高等数学第 21 讲微积分基本定理、换元法

11
1
1 x
2
d
x.
解：I arctan1 arctan(1) .
2
I

11
1 x2
1 11
x2
d
x

111
1 1
x2
d
(1) x
arctan 1
1



.
x1 2
哪一个对？为什么另一个不对？
五. 第二换元法
定理 3. 设 f ( x) C [a,b] , 若函数 x g(t)满足
n
xn 1 x
)
d
x.
需考虑函数列的一致收敛 。
三. 变上限积分 设函数 f 在[a,b]上可积 , 则对 x [a,b] , f 在[a, x] 上可积, 因此可定义函数
F ( x) ax f (t) d t , x [a,b] .
称 F( x)为变上限的定积分 .
例如：函数 y ax cos t d t 事实上就是函数
0

1 0
xn 1 x
d
1
x


1 0
x xn
d
x

1 n 1
.
由夹逼定理
,
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x

0
.
例 4.
求极限
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法： xn 在 [ 0,1 ] 上连续 , 据积分中值定理 ，
1 x

1 0
xn 1 x
d
x

n 1
例 3.
设an

(1
1 )(1 n
2 ) n
(1
n n
)
1
n
,
求 lim n
an
.
解： ln an

1 n
ln(
1

1 ) ln(1 n
2) n
ln(1
n n
)
lim
nn
ln
an

lim
nn
1 n
ln(1
1 ) ln(1 n
( t
)
d
(t
)
aa f (t) d t
aa f (t) d t
因此 I 0 .
I,
作业：
P178. 1. (1) (2) (3) (4) ; 2. (1) ; 3. (1) ; 6 .
2) n
ln(1
n n
)


1 0
ln(1
x)
d
x

(1 2ln
x)ln(1 x) 2 1 ln 4
e
1 0
.


1 0
1 1
因此
xdx x
lim an
n

4 e
.
二. 定积分的性质 积分中值定理
性质 6. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，g( x) 在[ a , b ] 上可积 且不变号，则至少存在一点 [ a , b ], 使得
例 7. 设 f ( x) 0x x2 cos t d t , 求 f '( x) .
解： f ( x) x2 0x cos t d t , 因此
f '( x) 2x 0x cos t d t x2(0x cos t d t)'
2x 0x cos t d t x2 cos x .

b a
f
( x)
g( x)
d
x

f
( )

b a
g(
x)
d
x
.
性质 7. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，则至少存在一点

[a,
b],
使得

b a
f
Байду номын сангаас
( x)
d x
f
( ) (b a) .
例 4.
求极限
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x
.
解：在[ 0,1 ] 上 , 0 xn xn , 因此
例
8.
求
I

lim
x0

cos 1
x et2 x2
d
t
.
解： I lim ecos2 x sin x 1 .
x0 2 x
2e
四. 第一换元法与分部积分法
例 9.
求I
0
41 d 1 sinx
x.
解：I

0
4
1 sin x cos2 x
d
x

0
4
sec2 x d
第 21 讲. 微积分基本定理、换元法
2014. 12. 10
一. 回顾
例 1. 求曲线 y x2 与 y
解：设所求面积为S , 则
S


1 0
(
x x2)d x


1 0
x
d
x


1 0
x2
d
x
2 x3 2 1 1 x3 1
3
03 0
1.
3
x 所围成的图形的面积 .
y
y x
f ( x) 在 x0 连续,
因此
F lim x0 x

f ( x0 ) ,
即 F'(x0) f (x0) .
说明
1. 此定理称为微积分基本定理, 它揭示了微分和
积分的关系 .
d dx
[

x a
f (t)d t
]
f (x).
2. 变上限积分扩展了函数的形式 .
例如 :
F ( x)
在[a,b]上连续 .
证：x [a,b] , 当 x x [a,b]时 ,
F axx f ( x) dx ax f ( x) dx xxx f ( x) dx .
f ( x) 在[a,b]上可积 ,故有界 . 设 | f ( x) | M , x [a,b] ,
(1). g( ) a , g( ) b ;
(2). t [ , ]或 t [ , ] 时 , g(t)[a,b]
且 g(t) 有连续导数 .
则有 ab f ( x) d x f [g(t)] g'(t) d t . 证明略.
例 13. 求
解：令 t
I 0 4cos2 x d x
证：x0 [a,b] , 当 x0 x [a,b]时 ,
F x

1 x
xx00 x
f (t) dt .
f ( x) C[a,b] , 据积分中值定理, 有 介于 x0 x
与 x0 之间,
使得
F x

1 x
xx00 x
f (t) dt
f ( ) .


x 1
sin t
t
dt
是
f ( x) sin x 在[1, M ]上 x
的一个原函数, 它不是初等函数. 可对其做各种运算.
3. 此定理表明闭区间上的连续函数必有原函数 .
例 5. 设 f ( x) 0x etcos t d t , 求 f '(0) , f '( ) . 解： e x cos x 在 ( , )上连续, 因此

2

1 4
0
cos 2x d (2x)


2

1 sin2x 4

0
.
2
例
11.
求
I


1 0
x5e x3
d
x
.
解：I


1 0
x3(e x3
)' d
x
1 (x3e x3 ) 1
3
0

1 3

1 0
e x3
d
(x3)
e 1 ex3 1 33 0
1. 3
例 12.
求
I

,
( (0,1) ) . 因此
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x
n
lim
n 1

0.
与 n 有关，对不同的n， 可能不同.
若 1 1 ?
n
例 4.
求极限
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法：
lim
n

1 0
xn 1 x
d
x


1 0
( lim
y sin x sina .
设 F ( x) ax f (t) d t , 则 ab f ( x) d x F (b) F(b) F(a) .
此 F( x) 是否就是 f ( x)的原函数 ？
定理 1. 若 f ( x) 在[a,b]上可积 , 则 F ( x) ax f (t) d t
f '( x) e xcos x , f '(0) 1 , f '( ) e .
例 6. 设 f ( x) 0x2 1 t 2 d t , 求 f '( x) .
解：令 u x2 , 则
f '( x) df du 1 u2 (2x) 2x 1 x4 . du dx
2x ,
则I



0
. 2cos t
d(t) 2

1 2
0
2cos t
d
t

1 sin t 2

0
2

1. 2
例 14. 设 f ( x) 在[a,a]上可积 , 且 f ( x) C [a,a] ,
求 I aa f ( x) d x .
解： 令
t

x ,
则
I


a a
f
x
0
4
1 cos2
x
d (cos x)
(tan
tan0) (
1

)
4
1
1
0
4
cos x 0
cos x 4
2 2.
例 10. 求 I 0 sin2 x d x .
解：I
0
1 cos2x d 2
x
0
1dx 2

1 2
0
cos 2x dx
y x2
O
1
x
例 2. 求 I lim ( 1 1 1 ) .
n n 1 n 2
nn
解：I lim 1 ( 1 1 1 )
n n 1 1 n 1 2 n
1n n


1 0
1
1
x
d
x
ln(1 x)
1 0
ln 2 .
则 | F | | xxx f ( x) dx | M | x | . 因此
当x 0时 , F 0 . 即 f ( x) 在 x 连续 .
定理 2. 若 f ( x) 在[a,b]上连续 , 则 F ( x) ax f (t) d t
在[a,b]上可导 , 且 F' (x) f (x) .