.8750.03272≈ ）A ． 3.14p ≤B ． 3.14p ≥C ． 3.1415p ≥D ． 3.1415926p ≥10. 已知偶函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x -为奇函数，且(2)3f =，则(5)(6)f f +的值为（）A ． -3B ． -2C ． 2D ．311.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO += （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（）A ．8B ．4 C. 2 D ．112.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，'()f x 为其导函数，当0x >且1x ≠时，'2()()01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =（）A ． 0B ． 1 C.38 D ．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个大小相同的小球，从中任取两个小球，则取出两球的编号之和为偶数的概率为．14. 若直线(3)y k x =+与圆2223x y x +-=相切，则k = ． 15. 下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号） ①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“||1a > 且||1b > ”是“||1a b +> ”的必要不充分条件； ③已知,a b R ∈，“221a b +≥”是“||||1a b +≥ ”的充分不必要条件；④命题P ：“0x R ∃∈，使001xe x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，都有1x e x <+且ln 1x x >-”16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 3A =，sin 2cos B C =且22c a b -=，则b = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明：{}n a n -为等比数列；（2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：13n T <．18. 下表数据为某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）及对应销售价格y （单位：千元/吨）．（1）若y 与x 有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+；（2）若每吨该农产品的成本为13．1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大？19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AB DC ，AD AB ⊥，122AD DC AA AB ====，点E 为棱11C D 的中点.（1）证明：BE CD ⊥；（2）若F 为线段1AC 上一点，且BF AC ⊥，M 为AD 的中点，求三棱锥F MBC -的体积.20. 已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，动圆P 经过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（2）过(0,1)F 的直线m 交曲线C 于,A B 两点，过,A B 作曲线C 的切线12,l l ，直线12,l l 交于点M ，求MAB ∆的面积的最小值. 21. 设()axf x x e = ，()ln 1g x kx x =++.（1）1a =-，()f x 与()g x 均在0x 取到最大值，求0x 及k 的值；（2）1a k ==时，求证：()()f x g x ≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(sin )ρθθ=若射线6πθ=，3πθ=分别与l 交于,A B 两点．（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||23|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若对任意1[,1]2x ∈-，不等式()|2|4f x x a ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．2017二模文科数学答案一、选择题ACCBD BCCBD BC 二、填空题13.25 14.三、解答题 17.（1）121n n a a n +=-+ ，1(1)2()n n a n a n +∴-+=-，12n n b b +=即{}1112,n b a b =-=∴又数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）111(1)22n n n n b a n a -=-=-⋅=由（）知 11211(21)(21)2121n n n n n n c ++==-++++223111111111112121212121213213n n n n T ++∴=-+-++-=-<+++++++18. （12分）（1）3x =，50y =,-220+(-1)15+0+1(-12)+2(-28)ˆ12.341014b ==-++++ （）错误！未找到引用源。

2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试数学(文)试卷及解析

2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z =(i 为虚单位)的共轭复数为（）i +i -C. iD. i【答案】A【解析】利用复数除法运算化简z ,再求得其共轭复数z .【详解】依题意,z i z i ===故选：A2. 已知集合{}|2,n A x x n ==∈N ,{}|28B x x x =<-.则A B =（）A. {1,2,4}B. {}1,2,4,6,8C. {2,4,8}D. {}1,2,4,8 【答案】D【解析】解一元一次不等式求得集合B ,由此求得A B【详解】由{|14}B x x =<,可知{}1,2,4,8A B ⋂=.故选：D3. 若变量x y ，满足约束条件2101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩,则=2z x y -的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】画出可行域,平移基准直线20x y -=到可行域边界位置,由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,平移基准直线20x y -=到可行域边界()2,1B -时,目标函数z 取得最大值为()2214-⨯-=.故选：B4. 如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为（）A. 20πB. 21πC. 22πD. 23π 【答案】A。

2017届东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中高三第一次联合模拟考试文科数学试题及答案

东北三省三校2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合2{0,},{30},A b B x Zx x ==∈-<若,A B ≠∅ 则b 等于（）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2=（）Ａ．i Ｂ．i -Ｃ．)i Ｄ．1i + ３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos 2cos 2A B <”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b满足1,)(2),==+⊥-ab a b a b 则向量a 与b 的夹角为（）Ａ．45︒Ｂ． 60︒Ｃ． 90︒Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（）Ａ． 14Ｂ． 13Ｃ．12Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A ．Ｂ．正视图侧视图俯视图Ｃ．2Ｄ．2７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（） A ．９．已知数列{}n a 满足则*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈- ，10a =（）Ａ．26e Ｂ． 29eＣ．32e Ｄ．35e 10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（）Ａ．９Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________． 14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y=+的最小值为． 15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ；（ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重（3/g m μ）度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年１月某日某省x 个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？DCBAFE19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，60BCD ∠= ，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE =ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B异于点P),若120k k +=，且直线AB与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积. 21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求实数a 值；（Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <． ①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ．请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。