高等数学第 21 讲微积分基本定理、换元法
微积分中的积分换元法
微积分中的积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数、微分、积分等概念和性质。
在微积分中，积分换元法是一种重要的积分方法，能够将复杂的积分公式化简为简单易解的形式，大大提高了求解积分的效率和精度。
本文将详细介绍积分换元法在微积分中的应用和基本原理。
一、积分换元法的基本概念积分换元法，又称替换法，是指将被积函数中的某一部分替换为一个新的变量，从而简化积分的方法。
简单来说，就是将原积分式中的变量用一个新的变量代替，然后对新的积分式进行求解。
具体来说，对于形如 f(x)dx 的积分，我们可以进行如下的积分换元：1、假设原积分式中的自变量x 可以表示为另一变量u 的函数：x=g(u)；2、则有：dx=g'(u)du，即 dx/du=g'(u)。
3、用 u 表示 f(x)，有 f(x)=h(u)。
4、将 1 和 3 结合，得 f(x)dx=h(u)g'(u)du。
5、用 u 代替 x 进行积分。
其中，g(u) 是连续可导函数，g'(u) 不等于 0。
如果散列w是$f$中$x$可以表示的函数，则用$g(u)=w$ 设$u=g^{-1}(w)$，则$fwg^{-1}$的微分单位表达式为$f(x) dx = fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
因此$\int f(x) dx = \int fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
二、积分换元法的应用积分换元法在微积分中有广泛的应用，特别是对于一些复杂的积分问题，使用积分换元法能够帮助我们将问题转化为相对简单的积分形式，从而更容易求解。
下面以几个例子来说明积分换元法的应用：1、对于形如 $\int e^{x} \cos x \, \mathrm{d}x$ 的积分，我们可以令 $u=e^{x}$，则 $\mathrm{d}u=e^{x}\mathrm{d}x$，从而原式变为 $\int \cos x \, \mathrm{d}u$，进一步求解即可。
《高等数学》换元积分法
常用的几种配元形式:
万 能 凑 幂 法
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例6. 求 解: 原式
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例7. 求 解: 原式
例8. 求 解: 原式
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例9. 求 解法1
解法2
两法结果一样
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例10. 求 解法1
2. 求 提示: 法1
法2
法3
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则
故
原式
注: 当
时
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例2. 求 解:
想到公式
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例3. 求 解:
想到
(直接配元)
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例4. 求 解:
类似
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例5. 求 解:
∴ 原式 =
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解法 2 同样可证
或
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例11. 求 解: 原式
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例12 . 求 解:
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例13. 求 解:
∴原式 =
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例14. 求 解: 原式
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设
可导, 则有
第一类换元法 第二类换元法
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
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微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
《高数换元积分法》课件
选择适当的换元变量
根据被积函数的形式选择一个新的自变量，使得 换元后的积分更加简单。
进行变量代换和计算
将被积函数中的自变量替换为新的变量，并进行 计算。
求解新的微分表达式
根据选定的换元变量，求解出其对应的微分表达 式。
还原换元变量
将计算得到的结果转化回原来的变量，得到最终 的积分结果。
常用的换元积分法公式
2 换元积分法 vs. 代入
法
换元积分法通过引入新的 变量简化积分，而代入法 直接将新的变量代入原函 数中进行计算。
3 换元积分法 vs. 数值
积分
换元积分法可以得到精确 的积分解析表达式，而数 值积分通过数值逼近来估 算积分值。
结论和要点
换元积分法是解决复杂函数积分的有力工具
通过选择适当的换元变量和使用相应的公式，可以简化积分过程。
基本换元公式
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
三角换元公式
∫f(sin(x))cos(x)dx = ∫f(u)du
指数换元公式
∫f(e^x)dx = ∫f(u)du
有理换元公式
∫f(x^2)2xdx = ∫f(u)du
举例演示换元积分法的应用
