第4章-2(阻抗与导纳)

z u i
z 0 电压滞后电流，容性
z 0 电压电流同相，阻性
4.3.2
用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示：
C jX C的阻抗
R R的阻抗
i + uR － R L － uC
L jX L 的阻抗 ， I 相量 u，i U
+ U R － I
(47.2 j13.9) 49.2 -16.4 A
i1 44 2 sin( 314t 43o )A
i2 22 2 sin( 314t 47 o )A
i 49.2 2 sin( 314t 16.4o )A
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯，用一个电阻、一个电 感或一个电容分别和它串联，接到220V直流电源 上，结果如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：
3、阻抗与导纳的等效互换 对于同一无源网络Z与Y互为倒数，即
1 Z Y
若 Z Z Z
或
1 Y Z
（1）极坐标形式Z、Y之间的等效互换
1 Z Y 即：
1 则 Z Z Y Y
Z Y
（2）代数形式Z、Y间的等效互换 ① 已知 Z=R+jX
1 则：Y G jB Z
导纳的又可表示为：
Y G j ( BC BL )
B BC BL
单一元件R、L、C的导纳分别为： 1 YR G R 1 1 1 YL j jBL BL jL L L
YC 1 1 j c jc jBC BC C
例：RLC并联电路中，R=5Ω，L=5μH，C=0.4μF， 电压有效值U=10V，ω=106rad/s， 求：总电流i，并说明电路的性质。
ZI U
相量模型 将所有元件以相 量形式表示：
I
I
称为欧姆定律的相量形式。 电阻、电感、电容的阻抗：
ZR R Z L jX L jL 1 Z C jX C j C
R －
+ U
jXL
U +
－
I +
- jXC
U
－
Z R jX | Z | z
U L U L
I
U C
U
U R
I
U C
U L
U
I
U C
(a) X>0
U R
U L
U C
(b)
U
X<0
U R
U C
(c) X=0
RLC串联电路，R=5kΩ，L=6mH，C=0.001μF，
u=5 2 sin106t V
(1)求电流 i 和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为2×105rad/s时，电路的性质有无 改变。 解：(1) X L L 106 6 103 6 kΩ 1 1 XC 6 1 kΩ 6 C 10 0.001 10
阻抗串联电路分析
由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI
I
+ +
Z1 Ｕ1
Ｕ
－
+
Z2 Ｕ2
－
－
Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2)
分压 U 1 公式：
Z1 U Z1 Z 2
Z2 U Z1 Z 2
UN 1102 R' 202 PN 60
2
白炽灯和电阻串联，电阻阻值R=202Ω时白炽灯 可正常工作， 直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多 大的电感，220V电压都会全部加在白炽灯上，白 炽灯就会因过电压而烧损； 电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接 多大的电容，白炽灯中均无电流。
Cm C m
i sin( 10 t 45) ｍA u R 5 sin( 106 t 45) V u L 6 sin( 10 t 45) V uC sin(106 t 135) V
6
U C
U R
6
U L
U
I
（2）当角频率变为2×105 rad/s 时，电路阻抗为：
2 2
I
+
或利用分压公式：
U
+ Z1 6.16 j9 Z1 U 1 U 220 30 - U1 Z1 Z 2 8.66 j5 + Z2 U 239.8 55.6V 2
-
-
U 2
Z2 2.5 j4 U 220 30 Z1 Z 2 8.66 j5
式中：
Y i u
I Y U
2、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 Y 会出现以下三种情况：
（1） Y 0 电流超前电压，电路呈容性。 （2） Y 0 电流滞后电压，电路呈感性。 （3） Y 0
(B 0
Y G)
电流与电压同相，电路呈阻性， 电路发生并联谐振。
XL |Z|

