EM算法作业
em算法的应用场景和案例
em算法的应用场景和案例EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，主要用于估计含有隐变量的概率模型的参数。
以下是EM算法的一些应用场景和案例：1.K-Means聚类：这是EM算法的硬聚类应用案例。
在K-Means聚类中，我们试图将数据划分为K个不同的簇，其中每个簇的中心是所有属于该簇的数据点的平均值。
EM算法在这里被用来迭代地更新簇的中心和分配数据点到最近的簇。
2.GMM（高斯混合模型）聚类：这是EM算法的软聚类应用案例。
高斯混合模型是一种概率模型，它假设所有的数据点都是由几个高斯分布混合而成的。
EM算法在这里被用来估计每个高斯分布的参数以及每个数据点属于每个高斯分布的概率。
3.PLSA（概率潜在语义分析）模型：在文本挖掘和信息检索中，PLSA模型被用来发现文档和单词之间的潜在主题。
EM算法在这里被用来估计模型中的参数，包括每个文档的主题分布和每个主题中的单词分布。
4.硬币投掷实验：这是一个简单的EM算法应用案例。
假设有三枚硬币A，B，C，我们不知道它们投掷出正面的概率。
在实验中，我们首先投掷硬币A，如果A出现正面，我们就选择硬币B投掷，否则选择硬币C。
我们只观察到了所选择的硬币的投掷结果（正面或反面），而没有观察到硬币A的投掷结果。
EM算法在这里可以被用来估计三枚硬币投掷出正面的概率。
5.在自然语言处理中的应用：EM算法还可以用于词义消歧和主题模型中，例如隐含狄利克雷分布（LDA）。
在这些模型中，EM算法用于估计话题的分布和文档中单词的主题分配。
6.图像处理和计算机视觉：EM算法也广泛应用于图像处理和计算机视觉领域，例如用于混合高斯模型（GMM）来分割图像，或者用于隐马尔可夫模型（HMM）来进行图像序列分析等。
7.在生物信息学中的应用：EM算法在生物信息学中也有广泛的应用，例如在基因表达数据的分析、蛋白质分类和基因序列分析等领域。
EM算法
在医学研究中的应用
ˆ 和 ˆ 2： 3)计算均值和方差的最大似然估计校正值
2 ˆ ˆ 4)重复以上的2-3步,直至 和 收敛为止。
经过EM迭代算法可得:
迭代算法补入的两个数据:第4行第5个为2.5216,第8行第3个为4.5522。
在医学研究中的应用
5)MonteCarlo模拟,随机取 x
假设我们想估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来 知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值， 持续迭代直到收敛为止。
迭代的结果真的有效吗？
从最大似然到EM算法
EM算法推导
里面了。那下一步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，女的右边！”。然后你就先统计抽样得 某些男生和女生一见钟情，无法硬把他们拉扯开。那现在这200个人已经混到一起了， 到的 100个男生的身高。 随便指出一个人（的身高），无法确定这个人（的身高）是男生（的身高）还是女生（的身 假设他们的身高是服从高斯分布的。但是这个分布的均值 μ和方差σ2我们不知道，这两个参数 高）。也就是说不知道抽取的那200个人里面的每一个人到底是从男生的那个身高分布里面 就是我们要估计的。记作 θ=[μ,σ2]T 抽取的，还是女生的那个身高分布抽取的。 用数学的语言就是，抽取得到的每个样本都不知道是从哪个分布抽取的。 两个问题需要估计： 一是这个人是男的还是女的？
i 1 zi
p( xi , zi ; ) ln LEM ( ) ln p( xi , zi ; ) ln Q( zi ) Q( zi ) i zi i zi p( xi , zi ; ) Q( zi ) ln Q( zi ) i zi
em算法原理 -回复
em算法原理-回复[em算法原理]EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的参数估计方法，特别适用于含有隐变量的概率模型。
它通过迭代来解决最大似然估计问题，其中的"Expectation"（E步）步骤用于估计隐变量的期望，"Maximization"（M步）步骤用于最大化似然函数。
EM算法通过迭代使得似然函数值逐步增大，达到极大值从而得到参数的估计。
EM算法的基本思想是通过引入隐变量，将原来的问题转化为带有隐变量的问题，并通过交替迭代来求解这个问题。
该算法从一个初始参数开始，然后根据当前参数的估计值，计算隐变量的期望（E步），接着利用这个期望来对似然函数进行最大化（M步）。
迭代进行这两个步骤，直到参数的改变趋向稳定，即收敛。
下面将详细介绍EM算法的步骤及其原理。
1. 假设概率模型首先，我们需要对问题进行形式化的表示，即给出概率模型的形式。
这个模型可能带有隐变量，表示为X和Y。
X表示观测变量，Y表示隐变量。
我们需要根据观测数据进行参数估计，因此需要选择一个合适的概率模型。
2. E步骤在EM算法的E步骤中，我们需要计算隐变量的期望（E），即给定当前的参数估计值，计算隐变量Y的条件概率分布。
这一步骤也被称为“期望化隐变量”。
E步骤的计算公式如下：Q(\theta, \theta^{(t)}) = E_{Y X,\theta^{(t)}}[\log P(X,Y \theta) X, \theta^{(t)}]其中，\theta^{(t)}表示第t次迭代的参数估计值。
3. M步骤在EM算法的M步骤中，我们需要最大化在E步骤中计算得到的隐变量的期望（Q函数）。
这一步骤也被称为“最大化Q函数”。
M步骤的计算公式如下：\theta^{(t+1)} = \arg\max_{\theta}Q(\theta, \theta^{(t)})4. 迭代更新接下来，我们通过交替执行E步骤和M步骤来改进参数估计值。
基于EM算法的多种训练方式的比较分析
基于EM算法的多种训练方式的比较分析EM算法，全称Expectation-Maximization Algorithm，是一种常用的似然函数最大化的迭代算法。
EM算法广泛应用于机器学习、数据挖掘等领域中的参数估计问题。
在许多应用中，使用EM算法得到的结果往往优于其他常见的参数估计方法，例如最大似然估计和贝叶斯估计。
EM算法的核心思想是通过迭代更新参数，不断提高观测数据的似然度。
算法分为两个步骤：E步骤和M步骤。
在E步骤中，通过已知参数计算每个观测数据属于每个隐变量的概率值。
在M步骤中，通过已知数据的权重和隐变量的概率值，更新参数，求出新的参数估计值。
整个算法通过不断重复这两个步骤，从而得到最终的参数估计值。
在EM算法的应用中，我们常常需要使用多种不同的训练方式。
这些训练方式基于不同的假设和理论基础，可以为我们提供更多的模型选择和优化的机会。
在接下来的文章中，我们将介绍几种不同的基于EM算法的训练方式，并对它们的优缺点进行比较分析。
第一种训练方式：Batch EM训练Batch EM训练是一种传统的EM训练方式，也是许多应用中最常用的训练方式。
在Batch EM训练中，算法在每一次迭代中使用所有的训练数据。
这种训练方式在数据量较小或者计算资源充足的情况下表现良好，但是在数据量较大，计算资源有限的情况下，迭代收敛速度较慢且容易出现过拟合。
第二种训练方式：Stochastic EM训练Stochastic EM训练是一种改进版的EM训练方式。
在Stochastic EM训练中，算法在每一次迭代中只随机选取一小部分数据进行计算，从而加速算法的收敛速度。