1
例题1
∫(2x+1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3dx
2
例题2
∫(3x^2+2x+1)dx
掌握常用的换元积分法公式
熟悉不同类型的换元公式，有助于解决各种不同形式的函数积分。
灵活运用换元积分法解决实际问题
将换元积分法应用于理论和实际问题中，可以得到更加准确和精确的结果。
3
例题3
∫e^(3x)dx
换元积分法在实际问题中的应用
微积分等价替换公式
微积分等价替换公式
微积分中的等价替换公式是指一些常见的数学式子，通过代入不同的变量或者进行变形等操作，可以得到等价的表达式，这些式子可以帮助我们快速推导出复杂的微积分公式。
下面是一些常见的微积分等价替换公式：
1. 导数的链式法则公式：如果 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则 (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)。
这个公式可以帮助我们求出复合函数的导数。
2. 积分的换元法公式：如果 f(x) 是一个可积函数，u 是一个可导函数，则∫f(u(x)) * u'(x)dx = ∫f(u)du。
这个公式可以帮助我们进行积分的简化。
3. 微分的牛顿-莱布尼茨公式：如果 F(x) 是一个连续可导函数，f(x) 是其导函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中 C 是任意常数。
这个公式可以帮助我们求出原函数。
4. 高斯积分公式：∫e^{-x^2}dx = sqrt{pi}。
这个公式在处理概率密度函数和正态分布等问题时非常有用。
5. 声明微积分基本定理的公式：如果 f(x) 是一个连续可导函数，则 frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt = f(x)，其中 a 是常数。
这个公式可以帮助我们求出反常积分和定积分等问题。
这些微积分等价替换公式是学习微积分的基础，掌握它们可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。
- 1 -。
高二数学选修课件第章微积分基本定理
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
微积分换元法
微积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的导数和积分。
微积分中的换元法是一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍微积分中的换元法，包括基本概念、应用、注意事项等。
一、基本概念微积分中的换元法是指将一个变量替换为另一个变量，以便更方便地进行积分或求导。
换元法的基本思想是将原函数转化为一个新的函数，使得新函数的积分或导数更容易求解。
在微积分中，我们常常使用两种不同的换元法：代数换元法和三角换元法。
1. 代数换元法代数换元法是指通过代数变换将一个函数转化为一个更容易求解的形式。
代数换元法通常适用于多项式函数和有理函数。
例如，对于函数$f(x)=x^2+2x+1$，我们可以通过代数变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$这个代数变换可以帮助我们更方便地求出$f(x)$的积分或导数。
2. 三角换元法三角换元法是指通过三角函数的关系将一个函数转化为一个更容易求解的形式。
三角换元法通常适用于含有三角函数的函数。
例如，对于函数$f(x)=sin x$，我们可以通过三角变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$这个三角变换可以帮助我们更方便地求出$f(x)$的积分或导数。
二、应用换元法在微积分中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用。
1. 积分在微积分中，我们经常需要求解各种复杂的积分。
换元法可以帮助我们将原函数转化为一个更容易求解的形式。
例如，对于函数$f(x)=frac{1}{sqrt{1-x^2}}$，我们可以通过三角变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$intfrac{1}{sqrt{1-x^2}}dx=intfrac{1}{cos^2theta}dtheta$$ 这个换元法将原函数转化为一个含有三角函数的函数，可以更方便地求解。
2. 面积在微积分中，我们经常需要求解各种曲线的面积。
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
数学中的微积分技巧应用研究
数学中的微积分技巧应用研究微积分是高等数学的一门重要分支，它以极限概念为基础，通过对函数进行积分和求导的运算，揭示了数学中许多重要的规律和定理，广泛应用于自然科学、工程领域和社会科学等各个领域中。
在实际应用中，微积分的技巧和方法可以帮助我们解决很多实际问题，本文将从微积分技巧的应用角度，对一些常用的技巧进行研究和探讨。
1.积分换元法积分换元法是微积分中一个重要的技巧，它可以将一个复杂的积分式变成一个简单的积分形式，从而方便求解。
积分换元法的基本思想是将一个积分式中的一个部分替换为另一个新的变量，从而将问题转化为求一个新变量的积分。
这一变换需要满足一定的条件，比如需要新的变量具有单调性、连续性和可微性，这样才能够保证变换的正确性。
举个例子，如果我们想要求解$$\int_0^{10}\sqrt{x^2+1}dx$$这个积分式，可以考虑使用积分换元法。
我们可以令$x=\tan \theta$，从而有$$dx=\sec^2 \thetad\theta$$将$x$替换为$\tan \theta$后，原积分式可以变为$$\int_0^{\arctan10}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2\theta d\theta$$接着，根据三角恒等式$\tan^2 \theta +1=\sec^2\theta$，我们可以得到$$\int_0^{\arctan 10}\sec^3\theta d\theta$$至此，我们已经将原积分式转化为一个简单形式的积分问题，可以使用积分公式直接求解。
