计算方法-论文

浅论拉格朗日与牛顿插值法

一、课程简介

计算方法是一种以计算机为工具，研究和解决有精确解而计算公式无法用手工完成和理论上有解而没有计算公式的数学问题的数值近似解的方法。在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型和数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学与工程领域。而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变的非常重要了，计算方法就是这样一门课程，一门专门用来研究各种数学问题的近似解的一门课程。计算方法的一般步骤四：实际问题抽象出实际问题的物理模型，再有物理模型具体出数学模型，根据相关的数值方法利用计算机计算出结果。从一般的过程可以看出，计算方法应该具有数学类课程的抽象性和严谨性的理论特性和实验课程的实用性和实验性的技术特征等。

随着计算机的飞速发展，数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算机经济学等各个领域，并且在航天航空、地质勘探、桥梁设计、天气预报和字形字样设计等实际问题领域得到广泛的应用。

二、主要内容

《计算方法》这门课程可以分为三大块：数值逼近，数值代数，常微分方程。

1.数值逼近模块

这模块的知识点主要分布在第一章到第三章。

第一章：数值计算中的误差。主要的知识点是绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数字等概念的引入和计算绝对误差和绝对误差限、相对误差

和相对误差限及有效数字的方法。

第二章：插值法。在这一章中，主要的就是拉格朗日插值法与牛顿插值法的讲述。拉格朗日插值法中核心就是去求插值结点的插值基函数，牛顿插值法中核心就

是计算插值结点的差商，还有就是截断误差的说明。

第三章：曲线拟合的最小二乘法。重点是最小二乘法的法则和法方程组列写，如何利用法方程组去求一个多项式各项的系数。最小二乘法是与插值方法是有区别

的，它不要求过所有的结点，只要靠近这些点，尽可能的表现出这些点的趋势就行

了。

2.数值代数模块

这一部分内容主要在第四章至第七章。

第四章：数值积分。主要说的是插值型的数值积分的公式和积分系数。刚开始讲了牛顿-柯特斯插值求积公式，包括梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、

代数精度和截断误差。然后就是复合的牛顿-柯特斯求积公式，包括复合的梯形公式、复合的Simpson公式、各个复合公式的收敛阶和它们各自的截断误差。最后讲的是

龙贝格算法的计算思想和公式的讲述。

第五章：非线性方程的数值解法。在这一章中主要就是向我们介绍了四种非线性方程求根的迭代法，即为二分法、牛顿切线法、牛顿下山法和正割法。牛顿切线

法、牛顿下山法和正割法种方法的迭代公式是怎样的，各自的收敛阶，及它们相互

之间的比较。

第六章：方程组的数值解法。本章的内容讲的都是求解方程组的值，可以分为两类：一类是求解方程组的精确值的方法，即高斯列主元消去法、LU分解法和高斯

消去法；另一类是求解方程组的近似解的方法，即Jacobi迭代法、S-R迭代法和SOR

迭代法。用迭代法求解方程组要判断所用的方法是否收敛，引入了矩阵的范数，迭

代法迭代矩阵谱半径的求解，条件数及病态方程等知识。

3.常微分方程

这个是在第七章：常微分方程的数值解法。在这一章中讲的就是欧拉方法的介绍，由初值，利用欧拉方法去计算微分方程的值。主要的内容就是欧拉公式、向后

欧拉公式和改进的欧拉公式。

三、重点与难点

1.数值逼近

这一部分的重点与难点就是两种插值方法（即拉格朗日插值法和牛顿插值法）和插值条件。在拉格朗日插值法中要知道如何去求每个插值结点的基函数，计算基

函数是拉格朗日插值法的核心部分，并且要理解基函数的定义和插值余项。在牛顿

插值法中，要知道怎么去求差商，求差商是牛顿插值法的核心。在这块的知识点中

主要是要掌握好这两种插值法，利用它们去解决实际中的一些问题，知道它们的优

缺点，根据实际的问题去选择用哪种方法解决实际中的问题。

2.数值代数

这部分主要的是求积分近似值；求解非线性方程的解主要的三种方法（牛顿切线法、牛顿下山法和正割法）；求方程组解的五中方法（高斯消去法、LU分解法、

雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法和SOR迭代法）以及这几种方法的收敛性是怎

么样的，如何判断用这几种方法解方程组的根就是收敛的。

3.常微分方程

在最后一章中主要的是掌握欧拉公式和改进的欧拉公式，学会怎么用欧拉公式和改进的欧拉公式来常微分方程的值。

四、拉格朗日与牛顿插值法

由于在生产和科研中出现的函数是多种多样的，所以常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f(x)在区间[a，b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点的函数值（即一张函数表）。

显然，要利用这张函数表来分析函数f(x)的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常地困难。在有些情况下，虽然可以写出函数f(x)的解析表达式，但是由于结构相当复杂，使用起来很是不方便。面对这些情况，总是希望根据所得的函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似。插值法就是为了解决

此类问题的一种古老的确实目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。

拉格朗日插值法和牛顿插值法就是两种常用的简便的插值法。在这里主要的就是说一说这两种插值法的理论和比较，它们是属于数值逼近模块的知识。

1. 拉格朗日插值法

在求满足插值条件n 次插值多项式P n (x)之前，先考虑一个简单的插值问题：对结点x i (i=0,1,…,n)中任一点x k (0≤k ≤n)，作一n 次多项式l k (x),使它在该点上取值为1，而在其余点x

(i=0,1,…k-1,k+1…,n)上取值为零，即

L 型插值多项式：

2. 牛顿插值法

由线性代数知，任何一个不高于n 次多项式，都可以表示成函数1，x-x 0，(x-x 0)(x-x 1),…,(x-x 0)(x-x 1)…(x-x n-1)的线性组合。既可以把满足插值条件P(x i )=y i (i=0，1，…，n)的n 次插值多项式写成如下形式：

a 0+ a 1(x-x 0)+ a 2(x-x 0)( x-x 1)+…+ a n ( x-x 0)( x-x 1)…(x-x n-1)

其中，a k 为待定系数。这种形式的插值多项式成为牛顿插值多项式，记为N n (x)。 对个n+1个互异节点：x 0, x 1,…,x n

011011()()()()()()11

()()()()

k k k k n k k k k k i k i k n l x a x x x x x x x x l x a x x x x x x x x -+-+=----=⇒=

---- 又：011,,)

n x =两个互异的插值节点(x 010101

10

() , ()x x x x l x l x x x x x --=

=

--插值基函数：10011()()()()()

L x f x l x f x l x =+线性插值函数：0

()()()()

n

n n k

k k L x P x l

x f x ===

∑101(1)

12()[,] ()[,]()

()()()()()()

(1)!

n n n n n n n n f x C a b a x x x b P x x a b f

R x f x P x f x L x x n ξω+++∈≤<<≤∀∈=-=-=

+ 定理：若，且节点，则插值多项式对有：