这种训练方式在大规模数据集和计算资源不充足的情况下表现良好，但是由于每次随机选择的数据不同，因此可能导致算法的收敛方向不稳定，容易陷入局部最优解。
第三种训练方式：Minibatch EM训练Minibatch EM训练是Stochastic EM训练的进一步改进。
EM算法-完整推导
EM算法-完整推导前篇已经对EM过程,举了扔硬币和⾼斯分布等案例来直观认识了, ⽬标是参数估计, 分为 E-step 和 M-step, 不断循环, 直到收敛则求出了近似的估计参数, 不多说了, 本篇不说栗⼦, 直接来推导⼀波.Jensen 不等式在满⾜:⼀个 concave 函数, 即形状为 "⋂" 的函数f(x)λj≥0∑jλj=1 类似于随机变量的分布的前提条件下, 则有不等式:f(∑jλj x j)≥∑jλj f(x j)恒成⽴, 则该不等式称为 Jensen 不等式. 是有些不太直观哦, (sum 是最后哦, 有时候会犯晕).为了更直观⼀点, 考虑λ只有两个值, 即:λ1=1−tλ2=1其中,0⩽"\bigcap" 函数 f(x) 中有⼀段区间 [a, b], 构造出该范围内的⼀个点x_t当, x_t = (1+t)a + tb则有:f((1-t)a +tb) \ge (1-t)f(a) + tf(b)这⾥跟之前写过的 convex 其实是⼀模⼀样的, 要是还不直观, 就⾃个画个草图就秒懂了.左边是函数的值, 右边连接两个端点a,b的函数值的直线, 因为是 "\bigcap 的", 故函数值必然在直线的上⽅.⽤数学归纳法, 当 M > 2:f(\sum \limits _{j=1}^M \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _{j=1}^M \lambda_j f(x_j)EM算法推导假设给定⼀个包含 n 个独⽴的训练样本的数据集, D = \{ x_1, x_2, x_3...x_n) \}希望拟合⼀个概率模型p(x, z) , 其对数似然函数(log likelihood)为:为啥要 log, 乘法变加法, 不太想说了, ⾃⼰都重复吐⾎了似然, 不加log 前是: l(\theta) = \prod \limits _{i=1}^n p(x; \theta)的嘛, 样本的联合概率最⼤l(\theta) = \sum \limits _{i=1}^n log \ p(x; \theta)= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x, z; \theta)理解\sum \limits _{z} p(x, z; \theta)给定\theta的前提下, 关于 x, z 的联合概率跟之前扔硬币是⼀样的, 对于每个独⽴数据的产⽣, 其实还有⼀个隐含的因素 z (扔硬币中,到底这次试验是来⾃于硬币A 还是硬币B每个Z因素, 影响着 p(x,z) 的联合概率分布. 考虑所有的 z, 则是全概率了呀.对于p(x; \theta)直接通过 x 来观测\theta⽐较难 (扔硬币中, 没有上帝视⾓, 不知道扔结果是哪个硬币产⽣的)z^{(i)}是⼀个隐变量(latent), 如果能观测到z^{(i)}则参数预测会容易很多, EM算法就是来解决这个问题的EM 算法呢, 分为两个步骤:在 E 步中, 构建l(\theta)的下界函数 (给定\theta来找 z)在 M 步中, 最⼤化这个下界函数不太直观, 就回顾上篇扔硬币的栗⼦, 这⾥的 z 就是那个来⾃哪⾥A 还是 B 的概率(每次试验)设Q_i为关于 z 的概率分布, 即\sum \limits _{z} Q_i(z) = 1 (z 如是连续变量则\sum \rightarrow \int_z) ,则对于上⾯的对数似然函数:= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) \ (1)对 p 的部分, 同时乘上和除以Q_i(z_i)不改变等式 , 这种技巧, 中学的 "配平⽅或数列裂项求和" ⼀样滴= \sum \limits _i log \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (2)log 函数是 concave 的, 联想 jensen不等式f(\sum \limits _j \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _j \lambda_j f(x_j)即 log 对于与 f(); \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) 对应于 \sum \limits _j \lambda_j ; 最后⼀项对x_j\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (3)就类似与, 把⼀个, 函数⾥⾯的参数, 提取到函数外⾯来. 如还是不理解, 回看之前写的 convex 篇什么时候会取到等于?即当\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } = c是个常数的时候, (2) 和 (3) 是相等的.即p(x_i, z_i; \theta) = c \ * Q_i(z_i)在\theta给定下, 关于 x, z 的联合概率分布与隐变量 z 的分布是⼀个线性关系因为\sum \limits_{z_i} Q_i(z_i) = 1, 如果将Q_i(z_i)认为是给定x_i 和 z_i的后验概率分布, 这样就得到了该似然函数的⼀个下界,根据全概率(后验) 与贝叶斯公式:Q_i(x_i) = \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{\sum \limits _{z_i} p(x_i, z_i; \theta)}=\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{p(x; \theta)}=p(z_i|x_i, \theta)相当于求给定\theta 和 x_i的情况下, 求 z_i 的条件概率, 果然, 深刻理解贝叶斯公式显得多么重要呀再回顾⼀波贝叶斯公式:设A1,A2,A3..构成完备事件组, 则对任意⼀事件B有:P(A_i|B) = \frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\sum \limits _{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}同上述, 只要当我们取Q_i(z_i)的值为给定\theta 和 x_i的后验概率分布的时候, 就能保证:\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }的值是⼀个常数 (反过来推的), 既然是个常数, 也就**前⾯ (3) 的地⽅可以取等号啦, 即: **\sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }这样⼀来, 相当于在 E 步得到了似然函数的⼀个下界, 然后在 M 步, 求解(3) 最⼤值时候的参数\theta . 