2.分部积分法分部积分法是微积分中另一个重要的技巧，它可以将一个积分式进行分解，从而更方便求解。
分部积分法的基本思想是利用求导和求积的性质，将一个积分式分为两个部分，一部分进行求导，另一部分进行求积。
通过适当的选择分部积分的组合方式，我们可以将一个积分式变成一个更加易于求解的形式。
比如，如果我们想要计算$$\int x^2 \sin x dx$$这个积分式，可以考虑使用分部积分法。
微积分换元法公式
微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。
换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。
1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。
将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。
具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。
我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。
将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。
需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。
高等数学《换元法》课件
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
换元法的应用原理
换元法的应用原理1. 换元法简介换元法是微积分中的一种常用的积分方法，也称为变量替换法或积分换元法。
通过引入新的变量，将原来的积分问题转化为更简单的形式，从而求解积分。
换元法的应用广泛，包括解决一阶微分方程、求解定积分、求解广义积分等。
2. 换元法的基本思想换元法的基本思想是将被积函数中的自变量用新的变量来表示，然后通过求导和代换来得到新函数的微分式。
换元法的目的是将被积函数转化为更简单的形式，以便于求解。
3. 换元法的步骤换元法的步骤如下：•选择合适的替换变量：选取一个合适的新变量使得被积函数在新变量下的积分更容易求解。
常用的替换变量包括三角函数、指数函数、対数函数等。
•确定新旧自变量之间的关系式：确定新变量与原变量之间的关系式，即求出新变量与原变量之间的函数关系。
•计算新自变量的微分：通过求导计算新自变量的微分。
•将原函数转化为新变量的函数：将被积函数转化为新变量的函数，通过代入关系式将原函数中的自变量替换为新变量。
•求解新函数的积分：将转化后的函数进行积分，得到新函数的积分形式。
•将新函数转化为原函数：将新函数的积分结果进行代换，得到原函数的积分。
4. 换元法的例子下面是一个通过换元法求解定积分的例子：假设要求解积分 $\\int_{0}^{\\pi/2} \\cos^2(x)\\sin(x)dx$.步骤如下：1.选择替换变量：设 $u = \\cos(x)$.2.确定新旧自变量关系：根据关系式得到 $x = \\arccos(u)$.3.计算新自变量的微分：对u求导，得到 $du = -\\sin(x)dx$.4.将原函数转化为新变量的函数：将 $\\cos^2(x)\\sin(x)$ 替换为u2du.5.求解新函数的积分：$\\int_{0}^{1} u^2 du =\\left[\\frac{u^3}{3}\\right]_{0}^{1} = \\frac{1}{3}$.6.将新函数转化为原函数：根据 $u = \\cos(x)$，代换 $x =\\arccos(u)$，得到原函数的积分为 $\\int_{0}^{\\pi/2} \\cos^2(x)\\sin(x)dx = \\frac{1}{3}$.通过换元法，我们成功地求解了原始的积分问题。
微积分学基本定理及基本积分公式
1．变限定积分
f (t) 在[a, b]上可积，则对 x [a, b]， f (t) 在[a, x]上
可积，即 x f (t )dt ． a
---变上限定积分
1) 变上限定积分是上限的函数
设 f 在[a, b]上可积，
x
( x) a f (t)dt, x [a, b]
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
EXE (4)
1 dx 1 x2
F(x) ex2 (x2 ) 2xex2 ．
一般地，
u(x)
v( x)
f (t) dt f (u( x))u( x) f (v( x))v( x)
．
( x) x f (t)dt ， ( x) f ( x) ．
2) 变上限a 定积分求导
例 2
F(x)
x
( x t) f (t) dt,
结论：若 F ( x)为 f ( x) 的任一原函数， 则(1)F(原 x) 函 C数为的f存( x在) 的性原函数的全体，其中 C 为常数．
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在[a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一
若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
即从一条曲线上下平移而得 3) 基本积分公式
微积分 换元法2
1 x 1 1 dx . 2 dx arctan C . 例6 例 6 求 2 2 a a a x x 8 x 25 1 1 解 2 dx dx 2 x 8 x 25 ( x 4) 9
1 1 dx 2 2 3 x 4 1 3 1 x4 arctan C. 3 3
18
例7
dx a2 x2
x d x a arcsin c a x 2 1 ( ) a
dx 1 x x 2 a 2 a arctan a c
1 xa dx x 2 a 2 2a ln | x a | c
x arcsin c 2 2 a a x
x ln(1 e x ) C .