|Z| R
R

RL串联电路
XC RC串联电路 XL-XC
|Z| R RLC串联电路

串联电路的相量模型分析
I U UR UL U I UR UC RC串相量模型 U I UR UL UC
RL串相量模型
RLC串相量模型
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析 中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。 UL U
1 1 解： G 0.2 S R 5 1 1 BL 6 0.2 S 6 L 10 5 10
BC C 106 0.4 106 0.4 S
Y G j ( BC BL ) 0.2 j (0.4 0.2) 0.2 j 0.2 0.2 245 S
10 0V 设 U
YU 0.2 245 100 2 245A I
i 4 sin(10 t 45)A
φY =45o > 0
电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
6
例：已知R1=3、 R2=8， XC=6 、XL=4 ，
u 220 2 sin(314t 10o )V
o o YU 0.2 53o 220 I 10 44 43 A 1 1 o o YU 0.137o 220 I 10 22 47 A 2 2
I I 44 43o 2247o I 1 2
[(32.2 j30) (15 j16.1)] A
Z R j( X L X C ) 5 j (6 1) 5 245 kΩ
z 0 ，电路呈感性。
5 20V 电压相量为： U m
U 5 20 m Im 1 45mA Z 5 245
RI 5 1 45 5 45V U Rm m jX I j 6 1 45 645V U Lm L m jX I j1 1 45 1 135V U
求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。
i
I
+ i1
u –
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
1 I
R2
2 I
–
jX L - jX C
相量模型
解:
22010o V U
Y1 1 1 1 0 . 2 53 S R1 jX L 3 j4 553
1 1 1 Y2 0 . 1 37 S R2 jX C 8 j6 10 37

UR I UC U
UL
ULC
U
UR I UC RL串相量图 RC串相量图


UR I
UC RLC串相量图
UL
U

I U C
UR U
I
UC
UL ULC U

UC

UR I
UR
RL串相量图
RC串相量图
RLC串相量图
由相量图可以看出： RL串联电路中总电压超前电流一个φ角； RC串联电路中总电压滞后电流一个φ角； RLC串联电路中， 若UL>UC，则总电压超前电流一个φ角， 若UL<UC，则总电压滞后电流一个φ角， 若UL=UC时，总电压与电流同相，相位差φ=0， 电路出现串联谐振。
4.3 阻抗与导纳
4.3.1 阻抗 如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示，称之为复数形式的电阻电抗，简称阻抗。
I
+
U

I
无源 网络

+
U
Z
(a)无源二端网络
(b)等效电路
端口电压相量与电流相量的比值称为阻抗，用Z表示 U U m Z 或 Z I I
m
或
ZI U m m
－
－jXC
－
由KVL： U U U U R L C
ZI [ R j ( X L X C )]I
Z R j ( X L X C ) R jX
X XL XC
1 （1）当L 时，X > 0， z 0 ，电路呈感性。 C 1 （2）当L 时，X < 0， z 0 ，电路呈容性。 C 1 （3）当L 时，X = 0， z 0 ，电路呈电阻性。 C
+
U
Z + 解： Z1 U 1
+ Z2 U 2
I
Z1 Z 2 (6.16 2.5) j(9 4) 8.66 j5 10 30Ω
-
-
-
22030 U I 22 0A Z 1030
Z I U 1 1 (6.16 j9) 220 10.955.6 220 239.855.6V Z I (2.5 j4) 220 103.6 58V 同理：U
+
u － (a)
+ +
uL －
+
U －
R
－ U C +
+
jXL U L
－
C RLC 串联电路
－jXC
(b) 相量模型
I
+
U R
－
+
+
jXL U L
由欧姆定律：
RI U R jX I U L L jX I U
C C
U
R
U － C +
实部G：电导分量 （ 正值） 虚部B：电纳分量 （可正可负）
Y G jB Y Y
导纳模
导纳角
导纳Y的几种表达式之间的关系 B 2 2 Y G B Y arctan G G Y cos Y B Y sin Y
I I Y （ i u ) U U
103.6 58V
U 1 U 2 注意： U
U U1 U 2
4.3.3
导纳
+

如果无源网络端口上电压相量和电流相量参考方 向一致，其导纳定义为
Y I U

I
U
Y
其中导纳Y的单位是西门子（S） 对导纳说明以下几点： 1、导纳Y是一个复数
_
Y G jB
电阻 电抗
2 2
阻抗模
X z arctg R X | Z | sin z
阻抗角
| Z | R X
R | Z | cosБайду номын сангаас z
U U U u Z ( u i ) I i I I
U Um | Z | I Im
z 0 电压超前电流，感性
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Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i
对于阻抗模一般 注意：
U 2
Z Z1 Z 2
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例: 有两个阻抗 Z1 6.16 j9Ω Z 2 2.5 j4Ω 220 30V 的电源; 它们串联接在 U 和U 、U 求: I 1 2
Z R j( X L X C )
5
1 5 j (2 10 6 10 ) 5 6 2 10 0.001 10
3
5 j 3.8 6.28 37.2 k
z 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 可由以下三角形求出：
② 已知 Y=G+jB
G
R R2 X 2
B
X R2 X 2
1 Z R jX Y
注意：
一般
G R 2 G B2
B X 2 G B2
1 G R
1 B X
4.3.4
用导纳法分析并联电路
G — 电导（电阻的倒数） BL — 感纳（感抗的倒数） BC — 容纳（容抗的倒数）