然后重复以上的 E, M 步骤:E-步: For each i:Q_i(z_i) = p(z_i | x_i; \theta)M-步, 更新\theta:\theta = arg \ max _\theta \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }....循环直到收敛, 则估计出了参数\theta但, 万⼀不收敛呢?, so, 必须证明⼀波, EM算法是收敛的哦证明EM算法会收敛假设\theta^{(t)} 和 \theta^{(t+1)}为EM算法的连续两个步骤的参数值, 欲证l (\theta)收敛, 只需证:l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)})即可EM算法使得似然函数的值单调递增即可根据前⾯关于⽤ jensen不等式的取等条件, 推导出, 取得Q_i(z_i)^{(t)}的⽅式是:Q_i ^{(t)} (z_i) = p(z_i | x_i; \theta ^{(t)})此条件下, 使得jensen不等式取等即:l(\theta^{(t)}) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^t)}{Q_i(z_i) }⽽参数\theta^{(t+1)}的取值⽅式, 是使得上⾯的这个等式的值最⼤, 则必然l(\theta^{(t+1)}) \ge l(\theta^{(t)})展开⼀波:l(\theta^{(t+1)}) \ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^{(t+1)})}{Q_i^t(z_i) } \ (4)\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta^t)}{Q_i^t(z_i) }\ (5)=l(\theta^{(t)}) \ (6)(4) 源于不等式的性质, 必然成⽴嘛(5) 就是取最⼤值的⼀个过程必然成⽴(6) 取相等的⽅式去是应⽤了 Jensen不等式即证明了l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)}) , 即EM算法是收敛的呀.⼩结⾸先是要理解,参数估计的是在⼲嘛, 需要回顾统计学的基础知识, 或理解上篇扔硬币的栗⼦核⼼, ⽤到了⼀个jensen 不等式, 需要回顾凸函数的⼀些性质来理解⼀波推导的⽅式呢, 依旧是极⼤似然估计, 带log (乘法边加法)推导核⼼技巧是全概率与贝叶斯公式, 真正理解太重要, 如LDA, 逻辑回归, 贝叶斯...这些算法都⽤到了.证明收敛, 其实只是⼀些, 推理的技巧, 还是挺有意思的.总体上, EM算法, 理解起来,我感觉不是很容易, 但, 也没有想象的那样难, 只要肯坚持, 正如爱因斯坦所说的那样嘛, 当然也为了⾃勉⽬前在经济和精神双重困境中的⾃⼰:耐⼼和恒⼼, 总会获得收获的Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。
EM算法
EM算法EM算法--应用到三个模型：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型判别模型求的是条件概率p(y|x)，生成模型求的是联合概率p(x,y).即= p(x|y) ? p(y)常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。
常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、RestrictedBoltzmann Machine等。
所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。
(下面推导会见原因)套路小结：凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。
下面的EM算法，GMM 等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。
一、EM算法：作用是进行参数估计。
应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM 参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集给定训练样本是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 样例独立，我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即如果将样本x(i)看作观察值，潜在类别z看作是隐藏变量，则x可能是类别z，那么聚类问题也就是参数估计问题，）故p(x,z)最大似然估计是：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。
对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。
EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。
竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型" action-data="http%3A%2F%%2Fbl og%2F515474%2F201305%2F19180744-0ed136937810 4b548dbee01337f6ba69.jpg" action-type="show-slide"> （总式）解释上式：对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足的条件是（如果z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。
EM算法在聚类分析中的应用
EM算法在聚类分析中的应用EM算法是一种在统计学中广泛应用的算法。
它使用迭代的方法来估计未观察到的隐变量的值，并通过这些值来优化参数的估计，从而可以更好地解决一些机器学习和数据挖掘中遇到的问题。
在这篇文章中，我们将探讨EM算法在聚类分析中的应用，并介绍一些常见的聚类算法和实际示例。
聚类分析是一种机器学习技术，其目的是从一组数据中找到一些相似的子集。
这些数据点（也称为样本）可以是数字，文本，图像等任何东西。
聚类算法将数据点分组成一个个类别，使得每个类别内部的点之间具有相似性，而不同类别之间的数据点则差异较大。
聚类分析通常用于将大量数据压缩为较小的、有意义的数据集，以便快速有效地处理和分析。
实际上，聚类分析一直是数据挖掘领域的研究热点。
基于EM算法的聚类算法也成为了该领域中最具代表性和最常用的算法之一。
接下来，我们将介绍几种常见的聚类算法，并讨论如何在EM 算法中使用这些算法。
1. K-Means聚类算法K-Means聚类算法是一种用于将数据点划分到k个不同的、具有相似性和连续性的组中的算法。
它是一种迭代算法，目标是将数据点划分到k个簇中，使得各个簇内部的数据点的差异最小，簇与簇之间的数据差异最大。
在K-Means算法中，首先需要随机初始化k个质心，然后将每个数据点分配到最接近的质心所在的簇中。
接下来，根据簇中所有数据点的平均值，更新每个簇的质心。
重复这个过程，直到质心不再发生变化。
最终，每个数据点将被分配到最接近的质心所在的簇中。
然而，K-Means聚类算法有一些缺点。