e 1 x x e d ( ) dx x x 1 e 1 e 凑微分 1 du 换元 1 u ln(1 u) C ln(1 e ) C .
x
x
f (e x )e x d x
f ( u) d u (u e x ) .
32
复习
第一类换元公式（凑微分法）
(11) csc x cot xdx csc x C ;
sin xdx cos x C ;
(12)
x x e dx e C; x a (13) a x dx C; ln a
4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
5
第一类换元法
问题
cos 2 xdx
利用不定积分的性质求求不定积分
复习
2
基本积分表
(1)
1 x ( 2) x dx C ( 1); 1 dx (3) ln | x | C , x 1 ( 4) dx arctan x C ; 2 1 x
微积分中的变量替换与积分换元法
微积分是数学中的一门重要学科，研究的是函数的变化与相关性质。
在微积分中，变量替换与积分换元法是常用的技巧，能够简化复杂的运算过程，使得计算更为便捷。
本文将详细介绍变量替换与积分换元法的基本原理和应用。
首先，我们来了解一下变量替换的概念。
变量替换是指将原积分变量替换为一个新的变量，通过这种变换，可以改变问题的形式，从而更易求解。
变量替换中常用的方法有代数替换、三角替换和指数替换等。
例如，对于形如∫f(x)dx的不定积分，我们可以通过代数替换或三角替换，将其转化为∫g(u)du的形式，从而简化求解过程。
接下来，我们将介绍积分换元法的基本原理。
积分换元法是指通过将被积函数中的自变量替换为一个新的变量，使得被积函数的表达式更加简单，从而更易积分。
具体来说，设u=u(x)是一个可导的函数，而f(u)是它的导函数，并且f(u)在某一区间内连续，则有如下变量替换公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx通过这个公式，我们可以将原来积分的被积函数转化为一个更为简单的形式。
这种替换使得原来复杂的积分可以通过一些简单的代数运算求得解析解。
变量替换与积分换元法的应用非常广泛。
在求解一些复杂函数的不定积分时，通常可以通过变量替换的方法将其转化为简单函数的积分。
例如，在求解∫(x^2+1)^5xdx时，我们可以通过变量替换u=x^2+1，得到∫u^5/2du的形式，这个积分可以很容易地求解出来。
另外，变量替换与积分换元法在求解定积分中也有重要的应用。
通过适当的变量替换，可以将原来复杂的积分转化为更简单形式的积分。
例如，对于∫sin(x^2)dx这个积分，我们可以将x^2=t进行变量替换，得到∫(1/2)(sin(t)/√t)dt，然后再借助一些常用的积分公式进行求解。
此外，变量替换与积分换元法还可以应用于解微分方程等其他数学问题中。
通过适当的变换，可以将复杂的微分方程化简为形式简单的方程，从而更加方便地解决问题。
21-第21讲 不定积分及其计算(1)
该性质可推广至有限个 函数的和的形式 .