首先，它需要事先确定聚类数量k，这可能很难。
其次，在真实世界的应用中，簇中的数据点通常具有不同的形态和大小，而K-Means算法无法处理非球体形状或不同密度的簇。
因此，针对不同的应用场景，我们需要使用不同的聚类算法。
2. 均值漂移聚类算法均值漂移聚类算法是一种无参数聚类算法，可以用于发现具有不同形态和密度的簇。
它首先为每个数据点选择一个随机起始点，并计算每个点的估计概率分布。
EM算法详细例子及推导
EM算法详细例子及推导EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于求解含有隐变量（latent variable）的概率模型的参数估计方法。
其基本思想是通过迭代的方式，通过观测数据得到对隐变量的估计，然后再基于该估计对模型参数进行优化。
下面我们以一个简单的高斯混合模型为例，详细介绍EM算法的推导和实例。
1. 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）高斯混合模型是一种概率模型，由多个高斯分布组合而成。
假设我们观测到的数据由K个高斯分布组成，每个高斯分布对应一个参数向量：均值miu和方差sigma^2、同时，我们还有一个隐变量Z，表示观测数据属于哪个高斯分布，取值范围为{1,2,...,K}。
2.EM算法EM算法的核心思想是通过交替进行两个步骤：E步（Expectation）和M步（Maximization）。
在E步中，我们对当前模型参数下的隐变量进行估计，得到对隐变量的最大似然估计。
在M步中，我们利用得到的隐变量估计更新模型参数，使模型对观测数据的似然函数最大化。
不断重复这两步直至模型收敛。
下面我们通过具体的例子来推导EM算法。
假设我们观测到了一个数据集X = {x1, x2, ..., xn}，我们希望通过EM算法对其进行建模。
Step1: 初始化模型参数首先，我们需要初始化模型参数。
选择K个高斯分布的参数miu和sigma^2，并假设所有的高斯分布对应的隐变量Z服从均匀分布。
这时，我们得到了初始模型参数Theta = {miu1, sigma^21, ..., miuK,sigma^K, pi1, pi2, ..., piK}。
Step2: E步，计算隐变量的后验分布在E步中，我们计算隐变量的后验分布。
对于每个观测样本xi，我们计算其属于每个高斯分布的概率，即：gamma(k,i) = P(Zi=k，xi, Theta) = P(Zi=k，xi, miu_k,sigma_k^2) = pi_k * N(xi，miu_k, sigma_k^2) / sum(pi_j * N(xi，miu_j, sigma_j^2)， j=1 to K其中N(xi，miu_k, sigma_k^2)表示xi在第k个高斯分布下服从的概率密度函数。
变分em算法
变分EM算法引言变分EM算法（Variational EM algorithm）是一种用于估计隐变量模型参数的迭代优化算法。
它结合了EM算法中的期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤），并使用变分推断方法对隐变量进行近似推断。
变分EM算法广泛应用于机器学习、统计学、计算机视觉等领域，并且在实际应用中取得了很好的效果。
二级标题1: EM算法回顾EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代优化算法，用于求解含有隐变量的概率模型的参数估计问题。
它的基本思想是通过迭代求解两个步骤：期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤）。
具体步骤如下：1.初始化模型参数。
2.E步骤：根据当前模型参数，计算隐变量的后验分布。
3.M步骤：最大化隐变量的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。
4.重复执行2和3步骤，直到收敛到最优解。
二级标题2: 变分推断变分推断（Variational Inference）是一种近似推断方法，用于在复杂的概率模型中近似计算边缘分布。
它基于变分计算和优化理论，通过寻找一个简单的分布来逼近目标分布，从而简化概率模型的计算问题。
在变分推断中，我们引入一个参数化的简单分布Q来近似复杂的后验分布P。
我们的目标是选择最优的Q，使得Q和P之间的差异最小化。
这个优化问题可以通过最小化Kullback-Leibler散度来解决。
二级标题3: 变分EM算法推导变分EM算法将变分推断方法应用于EM算法中。
它利用变分推断来近似计算隐变量的后验分布，并通过优化目标函数来求解模型参数的极大似然估计。
1.初始化模型参数和简单分布Q。
2.E步骤：根据当前模型参数和简单分布Q，计算隐变量的后验分布。
3.M步骤：最大化近似的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。
4.更新简单分布Q，以减小Q和真实后验分布的差异。
5.重复执行2、3和4步骤，直到收敛到最优解。
二级标题4: 变分EM算法的收敛性变分EM算法的收敛性是指算法迭代到一定步数后，能够找到一个极大似然估计，并且达到局部最优解。
机器学习中的EM算法详解及R语言实例
机器学习中的EM算法详解及R语言实例最大期望算法（EM）来自WXin gong zhong 号datadwK均值算法非常简单（可参见之前发布的博文），详细读者都可以轻松地理解它。
但下面将要介绍的EM算法就要困难许多了，它与极大似然估计密切相关。
1 算法原理不妨从一个例子开始我们的讨论，假设现在有100个人的身高数据，而且这100条数据是随机抽取的。
一个常识性的看法是，男性身高满足一定的分布（例如正态分布），女性身高也满足一定的分布，但这两个分布的参数不同。
我们现在不仅不知道男女身高分布的参数，甚至不知道这100条数据哪些是来自男性，哪些是来自女性。
这正符合聚类问题的假设，除了数据本身以外，并不知道其他任何信息。
而我们的目的正是推断每个数据应该属于哪个分类。
所以对于每个样本，都有两个需要被估计的项，一个就是它到底是来自男性身高的分布，还是来自女性身高的分布。
另外一个就是，男女身高分布的参数各是多少。
既然我们要估计知道A和B两组参数，在开始状态下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。
所以可能想到的一种方法就是考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。
你是否隐约想到了什么？是的，这恰恰是K均值算法的本质，所以说K均值算法中其实蕴含了EM算法的本质。
EM算法，又称期望最大化（Expectation Maximization）算法。
在男女身高的问题里面，可以先随便猜一下男生身高的正态分布参数：比如可以假设男生身高的均值是1.7米，方差是0.1米。
当然，这仅仅是我们的一个猜测，最开始肯定不会太准确。
但基于这个猜测，便可计算出每个人更可能属于男性分布还是属于女性分布。
例如有个人的身高是1.75米，显然它更可能属于男性身高这个分布。
据此，我们为每条数据都划定了一个归属。
接下来就可以根据最大似然法，通过这些被大概认为是男性的若干条数据来重新估计男性身高正态分布的参数，女性的那个分布同样方法重新估计。
em算法
Em算法，是指期望最大化算法，是一种迭代算法，用于统计中，以找到概率模型中参数的最大似然估计，该估计依赖于不可观察的隐藏变量。
EM算法由dempster，laind和Rubin于1977年提出，是一种非常简单实用的学习算法，可以通过MLE从不完整的数据集中估计参数。
此方法可广泛用于处理不完整的数据，例如缺陷数据，截断的数据和嘈杂的数据。
可能会有一些生动的隐喻可以清楚地解释该算法。
例如，食堂的厨师炒了一道菜，不得不将它分成两部分，以便两个人一起吃。
显然，没有必要以很小的平衡来精确称量它。
最简单的方法是将一个盘子随机分成两个碗，然后观察是否有很多盘子，然后再取其中的一些放到另一个碗中。
这个过程是反复进行的，直到每个人都看不到两个碗中所盛菜肴的重量差异。
EM算法就是这样。
假设我们知道两个参数a和b，它们在初始状态下是未知的。
如果我们知道a的信息，那么我们可以得到b的信息，如果我们知道b，那么我们可以得到a。
可以考虑给定某个初始值以获得b的估计值，然后从b的当前值重新估计a的值，直到当前值收敛为止。
在统计中，最大期望（EM）算法是一种算法，用于根据概率模型中的参数来找到参数的最大似然估计或最大后验估计。
在机器学习和计算机视觉的数据集群领域中经常使用最大期望值。
机器学习中的EM算法详解及R语言实例
机器学习中的EM算法详解及R语言实例EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种迭代优化算法，常用于机器学习中的聚类、分类和概率估计等问题。
它的主要思想是通过迭代的方式，同时估计模型参数和隐变量，以求得最优的模型拟合。
EM算法的基本流程如下：1.初始化模型参数。
通常可以通过启发式方法或者随机初始化来确定初始参数。
2. E步：根据当前参数和样本，计算每个样本属于每个类别的概率，或者计算隐变量的后验概率。
这一步被称为"Expectation"（期望）步骤。
3. M步：根据上一步得到的概率估计，更新模型参数。
这一步被称为"Maximization"（最大化）步骤。
4.重复第2步和第3步，直至收敛或达到预定的停止条件。
5.输出最优的模型参数或者隐变量的估计结果。
接下来以一个简单的高斯混合模型为例，使用R语言实现EM算法。
首先，我们需要导入必要的包，并生成一个高斯混合模型的样本数据。
```Rinstall.packages("mixtools")library(mixtools)#生成一个高斯混合模型的样本数据set.seed(123)n<-500#样本数量mu_true <- c(2, 5) # 真实的均值参数sigma_true <- c(1, 1) # 真实的标准差参数weight_true <- c(0.4, 0.6) # 真实的混合权重参数```接下来，我们可以使用EM算法来估计高斯混合模型的参数。
```R#初始化参数mu <- c(0, 0) # 均值参数的初始化sigma <- c(1, 1) # 标准差参数的初始化weight <- c(0.5, 0.5) # 混合权重参数的初始化#EM算法的迭代过程tolerance <- 1e-6 # 定义停止条件，当参数变化小于该值时停止迭代log_likelihood <- -Inf # 定义对数似然函数的初始值，用于判断是否收敛while (TRUE)#E步：计算每个样本属于每个类别的概率posterior <- dnorm(data, mean = mu[1], sd = sigma[1]) * weight[1] # 第一个组件posterior <- cbind(posterior, dnorm(data, mean = mu[2], sd = sigma[2]) * weight[2]) # 第二个组件posterior <- posterior / rowSums(posterior) # 归一化#M步：更新参数mu <- colSums(posterior * data) / colSums(posterior) # 更新均值参数sigma <- sqrt(colSums(posterior * (data - mu)^2) /colSums(posterior)) # 更新标准差参数weight <- colSums(posterior) / n # 更新混合权重参数#计算对数似然函数current_log_likelihood <- sum(log(apply(posterior, 1, sum))) #判断是否收敛if (current_log_likelihood - log_likelihood < tolerance)break # 达到停止条件，停止迭代}log_likelihood <- current_log_likelihood#输出结果cat("估计的均值参数：", mu, "\n")cat("估计的标准差参数：", sigma, "\n")cat("估计的混合权重参数：", weight, "\n")```通过运行上述代码，我们可以得到高斯混合模型的参数估计结果。
EM算法(讲解+程序)
EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。
这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。
本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。
二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。
，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。
然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。
3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。
3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。
3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结束。
四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。
EM算法与GMM的训练应用
EM算法与GMM的训练应用EM算法（Expectation Maximization algorithm）是一种用于参数估计的迭代算法，主要应用于概率模型和统计推断中。
GMM（Gaussian Mixture Model）是一种常用的概率模型，通过将数据分解为多个高斯分布的线性组合来描述数据的分布。
EM算法在GMM的训练中有着广泛的应用。
下面将从EM算法和GMM的基本原理、EM算法在GMM训练中的应用以及相关案例等方面进行详细阐述。
首先，我们来了解一下EM算法和GMM的基本原理。
EM算法通过迭代的方式，求解含有隐变量的概率模型的参数估计。
其步骤包括：初始化模型的参数，然后通过E步（Expectation）计算隐变量的期望值，再通过M步（Maximization）估计模型的参数。
重复进行E步和M步，直到参数收敛。
GMM是一种概率密度模型，用于描述数据的分布情况。
它假设数据是由多个高斯分布的线性组合生成的。
GMM的参数包括每个分量的均值、方差和每个分量对整体生成的权重。
EM算法在GMM训练中有着广泛的应用。
具体而言，EM算法通过最大似然估计的方法，从给定的数据中估计GMM的参数。