线性性质
17
基本积分表
(1) kdx kx C
( k为 常 数)
1 ( 2 ) x dx x 1 C ( 1), 1 1 ( 3) dx ln | x | C ( x 0) x ( 4 ) e dx e C ,
cos x ，所以sin x 是cos x 的原函数. 1 因为 ln x ( x 0) x 1 所以 ln x 是 在区间( 0, ) 内的原函数. 5 x
原函数存在性定理: 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数. (证明略)
6
定理 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则
F(x) – G(x) ≡ C (常数) 证 ( F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0 由拉格朗日定理知 F ( x) G( x) C(常数)
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C
得 C 2.
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
13
二.不定积分的计算
利用不定积分的性质
换元法( 第一、第二 ) 分部积分法
部分分式法
14
1. 利用性质计算不定积分
首先介绍不定积分的基本性质.
15
性质 1
( f ( x) d x) f ( x), d f ( x) d x f ( x) d x,
1 sin x dx 2 cos x 1 sin x dx dx 2 2 cos x cos x
2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt
1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分 积分再求导 先 不定积分再求导 =本身 本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性 （可加性） ∫ g ( x )dx ， 可加性）
f ( x )dx ， （齐次性） 齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ． 线性性质） （线性性质 （线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值 推广的积分中值 Thm
上可积， 若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，
微积分基本定理
二、微积分基本定理
变限定积分概念
设f ( x )在[a , b]上可积, x [a , b],由积分 b x x (b) f (t )dt ( x ) f ( t )dt , x [a , b] a
a
x )称为变上限定积分 上 所定义的函数 ( x .
同理,由积分 ( x ) f ( t )dt , x [a , b]
第二节 计算定积分中一般方法 —微积分基本定理
主要内容： 一、问题的提出 二、微积分的基本定理 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法
一、问题的提出
积分学中要解决两个问题：
一、原函数的求解; 不定积分问题
二、定积分计算.
如何计算定积分？
解决面积、体积、 做功、利润等实际问 n 题 b
i 1
定理(定积分的分部积分法) 若u, v是[a , b]上具有连续导数的函数, 则
b
a
udv u v a vdu.
b a
b
证 由( uv ) uv uv, uv是uv uv的原函数,
用牛顿 莱布尼茨公式即可证明.
例6 解
计算 0 x cos xdx .
a
f ( i )xi f (t )dt lim 0
定义很复杂，直接计算很困难.需要
转换新的思路.
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t ) 是时 间间隔 [T1 , T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
T2 T1
, 其中 s(t ) v(t ) .
s(t )是被积函数v(t )的原函数.
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例
8.
求
I
lim
x0
cos 1
x et2 x2
d
t
.
解： I lim ecos2 x sin x 1 .
x0 2 x
2e
四. 第一换元法与分部积分法
例 9.
求I
0
41 d 1 sinx
x.
解：I
0
4
1 sin x cos2 x
d
x
0
4
sec2 x d
f '( x) e xcos x , f '(0) 1 , f '( ) e .
例 6. 设 f ( x) 0x2 1 t 2 d t , 求 f '( x) .
解：令 u x2 , 则
f '( x) df du 1 u2 (2x) 2x 1 x4 . du dx
2) n
ln(1
n n
)
1 0
ln(1
x)
d
x
(1 2ln
x)ln(1 x) 2 1 ln 4
e
1 0
.
1 0
1 1
因此
xdx x
lim an
n
4 e
.
二. 定积分的性质 积分中值定理
性质 6. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，g( x) 在[ a , b ] 上可积 且不变号，则至少存在一点 [ a , b ], 使得
,
( (0,1) ) . 因此
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
n
lim
n 1 ຫໍສະໝຸດ 0. 与 n 有关，对不同的n， 可能不同.
若 1 1 ?
n
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法：
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
1 0
( lim
在[a,b]上连续 .
证：x [a,b] , 当 x x [a,b]时 ,
F axx f ( x) dx ax f ( x) dx xxx f ( x) dx .
f ( x) 在[a,b]上可积 ,故有界 . 设 | f ( x) | M , x [a,b] ,
x
0
4
1 cos2
x
d (cos x)
(tan
tan0) (
1
)
4
1
1
0
4
cos x 0
cos x 4
2 2.
例 10. 求 I 0 sin2 x d x .