它可以有效地识别数据中的潜在分布，并将数据分解成多个高斯分布的线性组合。
EM算法在GMM训练中的应用可以概括为以下几个步骤：1.初始化GMM的参数，包括每个分量的均值、方差和权重。
2.E步骤：根据当前的参数估计，计算每个数据点属于每个分量的后验概率。
3.M步骤：根据E步骤的结果，估计新的参数值，包括每个分量的均值、方差和权重。
4.重复进行E步和M步，直到参数收敛。
5.得到收敛后的参数估计结果，即为GMM模型的训练结果。
EM算法在GMM训练中的应用可以帮助我们识别和分析数据的分布情况。
例如，可以用于图像分割、文本分类、异常检测等领域。
以图像分割为例，假设我们有一张包含物体的图像，我们希望将图像中的物体和背景分割开来。
我们可以将图像中的每个像素看作是数据点，通过GMM训练得到每个像素属于物体和背景的概率。
em聚类算法
em聚类算法EM聚类算法是一种基于最大似然估计的聚类算法。
EM算法的全称是Expectation-Maximization Algorithm，即期望最大化算法。
该算法通过迭代求解，能够在数据集中找到潜在的分布模型，并将数据集划分为多个不同类别。
EM聚类算法核心思想是先假设每个数据点属于某一类别的概率，然后通过迭代计算来更新这些概率值和每个类别的中心点，直到收敛为止。
具体来说，EM聚类算法包含两个主要步骤：E步和M步。
E步：Expectation（期望）步骤。
在该步骤中，根据当前的中心点位置和先验分布，计算每个数据点属于每个类别的概率，并将其作为后验概率。
M步：Maximization（最大化）步骤。
在该步骤中，根据E步计算出来的后验概率值重新计算每个类别的中心点位置，并更新先验分布。
重复进行E、M两个步骤直到收敛。
最终得到的结果就是将数据集划分为多个不同的簇。
EM聚类算法与K-means聚类方法相比有以下几点优势：1. EM聚类算法不需要预先指定簇的数量，而K-means聚类需要预先指定簇的数量。
2. EM聚类算法可以处理非球形、不同大小和不同密度的簇，而K-means聚类只能处理球形、相同大小和相同密度的簇。
3. EM聚类算法可以处理缺失值，而K-means聚类不能处理缺失值。
但是EM聚类算法也有一些缺点：1. EM聚类算法收敛速度较慢，需要进行多次迭代才能收敛。
2. EM聚类算法对于初始值比较敏感，可能会陷入局部最优解。
3. EM聚类算法计算复杂度较高，在大数据集上运行速度较慢。
总之，EM聚类算法是一种基于最大似然估计的无监督学习方法，在数据挖掘、图像分割、模式识别等领域有广泛应用。
虽然该算法存在一些缺点，但其优势仍然使得它成为了一种重要的聚类方法。
em算法及其改进
EM算法及其改进（二）
第一部分：EM变尺度加速算法
下降迭代算法
-求解非线性最优化问题[mm最常用算法
/(x)
[s.t.X£X
•基本步骤：
stepl：选取初始数据，选取初始点飞，令k=0 step2：构造搜索方向，按照一定规则，构造f在点4处的下降方向（对于无约束最优化问题）或可行方向（对有约束问题）作为搜索方向4。
图像聚类
图1聚类结果
(d)(c)
(0
图像聚类
其中a,d 是初始图像，经数据预处理后，a 图共有222个灰度级，d 图共有253个灰度级。
以下比较EM 算法和IEM 算法的聚类效果：令2个测试的聚类数都为3,即灰度值聚类为0（黑），120（浅灰），255（白）三类。
设a =（%,%%）,令某一灰度值为r,若,则r=0；若％vrv%,则r=120;若,则r=255。
r <ax r >a2
图像聚类
EM算法与IEM算法的初始参数都设为
%=(1/3」/3」/3)%=(50,120,160)Zo=(80,150,30)
对于IEM而言，由于ln222/24n253/2=3,故令d=3,2幅图的初始样本大小分别从M=74和M=84开始，每次以几何级数增加M*=Mid 个样本，其中M取值M+M*。
使用EM算法进行参数估计方法介绍
使用EM算法进行参数估计方法介绍EM算法是一种常用的参数估计方法，它在统计学和机器学习领域中被广泛应用。
本文将介绍EM算法的基本原理、应用场景以及算法步骤。
一、EM算法的基本原理EM算法是一种迭代的最大似然估计方法，用于在观测数据不完全或存在隐变量的情况下，估计模型的参数。
它的基本思想是通过迭代的方式，通过两个步骤不断优化参数的估计值，直至收敛。
EM算法的全称是Expectation-Maximization，其中Expectation（E）步骤是根据当前的参数估计值，计算隐变量的期望值；Maximization（M）步骤是根据隐变量的期望值，重新估计参数。
通过交替进行E步骤和M步骤，可以逐步提高参数的估计精度。
二、EM算法的应用场景EM算法在许多领域中都有广泛的应用，特别是在混合模型、聚类分析和隐马尔可夫模型等领域。
在混合模型中，EM算法可以用于估计每个分量的权重、均值和协方差矩阵。
通过迭代优化这些参数，可以得到对数据分布的更准确的估计。
在聚类分析中，EM算法可以用于估计高斯混合模型，从而实现对数据的聚类。
通过迭代计算每个样本属于每个聚类的概率，可以得到对数据的更准确的聚类结果。
在隐马尔可夫模型中，EM算法可以用于估计模型的初始状态概率、转移概率和观测概率。
通过迭代计算隐变量的期望值和重新估计参数，可以得到对隐马尔可夫模型的更准确的估计。
三、EM算法的步骤EM算法的步骤可以总结为以下几个关键步骤：1. 初始化参数：根据实际情况，初始化模型的参数估计值。
2. E步骤：根据当前的参数估计值，计算隐变量的期望值。
这个步骤通常使用期望值来代替隐变量的实际观测值。
3. M步骤：根据隐变量的期望值，重新估计参数。
这个步骤通常是通过最大化似然函数来得到参数的最优估计。
4. 判断收敛：判断参数的估计值是否收敛，如果没有达到预设的收敛条件，则返回第2步继续迭代。
5. 输出结果：当参数的估计值收敛后，输出最终的参数估计结果。
EM算法简介
(4) (5) (6) (7)
EM算法
定义函数 H (φ ' | φ ) = E (log(k ( x | y, φ ' )) | y, φ ) 则有(4),(5),(7)式可得 Q(φ ' | φ ) = L(φ ' ) + H (φ ' | φ )
(8) (9)
10
EM算法
目的： 计算后验分布 g ( y | φ ) 的众数.
17
GEM算法性质
推论2.对于一些 ∈ , 那么对于GEM算法有
φ
φ ∈ , L(φ ) ≥ L(φ ) ，其中 φ ≠ φ ，
M (φ ) = φ .
定理2.假设 φ , p = 0,1,2,... 是GEM算法的一个迭代序列，并且满足 ( p) a) 在 闭包中φ 收敛到 φ ， b) D10Q (φ ( p +1) | φ ( p ) ) = 0 ， c) D 20Q (φ ( p +1) | φ ( p ) ) 负定的，并且特征值都远离0. 那么
11
EM例子
有公式(1)(3)以及贝叶斯公式可得 p ( Z | Y , , Σ, π ) ∝
[π k N ( yn | k , Σ k )]znk ∏∏
n =1 k =1 N K
其中N表示观察样本数. 公式中 z nk 是未知的，需要求出它的期望
12
Z nk 的期望估计
E ( z nk | yn ) = ∑ z nk p( z nk | yn )
根据(12)式 (13) Jamshidian和Jenrish（1993）指出Aitken方法等价于运用Newton-Raph son方法来找 δ (θ ) = M (θ ) θ 的根.
em算法参数估计
em算法参数估计EM算法参数估计EM算法，全称Expectation-Maximization算法，是一种常用的参数估计方法，广泛应用于数据分析和机器学习领域。
它适用于存在隐变量和缺失数据的统计模型，通过迭代的方式逐步优化参数的估计结果。
本文将介绍EM算法的基本原理、步骤和应用，并分析其优缺点。
一、EM算法原理EM算法是一种迭代优化算法，通过交替进行E步（Expectation）和M步（Maximization）来估计参数。
其核心思想是，在每次迭代中，通过已知的观测数据和当前参数估计，计算隐变量的期望（E 步），然后利用这个期望更新参数估计（M步）。
这样不断迭代，直到参数估计收敛为止。
二、EM算法步骤1. 初始化参数：首先，需要对模型的参数进行初始化，可以使用随机值或根据经验设定初始值。
2. E步：在E步中，根据当前的参数估计，计算隐变量的期望。
这一步通常利用概率论中的条件概率公式进行计算。
3. M步：在M步中，利用E步计算得到的隐变量的期望，更新参数的估计值。
这一步通常使用最大似然估计法或梯度下降法来进行参数的优化。
4. 迭代更新：重复进行E步和M步，直到参数估计收敛或达到预定的迭代次数。
三、EM算法应用EM算法在实际应用中具有广泛的应用价值，以下列举几个常见的应用场景：1. 高斯混合模型：EM算法可以用于对高斯混合模型中的参数进行估计，从而实现对数据的聚类分析。
2. 隐马尔可夫模型：EM算法可以用于对隐马尔可夫模型中的参数进行估计，从而实现对序列数据的建模和预测。
3. 缺失数据处理：当数据中存在缺失值时，EM算法可以通过对缺失数据的估计，来完成对完整数据的分析。
4. 图像处理：EM算法可以用于图像分割、图像去噪等任务，通过对图像的概率模型进行参数估计，从而实现对图像的处理和分析。
四、EM算法优缺点EM算法具有以下优点：1. 简单易用：EM算法的原理简单、易于理解和实现，适用于多种模型和数据类型。
EM(最大期望算法)极大似然估计
EM算法
Expectation-maximization algorithm
设一次实验可能有四个结果，其发生的概率分别为
其中θ €(0,1) ，现进行了197次试验，四种结果的发生次数 分别为75，18，70，34，求MLE（极大似然估计） 解：以y1,y2,y3,y4表示四种类结果发生的次数，此时总体分 布为多项分布，故其似然函数:
定义似然函数为：
这里x1，x2.....xn是观测值，且独立同分布，L(θ) 看做参数θ的函数，它可作为θ已多大可能性产 生样本值X1，X2，....Xn的一种度量
极大似然估计
最大似然估计法就是使用L（θ）达到最大值的 估计θ 去
称 为θ的最大似然估计值。而相应的统计量θ（X1， X2，....Xn）称为θ的最大似然估计量。 同理，设总体X是连续型随机变量，密度函数为f(x;θ), 其中θ为未知参数，则定义似然函数为：
EM（最大期望算法）
Expectation-maximization
algorithm
极大似然估计 EM算法
极大似然估计
• 极大似然估计方法是一种参数估计方法 • 是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其 中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次 试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值
• 原理：一个随机试验如果有若干个可能的 结果A， B，C，…。若在一次试验中，结果A出现，则一般 认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很 大
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EM算法作业EM 算法简单介绍及应用EM 算法是当存在数据缺失问题时，极大似然估计（MLE ）的一种常用迭代算法，由于其每次迭代都分两步：E 步，求期望（expectation ）;M 步，求极大（maximization ），所以称之为EM 算法。
EM 算法主要适用于以下常见的两种情况的参数估计:（1）观测到的数据不完善；（2）似然函数不是显然的或者函数的形式非常复杂导致难以用极大似然传统方法进行估计。
该报告首先通过简单的实例对EM 算法的原理及其计算方法进行说明，然后简单介绍了EM 算法的的收敛性，最后就EM 算法在GMM 参数估计中的应用进行了详细的说明并通过程序实现迭代得到参数估计. 一.实例分析设一次实验可能有四个结果，其发生的概率分别为4,41,41,421θθθθ+--其中)1,0(∈θ，现进行了197次试验，四种结果的发生次数分别为75,18,70,34.求θ的MLE.以4321,,,y y y y 表示四种结果发生的次数，此时总体分布为多项分布，故其似然函数43214321)1()1()-(2 )4()41()41()421();(y y y y y y y y y L θθθθθθθθθ+-∝+--∝由此式求解θ的MLE 比较麻烦，可以考虑用EM 算法添加数据，通过引入两个潜变量21,z z ，使得求解比较容易。
现假设第一种结果可以分成两部分，41θ-和41，令1z 和11z y -分别表示落入这两部分的次数；再假设第三种结果分成两部分，其发生的概率分别为4θ和41，令2z 和23z y-分别表示落入这两部分的次数。
则在完全数据),(z y 下的对数似然函数214242231211)1( )4()41()41()41(),;(y z y z y z z y z y z y z y L +++-+--∝-∝θθθθθ其对数似然为)1ln()()ln()(),;(2142θθθ-+++=y z y z z y l虽然在该题目中仅知道y ，不知道z 的值，但是当y和θ已知时，得到)1,(~),21,(~3211θθθθ+--y b z y b z下面根据EM 算法分两步进行迭代：E 步：在已有观测数据y 和第i 步估计值)(i θ的条件下，求基于完全数据的对数似然函数的期望（即把其中与z 有关的部分积分掉）：).,;(),()(z y l E y Q zi θθθ=M 步：求),()(i y Q θθ关于θ的最大值)1(+i θ，即找)1(+i θ使得).,(max ),()()()1(i i i y Q y Q θθθθθ=+这样就完成了由)(i θ到)1(+i θ的一次迭代。
重复上面两步，直至收敛即可得到θ的MLE. 2.EM 算法的收敛性算法简单、收敛稳定是EM 算法的最大优点，下面的定理说明EM 算法得到的估计序列是收敛的。
定理1：设)(P θx 为观测数据的似然函数，)(i θ为EM算法得到的参数估计序列，)()(i x p θ为对应的似然函数序列，则)()(i x p θ是单调递增的，即）（)()1()(i i x p x p θθ≥+.可见在EM 算法E 步与M 步的交替运算下，都提高了观察数据的似然函数的值。
定理2：设)(ln θx p 为观测数据的对数似然函数，)(i θ为EM 算法的得到的参数估计序列，)(ln )(i x p θ为对应的对数似然函数序列。
（1）如果)(p θx 有上界，则)(ln )(i x p θ收敛到某一值*L .（2）在函数),('θθQ 与)(ln θx p 满足一定条件时，由EM算法得到的参数估计序列的)(i θ收敛值*θ是)(ln θx p 的稳定点。
根据定理可以发现，得到的收敛性主要是针对对数函数值给出，而不是针对估计序列的收敛性；而且一般情况下用EM 算法得到的估计值)(i θ，只能保证收敛到似然函数的一个稳定点，并不能保证收敛到全局最大值点。