解：I
0
1 cos2x d 2
x
0
1dx 2
1 2
0
cos 2x dx
x 1
sin t
t
dt
是
f ( x) sin x 在[1, M ]上 x
的一个原函数, 它不是初等函数. 可对其做各种运算.
3. 此定理表明闭区间上的连续函数必有原函数 .
例 5. 设 f ( x) 0x etcos t d t , 求 f '(0) , f '( ) . 解： e x cos x 在 ( , )上连续, 因此
(1). g( ) a , g( ) b ;
(2). t [ , ]或 t [ , ] 时 , g(t)[a,b]
且 g(t) 有连续导数 .
则有 ab f ( x) d x f [g(t)] g'(t) d t . 证明略.
例 13. 求
解：令 t
I 0 4cos2 x d x
证：x0 [a,b] , 当 x0 x [a,b]时 ,
F x
1 x
xx00 x
f (t) dt .
f ( x) C[a,b] , 据积分中值定理, 有 介于 x0 x
与 x0 之间,
使得
F x
1 x
xx00 x
f (t) dt
f ( ) .
y x2
O
1
x
例 2. 求 I lim ( 1 1 1 ) .
n n 1 n 2
nn
解：I lim 1 ( 1 1 1 )
n n 1 1 n 1 2 n
1n n
1 0
1
1
x
d
x
ln(1 x)
1 0
ln 2 .
0
1 0
xn 1 x
d
1
x
1 0
x xn
d
x
1 n 1
.
由夹逼定理
,
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
0
.
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法： xn 在 [ 0,1 ] 上连续 , 据积分中值定理 ，
1 x
1 0
xn 1 x
d
x
n 1
( t
)
d
(t
)
aa f (t) d t
aa f (t) d t
因此 I 0 .
I,
作业：
P178. 1. (1) (2) (3) (4) ; 2. (1) ; 3. (1) ; 6 .
f ( x) 在 x0 连续,
因此
F lim x0 x
f ( x0 ) ,
即 F'(x0) f (x0) .
说明
1. 此定理称为微积分基本定理, 它揭示了微分和
积分的关系 .
d dx
[
x a
f (t)d t
]
f (x).
2. 变上限积分扩展了函数的形式 .
例如 :
F ( x)
则 | F | | xxx f ( x) dx | M | x | . 因此
当x 0时 , F 0 . 即 f ( x) 在 x 连续 .
定理 2. 若 f ( x) 在[a,b]上连续 , 则 F ( x) ax f (t) d t
在[a,b]上可导 , 且 F' (x) f (x) .
例 3.
设an
(1
1 )(1 n
2 ) n
(1
n n
)
1
n
,
求 lim n
an
.
解： ln an
1 n
ln(
1
1 ) ln(1 n
2) n
ln(1
n n
)
lim
nn
ln
an
lim
nn
1 n
ln(1
1 ) ln(1 n
y sin x sina .
设 F ( x) ax f (t) d t , 则 ab f ( x) d x F (b) F(b) F(a) .
此 F( x) 是否就是 f ( x)的原函数 ？
定理 1. 若 f ( x) 在[a,b]上可积 , 则 F ( x) ax f (t) d t
b a
f
( x)
g( x)
d
x
f
( )
b a
g(
x)
d
x
.
性质 7. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，则至少存在一点
[a,
b],
使得
b a
f
( x)
d x
f
( ) (b a) .
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
解：在[ 0,1 ] 上 , 0 xn xn , 因此
第 21 讲. 微积分基本定理、换元法
2014. 12. 10
一. 回顾
例 1. 求曲线 y x2 与 y
解：设所求面积为S , 则
S
1 0
(
x x2)d x
1 0
x
d
x
1 0
x2
d
x
2 x3 2 1 1 x3 1
3
03 0
1.
3
x 所围成的图形的面积 .
y
y x
11
1
1 x
2
d
x.
解：I arctan1 arctan(1) .
2
I
11
1 x2
1 11
x2
d
x
111
1 1
x2
d
(1) x
arctan 1
1
.
x1 2
哪一个对？为什么另一个不对？
五. 第二换元法
定理 3. 设 f ( x) C [a,b] , 若函数 x g(t)满足
2
1 4
0
cos 2x d (2x)