3.EM 算法的应用—Gauss 混合分布（GMM ）的参数估计混合高斯模型是指随机变量X 的概率密度函数为如下形式1,)|()|(1M1==∑∑==Mk kk k k k x p x p αθαθ.其中),,2121M Mθθθαααθ ，，（=即混合模型有M 个分支，每个分支的权重为kα.设样本观测值为},,{21Nx x x X =，则GMM 的对数似然函数为∏∑∑=====Ni Ni k k k k i x p x p X L 11M1)|()|(ln ))|(ln(θαθθ其中每个分支的分布为222)(exp(21)|(k k i k i k x x p σμσπθ--=我们需要估计参数),,2121M Mθθθαααθ ，，（=，由于直接用极大似然估计不易求解，这里我们用EM 算法引入潜变量.2,1M}2,1{},,{Y 21N i y yy y i N=∈=，且当时k y i=表示第i 个观测样本是GMM 的第k 个分支产生的，则引入潜变量后的对数似然函数为∑∏====Ni y i y y i Ni i i i i x p y x p y x L 11(ln(),(ln )),(ln(）θαθθ）下面用EM 算法进行参数估计. E 步，求Q 函数∑∑∑∑∑==-=---====M k Ni t i k i k k y Ni t i y i y y yt t x k p x p x y p x p X y p y X L Y X L Q i i i 11)1(1)1()1(Y 1(),|(ln(),|(ln(),|()],|(ln[)]},|(ln[{E |(θθαθθαθθθθθ（））（））））根据Bayes 公式得∑∑=--=---======Mk t k i k kt k i k k Mk i t k iii t k i i t i x p x p k y p k yx p k y p k y x p x k p 1)1()1(1)1()1()1()|(|()(),|()(),|(,|θαθαθθθ））（M 步：极大化Q 函数，更新参数））1()(|(max arg -=t t Q θθθθ具体为分别将））1(|(-t Q θθ对2,kkσμ求偏导并令其为0,得到=k μ∑∑=-=-Ni t iNi t iix k p x k p x 1)1(1)1(,|(,|(））θθ∑∑=-=--=Ni t iNi t i kik x k p x k p x 1)1(1)1(22,|(),|()））（（θθμσ然后利用拉格朗日乘数法得到Nx k p Ni t ik ∑=-=1)1(,|(）θα令M=2，观测数据为[2 5 7 1 9 3 13 17]，取均值的初始值[1 2]，方差的初始值[1 1]， 权重的初始值：[0.4 0.6]，则15次迭代后，2个分支的参数值收敛到均值[1.9574 9.5344],方差[0.80782 4.6821],权重[0.31799 0.68201],具体迭代过程如下:迭代次数i)(1i α )(2i α )(1i μ )(2i μ )(12i σ)(22i σ 0 0.4000 0.600121 11 0.1205 0.8795 0.9180 5.1614 0.9180 5.16142 0.1832 0.8168 1.8028 8.3190 0.7566 5.08873 0.23670.76331.85238.76030.76054.96954 0.2724 0.72761.89719.08240.78024.86365 0.2939 0.70611.92729.28820.7934.78696 0.3057 0.69431.94299.40640.80014.73877 0.3118 0.6882 1.95059.46950.80384.71148 0.3149 0.68511.9549.5020.80584.69699 0.3165 0.68351.95589.51830.80684.68951 0 0.31720.68281.95669.52650.80734.685711 0.3176 0.68241.9579.53060.80764.68391 2 0.31780.68221.95739.53260.80774.6831 3 0.31790.68211.95749.53360.80784.68251 4 0.3180.6821.95749.53410.80784.68231 5 0.3180.6821.95749.53430.80784.68211 6 0.3180.6821.95749.53440.80784.68211 7 0.3180.6821.95759.53450.80784.6821下图为均值、方差在迭代过程中收敛的图像，可见它们经过15次迭代后，都趋于稳定%-EM算法在混合高斯模型中的应用-参数估计x=input('请输入观测数据：');N=size(x,2);miu0=input('请输入M个均值的初始值：');sigma0=input('请输入M个方差的初始值：');weight0=input('请输入M个高斯分布的权重的初始值：');M=size(miu0,2);%分支个数eps=1e-4;%限制误差miu(1,:)=miu0;sigma(1,:)=sigma0;weight(1,:)=weight0;flag=1;%循环控制变量，等于0终止循环n=1;while flag==1for k=1:MNk=0;Mk=0;Wk=0;for i=1:Nu(i,k)=g(x(i),miu(n,:),sigma(n,:),weight(n,:));w(i,k)=f(x(i), miu(n,k),sigma(n,k),weight(n,k));z(i,k)= w(i,k)/u(i,k);Nk=Nk+z(i,k);Mk=Mk+x(i)*z(i,k);Wk=Wk+((x(i)-miu(n,k))^2)*z(i,k);endmiu(n+1,k)=Mk/Nk;sigma(n+1,k)=sqrt(Wk/Nk);weight(n+1,k)=Nk/N;end%计算迭代的误差确定终止条件e_miu=norm(miu(n+1,:)-miu(n,:));e_sigma=norm(sigma(n+1,:)-sigma(n,:));e_weight=norm(weight(n+1,:)-weight(n,:));e_total=max([e_miu e_sigma e_weight]);%判断终止条件是否满足if e_total<epsflag=0;elsen=n+1;endendmiu_disp=miu(n,:);sigma_disp=sigma(n,:);weight_disp=weight(n,:);%输出结果disp(['M个分支的均值：',num2str(miu_disp)]);disp(['M个分支的方差：',num2str(sigma_disp)]);disp(['M个分支的权重：',num2str(weight_disp)]);%作图for j=1:Msubplot(1,2,1);plot(miu(:,j),'.');hold on;subplot(1,2,2);plot(sigma(:,j),'*');hold on;end函数1（以‘f.m’为文件名存在MATLAB根目录下）function z=f (x,miu,sigma,weight)%本函数用以计算给定参数的混合高斯分布中每个高斯分布加权后的函数值% miu,sigma为高斯分布的均值与方差.，weight为权重p=weight./(sqrt(2*pi).*sigma).*exp(-(x-miu).^2./(2*sigma.^2));end函数2（以‘g.m’为文件名存在MATLAB根目录下）function q=g(x,miu,sigma,weight)%本函数用以计算给定参数的高斯分布的函数值% miu,sigma为高斯分布的均值与方差.weight为权重M=size(miu,2);q=0;for k=1:Mq=q+f(x,miu(k),sigma(k),weight(k));endend。